2025~2026学年济南市“市中区”七年级第一学期数学期末考试试题以（学生版+答案版）

2026 年七年级上学期数学期末考试试题
（满分150分 时间120分钟）
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1.-2 的相反数等于（ ）
A. -2 B. C. 2 D.
2.“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞” 是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇飏如丝的细雨飘飞。诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（ ）
A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 都不正确
3.2025 年 10 月 1 日，国庆假期第一天，天下第一泉 (济南趵突泉) 风景区接待游客超过 391 200 人次。将数字 391 200 用科学记数法表示应为（ ）
A. 3912×102 B. 39.12×104 C. 3.912×105 D. 3.912×106
4.下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A. 中央电视台春节联欢晚会的收视率
B. 手术前检查各项医疗器械是否准备妥当
C. 神舟二十一号载人飞船发射前对零部件的检查
D. 进入高铁站对旅客携带的物品进行安检
5.农民插秧时，为使插秧的秧苗更整齐，先在水田的对边各固定一根木桩，中间拉紧一条细线，然后沿着细线插秧，这里所运用的数学原理是（ ）
A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 线段可以比较大小 D. 线段有两个端点
6.若 8xmy3与x2yn是同类项，则m n的值是（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. -1
7.如图所示，小华借助直尺和三角板，根据 “一重合、二紧靠、三移动、四画线” 的步骤完成了 “过直线 AB 外一点 P 画直线 CD∥AB”，其中依据的数学原理是（ ）
A. 内错角相等，两直线平行 B. 同位角相等，两直线平行
C. 两直线平行，同位角相等 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
8.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗，其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子。每人分 4 个梨，多 12 个梨；每人分 6 个梨，恰好分完。” 设有 x 人，则可列方程为（ ）
A. = B. = C.4x 12=6x D.4x+12=6x
9.如图，延长线段 AB 至 C，使 BC=2AB，延长线段 BA 至 D，使 AD=3AB，点 E 是线段 DB 的中点，点 F 是线段 AC 的中点，若 AB=6cm，则 EF 的长度为（ ）
A. 15cm B. 16cm C. 18cm D. 20cm
10.有一列数 {-1，-2，-3，-4}，将这列数的每个数求其相反数得到 {1，2，3，4}，再分别与 1 的和的倒数，得到 {,,,}，称 {,,,} 为一次操作，记为 {a1,a2,a3,a4}；第二次操作是将 {a1,a2,a3,a4} 再进行上述操作，得到 {a5,a6,a7,a8}；第三次将 {a5,a6,a7,a8} 重复上述操作，得到 {a9,a10,a11,a12}… 以此类推。下列说法中：①a5=2，a6=，a7=，a8=；②a2026= 2；③a1+a2+a3+…+a359+a360= 79正确的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。直接填写答案。
11.中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家。若向前走 8 步记作 + 8 步，则向后退 3 步可记作________步。
12.下面几个几何体的截面可能为圆的是________。（填写序号）
①圆柱 ②圆锥 ③棱柱
13.一副直角三角板如图所示放置，点 E 在 BC 的延长线上，BC∥DF，则∠CDE=________度。
14.关于 x 的一元一次方程3x m=4与一元一次方程1+2x=7有相同的解，则 m 的值为________。
15.将一张长方形的纸对折，如图 1 所示，对折 1 次后纸片上有 1 条折痕。再次对折，对折时折痕与上次的折痕保持平行，如图 2 所示，对折 2 次后纸片上有 3 条折痕。按照上述方法连续对折 10 次，则纸面上一共有________条折痕。
三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分 7 分）
如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的。
（1）这个几何体由________个小正方体组成；
（2）请按要求在方格内分别画出这个几何体从左面和上面看到的形状图。
17.（本小题满分 8 分）计算：（1）( 3)+(+13)+( 5) ( 5) （2） 12025+( 3)2÷ ∣ 2∣
18.（本小题满分 8 分）先化简，再求值：3(x2 3y) (3x2+y x)，其中∣x+1∣+(y 2)2=0。
19.（本小题满分 8 分）解方程：（1）3x 1=x+5 （2） =1
20.（本小题满分 6 分）如图，直线 AB，CD 交于点 O，OE⊥OD，OF 平分∠BOD。若∠BOF=25°，求∠AOE 的度数。
21.（本小题满分 9 分）阳光中学有一块长为 y m，宽为 10 m 的长方形空地，现在打算利用这块空地打造一个学生自主菜园。如图，空地有两边靠墙，在不靠墙的两边均需留出宽为 x m 的小路，余下的长方形部分作为学生自主菜园，种植各种瓜果蔬菜。
（1）学生自主菜园的长为________m，宽为________m；（用含 x，y 的代数式表示）
（2）现要给学生自主菜园周围围上护栏（靠墙的边不用围），请用含 x，y 的代数式表示护栏的总长度。若每米护栏的价格为 80 元，求当x=2.5，y=20时购买护栏所需的总费用。
22.（本小题满分 10 分）为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A.50≤x<60；B.60≤x<70；C.70≤x<80；D.80≤x<90；E.90≤x≤100。根据以上数据，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查随机抽取了________名学生，并补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，A 组所对应扇形的圆心角为________度；
（3）该校要对成绩在 E 组（90≤x≤100）的学生进行奖励，请估计该校 2000 名学生中获奖的学生人数。
23.（本小题满分 10 分）某水果店用 870 元从某水果产地购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲品种苹果重量比乙品种苹果多 20 千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：
（注：获利 = 售价 - 进价）
（1）该水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？
（2）该水果店将这些苹果全部售完后，将获利多少元？
24.（本小题满分 12 分）问题解决策略 —— 归纳
“低多边形风格” 是一种数字艺术设计风格。它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图）。
【数学问题】某数学兴趣小组受此启发提出了如下问题：一个 m 边形，内部有 n 个点，可把原多边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（分割方法：在多边形内取一定数量的点，连同多边形的顶点，逐步连接这些点，连线不相交，使多边形内部都变成三角形。）
【问题探究】（1）为了解决上面的问题，我们先从简单和具体的情形入手：
①当三角形内点的个数为 4 时，请补全表格中的图，并填空：a=________；
②变化规律是：三角形内的点每增加 1 个，小三角形增加________个；
③当三角形内点的个数为 n 时，分割得到的小三角形有________个；
【类比应用】（2）四边形有 4 个顶点，若内部有 1 个点，连线后可以把四边形分割成________个小三角形；四边形内部每增加 1 个点，分割得到的小三角形增加________个；
当四边形内点的个数为 n 时，分割得到________个小三角形；
【问题解决】（3）结论：m 边形内有 n 个点时，可以分割得________________个小三角形，请仿照（2）写出此结论的探索过程。
25.（本小题满分 12 分）光遇到镜面等许多物体的表面都会发生反射，如图 1，在反射现象中，过入射点 O 垂直于反射面 MN 的直线叫做法线 OC。入射光线 AO，反射光线 OB 和法线 OC 都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射光线与法线的夹角叫做入射角（∠AOC），反射光线与法线的夹角叫做反射角（∠BOC）；入射角等于反射角，这就是光的反射定律。请你利用反射定律解决以下问题：
（1）如图 2，入射光线 AO 经镜面 MN 反射后的光线与墙相交于点 B，若∠AOB=110°，则∠BON=________；
（2）如图 3，将支架平面镜 CD（可调节角度）放置在水平地面 MN 上，激光笔 AB 发出的光束 BE 经过镜面 CD 反射后与天花板形成的点记为 F，激光笔 AB 与水平天花板 PQ 所成的锐角为 30°，支架平面镜与地面的夹角∠DCM=α（0°≤α<75°）。
①若 α=20°，求反射光束 EF 与天花板所形成的角∠AFE 的度数；
②调节支架平面镜与地面的夹角 α 的角度，保证点 F 不与点 A 重合（CD 足够长）。请直接写出反射光束 EF 与天花板所形成的角∠AFE 的度数（用含 α 的式子表示）和 α 的取值范围。
答案
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1.-2 的相反数等于（ C ）
A. -2 B. C. 2 D.
2.“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞” 是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇飏如丝的细雨飘飞。诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（ A ）
A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 都不正确
3.2025 年 10 月 1 日，国庆假期第一天，天下第一泉 (济南趵突泉) 风景区接待游客超过 391 200 人次。将数字 391 200 用科学记数法表示应为（ C ）
A. 3912×102 B. 39.12×104 C. 3.912×105 D. 3.912×106
4.下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ A ）
A. 中央电视台春节联欢晚会的收视率
B. 手术前检查各项医疗器械是否准备妥当
C. 神舟二十一号载人飞船发射前对零部件的检查
D. 进入高铁站对旅客携带的物品进行安检
5.农民插秧时，为使插秧的秧苗更整齐，先在水田的对边各固定一根木桩，中间拉紧一条细线，然后沿着细线插秧，这里所运用的数学原理是（ B ）
A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 线段可以比较大小 D. 线段有两个端点
6.若 8xmy3与x2yn是同类项，则m n的值是（ D ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. -1
7.如图所示，小华借助直尺和三角板，根据 “一重合、二紧靠、三移动、四画线” 的步骤完成了 “过直线 AB 外一点 P 画直线 CD∥AB”，其中依据的数学原理是（ B ）
A. 内错角相等，两直线平行 B. 同位角相等，两直线平行
C. 两直线平行，同位角相等 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
8.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗，其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子。每人分 4 个梨，多 12 个梨；每人分 6 个梨，恰好分完。” 设有 x 人，则可列方程为（ D ）
A. = B. = C.4x 12=6x D.4x+12=6x
9.如图，延长线段 AB 至 C，使 BC=2AB，延长线段 BA 至 D，使 AD=3AB，点 E 是线段 DB 的中点，点 F 是线段 AC 的中点，若 AB=6cm，则 EF 的长度为（ A ）
A. 15cm B. 16cm C. 18cm D. 20cm
10.有一列数 {-1，-2，-3，-4}，将这列数的每个数求其相反数得到 {1，2，3，4}，再分别与 1 的和的倒数，得到 {,,,}，称 {,,,} 为一次操作，记为 {a1,a2,a3,a4}；第二次操作是将 {a1,a2,a3,a4} 再进行上述操作，得到 {a5,a6,a7,a8}；第三次将 {a5,a6,a7,a8} 重复上述操作，得到 {a9,a10,a11,a12}… 以此类推。下列说法中：①a5=2，a6=，a7=，a8=；②a2026= 2；③a1+a2+a3+…+a359+a360= 79正确的个数为（ D ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。直接填写答案。
11.中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家。若向前走 8 步记作 + 8 步，则向后退 3 步可记作____－3____步。
12.下面几个几何体的截面可能为圆的是___①②_____。（填写序号）
①圆柱 ②圆锥 ③棱柱
13.一副直角三角板如图所示放置，点 E 在 BC 的延长线上，BC∥DF，则∠CDE=____15°____度。
14.关于 x 的一元一次方程3x m=4与一元一次方程1+2x=7有相同的解，则 m 的值为____5____。
15.将一张长方形的纸对折，如图 1 所示，对折 1 次后纸片上有 1 条折痕。再次对折，对折时折痕与上次的折痕保持平行，如图 2 所示，对折 2 次后纸片上有 3 条折痕。按照上述方法连续对折 10 次，则纸面上一共有____1023____条折痕。
三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分 7 分）
如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的。
（1）这个几何体由________个小正方体组成；
（2）请按要求在方格内分别画出这个几何体从左面和上面看到的形状图。
（1）6
（2）
17.（本小题满分 8 分）计算：（1）( 3)+(+13)+( 5) ( 5) （2） 12025+( 3)2÷ ∣ 2∣
=10+0 =－1+9×2－2
=10 =15
18.（本小题满分 8 分）先化简，再求值：3(x2 3y) (3x2+y x)，其中∣x+1∣+(y 2)2=0。
解原式=3x2－9y 3x2－y+x
=－10y+x
∵∣x+1∣+(y 2)2=0
∴x=－1，y=2
将x=－1，y=2代入原式=－10×2+（－1）=－21
19.（本小题满分 8 分）解方程：（1）3x 1=x+5 （2） =1
解：3x－x=5+1 解：3x－3－5x－2=6
x=3 x=－
20.（本小题满分 6 分）如图，直线 AB，CD 交于点 O，OE⊥OD，OF 平分∠BOD。若∠BOF=25°，求∠AOE 的度数。
∵OF平分∠BOD，∠BOF=25
∴∠BOD=50
∴∠AOC=∠BOD=50
∵OE⊥OD
∴∠EOD=90
∴∠AOE=180 ∠AOC ∠EOD=40
21.（本小题满分 9 分）阳光中学有一块长为 y m，宽为 10 m 的长方形空地，现在打算利用这块空地打造一个学生自主菜园。如图，空地有两边靠墙，在不靠墙的两边均需留出宽为 x m 的小路，余下的长方形部分作为学生自主菜园，种植各种瓜果蔬菜。
（1）学生自主菜园的长为________m，宽为________m；（用含 x，y 的代数式表示）
（2）现要给学生自主菜园周围围上护栏（靠墙的边不用围），请用含 x，y 的代数式表示护栏的总长度。若每米护栏的价格为 80 元，求当x=2.5，y=20时购买护栏所需的总费用。
（1）y－x 10－x
（2）总长度为y－x+10－x=y－2x+10
将x=2.5，y=20代入（20－2×2.5+10）×80=25×80=2000元
22.（本小题满分 10 分）为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A.50≤x<60；B.60≤x<70；C.70≤x<80；D.80≤x<90；E.90≤x≤100。根据以上数据，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查随机抽取了________名学生，并补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，A 组所对应扇形的圆心角为________度；
（3）该校要对成绩在 E 组（90≤x≤100）的学生进行奖励，请估计该校 2000 名学生中获奖的学生人数。
（1）200
（2）86.4°
（3）2000××=96人
答：96人。
23.（本小题满分 10 分）某水果店用 870 元从某水果产地购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲品种苹果重量比乙品种苹果多 20 千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：
（注：获利 = 售价 - 进价）
（1）该水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？
（2）该水果店将这些苹果全部售完后，将获利多少元？
（1）设购进乙种苹果x千克，则甲种苹果(x+20)千克
6(x+20)+9x=870
解得x=50，
x+20=70千克
答：购进甲种 70 千克，乙种 50 千克
（2）获利：70×(10 6)+50×(15 9)=280+300=580（元）
24.（本小题满分 12 分）问题解决策略 —— 归纳
“低多边形风格” 是一种数字艺术设计风格。它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图）。
【数学问题】某数学兴趣小组受此启发提出了如下问题：一个 m 边形，内部有 n 个点，可把原多边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（分割方法：在多边形内取一定数量的点，连同多边形的顶点，逐步连接这些点，连线不相交，使多边形内部都变成三角形。）
【问题探究】（1）为了解决上面的问题，我们先从简单和具体的情形入手：
①当三角形内点的个数为 4 时，请补全表格中的图，并填空：a=________；
②变化规律是：三角形内的点每增加 1 个，小三角形增加________个；
③当三角形内点的个数为 n 时，分割得到的小三角形有________个；
【类比应用】（2）四边形有 4 个顶点，若内部有 1 个点，连线后可以把四边形分割成________个小三角形；四边形内部每增加 1 个点，分割得到的小三角形增加________个；
当四边形内点的个数为 n 时，分割得到________个小三角形；
【问题解决】（3）结论：m 边形内有 n 个点时，可以分割得________________个小三角形，请仿照（2）写出此结论的探索过程。
（1）① 9；② 2；③ 2n+1
（2）4；2；2n+2
（3）2n+m 2
探索过程：m 边形内有 1 个点时，分割成m个三角形；每增加 1 个点，增加 2 个三角形，故n个点时，为m+2(n 1)=2n+m 2
25.（本小题满分 12 分）光遇到镜面等许多物体的表面都会发生反射，如图 1，在反射现象中，过入射点 O 垂直于反射面 MN 的直线叫做法线 OC。入射光线 AO，反射光线 OB 和法线 OC 都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射光线与法线的夹角叫做入射角（∠AOC），反射光线与法线的夹角叫做反射角（∠BOC）；入射角等于反射角，这就是光的反射定律。请你利用反射定律解决以下问题：
（1）如图 2，入射光线 AO 经镜面 MN 反射后的光线与墙相交于点 B，若∠AOB=110°，则∠BON=________；
（2）如图 3，将支架平面镜 CD（可调节角度）放置在水平地面 MN 上，激光笔 AB 发出的光束 BE 经过镜面 CD 反射后与天花板形成的点记为 F，激光笔 AB 与水平天花板 PQ 所成的锐角为 30°，支架平面镜与地面的夹角∠DCM=α（0°≤α<75°）。
①若 α=20°，求反射光束 EF 与天花板所形成的角∠AFE 的度数；
②调节支架平面镜与地面的夹角 α 的角度，保证点 F 不与点 A 重合（CD 足够长）。请直接写出反射光束 EF 与天花板所形成的角∠AFE 的度数（用含 α 的式子表示）和 α 的取值范围。
（1）解：∵反射角 r 等于入射角 i
∴∠AOM =∠BON ，
∵∠AOM+∠BON +∠AOB =180°,且∠AOB =110°
解得∠BON =35°
在直角三角形BON 中， ∠OBN =90°-∠BON
代入数据得∠OBN =55°;
（2）①解：过点 E 作 EG⊥CD 与点 G ，已知∠DCM = a =20°，则入射角∠BEG 与∠DCM 互余
∴∠BEG =90°-20°=70°
根据光的反射定律，反射角∠GEF =∠BEG =70°
∵天花板与地面平行，激光笔发出的光束与天花板所夹锐角为30°
∴反射光束 EF 与天花板所形成的角∠AFE =70°-30°=40°;
②过点 E 作 EG⊥CD 于点 G ，入射角∠BEG =90°- a ，根据光的反射定律，反射角∠GEF =∠BEG =90°-α,
∴反射光束 EF 与天花板所形成的角∠AFE =(90°-α)-30°=60°-α