黑龙江省哈尔滨市2024年中考数学真题试卷
1．（2024·哈尔滨）的相反数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数为.
故答案为：
【分析】根据相反数的意义即可得出答案。
2．（2024·哈尔滨）剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A.图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不会题意；
D.图形既是轴对称图形又是中心对称图形形，故此选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】轴对称图形是指图形沿着一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合；中心对称图形是指图形绕着某一点旋转180度后，能够与原图形完全重合.
3．（2024·哈尔滨） 2020年11月10日，中国万米载人潜水器“奋斗者号”在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达10909m．将10909用科学记数法表示为（ ）
A．1.0909×104 B．10.909×103
C．109.09×102 D．0.10909×105
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 10909 =1.0909×104.
故答案为：A。
【分析】根据绝对值大于10的数的科学记数法的规范写法，正确表示出来即可。
4．（2024·哈尔滨）三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的左视图是 ：
故答案为：D。
【分析】根据左视图的定义，可得出答案。
5．（2024·哈尔滨）方程的解是（ ）
A．x＝0 B．x＝﹣5 C．x＝7 D．x＝1
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
去分母，得：x+2=3（x-4），
去括号，得：x+2=3x-12，
移项，得：x-3x=-2-12，
合并同类项，得：-2x=-14，
系数化为1，得：x=7.
经检验，x=7是分式方程的解。
故答案为：C
【分析】根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得出方程的解，即可得出答案。
6．（2024·哈尔滨）二次函数y＝2（x+1）2+3的最小值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵2＞0，
∴y＝2（x+1）2+3的最小值是3.
故答案为：D。
【分析】由二次函数的顶点式即可得出函数的最小值。
7．（2024·哈尔滨）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要棋子（ ）
A．16枚 B．20枚 C．24枚 D．25枚
【答案】B
【知识点】有理数的乘法法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1个图形需要枚棋子，
第2个图形需要枚棋子，
第3个图形需要枚棋子，
……，
以此类推，可知第5个图形需要枚棋子，
故选：B．
【分析】求出前3个图形所需棋子的个数，总结规律，结合有理数的乘法即可求出答案.
8．（2024·哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE：BE＝1：2，DF＝3，则FC的长为（ ）
A．6 B．3 C．5 D．9
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；平行公理的推论
【解析】【解答】解：∵ AD∥BC， EF∥AD ，
∴AD∥EF∥BC，
∴，
∵ AE：BE＝1：2，
∴，
∵ DF＝3，
∴FC=2DF=6.
故答案为：A.
【分析】首先根据AD∥BC， EF∥AD ，可得出AD∥EF∥BC，进而可得出，进一步即可得出FC=2DF=6.
9．（2024·哈尔滨）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D连接AD，若∠B＝50°，则∠DAC＝（ ）
A．20° B．50° C．30° D．80°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵ AB＝AC， ∠B＝50°，
∴∠C=∠B=50°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠B=180°-50°-50°=80°，
由作图知：MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=50°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=80°-50°=30°。
故答案为：C
【分析】首先根据AB=AC，可得出∠C=∠B=50°，进而根据三角形内角和可得出∠BAC=80°，再根据尺规作图，得出MN是线段AB的垂直平分线，即可得出AD=BD，得出∠BAD=∠B=50°，进一步即可得出 ∠DAC =30°。
10．（2024·哈尔滨）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5min内只进水不出水，在随后的10min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，当x＝9min时，y＝（ ）
A．36L B．38L C．40L D．42L
【答案】B
【知识点】函数值；分段函数；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知：当0≤x≤5时，y与x是正比例函数；函数当5≤x≤15时，y与x是一次函数，且经过点（5，30）和（15，50）
设该一次函数为：y=kx+b，
∴，解得：
∴y=
∴当x=9时，y=2×9+20=38.
故答案为：B
【分析】首先根据函数图象获取信息，然后利用待定系数法可得出y与x之间的函数关系式，进而根据x=9，可求得所对应的函数值即可。
11．（2024·哈尔滨）在函数中，自变量的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵ 函数有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据分母不等于零，列出不等式求解，求得函数自变量的取值范围．
12．（2024·哈尔滨）把多项式2a2﹣18分解因式的结果是 ．
【答案】2（a+3）（a﹣3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： 2a2﹣18 =2（a2-9）=2（a+3）（a-3）。
故答案为：2（a+3）（a-3）
【分析】首先提取公因式2，进而根据平方差公式，即可得出因式分解的结果。
13．（2024·哈尔滨）如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OA，OB，若∠OBA＝40°，则∠AOB＝ 度．
【答案】50
【知识点】切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ AB是⊙O的切线，点A为切点，
∴∠OAB=90°，
∵ ∠OBA＝40°，
∴ ∠AOB＝ 90°-40°=50°。
故答案为：50
【分析】首先根据切线的性质得出∠OAB=90°，进而根据直角三角形两锐角互余，即可得出答案。
14．（2024·哈尔滨）一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球，1个黑球，这些小球除颜色外无其它差别．小峰同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：P红球=
故答案为：
【分析】根据概率计算公式即可得出答案。
15．（2024·哈尔滨）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U＝ V．
【答案】36
【知识点】反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵ 电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系 ，
∴可设U=
又由图象知，反比例函数的图象经过点（9，4），
∴4=，解得：k=36，
∴U=
故答案为：36.
【分析】根据 电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系 ，可设U=，进而根据点（9，4），利用待定系数法即可得出U=，即可得出答案。
16．（2024·哈尔滨）不等式组的解集是 ．
【答案】1＜x＜3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①的解集为：x＞1，
解不等式②，得：x＜3，
∴该不等式组的解集为：1＜x＜3.
故答案为：1＜x＜3.
【分析】首先分别求得两个不等式的解集，进而再求它们的公共部分即可。
17．（2024·哈尔滨）若 90°圆心角所对的弧长是3πcm，则此弧所在圆的半径是 .
【答案】6 cm
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵
∴(cm)
故答案为：6 cm .
【分析】根据弧长公式求解即可.
18．（2024·哈尔滨）定义新运算：a※b=ab+b2，则（2m）※m的运算结果是 .
【答案】3m2
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=2mm+m2
=3m2.
故答案为：3m2.
【分析】根据题意列出算式，再计算即可.
19．（2024·哈尔滨） △ABC是直角三角形，AB，∠ABC＝30°，则AC的长为 ．
【答案】或2
【知识点】勾股定理；分类讨论
【解析】【解答】解：可分为两种情况：
①当AB为斜边时：
∵ ∠ABC＝30°，
∴AC=；
②当BC为斜边时： ∠ABC＝30°，
∴BC=2AC，
根据勾股定理，可得出：(2AC)2-AC2=AB2，
∴3AC2=，解得：AC=2.
综上可得出AC的长为：或2.
故答案为：或2.
【分析】可分为两种情况：①当AB为斜边时，根据含30°锐角的直角三角形的性质可得出AC=；②当BC为斜边时，根据勾股定理可得出AC=2，综合以上计算结果，即可得出答案。
20．（2024·哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，∠CDG∠AOB，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若AO＝6EF，DE，则DF的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在DF上截取DH=HE，
∴∠FHE=2∠FDE，
设FE=x，HD=y
∵DE=2
∴DF=
在RtHEF中，y2=(-y)2+x2，
∴y=
∴sin∠FHE=
∵∠AOB=4∠FDE，
∴∠COD=4∠FDE，
∵O是BD的中点，E是DG的中点，
∴OE是△BDG的中位线，
∴F是CD的中点，
∵OC =OD，
∴∠DOF=2∠FDE=∠FHE，
∴
∴x=1，
∴DF=，
故答案为：.
【分析】在DF上截取DH=HE，设FE=x，HD=y，根据勾股定理，可得出DF=，进而根据勾股定理，得出y2=(-y)2+x2，可得出y=，进而根据锐角三角函数的定义，得出，解得x=1，进而得出DF=。
21．（2024·哈尔滨）先化简，再求代数式的值，其中x＝2cos30°﹣tan45°．
【答案】解：由题意，原式
又x＝2cos30°﹣tan45°
＝21
1，
∴原式．
【知识点】二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】首先根据分式的混合运算法则进行化简，进而根据特殊锐角的三角函数值，求得x1，进而代入求值即可。
22．（2024·哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将线段AB先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段CD（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），连接AD，BC，画出线段CD，AD，BC；
（2）在方格纸中，画出以线段AD为斜边的等腰直角三角形AED（点E在小正方形的顶点上），且∠BAE为钝角，AD，BC交于点O，连接OE，画出线段OE，直接写出的值．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
得到．
∵每个小正方形的边长均为1个单位长度，
∴等腰直角三角形EAD中，
AD，
∵O是平行四边形ABDC对角线的交点，
∴DO，
在Rt△EOD中，ED，
∴EO，
∴．
【知识点】作图﹣平移；等腰直角三角形；线段的比；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据平移得方向和单位长度，作出点A和点B的对应点C和点D，然后分别连接CD，AD，BC即可；
（2）结合网格，根据勾股定理求得AD，ED，进而DO，再根据勾股定理得出EO，进而即可得出．
23．（2024·哈尔滨）威杰中学开展以“我最喜欢的研学地点”为主题的调查活动，围绕“在科技馆、规划馆、博物馆、航天馆四个研学地点中，你最喜欢哪一个地点？（必选且只选一个地点）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢航天馆的学生人数占所调查人数的20%，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若威杰中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢科技馆的学生共有多少名．
【答案】（1）解：（1）8÷20%＝40（名），
答：在这次调查中，一共抽取了40名学生
（2）解：喜欢规划馆的人数为：40﹣14﹣10﹣8＝8（名），补全条形统计图如下：
（3）800280（名），
答：估计该中学最喜欢科技馆的学生共有280名．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据喜欢航大馆的人数及它占调查人数的比例，即可得出这次调查人数为 8÷20%＝40（名）；
（2）用（1）的结果减去其它各项人数，即可得出喜欢规划馆的人数，再补全条形统计图即可；
（3）首先用样本中喜欢科技馆人数所占的比例估计总体所占的比例，进而用800乘这个比例，即可得出答案。
24．（2024·哈尔滨）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，OA＝OC，AB＝BC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，AB＝AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若∠FEC＝75°，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四条与线段CE相等的线段（线段CE除外）．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△ADO和△CBO中，
，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：与线段CE相等的线段有：AE，DE，AG，CF.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】（2）解：与线段CE相等的线段有：AE，DE，AG，CF．理由：
由（1）知：四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，
∴△ABC和△ADC为等边三角形，
∵CH⊥AD，
∴AH＝DH，
即CH为AD的垂直平分线，
∴AE＝DE．
同理：CE＝AE，
∴AE＝DE＝EC．
∵△ADC为等边三角形，CH⊥AD，
∴∠ACH∠ACD＝30°，
∵∠FEC＝75°，
∴∠EFC＝180°﹣∠ACH＝∠FEC＝75°，
∴∠EFC＝∠FEC，
∴CF＝CE．
∵△ABC和△ADC为等边三角形，
∴∠BAC＝CAD＝60°，
∵CE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ECA＝120，
∴∠AEG＝∠AEC﹣∠FEC＝45°，
∴△AGE为等腰直角三角形，
AE＝AG，
∴AG＝EC．
【分析】（1）首先根据AAS证得△ADO≌△CBO，进而得出OD＝OB，进而根据对角线互相平分，可得出四边形ABCD是平行四边形，再结合AB＝BC，即可得出四边形ABCD是菱形；
（2）与线段CE相等的线段有：AE，DE，AG，CF．根据菱形的性质，结合AB＝AC，可得出△ABC和△ADC为等边三角形，进而得出CH为AD的垂直平分线，可得出AE＝DE．同理CE＝AE，再通过计算可得出∠EFC＝∠FEC，可得出CF＝CE．再证明△AGE为等腰直角三角形，得出AE＝AG即可。
25．（2024·哈尔滨）春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米．
（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米；
（2）春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？
【答案】（1）解：设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳y米，
由题意得：，
解得：，
答：编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米
（2）解：设该中学编织m个大号中国结，则编织（50﹣m）个小号中国结，
由题意得：4m+3（50﹣m）≤165，
解得：m≤15，
答：该中学最多编织15个大号中国结．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳y米，根据 编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米．可得出，解方程组求解即可；
（2）设该中学编织m个大号中国结，则编织（50﹣m）个小号中国结，根据 两种中国结所用绳长不超过165米， 可得出4m+3（50﹣m）≤165，解不等式可得m≤15，即可得出该中学最多编织15个大号中国结．
26．（2024·哈尔滨）在⊙O中弦AB，CD相交于点E，AE＝CE，连接AC，BD．
（1）如图1，求证：AC∥BD；
（2）如图2，连接EO并延长交BD于点F，求证：∠BEF＝∠DEF；
（3）如图3，在（2）的条件下，作OM⊥CD于点M，连接AD，点G在BF上，连接EG，点H在弧AD上，连接BH交AD于点T，交EG于点Q，连接TE，若DE﹣CMOE，，∠DGE＝2∠BAD，FG＝2，AC＝8，求TQ的长．
【答案】（1）证明：∵AE＝CE，
∴∠A＝∠C，
∵，
∴∠C＝∠B，
∴∠A＝∠B，
∴AC∥BD
（2）证明：如图1，
连接OD，OB，
由（1）知，
AC∥BD，∠C＝∠EBD，
∴∠EDB＝∠C＝∠EBD，
∴DE＝BE，
∵OE＝OE，
∴△DOE≌△BOE（SSS），
∴∠BEF＝∠DEF
（3）解：如图2，
作AD的垂直平分线，交AB于W，连接AH，作BV⊥CD于V，作QS⊥BD于S，
∴AW＝DW，
∴∠BAD＝∠ADW，
∴∠BWD＝∠BAD+∠ADW＝2∠BAD，
∵∠DGE＝2∠BAD，
∴∠DWB＝∠DGE，
∵OM⊥CD，
∴DM＝CM，
∵DE﹣CMOE，
∴DE﹣CM＝DE﹣DM＝EMOE，
∴∠DEF＝30°，
由（2）知，
∠BEF＝∠DEF＝30°，DE＝BE，
∴∠DEB＝60°，
∴△BED是等边三角形，
∴DE＝BD，∠BDE＝∠EBD＝60°，
∴△BDW≌△BEG（AAS），
∴DW＝EG，BW＝DG，
∴EW＝BG，
同理可得，
△ACE是等边三角形，
∴AE＝AC＝8，
设EW＝BG＝a，则AW＝a+8，BF＝BG+FG＝a+2，
∴BE＝BD＝2BF＝2a+4，
∴EFBE（a+2），
∴DW2＝EG2＝EF2+FG2＝3（a+2）2+4，
由DW＝AW得，
3（a+2）2+4＝（a+8）2，
∴a1＝6，a2＝﹣4（舍去），
∴BD＝2a+4＝16，
∵，
∴∠ABH＝∠ADC，∠ADC＝∠ADH，
∴点E、T、D、B共圆，
∴∠BTD＝∠DEB＝60°，∠BTE＝∠BDE＝60°，∠AET＝∠ADB，∠ATE＝∠EBD＝60°，
∵，
∴∠ADB＝∠AHB，
∴∠AHB＝∠AET，
∵∠ATH＝∠BTD＝60°，
∴∠ATH＝∠ATE，
∵AT＝AT，
∴△AHT≌△AET（AAS），
∴∠HAT＝∠EAT，
∵AD＝AD，
∴△ADH≌△ADE（ASA），
∴DH＝DE＝BD＝16，
在Rt△BDV中，BD＝16，∠BDE＝60°，
∴DV＝16 cos60°＝8，BV＝16 sin60°＝8，
∴CV＝CD﹣DV＝24﹣8＝16，
∴tan∠BCD，
∴sin∠BCD，
cos∠BCD，
在Rt△EFG中，
tan∠EGF，
设QS＝4m，SG＝m，则BS＝BG+SG＝6+m，QG，
在Rt△QBS中，
tan∠DBH＝tan∠BHD＝tan∠BCD，
∴，
∴m，
∴QG＝7m＝6，
∴BG＝QG＝6，
∴∠DBH＝∠BQG，
∵∠EQT＝∠BQG，∠DBH＝∠BHD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠EQT，
∵∠ATE＝∠BTE＝60°，ET＝ET，
∴△ATE≌△QTE（ASA），
∴AT＝QT，
在Rt△AEN中，
EN＝AE sin∠BAD＝8，
AN＝AE cos∠BAD＝8，
在Rt△ETN中，EN，∠TEN＝90°﹣∠ATE＝30°，
∴NT，
∴QT＝AT＝AN+NT．
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得出∠A＝∠C，再根据同弧所对的圆周角相等，可得出∠C＝∠B，进而得出∠A＝∠B，再根据平行线的判定，即可得出结论；
（2）首先根据SSS证得△DOE≌△BOE，再根据全等三角形的性质即可得出∠BEF＝∠DEF；
（3）作AD的垂直平分线，交AB于W，连接AH，作BV⊥CD于V，作QS⊥BD于S，结合三角形外角的性质可得出∠DWB＝∠DGE，再根据垂径定理可得出DM＝CM，再根据DE﹣CMOE，可得出DE﹣CM＝DE﹣DM＝EMOE，即可得出∠DEF＝30°，再通过证明△BED是等边三角形，△ACE是等边三角形，可得出EW＝BG，AE＝AC＝8，设EW＝BG＝a，则AW＝a+8，BF＝BG+FG＝a+2，进而根据勾股定理可得出3（a+2）2+4＝（a+8）2，解得a1＝6，a2＝﹣4（舍去），进而BD＝2a+4＝16，再根据∠ABH＝∠ADC，∠ADC＝∠ADH，证得点E、T、D、B共圆，进而根据等弧，等角之间的关系，可得出△AHT≌△AET，△ADH≌△ADE，可得出DH＝DE＝BD＝16，再通过解直角三角形可得出AN＝AE cos∠BAD＝8，NT，进而得出QT＝AT＝AN+NT．
27．（2024·哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yx2+bx+c经过点O（0，0），与x轴正半轴交于点A，点A坐标（3，0）．
（1）求b．c的值；
（2）如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接PA，PO，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，t＝﹣2，点D在OA上，DF⊥OA，交PA于点C，CF＝CD，点E在第二象限，连接EC，EC⊥CD，连接ED，过点E作ED的垂线，交过点F且平行AC的直线于点G，连接DG交AC于点M，过点A作x轴的垂线，交EC的延长线于点B，交DG的延长线于点R，CMRB，连接RE并延长交抛物线于点N，RA＝RN，点T在△ADM内，连接AT，CT，∠ATC＝135°，DH⊥AT，交AT的延长线于点H，HT＝2DH，求直线CT的解析式．
【答案】（1）解：（1）将点O（0，0）和点A（3，0）代入抛物线yx2+bx+c得，
，
∴，
∴
（2）解：由(1)知：yx2x
∴P的纵坐标为：
∵A（3，0）
∴OA=3，
∴SyP
（3）解：如图1，
作PJ⊥x轴于J，连接BF，连接BD，作MW⊥BE于W，作GV⊥BE于，作NS⊥x轴于S，延长BE，交SN于Q，
则∠Q＝∠NSD＝∠MWC＝∠MWB＝∠RBC＝90°，
把t＝﹣2代入y得，y，
∵AJ＝3﹣（﹣2）＝5，
∴AJ＝PJ，
∴∠PAJ＝45°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠PAJ＝45°，
∴∠PAJ＝∠ACD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴可得四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝∠DBC＝45°，∠FCB＝∠BCD＝90°，
∵CF＝CD＝BC，
∴∠CFB＝∠CBF＝45°，
∵FG∥AC，
∴∠CFG＝∠ACD＝45°，
∴点F、G、B共线，
∵∠FBD＝∠FBC+∠DBC＝90°，∠GED＝90°，
∴∠FBD+∠DEG＝180°，
∴点G、E、D、B共圆，
∴∠EGD＝∠DBC＝45°，∠EDG＝∠FBC＝45°，
∴∠EGD＝∠EDG，
∴EG＝ED，
∵∠EVG＝∠DCE＝90°，
∴∠EGV+∠VEG＝90°，
∵∠DEG＝90°，
∴∠DCE+∠VEG＝90°，
∴∠DEC＝∠EGV，
∴△EGV≌△DEG（AAS），
∴EV＝CD，CE＝GV，
设CMx，WI＝a，
∴∠ACB＝45°，CMRB，
∴WM＝CW＝x，RB＝3x，
∵MW∥BR，
∴△MWI∽△RBI，
∴，
∴BI＝3WI＝3a，
∴AB＝BC＝CW+WI+BI＝x+4a，
∵BC∥AD，
∴△RBI∽△RAD，
∴，
∴，
∴x＝2a，
∴BC＝AB＝x+4a＝6a，RB＝3x＝6a，
∴BFBC＝6a，DF＝2CD＝12a，
∵DF∥RB，
∴△GFD∽△GBR，
∴，
∴BGBF＝2，
∴GV＝BVBG＝2a，
∴CE＝GV＝2a，
∵BE＝BC+CE＝6a+2a＝8a，
∴ER，
∵RN＝RA＝12a，
∴EN＝RN﹣RE＝2a，
∴CE＝EN＝2a，
作IK⊥RN于K，
由S△RBE＝S△RBI+S△RIE得，
∴，
∴IK＝3a，
∴∠NRD＝∠ARD，
∵RD＝RD，
∴△ARD≌△NRD（SAS），
∴∠RND＝∠RAD＝90°，
∴∠RND＝∠ECD＝90°，
∵DE＝DE，
∴Rt△DCE≌Rt△DNE（HL），
∴DN＝CD＝6a，
∵∠Q＝∠NSO＝90°，
∴∠QEN+∠QNE＝90°，
∵∠EDN＝90°，
∴∠QNE+∠DNS＝90°，
∴∠DNS＝∠QEN，
∴△EQN∽△NEO，
∴，
∴NS＝3EQ，QNDS，
设N（x，y），
∵E（3﹣8a，6a），D（3﹣6a，0），
∴EQ＝3﹣8a﹣x，DS＝3﹣6a﹣x，
∴NS＝3（3﹣8a﹣x），NQ（3﹣6a﹣x），
∵NQ+NS＝QS＝CD＝6a，
∴3（3﹣8a﹣x）（3﹣6a﹣x）＝6a，
∴x＝3，
∴y＝NS＝3（3﹣8a﹣x）a，
∴a，
∴a，
∴6a，
∴C（，），
如图2，
延长DH，交CT于X，作DL⊥CT于L，交AH于Z，设CT交x轴于Y，
∵∠DHT＝90°，∠ATC＝135°，
∴∠XHT＝90°，∠XTH＝45°，
∴∠TXH＝45°，
∴∠XDL＝90°﹣∠TXH＝45°，
∴∠HZD＝90°﹣∠XDL＝45°，
∴DH＝HZ，
设HZ＝DH＝m，则XH＝DH＝2m，DZDH，
∵∠XDL＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠CDX+∠ADZ＝45°，
∵∠CDX+∠DCX＝∠DXL＝45°，
∴∠ADZ＝∠DCX，
∵∠DXC＝∠AZD＝135°，AD＝CD，
∴△ADZ≌△CDX（AAS），
∴CX＝DZ，
∵DX＝DH+XH＝m+2m＝3m，
∴DL＝XL，
∴CL＝CX+XL，
∴tan∠DCL，
∴DY，
∴Y（2，0），
设直线CT的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的判定与性质；相似三角形的判定；二次函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可得出 b．c的值；
（2）根据（1）的结论，可得出yx2x，进而得出点P的纵坐标，再根据三角形面积计算公式，可得出SyP；
（3）作PJ⊥x轴于J，连接BF，连接BD，作MW⊥BE于W，作GV⊥BE于，作NS⊥x轴于S，延长BE，交SN于Q，则∠Q＝∠NSD＝∠MWC＝∠MWB＝∠RBC＝90°，通过计算可得出△ACD是等腰直角三角形，进而得出可得四边形ABCD是正方形，再通过证明点G、E、D、B共圆，可得出∠EGD＝∠EDG，进而根据AAS可得出△EGV≌△DEG，得出EV＝CD，CE＝GV，设CMx，WI＝a，根据△MWI∽△RBI，可得出，即，解得x＝2a，进而根据△GFD∽△GBR，可得出，得出CE＝GV＝2a，进而 BE＝BC+CE＝6a+2a＝8a， 再根据勾股定理得出ER，作IK⊥RN于K，由S△RBE＝S△RBI+S△RIE得，IK＝3a，再通过△ARD≌△NRD，Rt△DCE≌Rt△DNE，△EQN∽△NEO，k可得出，克的而出NS＝3EQ，QNDS，进而根据a，可得出a，即可得出C（，），再求得Y（2，0），利用待定系数法，即可得出 直线CT的解析式为：y．
1 / 1黑龙江省哈尔滨市2024年中考数学真题试卷
1．（2024·哈尔滨）的相反数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·哈尔滨）剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·哈尔滨） 2020年11月10日，中国万米载人潜水器“奋斗者号”在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达10909m．将10909用科学记数法表示为（ ）
A．1.0909×104 B．10.909×103
C．109.09×102 D．0.10909×105
4．（2024·哈尔滨）三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·哈尔滨）方程的解是（ ）
A．x＝0 B．x＝﹣5 C．x＝7 D．x＝1
6．（2024·哈尔滨）二次函数y＝2（x+1）2+3的最小值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
7．（2024·哈尔滨）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要棋子（ ）
A．16枚 B．20枚 C．24枚 D．25枚
8．（2024·哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE：BE＝1：2，DF＝3，则FC的长为（ ）
A．6 B．3 C．5 D．9
9．（2024·哈尔滨）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D连接AD，若∠B＝50°，则∠DAC＝（ ）
A．20° B．50° C．30° D．80°
10．（2024·哈尔滨）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5min内只进水不出水，在随后的10min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，当x＝9min时，y＝（ ）
A．36L B．38L C．40L D．42L
11．（2024·哈尔滨）在函数中，自变量的取值范围是 ．
12．（2024·哈尔滨）把多项式2a2﹣18分解因式的结果是 ．
13．（2024·哈尔滨）如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OA，OB，若∠OBA＝40°，则∠AOB＝ 度．
14．（2024·哈尔滨）一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球，1个黑球，这些小球除颜色外无其它差别．小峰同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是 ．
15．（2024·哈尔滨）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U＝ V．
16．（2024·哈尔滨）不等式组的解集是 ．
17．（2024·哈尔滨）若 90°圆心角所对的弧长是3πcm，则此弧所在圆的半径是 .
18．（2024·哈尔滨）定义新运算：a※b=ab+b2，则（2m）※m的运算结果是 .
19．（2024·哈尔滨） △ABC是直角三角形，AB，∠ABC＝30°，则AC的长为 ．
20．（2024·哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，∠CDG∠AOB，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若AO＝6EF，DE，则DF的长为 ．
21．（2024·哈尔滨）先化简，再求代数式的值，其中x＝2cos30°﹣tan45°．
22．（2024·哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将线段AB先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段CD（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），连接AD，BC，画出线段CD，AD，BC；
（2）在方格纸中，画出以线段AD为斜边的等腰直角三角形AED（点E在小正方形的顶点上），且∠BAE为钝角，AD，BC交于点O，连接OE，画出线段OE，直接写出的值．
23．（2024·哈尔滨）威杰中学开展以“我最喜欢的研学地点”为主题的调查活动，围绕“在科技馆、规划馆、博物馆、航天馆四个研学地点中，你最喜欢哪一个地点？（必选且只选一个地点）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢航天馆的学生人数占所调查人数的20%，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若威杰中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢科技馆的学生共有多少名．
24．（2024·哈尔滨）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，OA＝OC，AB＝BC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，AB＝AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若∠FEC＝75°，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四条与线段CE相等的线段（线段CE除外）．
25．（2024·哈尔滨）春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米．
（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米；
（2）春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？
26．（2024·哈尔滨）在⊙O中弦AB，CD相交于点E，AE＝CE，连接AC，BD．
（1）如图1，求证：AC∥BD；
（2）如图2，连接EO并延长交BD于点F，求证：∠BEF＝∠DEF；
（3）如图3，在（2）的条件下，作OM⊥CD于点M，连接AD，点G在BF上，连接EG，点H在弧AD上，连接BH交AD于点T，交EG于点Q，连接TE，若DE﹣CMOE，，∠DGE＝2∠BAD，FG＝2，AC＝8，求TQ的长．
27．（2024·哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yx2+bx+c经过点O（0，0），与x轴正半轴交于点A，点A坐标（3，0）．
（1）求b．c的值；
（2）如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接PA，PO，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，t＝﹣2，点D在OA上，DF⊥OA，交PA于点C，CF＝CD，点E在第二象限，连接EC，EC⊥CD，连接ED，过点E作ED的垂线，交过点F且平行AC的直线于点G，连接DG交AC于点M，过点A作x轴的垂线，交EC的延长线于点B，交DG的延长线于点R，CMRB，连接RE并延长交抛物线于点N，RA＝RN，点T在△ADM内，连接AT，CT，∠ATC＝135°，DH⊥AT，交AT的延长线于点H，HT＝2DH，求直线CT的解析式．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数为.
故答案为：
【分析】根据相反数的意义即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A.图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不会题意；
D.图形既是轴对称图形又是中心对称图形形，故此选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】轴对称图形是指图形沿着一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合；中心对称图形是指图形绕着某一点旋转180度后，能够与原图形完全重合.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 10909 =1.0909×104.
故答案为：A。
【分析】根据绝对值大于10的数的科学记数法的规范写法，正确表示出来即可。
4．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的左视图是 ：
故答案为：D。
【分析】根据左视图的定义，可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
去分母，得：x+2=3（x-4），
去括号，得：x+2=3x-12，
移项，得：x-3x=-2-12，
合并同类项，得：-2x=-14，
系数化为1，得：x=7.
经检验，x=7是分式方程的解。
故答案为：C
【分析】根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得出方程的解，即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵2＞0，
∴y＝2（x+1）2+3的最小值是3.
故答案为：D。
【分析】由二次函数的顶点式即可得出函数的最小值。
7．【答案】B
【知识点】有理数的乘法法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1个图形需要枚棋子，
第2个图形需要枚棋子，
第3个图形需要枚棋子，
……，
以此类推，可知第5个图形需要枚棋子，
故选：B．
【分析】求出前3个图形所需棋子的个数，总结规律，结合有理数的乘法即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；平行公理的推论
【解析】【解答】解：∵ AD∥BC， EF∥AD ，
∴AD∥EF∥BC，
∴，
∵ AE：BE＝1：2，
∴，
∵ DF＝3，
∴FC=2DF=6.
故答案为：A.
【分析】首先根据AD∥BC， EF∥AD ，可得出AD∥EF∥BC，进而可得出，进一步即可得出FC=2DF=6.
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵ AB＝AC， ∠B＝50°，
∴∠C=∠B=50°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠B=180°-50°-50°=80°，
由作图知：MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=50°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=80°-50°=30°。
故答案为：C
【分析】首先根据AB=AC，可得出∠C=∠B=50°，进而根据三角形内角和可得出∠BAC=80°，再根据尺规作图，得出MN是线段AB的垂直平分线，即可得出AD=BD，得出∠BAD=∠B=50°，进一步即可得出 ∠DAC =30°。
10．【答案】B
【知识点】函数值；分段函数；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知：当0≤x≤5时，y与x是正比例函数；函数当5≤x≤15时，y与x是一次函数，且经过点（5，30）和（15，50）
设该一次函数为：y=kx+b，
∴，解得：
∴y=
∴当x=9时，y=2×9+20=38.
故答案为：B
【分析】首先根据函数图象获取信息，然后利用待定系数法可得出y与x之间的函数关系式，进而根据x=9，可求得所对应的函数值即可。
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵ 函数有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据分母不等于零，列出不等式求解，求得函数自变量的取值范围．
12．【答案】2（a+3）（a﹣3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： 2a2﹣18 =2（a2-9）=2（a+3）（a-3）。
故答案为：2（a+3）（a-3）
【分析】首先提取公因式2，进而根据平方差公式，即可得出因式分解的结果。
13．【答案】50
【知识点】切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ AB是⊙O的切线，点A为切点，
∴∠OAB=90°，
∵ ∠OBA＝40°，
∴ ∠AOB＝ 90°-40°=50°。
故答案为：50
【分析】首先根据切线的性质得出∠OAB=90°，进而根据直角三角形两锐角互余，即可得出答案。
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：P红球=
故答案为：
【分析】根据概率计算公式即可得出答案。
15．【答案】36
【知识点】反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵ 电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系 ，
∴可设U=
又由图象知，反比例函数的图象经过点（9，4），
∴4=，解得：k=36，
∴U=
故答案为：36.
【分析】根据 电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系 ，可设U=，进而根据点（9，4），利用待定系数法即可得出U=，即可得出答案。
16．【答案】1＜x＜3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①的解集为：x＞1，
解不等式②，得：x＜3，
∴该不等式组的解集为：1＜x＜3.
故答案为：1＜x＜3.
【分析】首先分别求得两个不等式的解集，进而再求它们的公共部分即可。
17．【答案】6 cm
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵
∴(cm)
故答案为：6 cm .
【分析】根据弧长公式求解即可.
18．【答案】3m2
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=2mm+m2
=3m2.
故答案为：3m2.
【分析】根据题意列出算式，再计算即可.
19．【答案】或2
【知识点】勾股定理；分类讨论
【解析】【解答】解：可分为两种情况：
①当AB为斜边时：
∵ ∠ABC＝30°，
∴AC=；
②当BC为斜边时： ∠ABC＝30°，
∴BC=2AC，
根据勾股定理，可得出：(2AC)2-AC2=AB2，
∴3AC2=，解得：AC=2.
综上可得出AC的长为：或2.
故答案为：或2.
【分析】可分为两种情况：①当AB为斜边时，根据含30°锐角的直角三角形的性质可得出AC=；②当BC为斜边时，根据勾股定理可得出AC=2，综合以上计算结果，即可得出答案。
20．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在DF上截取DH=HE，
∴∠FHE=2∠FDE，
设FE=x，HD=y
∵DE=2
∴DF=
在RtHEF中，y2=(-y)2+x2，
∴y=
∴sin∠FHE=
∵∠AOB=4∠FDE，
∴∠COD=4∠FDE，
∵O是BD的中点，E是DG的中点，
∴OE是△BDG的中位线，
∴F是CD的中点，
∵OC =OD，
∴∠DOF=2∠FDE=∠FHE，
∴
∴x=1，
∴DF=，
故答案为：.
【分析】在DF上截取DH=HE，设FE=x，HD=y，根据勾股定理，可得出DF=，进而根据勾股定理，得出y2=(-y)2+x2，可得出y=，进而根据锐角三角函数的定义，得出，解得x=1，进而得出DF=。
21．【答案】解：由题意，原式
又x＝2cos30°﹣tan45°
＝21
1，
∴原式．
【知识点】二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】首先根据分式的混合运算法则进行化简，进而根据特殊锐角的三角函数值，求得x1，进而代入求值即可。
22．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
得到．
∵每个小正方形的边长均为1个单位长度，
∴等腰直角三角形EAD中，
AD，
∵O是平行四边形ABDC对角线的交点，
∴DO，
在Rt△EOD中，ED，
∴EO，
∴．
【知识点】作图﹣平移；等腰直角三角形；线段的比；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据平移得方向和单位长度，作出点A和点B的对应点C和点D，然后分别连接CD，AD，BC即可；
（2）结合网格，根据勾股定理求得AD，ED，进而DO，再根据勾股定理得出EO，进而即可得出．
23．【答案】（1）解：（1）8÷20%＝40（名），
答：在这次调查中，一共抽取了40名学生
（2）解：喜欢规划馆的人数为：40﹣14﹣10﹣8＝8（名），补全条形统计图如下：
（3）800280（名），
答：估计该中学最喜欢科技馆的学生共有280名．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据喜欢航大馆的人数及它占调查人数的比例，即可得出这次调查人数为 8÷20%＝40（名）；
（2）用（1）的结果减去其它各项人数，即可得出喜欢规划馆的人数，再补全条形统计图即可；
（3）首先用样本中喜欢科技馆人数所占的比例估计总体所占的比例，进而用800乘这个比例，即可得出答案。
24．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△ADO和△CBO中，
，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：与线段CE相等的线段有：AE，DE，AG，CF.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】（2）解：与线段CE相等的线段有：AE，DE，AG，CF．理由：
由（1）知：四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，
∴△ABC和△ADC为等边三角形，
∵CH⊥AD，
∴AH＝DH，
即CH为AD的垂直平分线，
∴AE＝DE．
同理：CE＝AE，
∴AE＝DE＝EC．
∵△ADC为等边三角形，CH⊥AD，
∴∠ACH∠ACD＝30°，
∵∠FEC＝75°，
∴∠EFC＝180°﹣∠ACH＝∠FEC＝75°，
∴∠EFC＝∠FEC，
∴CF＝CE．
∵△ABC和△ADC为等边三角形，
∴∠BAC＝CAD＝60°，
∵CE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ECA＝120，
∴∠AEG＝∠AEC﹣∠FEC＝45°，
∴△AGE为等腰直角三角形，
AE＝AG，
∴AG＝EC．
【分析】（1）首先根据AAS证得△ADO≌△CBO，进而得出OD＝OB，进而根据对角线互相平分，可得出四边形ABCD是平行四边形，再结合AB＝BC，即可得出四边形ABCD是菱形；
（2）与线段CE相等的线段有：AE，DE，AG，CF．根据菱形的性质，结合AB＝AC，可得出△ABC和△ADC为等边三角形，进而得出CH为AD的垂直平分线，可得出AE＝DE．同理CE＝AE，再通过计算可得出∠EFC＝∠FEC，可得出CF＝CE．再证明△AGE为等腰直角三角形，得出AE＝AG即可。
25．【答案】（1）解：设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳y米，
由题意得：，
解得：，
答：编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米
（2）解：设该中学编织m个大号中国结，则编织（50﹣m）个小号中国结，
由题意得：4m+3（50﹣m）≤165，
解得：m≤15，
答：该中学最多编织15个大号中国结．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳y米，根据 编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米．可得出，解方程组求解即可；
（2）设该中学编织m个大号中国结，则编织（50﹣m）个小号中国结，根据 两种中国结所用绳长不超过165米， 可得出4m+3（50﹣m）≤165，解不等式可得m≤15，即可得出该中学最多编织15个大号中国结．
26．【答案】（1）证明：∵AE＝CE，
∴∠A＝∠C，
∵，
∴∠C＝∠B，
∴∠A＝∠B，
∴AC∥BD
（2）证明：如图1，
连接OD，OB，
由（1）知，
AC∥BD，∠C＝∠EBD，
∴∠EDB＝∠C＝∠EBD，
∴DE＝BE，
∵OE＝OE，
∴△DOE≌△BOE（SSS），
∴∠BEF＝∠DEF
（3）解：如图2，
作AD的垂直平分线，交AB于W，连接AH，作BV⊥CD于V，作QS⊥BD于S，
∴AW＝DW，
∴∠BAD＝∠ADW，
∴∠BWD＝∠BAD+∠ADW＝2∠BAD，
∵∠DGE＝2∠BAD，
∴∠DWB＝∠DGE，
∵OM⊥CD，
∴DM＝CM，
∵DE﹣CMOE，
∴DE﹣CM＝DE﹣DM＝EMOE，
∴∠DEF＝30°，
由（2）知，
∠BEF＝∠DEF＝30°，DE＝BE，
∴∠DEB＝60°，
∴△BED是等边三角形，
∴DE＝BD，∠BDE＝∠EBD＝60°，
∴△BDW≌△BEG（AAS），
∴DW＝EG，BW＝DG，
∴EW＝BG，
同理可得，
△ACE是等边三角形，
∴AE＝AC＝8，
设EW＝BG＝a，则AW＝a+8，BF＝BG+FG＝a+2，
∴BE＝BD＝2BF＝2a+4，
∴EFBE（a+2），
∴DW2＝EG2＝EF2+FG2＝3（a+2）2+4，
由DW＝AW得，
3（a+2）2+4＝（a+8）2，
∴a1＝6，a2＝﹣4（舍去），
∴BD＝2a+4＝16，
∵，
∴∠ABH＝∠ADC，∠ADC＝∠ADH，
∴点E、T、D、B共圆，
∴∠BTD＝∠DEB＝60°，∠BTE＝∠BDE＝60°，∠AET＝∠ADB，∠ATE＝∠EBD＝60°，
∵，
∴∠ADB＝∠AHB，
∴∠AHB＝∠AET，
∵∠ATH＝∠BTD＝60°，
∴∠ATH＝∠ATE，
∵AT＝AT，
∴△AHT≌△AET（AAS），
∴∠HAT＝∠EAT，
∵AD＝AD，
∴△ADH≌△ADE（ASA），
∴DH＝DE＝BD＝16，
在Rt△BDV中，BD＝16，∠BDE＝60°，
∴DV＝16 cos60°＝8，BV＝16 sin60°＝8，
∴CV＝CD﹣DV＝24﹣8＝16，
∴tan∠BCD，
∴sin∠BCD，
cos∠BCD，
在Rt△EFG中，
tan∠EGF，
设QS＝4m，SG＝m，则BS＝BG+SG＝6+m，QG，
在Rt△QBS中，
tan∠DBH＝tan∠BHD＝tan∠BCD，
∴，
∴m，
∴QG＝7m＝6，
∴BG＝QG＝6，
∴∠DBH＝∠BQG，
∵∠EQT＝∠BQG，∠DBH＝∠BHD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠EQT，
∵∠ATE＝∠BTE＝60°，ET＝ET，
∴△ATE≌△QTE（ASA），
∴AT＝QT，
在Rt△AEN中，
EN＝AE sin∠BAD＝8，
AN＝AE cos∠BAD＝8，
在Rt△ETN中，EN，∠TEN＝90°﹣∠ATE＝30°，
∴NT，
∴QT＝AT＝AN+NT．
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得出∠A＝∠C，再根据同弧所对的圆周角相等，可得出∠C＝∠B，进而得出∠A＝∠B，再根据平行线的判定，即可得出结论；
（2）首先根据SSS证得△DOE≌△BOE，再根据全等三角形的性质即可得出∠BEF＝∠DEF；
（3）作AD的垂直平分线，交AB于W，连接AH，作BV⊥CD于V，作QS⊥BD于S，结合三角形外角的性质可得出∠DWB＝∠DGE，再根据垂径定理可得出DM＝CM，再根据DE﹣CMOE，可得出DE﹣CM＝DE﹣DM＝EMOE，即可得出∠DEF＝30°，再通过证明△BED是等边三角形，△ACE是等边三角形，可得出EW＝BG，AE＝AC＝8，设EW＝BG＝a，则AW＝a+8，BF＝BG+FG＝a+2，进而根据勾股定理可得出3（a+2）2+4＝（a+8）2，解得a1＝6，a2＝﹣4（舍去），进而BD＝2a+4＝16，再根据∠ABH＝∠ADC，∠ADC＝∠ADH，证得点E、T、D、B共圆，进而根据等弧，等角之间的关系，可得出△AHT≌△AET，△ADH≌△ADE，可得出DH＝DE＝BD＝16，再通过解直角三角形可得出AN＝AE cos∠BAD＝8，NT，进而得出QT＝AT＝AN+NT．
27．【答案】（1）解：（1）将点O（0，0）和点A（3，0）代入抛物线yx2+bx+c得，
，
∴，
∴
（2）解：由(1)知：yx2x
∴P的纵坐标为：
∵A（3，0）
∴OA=3，
∴SyP
（3）解：如图1，
作PJ⊥x轴于J，连接BF，连接BD，作MW⊥BE于W，作GV⊥BE于，作NS⊥x轴于S，延长BE，交SN于Q，
则∠Q＝∠NSD＝∠MWC＝∠MWB＝∠RBC＝90°，
把t＝﹣2代入y得，y，
∵AJ＝3﹣（﹣2）＝5，
∴AJ＝PJ，
∴∠PAJ＝45°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠PAJ＝45°，
∴∠PAJ＝∠ACD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴可得四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝∠DBC＝45°，∠FCB＝∠BCD＝90°，
∵CF＝CD＝BC，
∴∠CFB＝∠CBF＝45°，
∵FG∥AC，
∴∠CFG＝∠ACD＝45°，
∴点F、G、B共线，
∵∠FBD＝∠FBC+∠DBC＝90°，∠GED＝90°，
∴∠FBD+∠DEG＝180°，
∴点G、E、D、B共圆，
∴∠EGD＝∠DBC＝45°，∠EDG＝∠FBC＝45°，
∴∠EGD＝∠EDG，
∴EG＝ED，
∵∠EVG＝∠DCE＝90°，
∴∠EGV+∠VEG＝90°，
∵∠DEG＝90°，
∴∠DCE+∠VEG＝90°，
∴∠DEC＝∠EGV，
∴△EGV≌△DEG（AAS），
∴EV＝CD，CE＝GV，
设CMx，WI＝a，
∴∠ACB＝45°，CMRB，
∴WM＝CW＝x，RB＝3x，
∵MW∥BR，
∴△MWI∽△RBI，
∴，
∴BI＝3WI＝3a，
∴AB＝BC＝CW+WI+BI＝x+4a，
∵BC∥AD，
∴△RBI∽△RAD，
∴，
∴，
∴x＝2a，
∴BC＝AB＝x+4a＝6a，RB＝3x＝6a，
∴BFBC＝6a，DF＝2CD＝12a，
∵DF∥RB，
∴△GFD∽△GBR，
∴，
∴BGBF＝2，
∴GV＝BVBG＝2a，
∴CE＝GV＝2a，
∵BE＝BC+CE＝6a+2a＝8a，
∴ER，
∵RN＝RA＝12a，
∴EN＝RN﹣RE＝2a，
∴CE＝EN＝2a，
作IK⊥RN于K，
由S△RBE＝S△RBI+S△RIE得，
∴，
∴IK＝3a，
∴∠NRD＝∠ARD，
∵RD＝RD，
∴△ARD≌△NRD（SAS），
∴∠RND＝∠RAD＝90°，
∴∠RND＝∠ECD＝90°，
∵DE＝DE，
∴Rt△DCE≌Rt△DNE（HL），
∴DN＝CD＝6a，
∵∠Q＝∠NSO＝90°，
∴∠QEN+∠QNE＝90°，
∵∠EDN＝90°，
∴∠QNE+∠DNS＝90°，
∴∠DNS＝∠QEN，
∴△EQN∽△NEO，
∴，
∴NS＝3EQ，QNDS，
设N（x，y），
∵E（3﹣8a，6a），D（3﹣6a，0），
∴EQ＝3﹣8a﹣x，DS＝3﹣6a﹣x，
∴NS＝3（3﹣8a﹣x），NQ（3﹣6a﹣x），
∵NQ+NS＝QS＝CD＝6a，
∴3（3﹣8a﹣x）（3﹣6a﹣x）＝6a，
∴x＝3，
∴y＝NS＝3（3﹣8a﹣x）a，
∴a，
∴a，
∴6a，
∴C（，），
如图2，
延长DH，交CT于X，作DL⊥CT于L，交AH于Z，设CT交x轴于Y，
∵∠DHT＝90°，∠ATC＝135°，
∴∠XHT＝90°，∠XTH＝45°，
∴∠TXH＝45°，
∴∠XDL＝90°﹣∠TXH＝45°，
∴∠HZD＝90°﹣∠XDL＝45°，
∴DH＝HZ，
设HZ＝DH＝m，则XH＝DH＝2m，DZDH，
∵∠XDL＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠CDX+∠ADZ＝45°，
∵∠CDX+∠DCX＝∠DXL＝45°，
∴∠ADZ＝∠DCX，
∵∠DXC＝∠AZD＝135°，AD＝CD，
∴△ADZ≌△CDX（AAS），
∴CX＝DZ，
∵DX＝DH+XH＝m+2m＝3m，
∴DL＝XL，
∴CL＝CX+XL，
∴tan∠DCL，
∴DY，
∴Y（2，0），
设直线CT的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的判定与性质；相似三角形的判定；二次函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可得出 b．c的值；
（2）根据（1）的结论，可得出yx2x，进而得出点P的纵坐标，再根据三角形面积计算公式，可得出SyP；
（3）作PJ⊥x轴于J，连接BF，连接BD，作MW⊥BE于W，作GV⊥BE于，作NS⊥x轴于S，延长BE，交SN于Q，则∠Q＝∠NSD＝∠MWC＝∠MWB＝∠RBC＝90°，通过计算可得出△ACD是等腰直角三角形，进而得出可得四边形ABCD是正方形，再通过证明点G、E、D、B共圆，可得出∠EGD＝∠EDG，进而根据AAS可得出△EGV≌△DEG，得出EV＝CD，CE＝GV，设CMx，WI＝a，根据△MWI∽△RBI，可得出，即，解得x＝2a，进而根据△GFD∽△GBR，可得出，得出CE＝GV＝2a，进而 BE＝BC+CE＝6a+2a＝8a， 再根据勾股定理得出ER，作IK⊥RN于K，由S△RBE＝S△RBI+S△RIE得，IK＝3a，再通过△ARD≌△NRD，Rt△DCE≌Rt△DNE，△EQN∽△NEO，k可得出，克的而出NS＝3EQ，QNDS，进而根据a，可得出a，即可得出C（，），再求得Y（2，0），利用待定系数法，即可得出 直线CT的解析式为：y．
1 / 1
