期末模拟试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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期末模拟试题 2025-2026学年上学期
初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．下列方程是关于x的一元二次方程为（　　）
A． B．
C．（a和b为常数） D．
2．如下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．把抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．概率很小的事情都不可能发生
B．投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数一定是5000次
C．从1，2，3，4，5中任取一个数是偶数的可能性比较大
D．13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件
5．如图，在正十边形中，的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．2
7．有下列4个命题：①相等的角是对顶角；②两直线平行，同位角相等；③若一个三角形的两个内角分别为和，则这个三角形是直角三角形；④全等三角形的对应角相等．其中是假命题的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（ ）
A．3 B． C．6 D．
10．已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．方程的根是 ．
12．《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》是中国古代的“四书”，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．现有“四书”各一本，若从中随机抽取两本，则抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的概率是 ．
13．如图，用长为的篱笆，一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花园，设花园的宽为，围成的花园面积为，则y关于x的函数表达式为 ．
14．如图，在中，，则 ．
15．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是点 ．
16．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ．
17．如图，为圆O的直径，弦于点E，，，则直径的长是 ．
三、解答题
18．（1）解方程：
（2）计算：
19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，将绕原点旋转得到．
(1)在平面直角坐标系中画出，并写出点、、的坐标；
(2)作关于轴对称的，并写出的坐标．
20．黔西南州兴仁市是“中国薏仁米之乡”，薏仁米种植面积广、产量高、品质优.某电商平台销售兴仁薏仁米，已知每千克薏仁米的成本价为8元，售价为x元时，每天可卖出千克．
(1)当售价定为每千克12元时，每天的利润是多少元？
(2)设总利润为y元，求该电商平台定价为多少元时，每天的总利润y的值最大，最大值是多少元？
21．已知关于x的一元二次方程：．
(1)设，是方程的两个根，求（用含m的式子表示）；
(2)当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积．
22．已知二次函数的图象经过点和，
(1)求该二次函数的解析式及对称轴；
(2)若点是该二次函数图象与轴的交点，点是第四象限内二次函数上的点（不与、重合），连接、、，求面积的最大值．
23．黔西南州某中学为丰富学生课余生活，举办了“校园文化艺术节”，其中书法比赛设置一、二、三等奖若干名．已知获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3．
(1)求未获奖的概率；
(2)若该校有200名学生参加书法比赛，求获得一等奖的学生人数；
(3)某班从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取2人参加此次书法比赛，求刚好选中甲和丙两位同学的概率．
24．如图，是 的高，以为直径作交的延长线于点 E，连接，．
(1)与有怎样的位置关系？ 请说明理由；
(2)若求 的周长．
25．在同一平面直角坐标系中，已知轴上有两点和，过这两点分别作垂线与某函数图象分别交于点和点，当有最小值时，此时和称为该函数的“虫洞”，的最小值称为该函数的“虫洞距离”．
(1)如图1为正比例函数的图象，和是其“虫洞”．请你直接写出正比例函数当时的“虫洞距离”为_____；
(2)如图2是函数的图象，和是其“虫洞”，
①求函数的“虫洞距离”；
②如图3，函数和函数位于同一个平面直角坐标系，若两个函数的“虫洞距离”相等，求的值．
26．由特殊到一般、类比、转化是数学学习和研究中经常用到的思想方法．下面是对一道几何题进行变式探究的思路，请你运用上述思想方法完成探究任务，问题情境：已知，是过点的直线，，于点．
问题探究：
(1)如图（1），直接写出的数量关系_____；（提示：过点作于点，与交于点）
(2)当绕旋转到如图（2）位置时，、、满足什么样的数量关系，请说明理由；
(3)当绕旋转到如图（3）位置时，，，求和的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D D B B B C C D
1．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可，即只含有一个未知数并且未知数项的最高次数是2的整式方程．
【详解】解：A.该选项是一元一次方程，不符合题意；
B. 是分式，该选项不是一元二次方程，不符合题意；
C.当时，该选项为一元一次方程，不符合题意；
D.该选项是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念．根据轴对称图形与中心对称图形的概念，作答即可．
【详解】解：根据轴对称图形的定义可知：A、B选项为轴对称图形，
根据中心对称图形的定义可知：B选项为中心对称图形．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的法则是解答此题的关键．先向右平移3个单位，x 替换为；再向下平移1个单位，整体减去1
【详解】解：∵原函数为 ，向右平移3个单位：，再向下平移1个单位：；
∴ 所得函数表达式为 ，
故选：D
4．D
【分析】根据随机事件的相关概念可进行排除选项．
【详解】解：A、概率很小的事情说明这件事情发生的概率很小，并不代表不可能发生，故不符合题意；
B、投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数可能是5000次，原说法错误，故不符合题意；
C、从1、2、3、4、5中任取一个数是偶数的可能性比较小，原说法错误，故不符合题意；
D、13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件，原说法正确，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查概率及随机事件，熟练掌握概率及随机事件的相关概念是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，连接，求出正十边形的中心角，根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：如图，设正十边形的中心为点O，连接，
则，
由圆周角定理得，，
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，先根据多项式乘多项式进行计算，再把方程的左边分解因式，再得出答案即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
即，
所以，
故选：B．
7．B
【分析】本题主要考查了判断命题的真假，根据对顶角的定义可判断①，根据平行线的性质可判断②，根据三角形内角和定理可判断③，根据全等三角形的性质可判断④．
【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
②两直线平行，同位角相等，原命题是真命题；
③若一个三角形的两个内角分别为和（则另一个内角为），则这个三角形是直角三角形，原命题是真命题；
④全等三角形的对应角相等，原命题是真命题；
∴假命题是①，
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：．
故选：C．
9．C
【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键．
如图所示，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得，即可得出结果．
【详解】解：如图所示：连接，
∵正六边形内接于，
，
∵，
∴是等边三角形，
∵的周长是，
，
，
故选：C．
10．D
【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式，从而解得，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得，从而得出选项．
【详解】解：
∵图象与x轴有交点，
∴，
解得；
∵抛物线的对称轴为直线
抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，
∴，
∴实数a的取值范围是．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
11．，
【分析】本题考查解一元二次方程，方程左边利用提公因式法进行因式分解，再进行求解即可．
【详解】解：，
∴，
∴，；
故答案为：，．
12．
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的结果有2种，
∴抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的概率是．
故答案为：．
13．
【分析】由题意可知花圃的长为，再利用矩形面积公式即可求解．
【详解】解：由题意可知花圃的长为，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用．依据篱笆的总长表示出是解题的关键．
14．/度
【分析】此题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行解答即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
故答案为：
15．B
【分析】根据对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，即可求解．
【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B，则点B为旋转中心．
故答案为：B
【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
16．
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题．
【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点，
∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时，
∴的解集为，
∴不等式的解集为．
故答案为：．
17．
【分析】连接，根据垂径定理得到，设圆的半径为r，根据勾股定理即可得到答案．
【详解】解：连接，设圆的半径为r，
∵为圆O的直径，且，
∴，
∴
解得：，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查垂径定理及勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．
18．（1） 或 ；（2）
【分析】本题考查了解一元二次方程及实数的混合运算，熟练掌握解一元二次方程及实数的混合运算是关键．
（1）通过移项和提取公因式，将方程变形为，即可解得答案；
（2）分别进行负指数、零指数运算、二次根式的化简及化简绝对值，再计算实数的加减即可．
【详解】解：（1）移项，得，
提取公因式，得，
或，
或；
（2）
．
19．(1)见解析，点、、的坐标分别为，，
(2)见解析，的坐标为
【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的旋转与轴对称变换，核心是掌握绕原点旋转和关于轴对称的坐标变化规律：
（1）绕原点旋转：点的对应点为；
（2）关于轴对称：点的对应点为．
【详解】（1）解：如图，即为所求：
点、、的坐标分别为，，；
（2）解：如图，即为所求，的坐标为．
20．(1)160元
(2)当定价为14元时，每天的总利润最大，最大值是180元
【分析】本题考查二次函数的实际应用，
（1）利用每千克的利润乘以每天的销售量求解即可；
（2）由题意列y关于x的二次函数，结合二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：元，
答：每天的利润是160元．
（2）解：由题意得，，
∴当时，y的最大值为180元，
答：该电商平台定价为14元时，每天的总利润y的值最大，最大值是180元．
21．(1)
(2)菱形的面积是3
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求菱形的面积，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及求菱形的面积的方法是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系， 可得，，再将变形为，即可求解；
（2）当时，，即可代入菱形面积公式求解．
【详解】（1）解：对于关于x的一元二次方程，
，，，
，，
；
（2）解：当时，，
此时菱形的面积为．
22．(1)，直线
(2)
【分析】本题考查了二次函数的综合应用．
（1）将，代入二次函数求解即可；
（2）先求出，进而求出直线解析式为，过E作轴交x轴于C，交直线于F，设，则，求出解析式，可知当时，有最大值，求出的面积，可知当最大时，的面积最大，即可求出面积的最大值．
【详解】（1）解：将，代入二次函数，得：
，解得：，
二次函数的解析式为，
∴对称轴为：直线；
（2）解：当时，，
即，
设直线解析式为，
将、代入得：
，
解得：，
即直线解析式为，
如图，过E作轴交x轴于C，交直线于F，
设，则，
∴，
可知当时，有最大值，
∵，
∴当最大时，的面积最大，
此时．
23．(1)0.4
(2)20
(3)
【分析】本题主要考查的是用概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
（1）用减去获得一、二、三等奖的概率即可得出结果；
（2）用乘以获得一等奖的概率即可得出结果；
（3）列举得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3，
∴未获奖的概率为；
（2）解：∵获得一等奖的概率为0.1，
∴（人），
故获得一等奖的学生人数为人；
（3）解：由题意可得：从四位同学中随机选取人，所有等可能的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），共种，其中刚好选中甲和丙两位同学的情况有1种，
故刚好选中甲和丙两位同学的概率为．
24．(1)与相切．理由见详解
(2)
【分析】（1）连接，由等边对等角得出，由直角三角形两锐角互余得出，由对顶角相等得出，等量代换可得出，，由等边对等角得出，进而可得出，进一步即可得出与相切．
（2）设，则，由勾股定理得出，则，再利用勾股定理分别求出和，再根据三角形的周长求解即可．
【详解】（1）解：与相切，理由如下：
连接，
∵，
∴，
∵是 的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
又为半径，
∴与相切．
（2）解：由（1）知，
由题意知：，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，
在中，
∴，
在中，
，
∴的周长为：
【点睛】本题主要考查了圆切线的证明，直角三角形两锐角，等边对等角，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键．
25．(1)
(2)①；②或．
【分析】本题考查正比例函数基本性质，二次函数的基本性质，能够读懂题中的“虫洞距离”的概念是解题关键．
（1）先利用正比例函数求出两点坐标，然后求出，进而可求解；
（2）①根据和，得出，，求出，根据二次函数的最值，求出当时，的最小值为，得出答案即可；
②分两种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：当时，
∵正比例函数，且轴上有两点和，过这两点分别作垂线与某函数图象分别交于点和点，
∵，，
∴，，
∴，
当时，取到最小值为，
故答案为：．
（2）解：①∵和，
∴，，
∴
，
当时，的最小值为，
∴函数的“虫洞距离”为；
②当时，，，，，
∵开口向上，对称轴为直线，
∴时，取最小值为，
∴，此时两个函数的“虫洞距离”不能相等；
当时，，，，，
∵时，取最小值为，
∴，此时两个函数的“虫洞距离”不能相等；
当时，，，
∵两个函数的“虫洞距离”相等，
∴，
解得：或．
∴或．
26．(1)；
(2)，理由见解析；
(3)，．
【分析】（1）过点作于点，与交于点，证明，则为等腰直角三角形，根据勾股定理得，根据，即可得出结论；
（2）过点作于点，与交于点，交于点，证明，则为等腰直角三角形，据此即可得到，根据即可证得；
（3）过点作交于点，过点作交延长线于点，与相交于点，证明，则为等腰直角三角形，进而推出为等腰直角三角形，最后根据勾股定理和所对的直角边等于斜边的一半的性质求解即可．
【详解】（1）解：证明：如图，过点作于点，与交于点，
∵，
∴，
∵四边形内角和为，，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
，
．
∵，
∴．
（2）解：猜想：；理由如下：
过点作于点，与交于点，交于点，
∵，
∴．
∵，
∵，
∴．
∵，，
∴，，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
，
．
∵，
∴．
（3）解：如图，过点作交于点，过点作交延长线于点，与相交于点，
∵，，，
∴，，
∴．
∵，，
∴，，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴，．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定的应用、等腰直角三角形的判定与性质、所对的直角边等于斜边的一半的性质、勾股定理等，添加恰当的辅助线证明三角形全等是解题的关键．
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