2025~2026学年济南市“市中区”八年级第一学期数学期末考试试题（学生版+答案版）
文档属性
| 名称 | 2025~2026学年济南市“市中区”八年级第一学期数学期末考试试题（学生版+答案版） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 448.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-23 00:00:00 | ||
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文档简介
2026 年八年级数学第一学期期末学情调研试题
（满分150分 时间120分钟）
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1.下列各数中，属于无理数的是（ ）
A. B. C. 0 D. π
2.平面直角坐标系中，点（2，－1）位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知aA. a< b B. 2a<2b C. a 3>b 3 D. >
4.一副直角三角板按如图所示方式放置，则∠1的度数为（ ）
A. 60 B. 75 C. 105 D. 120
5.下列说法错误的是（ ）
A. 相等的角是对顶角
B. “同位角相等，两直线平行” 的逆命题是真命题
C. △ABC中，若∠A+∠C=∠B，则△ABC是直角三角形
D. 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形
6.下列计算正确的是（ ）
A. （）2=2 B. ÷=3 C. ×=3 D. 3 =3
7.如图，直线y1=x+b与y2=kx 1相交于点P，点P的横坐标为 1，则关于x的不等式x+b≥kx 1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.学校 “校园之声” 广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下：
若把读、听、写的成绩按 4：4：2 的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（ ）
A. 8.4 B. 8.5 C. 8.6 D. 8.7
9.如图，在△ABC中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AB，BC交于M，N两点；②分别以M，N为圆心，以适当长为半径作弧，两弧交于点D，作射线BD，BD与AC交于点E；③分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，PQ与BD于点F；④连接CF。若AB=BC；BE=AC=4，则△CEF面积为（ ）
A. B. C. 2 D.
10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120 ，于点D，点P是CA延长线上一点，点O在AD延长线上，OP=OB，下面的结论：①∠ACB=30 ；②∠APO ∠OBD=30 ；③△BPO是等边三角形；④PB=AP+AO。其中正确的个数是（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。直接填写答案。
11.8 的立方根是______。
12.如图所示，第四套人民币中 1 角硬币边缘镌刻的图形是正九边形，正九边形每个内角为______度。
13.中华秋沙鸭是我国特有的珍稀鸟类。近几年在山东多地发现它们年年来 “小住”，如图所示是它们在山东境内出现地的示意图。若建立适当的平面直角坐标系，表示地点A的坐标为(3, 1)，表示地点B的坐标为( 1,2)，则地点C的坐标为______。
14.若方程组的解中x+y=2025，则k等于______。
15.新定义：若点（m，n），点（p，q），如果m+n=p+q，那么点P与点Q就叫作 “和等点”，m+n=p+q=k，称k为等和。例如：点（4，2），点（1，5），因4+2=1+5=6，则点P与点Q就是和等点，6 为等和。如图，在平面直角坐标系中等边△ABC，点（1，1），（5，1），若等边△ABC的边上存在不同的两个点，这两个点为和等点，则等和k的取值范围为______。
三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分 7 分）计算： ×+(+2)( 2)
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来。
18.（本小题满分 7 分）如图，点E，C在BF上，BE=CF，∠A=∠D=90 ，DE=AC。求证：∠B=∠F。
19.（本小题满分 8 分）如图，已知△ABC中，AB=AC，AB∥DE，∠1=∠2，AC=6，BC=8，求△CDE的周长。请将解题过程填写完整。
解：∵AB=AC，∠1=∠2，
∴CD=______① 。
又∵BC=8，
∴CD=______② 。
∵AB∥DE（已知），
∴∠2=______③ （______④ ）。
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠1=______⑤ 。
∴DE=______⑥ 。
∵AE+EC=AC=6，
∴______⑦ +EC=6。
∴C△CDE=CD+DE+EC=______⑧ 。
20.（本小题满分 8 分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标依次为（－2，5），（－5，3），（府4，1）。
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1并直接写出B1的坐标__________；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使AP+CP的值最小，请直接写出点P的坐标：P（__________，__________）。
21.（本小题满分 9 分）某校组织阳光体育特色大课间活动，现需购买一批排球和跳绳。已知购进 1 个排球和 3 根跳绳共花费 40 元，购进 3 个排球和 2 根跳绳共花费 85 元。
（1）求购进的排球和跳绳的单价；
（2）现需购买这两类运动设备共 150 件，并且购买费用不超过 1200 元，最多购买多少个排球？
22.（本小题满分 10 分）小明准备购买迎新春贺卡送给同学，他可以在甲、乙两个商店买到同款贺卡，两个商店的标价均为每张 5 元。其中甲商店的优惠条件是：从第 1 张开始就按标价的八五折销售；乙商店的优惠条件是：购买 10 张以上，从第 11 张开始按标价的七折销售。设小明购买贺卡的数量为x张（x为正整数），在甲商店购买的总费用为y1元，在乙商店购买的总费用为y2元。
（1）求y1与x之间的函数关系式，以及当x>10时，y2与x之间的函数关系式；
（2）若小明购买的贺卡数量大于 10 张，选择哪一家商店更划算？
23.（本小题满分 10 分）为备战校运动会，初二某班的体育委员将报名 100 米的同学分为 “奋进队”（A 队）和 “超越队”（B 队），每队 8 人，并进行了一次 100 米跑的队内测试，两队的成绩（单位：秒）如下。
（1）小明利用平均数、方差进行分析。通过计算平均数得= 秒，=15.25秒，可以看出__________队的平均成绩更好；通过计算方差SA2= ，SB2=1.1875，可以看出__________队队员之间的水平更加均衡；
（2）小颖利用四分位数、箱线图进行分析。
①A 队队员成绩的m25= ，B 队队员成绩的m75= ；
②A 队队员成绩的中位数__________B 队队员成绩的中位数（填 “＞”，“=” 或 “＜”），且__________队选手间成绩差异较大；
（3）请你结合小明和小颖的数据分析，从 A，B 两队中选择一个队伍参加运动会接力赛，并说明理由。
24.（本小题满分 12 分）如图 1，直线BC：y=x 3与x轴、y轴分别交于B，C
两点，直线AB与x轴、y轴分别交于B，（0，6）两点。
（1）请求出点B，C的坐标及直线AB的解析式；
（2）若点D为直线BC上的一个动点，过点D作直线DE⊥x轴，垂足为E，交直线AB于点F，当DF=3时，求点E坐标及△BDF的面积；
（3）点P为线段OB上一点，若∠BCP=45 ，请求出点P的坐标。
25.（本小题满分 12 分）【问题背景】学习三角形一章之后，八（1）班各学习小组打算用两个不同的等腰直角三角形设计本组的标志，小明在设计标志的过程中发现如果两个等腰直角三角形共直角顶点摆放，某些线段和角存在一定的关系。因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究。已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90 。
【初步探究】
（1）如图 1，当点D在BC边上时，连接CE，线段BD与CE的数量关系是__________，∠DCE=__________°；
【深入探究】
（2）如图 2，当点D在△ABC外时，连接BD，CE，请探究线段BD，CE的关系，并说明理由；
【拓展探究】
（3）如图 3，当点D在△ABC外时，若∠BDC=60 ，BD=2，AD=，则CD=__________。（直接写出结果）
答案
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1.下列各数中，属于无理数的是（ D ）
A. B. C. 0 D. π
2.平面直角坐标系中，点（2，－1）位于（ D ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知aA. a< b B. 2a<2b C. a 3>b 3 D. >
4.一副直角三角板按如图所示方式放置，则∠1的度数为（ C ）
A. 60 B. 75 C. 105 D. 120
5.下列说法错误的是（ A ）
A. 相等的角是对顶角
B. “同位角相等，两直线平行” 的逆命题是真命题
C. △ABC中，若∠A+∠C=∠B，则△ABC是直角三角形
D. 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形
6.下列计算正确的是（ A ）
A. （）2=2 B. ÷=3 C. ×=3 D. 3 =3
7.如图，直线y1=x+b与y2=kx 1相交于点P，点P的横坐标为 1，则关于x的不等式x+b≥kx 1的解集在数轴上表示正确的是（ C ）
A. B. C. D.
8.学校 “校园之声” 广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下：
若把读、听、写的成绩按 4：4：2 的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（ A ）
A. 8.4 B. 8.5 C. 8.6 D. 8.7
9.如图，在△ABC中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AB，BC交于M，N两点；②分别以M，N为圆心，以适当长为半径作弧，两弧交于点D，作射线BD，BD与AC交于点E；③分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，PQ与BD于点F；④连接CF。若AB=BC；BE=AC=4，则△CEF面积为（ B ）
A. B. C. 2 D.
10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120 ，于点D，点P是CA延长线上一点，点O在AD延长线上，OP=OB，下面的结论：①∠ACB=30 ；②∠APO ∠OBD=30 ；③△BPO是等边三角形；④PB=AP+AO。其中正确的个数是（ D ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。直接填写答案。
11.8 的立方根是___2___。
12.如图所示，第四套人民币中 1 角硬币边缘镌刻的图形是正九边形，正九边形每个内角为___140___度。
13.中华秋沙鸭是我国特有的珍稀鸟类。近几年在山东多地发现它们年年来 “小住”，如图所示是它们在山东境内出现地的示意图。若建立适当的平面直角坐标系，表示地点A的坐标为(3, 1)，表示地点B的坐标为( 1,2)，则地点C的坐标为___(1,3)___。
14.若方程组的解中x+y=2025，则k等于___2026___。
15.新定义：若点（m，n），点（p，q），如果m+n=p+q，那么点P与点Q就叫作 “和等点”，m+n=p+q=k，称k为等和。例如：点（4，2），点（1，5），因4+2=1+5=6，则点P与点Q就是和等点，6 为等和。如图，在平面直角坐标系中等边△ABC，点（1，1），（5，1），若等边△ABC的边上存在不同的两个点，这两个点为和等点，则等和k的取值范围为___2＜k＜4+2___。
三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分 7 分）计算： ×+(+2)( 2)
=3－2+3－4
=－1
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来。
解不等式①得 x<2
解不等式②得 x≥-5
在同一数轴上表示不等式①②得解集为；
因此，原不等式组得解集为：-5≤x <2
18.（本小题满分 7 分）如图，点E，C在BF上，BE=CF，∠A=∠D=90 ，DE=AC。求证：∠B=∠F。
证明：∵BE=CF
∴BE+EC=CF+EC
即 BC=EF
∵∠A =∠D =90°,DE = AC
∴RtBAC≌RtFDE ( HL )
∴∠B =∠F.
19.（本小题满分 8 分）如图，已知△ABC中，AB=AC，AB∥DE，∠1=∠2，AC=6，BC=8，求△CDE的周长。请将解题过程填写完整。
解：∵AB=AC，∠1=∠2，
∴CD=______BD 。
又∵BC=8，
∴CD=______4 。
∵AB∥DE（已知），
∴∠2=______∠3 （______两直线平行，内错角相等 ）。
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠1=______∠ 。
∴DE=______AE 。
∵AE+EC=AC=6，
∴______DE +EC=6。
∴C△CDE=CD+DE+EC=______10 。
20.（本小题满分 8 分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标依次为（－2，5），（－5，3），（府4，1）。
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1并直接写出B1的坐标__________；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使AP+CP的值最小，请直接写出点P的坐标：P（__________，__________）。
（1）B1（－5，－3）
（2）面积=3×4－2×3×－2×1×－2×4×=12－3－1－4=4
（3）点P位置如图所示，P（0，）
21.（本小题满分 9 分）某校组织阳光体育特色大课间活动，现需购买一批排球和跳绳。已知购进 1 个排球和 3 根跳绳共花费 40 元，购进 3 个排球和 2 根跳绳共花费 85 元。
（1）求购进的排球和跳绳的单价；
（2）现需购买这两类运动设备共 150 件，并且购买费用不超过 1200 元，最多购买多少个排球？
解：（1）设购进的排球单价是 x 元，跳绳单价是 y 元
根据题意得：
解得
答：购进的排球单价是25元，跳绳单价是5元：
（2）设购买排球 a 个，则购买跳绳（150-a ）
根据题意得：25a+5(150-0)≤1200
解得a≤22.5
∵a 为正整数，所以有最大值22。
答；最多购买22个排球。
22.（本小题满分 10 分）小明准备购买迎新春贺卡送给同学，他可以在甲、乙两个商店买到同款贺卡，两个商店的标价均为每张 5 元。其中甲商店的优惠条件是：从第 1 张开始就按标价的八五折销售；乙商店的优惠条件是：购买 10 张以上，从第 11 张开始按标价的七折销售。设小明购买贺卡的数量为x张（x为正整数），在甲商店购买的总费用为y1元，在乙商店购买的总费用为y2元。
（1）求y1与x之间的函数关系式，以及当x>10时，y2与x之间的函数关系式；
（2）若小明购买的贺卡数量大于 10 张，选择哪一家商店更划算？
解：（1）甲商店： y1=5x0.85x=4.25x
乙商店：x>10时， y2=5x10+5x0.7(x-10)=3.5x+15;
(2)由 y1=y2，得4.25x=3.5x+15，解得 x =20;
由y1＞y2，得4.25x>3.5x+15，解得 x >20;
由y1＜y2，得4.25x>3.5x+15，解得 x <20。
因为 x>10，所以当x=20时，甲、乙两家商店的费用相同，选择哪家商店都可以：当1023.（本小题满分 10 分）为备战校运动会，初二某班的体育委员将报名 100 米的同学分为 “奋进队”（A 队）和 “超越队”（B 队），每队 8 人，并进行了一次 100 米跑的队内测试，两队的成绩（单位：秒）如下。
（1）小明利用平均数、方差进行分析。通过计算平均数得= 秒，=15.25秒，可以看出__________队的平均成绩更好；通过计算方差SA2= ，SB2=1.1875，可以看出__________队队员之间的水平更加均衡；
（2）小颖利用四分位数、箱线图进行分析。
①A 队队员成绩的m25= ，B 队队员成绩的m75= ；
②A 队队员成绩的中位数__________B 队队员成绩的中位数（填 “＞”，“=” 或 “＜”），且__________队选手间成绩差异较大；
（3）请你结合小明和小颖的数据分析，从 A，B 两队中选择一个队伍参加运动会接力赛，并说明理由。
(1)14 A 0.75 A
(2)13 16 < B
(3）选 A 队
对比平均数和中位数， A 队整体成绩更好（速度更快）：对比方差、四分位数和箱线图， A 队队员成绩更加均衡稳定，考虑到接力赛对于个人成绩和团队合作的需求，选择 A 队。
24.（本小题满分 12 分）如图 1，直线BC：y=x 3与x轴、y轴分别交于B，C
两点，直线AB与x轴、y轴分别交于B，（0，6）两点。
（1）请求出点B，C的坐标及直线AB的解析式；
（2）若点D为直线BC上的一个动点，过点D作直线DE⊥x轴，垂足为E，交直线AB于点F，当DF=3时，求点E坐标及△BDF的面积；
（3）点P为线段OB上一点，若∠BCP=45 ，请求出点P的坐标。
解：（1）直线 BC : y =x -3当 x =0时，y=0-3=-3
∴点C 的坐标为（0,-3)
当y=0，0=x -3
解得 x =6
∴B 的坐标为（6,0)
设直线 AB 的解析式为： y=kx +b
将点4(0,6)与 B (6,0)代入y= kx+ b .
解得：
∴直线 AB 的解析式为：y =-x +6;
(2)令 E点坐标为（m ,0）
直线 DE⊥x轴
则D ( m，m -3)，F ( m，－m+6)
∵DF =3
①当﹣m +6－m+3=3时
解得m =4
∴点E 的坐标为（4,0).BE =2
∴S△BDF=DF×BE=x3x2=3
②当m-3+m－6=3时
解得 m =8
∴点 E 的坐标为（8,0)，BE =2
∴S△BDF=DF×BE=x3x2=3
（3）（1，0）
25.（本小题满分 12 分）【问题背景】学习三角形一章之后，八（1）班各学习小组打算用两个不同的等腰直角三角形设计本组的标志，小明在设计标志的过程中发现如果两个等腰直角三角形共直角顶点摆放，某些线段和角存在一定的关系。因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究。已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90 。
【初步探究】
（1）如图 1，当点D在BC边上时，连接CE，线段BD与CE的数量关系是__________，∠DCE=__________°；
【深入探究】
（2）如图 2，当点D在△ABC外时，连接BD，CE，请探究线段BD，CE的关系，并说明理由；
【拓展探究】
（3）如图 3，当点D在△ABC外时，若∠BDC=60 ，BD=2，AD=，则CD=__________。（直接写出结果）
25(1)BD=CE 90
(2）延长 BD , EC ，交于点 M 。
∵△MBC , △MDE 都是等腰直角三角形。
∴AB=AC . AD = AE . ∠BAC =∠DAE =90°.
∴∠BAC-∠DAC =∠DAE -∠DAC ，即∠BAD =∠CAE
在△BAD 和 △CAE 中
∴△BAD≌△CAE ( SAS ):
∴BD = CE ∠ABD =∠ACE .
∵∠ACE +∠ACM =180°
∴∠ABD+∠ACM =180.
又∠ABD +∠ACM +∠BAC+∠M =360°-180°-90°=90°
则BD⊥DE。
(3）4或10
（满分150分 时间120分钟）
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1.下列各数中，属于无理数的是（ ）
A. B. C. 0 D. π
2.平面直角坐标系中，点（2，－1）位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知a
4.一副直角三角板按如图所示方式放置，则∠1的度数为（ ）
A. 60 B. 75 C. 105 D. 120
5.下列说法错误的是（ ）
A. 相等的角是对顶角
B. “同位角相等，两直线平行” 的逆命题是真命题
C. △ABC中，若∠A+∠C=∠B，则△ABC是直角三角形
D. 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形
6.下列计算正确的是（ ）
A. （）2=2 B. ÷=3 C. ×=3 D. 3 =3
7.如图，直线y1=x+b与y2=kx 1相交于点P，点P的横坐标为 1，则关于x的不等式x+b≥kx 1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.学校 “校园之声” 广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下：
若把读、听、写的成绩按 4：4：2 的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（ ）
A. 8.4 B. 8.5 C. 8.6 D. 8.7
9.如图，在△ABC中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AB，BC交于M，N两点；②分别以M，N为圆心，以适当长为半径作弧，两弧交于点D，作射线BD，BD与AC交于点E；③分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，PQ与BD于点F；④连接CF。若AB=BC；BE=AC=4，则△CEF面积为（ ）
A. B. C. 2 D.
10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120 ，于点D，点P是CA延长线上一点，点O在AD延长线上，OP=OB，下面的结论：①∠ACB=30 ；②∠APO ∠OBD=30 ；③△BPO是等边三角形；④PB=AP+AO。其中正确的个数是（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。直接填写答案。
11.8 的立方根是______。
12.如图所示，第四套人民币中 1 角硬币边缘镌刻的图形是正九边形，正九边形每个内角为______度。
13.中华秋沙鸭是我国特有的珍稀鸟类。近几年在山东多地发现它们年年来 “小住”，如图所示是它们在山东境内出现地的示意图。若建立适当的平面直角坐标系，表示地点A的坐标为(3, 1)，表示地点B的坐标为( 1,2)，则地点C的坐标为______。
14.若方程组的解中x+y=2025，则k等于______。
15.新定义：若点（m，n），点（p，q），如果m+n=p+q，那么点P与点Q就叫作 “和等点”，m+n=p+q=k，称k为等和。例如：点（4，2），点（1，5），因4+2=1+5=6，则点P与点Q就是和等点，6 为等和。如图，在平面直角坐标系中等边△ABC，点（1，1），（5，1），若等边△ABC的边上存在不同的两个点，这两个点为和等点，则等和k的取值范围为______。
三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分 7 分）计算： ×+(+2)( 2)
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来。
18.（本小题满分 7 分）如图，点E，C在BF上，BE=CF，∠A=∠D=90 ，DE=AC。求证：∠B=∠F。
19.（本小题满分 8 分）如图，已知△ABC中，AB=AC，AB∥DE，∠1=∠2，AC=6，BC=8，求△CDE的周长。请将解题过程填写完整。
解：∵AB=AC，∠1=∠2，
∴CD=______① 。
又∵BC=8，
∴CD=______② 。
∵AB∥DE（已知），
∴∠2=______③ （______④ ）。
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠1=______⑤ 。
∴DE=______⑥ 。
∵AE+EC=AC=6，
∴______⑦ +EC=6。
∴C△CDE=CD+DE+EC=______⑧ 。
20.（本小题满分 8 分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标依次为（－2，5），（－5，3），（府4，1）。
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1并直接写出B1的坐标__________；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使AP+CP的值最小，请直接写出点P的坐标：P（__________，__________）。
21.（本小题满分 9 分）某校组织阳光体育特色大课间活动，现需购买一批排球和跳绳。已知购进 1 个排球和 3 根跳绳共花费 40 元，购进 3 个排球和 2 根跳绳共花费 85 元。
（1）求购进的排球和跳绳的单价；
（2）现需购买这两类运动设备共 150 件，并且购买费用不超过 1200 元，最多购买多少个排球？
22.（本小题满分 10 分）小明准备购买迎新春贺卡送给同学，他可以在甲、乙两个商店买到同款贺卡，两个商店的标价均为每张 5 元。其中甲商店的优惠条件是：从第 1 张开始就按标价的八五折销售；乙商店的优惠条件是：购买 10 张以上，从第 11 张开始按标价的七折销售。设小明购买贺卡的数量为x张（x为正整数），在甲商店购买的总费用为y1元，在乙商店购买的总费用为y2元。
（1）求y1与x之间的函数关系式，以及当x>10时，y2与x之间的函数关系式；
（2）若小明购买的贺卡数量大于 10 张，选择哪一家商店更划算？
23.（本小题满分 10 分）为备战校运动会，初二某班的体育委员将报名 100 米的同学分为 “奋进队”（A 队）和 “超越队”（B 队），每队 8 人，并进行了一次 100 米跑的队内测试，两队的成绩（单位：秒）如下。
（1）小明利用平均数、方差进行分析。通过计算平均数得= 秒，=15.25秒，可以看出__________队的平均成绩更好；通过计算方差SA2= ，SB2=1.1875，可以看出__________队队员之间的水平更加均衡；
（2）小颖利用四分位数、箱线图进行分析。
①A 队队员成绩的m25= ，B 队队员成绩的m75= ；
②A 队队员成绩的中位数__________B 队队员成绩的中位数（填 “＞”，“=” 或 “＜”），且__________队选手间成绩差异较大；
（3）请你结合小明和小颖的数据分析，从 A，B 两队中选择一个队伍参加运动会接力赛，并说明理由。
24.（本小题满分 12 分）如图 1，直线BC：y=x 3与x轴、y轴分别交于B，C
两点，直线AB与x轴、y轴分别交于B，（0，6）两点。
（1）请求出点B，C的坐标及直线AB的解析式；
（2）若点D为直线BC上的一个动点，过点D作直线DE⊥x轴，垂足为E，交直线AB于点F，当DF=3时，求点E坐标及△BDF的面积；
（3）点P为线段OB上一点，若∠BCP=45 ，请求出点P的坐标。
25.（本小题满分 12 分）【问题背景】学习三角形一章之后，八（1）班各学习小组打算用两个不同的等腰直角三角形设计本组的标志，小明在设计标志的过程中发现如果两个等腰直角三角形共直角顶点摆放，某些线段和角存在一定的关系。因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究。已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90 。
【初步探究】
（1）如图 1，当点D在BC边上时，连接CE，线段BD与CE的数量关系是__________，∠DCE=__________°；
【深入探究】
（2）如图 2，当点D在△ABC外时，连接BD，CE，请探究线段BD，CE的关系，并说明理由；
【拓展探究】
（3）如图 3，当点D在△ABC外时，若∠BDC=60 ，BD=2，AD=，则CD=__________。（直接写出结果）
答案
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1.下列各数中，属于无理数的是（ D ）
A. B. C. 0 D. π
2.平面直角坐标系中，点（2，－1）位于（ D ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知a
4.一副直角三角板按如图所示方式放置，则∠1的度数为（ C ）
A. 60 B. 75 C. 105 D. 120
5.下列说法错误的是（ A ）
A. 相等的角是对顶角
B. “同位角相等，两直线平行” 的逆命题是真命题
C. △ABC中，若∠A+∠C=∠B，则△ABC是直角三角形
D. 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形
6.下列计算正确的是（ A ）
A. （）2=2 B. ÷=3 C. ×=3 D. 3 =3
7.如图，直线y1=x+b与y2=kx 1相交于点P，点P的横坐标为 1，则关于x的不等式x+b≥kx 1的解集在数轴上表示正确的是（ C ）
A. B. C. D.
8.学校 “校园之声” 广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下：
若把读、听、写的成绩按 4：4：2 的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（ A ）
A. 8.4 B. 8.5 C. 8.6 D. 8.7
9.如图，在△ABC中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AB，BC交于M，N两点；②分别以M，N为圆心，以适当长为半径作弧，两弧交于点D，作射线BD，BD与AC交于点E；③分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，PQ与BD于点F；④连接CF。若AB=BC；BE=AC=4，则△CEF面积为（ B ）
A. B. C. 2 D.
10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120 ，于点D，点P是CA延长线上一点，点O在AD延长线上，OP=OB，下面的结论：①∠ACB=30 ；②∠APO ∠OBD=30 ；③△BPO是等边三角形；④PB=AP+AO。其中正确的个数是（ D ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。直接填写答案。
11.8 的立方根是___2___。
12.如图所示，第四套人民币中 1 角硬币边缘镌刻的图形是正九边形，正九边形每个内角为___140___度。
13.中华秋沙鸭是我国特有的珍稀鸟类。近几年在山东多地发现它们年年来 “小住”，如图所示是它们在山东境内出现地的示意图。若建立适当的平面直角坐标系，表示地点A的坐标为(3, 1)，表示地点B的坐标为( 1,2)，则地点C的坐标为___(1,3)___。
14.若方程组的解中x+y=2025，则k等于___2026___。
15.新定义：若点（m，n），点（p，q），如果m+n=p+q，那么点P与点Q就叫作 “和等点”，m+n=p+q=k，称k为等和。例如：点（4，2），点（1，5），因4+2=1+5=6，则点P与点Q就是和等点，6 为等和。如图，在平面直角坐标系中等边△ABC，点（1，1），（5，1），若等边△ABC的边上存在不同的两个点，这两个点为和等点，则等和k的取值范围为___2＜k＜4+2___。
三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分 7 分）计算： ×+(+2)( 2)
=3－2+3－4
=－1
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来。
解不等式①得 x<2
解不等式②得 x≥-5
在同一数轴上表示不等式①②得解集为；
因此，原不等式组得解集为：-5≤x <2
18.（本小题满分 7 分）如图，点E，C在BF上，BE=CF，∠A=∠D=90 ，DE=AC。求证：∠B=∠F。
证明：∵BE=CF
∴BE+EC=CF+EC
即 BC=EF
∵∠A =∠D =90°,DE = AC
∴RtBAC≌RtFDE ( HL )
∴∠B =∠F.
19.（本小题满分 8 分）如图，已知△ABC中，AB=AC，AB∥DE，∠1=∠2，AC=6，BC=8，求△CDE的周长。请将解题过程填写完整。
解：∵AB=AC，∠1=∠2，
∴CD=______BD 。
又∵BC=8，
∴CD=______4 。
∵AB∥DE（已知），
∴∠2=______∠3 （______两直线平行，内错角相等 ）。
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠1=______∠ 。
∴DE=______AE 。
∵AE+EC=AC=6，
∴______DE +EC=6。
∴C△CDE=CD+DE+EC=______10 。
20.（本小题满分 8 分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标依次为（－2，5），（－5，3），（府4，1）。
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1并直接写出B1的坐标__________；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使AP+CP的值最小，请直接写出点P的坐标：P（__________，__________）。
（1）B1（－5，－3）
（2）面积=3×4－2×3×－2×1×－2×4×=12－3－1－4=4
（3）点P位置如图所示，P（0，）
21.（本小题满分 9 分）某校组织阳光体育特色大课间活动，现需购买一批排球和跳绳。已知购进 1 个排球和 3 根跳绳共花费 40 元，购进 3 个排球和 2 根跳绳共花费 85 元。
（1）求购进的排球和跳绳的单价；
（2）现需购买这两类运动设备共 150 件，并且购买费用不超过 1200 元，最多购买多少个排球？
解：（1）设购进的排球单价是 x 元，跳绳单价是 y 元
根据题意得：
解得
答：购进的排球单价是25元，跳绳单价是5元：
（2）设购买排球 a 个，则购买跳绳（150-a ）
根据题意得：25a+5(150-0)≤1200
解得a≤22.5
∵a 为正整数，所以有最大值22。
答；最多购买22个排球。
22.（本小题满分 10 分）小明准备购买迎新春贺卡送给同学，他可以在甲、乙两个商店买到同款贺卡，两个商店的标价均为每张 5 元。其中甲商店的优惠条件是：从第 1 张开始就按标价的八五折销售；乙商店的优惠条件是：购买 10 张以上，从第 11 张开始按标价的七折销售。设小明购买贺卡的数量为x张（x为正整数），在甲商店购买的总费用为y1元，在乙商店购买的总费用为y2元。
（1）求y1与x之间的函数关系式，以及当x>10时，y2与x之间的函数关系式；
（2）若小明购买的贺卡数量大于 10 张，选择哪一家商店更划算？
解：（1）甲商店： y1=5x0.85x=4.25x
乙商店：x>10时， y2=5x10+5x0.7(x-10)=3.5x+15;
(2)由 y1=y2，得4.25x=3.5x+15，解得 x =20;
由y1＞y2，得4.25x>3.5x+15，解得 x >20;
由y1＜y2，得4.25x>3.5x+15，解得 x <20。
因为 x>10，所以当x=20时，甲、乙两家商店的费用相同，选择哪家商店都可以：当10
（1）小明利用平均数、方差进行分析。通过计算平均数得= 秒，=15.25秒，可以看出__________队的平均成绩更好；通过计算方差SA2= ，SB2=1.1875，可以看出__________队队员之间的水平更加均衡；
（2）小颖利用四分位数、箱线图进行分析。
①A 队队员成绩的m25= ，B 队队员成绩的m75= ；
②A 队队员成绩的中位数__________B 队队员成绩的中位数（填 “＞”，“=” 或 “＜”），且__________队选手间成绩差异较大；
（3）请你结合小明和小颖的数据分析，从 A，B 两队中选择一个队伍参加运动会接力赛，并说明理由。
(1)14 A 0.75 A
(2)13 16 < B
(3）选 A 队
对比平均数和中位数， A 队整体成绩更好（速度更快）：对比方差、四分位数和箱线图， A 队队员成绩更加均衡稳定，考虑到接力赛对于个人成绩和团队合作的需求，选择 A 队。
24.（本小题满分 12 分）如图 1，直线BC：y=x 3与x轴、y轴分别交于B，C
两点，直线AB与x轴、y轴分别交于B，（0，6）两点。
（1）请求出点B，C的坐标及直线AB的解析式；
（2）若点D为直线BC上的一个动点，过点D作直线DE⊥x轴，垂足为E，交直线AB于点F，当DF=3时，求点E坐标及△BDF的面积；
（3）点P为线段OB上一点，若∠BCP=45 ，请求出点P的坐标。
解：（1）直线 BC : y =x -3当 x =0时，y=0-3=-3
∴点C 的坐标为（0,-3)
当y=0，0=x -3
解得 x =6
∴B 的坐标为（6,0)
设直线 AB 的解析式为： y=kx +b
将点4(0,6)与 B (6,0)代入y= kx+ b .
解得：
∴直线 AB 的解析式为：y =-x +6;
(2)令 E点坐标为（m ,0）
直线 DE⊥x轴
则D ( m，m -3)，F ( m，－m+6)
∵DF =3
①当﹣m +6－m+3=3时
解得m =4
∴点E 的坐标为（4,0).BE =2
∴S△BDF=DF×BE=x3x2=3
②当m-3+m－6=3时
解得 m =8
∴点 E 的坐标为（8,0)，BE =2
∴S△BDF=DF×BE=x3x2=3
（3）（1，0）
25.（本小题满分 12 分）【问题背景】学习三角形一章之后，八（1）班各学习小组打算用两个不同的等腰直角三角形设计本组的标志，小明在设计标志的过程中发现如果两个等腰直角三角形共直角顶点摆放，某些线段和角存在一定的关系。因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究。已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90 。
【初步探究】
（1）如图 1，当点D在BC边上时，连接CE，线段BD与CE的数量关系是__________，∠DCE=__________°；
【深入探究】
（2）如图 2，当点D在△ABC外时，连接BD，CE，请探究线段BD，CE的关系，并说明理由；
【拓展探究】
（3）如图 3，当点D在△ABC外时，若∠BDC=60 ，BD=2，AD=，则CD=__________。（直接写出结果）
25(1)BD=CE 90
(2）延长 BD , EC ，交于点 M 。
∵△MBC , △MDE 都是等腰直角三角形。
∴AB=AC . AD = AE . ∠BAC =∠DAE =90°.
∴∠BAC-∠DAC =∠DAE -∠DAC ，即∠BAD =∠CAE
在△BAD 和 △CAE 中
∴△BAD≌△CAE ( SAS ):
∴BD = CE ∠ABD =∠ACE .
∵∠ACE +∠ACM =180°
∴∠ABD+∠ACM =180.
又∠ABD +∠ACM +∠BAC+∠M =360°-180°-90°=90°
则BD⊥DE。
(3）4或10
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