期末预测试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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期末预测试题 2025-2026学年上学期
初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．在数学中，有很多图形是以著名的数学家的名字命名的，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．笛卡尔心形线 B．斐波那契螺旋线
C．赵爽弦图 D．伯努利双纽线
3．一元二次方程的根的情况是(　　)
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．兴仁市开展“非遗文化进校园”活动，将布依族刺绣图案进行旋转设计，若将一个图案绕某点旋转后与原图案重合，则该图案的旋转中心是对应点连线的（ ）
A．中点 B．端点 C．三等分点 D．四等分点
5．若二次函数，则它的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，点是的中点，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
7．“兴旺之地，仁义之乡”，兴仁市旅游资源丰富，鲤鱼坝是“全国特色民族村寨”、东湖公园适合步行、放马坪素有“高原塞外”之称、马金河景区被称为“城北后花园”．小红打算周末从这四个景点中随机选择一个景点去度周末，则她刚好选到“放马坪”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，扇子上的精美图案是兴仁市某校学生在社团课上利用蜡染制作的，扇形完全打开后，扇面（即扇形）的面积为，竹条，的长均为，、分别为、的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．为传递正能量，在中考百日誓师大会上，九年级各班决定互送励志祝福．若规定每个班要给本年级其他所有班级各送1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是132条，则九年级的班级数为（ ）．
A．11 B．12 C．13 D．14
12．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
二、填空题
13．一元二次方程的解是 ．
14．黔西南州适宜的气候吸引了大量游客，某商家为游客提供特色小吃，随机抽取了100名游客进行口味偏好调查，其中喜欢酸辣口味的有75人，若从所有游客中随机选取1人，估计该游客喜欢酸辣口味的概率为 ．
15．将点绕原点旋转后得到点，则点的坐标是 ．
16．如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点， ，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接、，则线段长的最小值为 ．

三、解答题
17．用适当方法解方程：
18．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1)作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标；
(2)作出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
(3)求的面积．
19．如图，直线与相切于点，是的弦且平行直线，连接半径交于点，弦与交于点，连接，
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
20．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在边的延长线上，求证：．
．
21．如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为．
(1)求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)要围成面积为的花圃，的长是多少米？
22．为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
(1)m=______%，这次共抽取了_____名学生进行调查；并补全条形图；
(2)请你估计该校约有______名学生喜爱打篮球；
(3)现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
23．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．
求：
(1)桥拱的半径；
(2)现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度．
24．某高尔夫球手在如图的场地上向正东方向击出一个高尔夫球，球的高度和经过的水平距离可用公式来估计．
（1）当球的水平距离达到时，球上升的高度是多少？
（2）若在击球点正东方向101米处有一球洞，判断此高尔夫球手这一杆能否把球从点直接打入球洞点，并说明理由．
25．如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作直线的垂线交于点F，是的外接圆．
(1)求证：是的切线；
(2)过点E作于点H，求证：平分；
(3)求证：．
26．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
(3)点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B A D D A A B B
题号 11 12
答案 B D
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断即可．
【详解】解：对于A：方程含未知数x和y，不符合题意；
对于B：只含x，最高次数为2，且为整式，满足所有条件，符合题意；
对于C：含分式，不是整式方程，不符合题意；
对于D：最高次数为1，不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．B
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
4．A
【分析】图案旋转后与原图案重合，说明图案是中心对称图形，旋转中心是对应点连线的中点．
本题考查了中心对称的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：设点P旋转后得到点，旋转中心为O，
∵ 旋转相当于关于点O的中心对称，
∴ O是线段的中点，
因此，旋转中心是对应点连线的中点，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，是抛物线的顶点式，其顶点是．
直接根据顶点式作答即可．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为．
故选：D．
6．D
【分析】本题考查了圆周角定理，弦，弧，圆心角的关系，熟练掌握关系和定理是解题的关键．
先根据点是的中点，推出，再运用圆的性质和三角形的内角和性质求解即可．
【详解】解：∵点是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵在中，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
，
，
．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查基本概率计算，直接利用概率公式即可求解．
【详解】解：∵总景点数为4，且选择是随机的，
∴选到“放马坪”的概率为，
故选：A ．
【点睛】
8．A
【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线开口向下，对称轴为直线，比较各点到对称轴的距离，距离越大函数值越小，即可得出结果，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
∵点，，在抛物线上，且，
∴，
故选：A．
9．B
【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出的度数，由旋转可知，在根据平角的定义求出的度数即可．
【详解】∵，
∴，
∵由旋转可知，
∴，
故答案选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键．
10．B
【分析】本题考查扇形面积公式与弧长公式的综合应用，需先通过大扇形的面积求出圆心角，再结合中点条件确定小扇形的半径，进而计算弧长．
【详解】解：设扇形的圆心角为．
根据题意，得：，
解得，
即圆心角．
∵、分别为、的中点，
∴，
∴的长为．
故选：B．
11．B
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意并根据等量关系列方程是解题关键．
设班级数为n，则每个班送出条祝福，总祝福数为，解二次方程求n即可．
【详解】解：设九年级的班级数为，则每个班需要送出条祝福，
根据题意，可列方程，
化简，得，
解得，，（负值舍去）
∴九年级一共有12个班．
故选：B．
12．D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与其系数间的关系等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据该二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点位置分析的符号，即可判断结论①②；由函数图象可知，当时，，即可判断结论③；结合当时，该二次函数取最小值，易知（为实数），即可判断结论④．
【详解】解：根据题意，该函数图象开口向上，
∴，
∵对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵该函数图象与轴交于负半轴，
∴当时，，
∴，故结论①正确；
由图象可知，当时，，
∴，又，
∴，即，故结论③正确；
∵当时，该二次函数取最小值，
∴（为实数），
即（为实数），故④正确；
综上所述，结论正确的有①②③④，合计4个．
故选：D．
13．x1＝3，x2＝﹣3．
【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．
【详解】∵
∴=9，
∴x=±3，
即x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为x1＝3，x2＝﹣3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键.
14．
【分析】根据简单的概率公式计算即可．本题考查了简单的概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：根据简单的概率公式，得从所有游客中随机选取1人，估计该游客喜欢酸辣口味的概率为，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查关于原点对称的点坐标，掌握好点坐标的变化规律是关键．
一个点关于原点对称后，其横纵坐标都会变为相反数．
【详解】解：∵点绕原点旋转后得到点，
∴，，
∴点的坐标为，
故答案为：．
16．
【分析】连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，证明，可得，由勾股定理可得，根据，即可得出的最小值．
【详解】解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，

，
，
在与中，
，
，
，
正方形中，，是边的中点，
，
，
，
，
，
线段长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理．解题的关键是掌握图形旋转的性质．
17．，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用公式法解方程即可．
【详解】解：
，，，
∴，
∴，
18．(1)作图见解析，点的坐标为，
(2)作图见解析，点的坐标为
(3)
【分析】本题主要考查平移作图，画旋转图形，三角形的面积；
（1）根据平移变换的定义作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据旋转变换的定义作出旋转后的对应点，再首尾顺次连接即可．
（3）连接，根据长方形的面积减去一个小正方形和三个三角形的面积即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标为，
（2）如图所示，即为所求，点的坐标为
（3）如图，连接，
∴的面积为
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的性质，垂径定理，圆周角，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键．
（1）连接，先证明直线l，，可推导出，则，根据，得到，即可解答；
（2）根据勾股定理，先求出，证明，得到，即可解答．
【详解】（1）证明：连接
直线是切线，
直线，
平行直线，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，
，
，
20．见解析
【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，由旋转的性质得，；由B，C，E三点在同一直线上可得，从而可证明为等边三角形，得，再证明，根据“内错角相等，两直线平行”可得结论．
【详解】证明：∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，．
∵B，C，E三点在同一直线上，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
∴，
∴．
21．(1)
(2)8
【分析】（1）设花圃的宽为，面积为，则的长为米，然后根据长方形的面积公式，即可求解；
（2）根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设花圃的宽为，面积为，则的长为，
∴，
∵，
∴．
∴S与x的函数关系式为．
（2）解：根据题意得：，
即，
解得：．
∵，
∴．
答：要围成面积的花圃，的长是8米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列函数关系式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．(1)20，50，见解析
(2)360
(3)
【分析】本题考查的是用列表法与树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）由题意分别列式计算即可；
（2）由该校学生人数乘以喜爱打篮球的学生所占的百分数即可；
（3）列表得出共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：，
这次共抽取了学生人数为（名），
喜欢打乒乓球的人数为，
补全条形统计图如下：
；
（2）解：该校喜爱打篮球的人数：（名）；
（3）解; 列表如下：
男 男 男 女
男 —— （男，男） （男，男） （男，女）
男 （男，男） —— （男，男） （男，女）
男 （男，男） （男，男） —— （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，男） ——
共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有6种，
∴抽到一男一女学生的概率．
23．(1)桥拱的半径为50米；
(2)水面上涨的高度为10米．
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用．
（1）根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）如图2，由垂径定理求出，由勾股定理求出，得出即可．
【详解】（1）解：如图1，
设圆的半径是r，
则由垂径定理知，于F，点F是的中点，
∴，，
由勾股定理知，，
则：，
解得：；
即桥拱的半径为50米；
（2）解：设水面上涨后水面跨度为60米，交于H，连接，如图2所示，
则米，
∴（米），
∵（米），
∴（米）；
答：水面上涨的高度为10米．
24．（1）；（2）不能，理由见解析
【分析】（1）直接代入计算即可求解；
（2）代入可得关于d的方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）当时，
．
答：当球的水平距离达到时，球上升的高度是．
（2）不能，理由如下：
当时，，
解得（舍去），
∵，
∴此高尔夫球手这一杆不能把高尔夫球从点直接打入球洞点．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，准确运用相关知识是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线性质与判定，平行线判定及性质，三角形内角和定理，全等三角形性质与判定，正确作出辅助线是解决本题的关键．
（1）根据题意得，即可得到，利用角平分线性质可得，再利用平行线判定及性质得和本题结论；
（2）根据题意得，再利用三角形内角和定理得，继而得到本题答案；
（3）根据题意利用角平分线性质得，再利用三角形内角和定理得，后利用全等三角形判定及性质即可得到本题答案．
【详解】（1）解：证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴是圆O的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
（3）解：证明：如图，连接．
∵是的平分线，于C，于H，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．(1)；
(2)存在，最大值为；
(3)不存在．理由见解析．
【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质等知识点．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，且，求得，，，利用三角形的面积公式列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：对于直线，
令，则，
∴，
设，且，
∴，，
∴，
∴，
∵，对称轴为直线，
∴时，的值随的增大而增大，
∴当，有最大值，最大值为；
（3）解：∵轴，
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，
∴M点纵坐标为，
∴，
解得或，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
点的坐标为，点的坐标为，
此时，，，
，则不是以为腰的等腰直角三角形，
∴不存在这样的点，使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形．
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