湖北省随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试卷（含答案）

曾都一中 2025 级高一上学期 1 月月考数学试卷
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1．已知 ，若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知弧长为 的弧所对的圆心角为 ，则该弧所在的扇形面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知角 的终边过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．心理学家用函数 测定在时间 （单位： ）内能够记忆的量 ，其中
表示需要记忆的量， 表示记忆率.假设某个学生需要记忆的量为 个成语，此时 表示
在时间 内该生能够记忆的成语个数.假设该生在 内能够记忆 个成语，则 的值大约
为（ ）（ ， ）
A． B． C． D．
6．已知 ，且 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．1 D．3
7．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知 ，那么下列命题中成立的是（ ）．
A．若α、β是第一象限角，则 ； B．若α、β是第二象限角，则
；
C．若α、β是第三象限角，则 ； D．若α、β是第四象限角，则
．
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二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分)
9．下列说法中正确的有（ ）
A．函数 在定义域内不是减函数
B． 与 是同一个函数
C．函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
D．关于 x 的方程 有两个不等的正实数根的充要条件是
10．设 ，则下列式子正确的有（ ）
A． B．
C． D．2
11．若函数 为奇函数， 为偶函数，且当 时， ，则（ ）
A．f(e)>0 B． 周期为 4
C．当 时， D． 为偶函数
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12．已知 ， ，则 的取值范围为 .
13．函数 的定义域是 ．
14．已知函数 ，若 在区间 上恰有 3 个零点，则 的取
值范围是 .
四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．已知集合 ， ．
(1)当 时，求 ；
(2)若 且 ，求 的最小值．
16．已知 ．
(1)若 的始边为 x 轴的非负半轴，终边过点 ，求 的值；
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(2)若 ，且 ，求 的值．
17．已知函数 的最小正周期为 ，且 的图象关于
直线 对称.
(1)求 的解析式.
(2)求 在 上的单调递减区间.
(3)求 在 上的值域.
18．已知定义在 上的函数 ，且满足， ，函数
．
(1)求 的解析式；
(2)若不等式 恒成立，求实数 a 取值范围；
(3)设 ，若对任意的 ，存在 ，使得 ，求实数
m 取值范围．
19．定义在 上的函数 ，如果满足：存在常数 ，对任意 ，都有
成立，则称 是 上的有界函数，其中 称为函数 的上界.
(1)判断函数 ， 是否是有界函数并说明理由；
(2)已知函数 ，若函数 在 上是以 5 为上界的有界函数，求实
数 的取值范围；
(3)若 ，函数 在区间 上是否存在上界 ，若存在，求出 的
取值范围，若不存在请说明理由.
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曾都一中 2025 级高一上学期 1 月月考数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D B A C C D ACD BD
题号 11
答案 ABC
12． 13． 14．
15．(1) (2)5
【详解】（1）当 时，由 ，得 ，
解得 ，即 ..................................2 分
由 ，解得 ，即 .................4 分
所以 ........................................................5
（2）由 ，得 ，因为 ，所以 ，即 ..........6 分
由 ，得
当 时，解得 ，即 ，此时 ，不符合题意..............8 分
当 时， ，此时 ，不符合题意.........................................9 分
当 时，解得 ，即 ，此时 ，符合题意
因为 ，所以 .............................................................11 分
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号.....................................................12 分
所以 的最小值为 5...................................................................13 分
16．(1) ；(2) .
【详解】（1）由题设 ， ，则 ，.....................................3 分
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所以 ；................................................6 分
（2）由题设 ，则 ，
所以 ， ，则 ，
所以 ，.....................................................................................10 分
所以 .................................................15 分
17．(1) (2) (3)
【详解】（1）因为函数 的最小正周期为 ，
所以 ，解得 ，所以 ...........................................2 分
由于函数 关于 对称，
所以 ，解得
又 ，所以令 ，得 .......................................................................4.分
所以 .......................................................................................5 分
（2）由（1）知， .
当 时，函数单调递减，
此时 ........................................................................8 分
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上的单调递减区间为 ...................................10 分
（3）由（1）知， .
因为 ，所以 ..............................................................12 分
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所以 ，所以 ................................................14 分
所以 在 上的值域为 ............................................................15 分
18．(1) ；(2) ；(3) .
【详解】（1）因为 ，且 ，
所以 ，
即 ，解得 ，.......................................................................3 分
所以 ；..................................................................................4 分
（2）因为 ，
又因为 在 R 上均单调递增，
所以 在 R 上均单调递增，
所以不等式 恒成立，
即为不等式 恒成立，.........................................................................6 分
即不等式 恒成立，
所以 恒成立，
令 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，.....................................................................8 分
所以 ，即实数 的取值范围为 ；....................................................................9 分
（3）由（2）可知 在 R 上均单调递增，
所以当 时， ，
又因为对任意的 ，存在 ，使得 ，
所以 ，即 ，....................................................................11 分
又因为 ，开口向上，对称轴为 ， ，
当 时， 在 上单调递减，
所以 ，
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由 ，解得 ，
又因为 ，所以 ；............................................................................................13 分
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
由 ，解得 ，
又因为 ，所以 ；...................................................................................15 分
当 时， 在 上单调递增，
所以 ，
由 ，解得 ，
又因为 ，所以 ；..............................................................................16 分
综上， ，实数 的取值范围为 ...............................................................17 分
19．(1) 是有界函数，理由见解析(2)
(3)存在，当 时， ；当 时，
【详解】（1） 是有界函数，理由如下：
，由 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，则 ，
故 恒成立，即该函数是有界函数；.......................................................4 分
（2）由题意可得 对任意 恒成立，
令 ，则 ，即有 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
当 时，有 ，
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由对勾函数性质可得 在 上单调递减，故有 ；
当 ，有 ，
由 在 上单调递增，故 ；
综上所述： ；......................................................................8 分
（3） ，令 ，则 ，......................9 分
令 ，由 ，则 在 上单调递减，
则 ，故 ，.........................................................11 分
故函数 在区间 上存在上界 ，
当 ，即 ，整理得 ，
又 ，即 时， ；.................................................14 分
当 ，即 ，整理得 ，
又 ，即 时， ；
故存在，且当 时， ；.........................................................16 分
当 时， ...........................................................................17 分
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