江苏省扬州市2026届高三上学期1月期末调研考试（一模）数学试卷（图片版，含答案）

高三数学试卷
注意事项：
1.答题前-，考生务-必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5亳米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1.设A={x∈Z|x2<9},B={0,1,2,3},则集合AUB中元素的个数为 ( ).A.3 B. 4 C. 5 D.62.已知复数z满足(1-i)·z=1+i,则|z|等于A.1 B. √2 C.2 D.√33.3岩P(x ,4)为抛物线y2=4x上一点，则点P到其焦点的距离为 (A.4 B.5 C. 2√5 D.64.己知函数 为奇函数，则a+b的值为 · ).
A. 0 B.-2 C. 2 D.1
5.已知第一组数据x ,x ,x, ,x的平均数为x,方差为s2,第二组数据x,x ,x,, ,x,x
的平均数为x,方差为s12,则
A.x=x,s2>s12 B. x=x,s2s12 D.x≠x',s
6.函数y=sin(2x--3)-cosx在区间[0,2π]上的零点个数为
A3 B. 4 C.5 D.6
7.在无穷正项等差数列{a.}中，记S,为数列{a}的前n项和，则“a =3a +2”是“数
列{√S。+n}是等差数列”的 ( ).
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
8.已知双曲线的左、右焦点为F、F ,P为双曲线的右支上一点，直线PF,与左支交于
点A,且AP=AF .∠F PF 的平分线与x轴交于点B,FB=EF,,则双曲线C的
离心率为 ( ).
A. √2 B.√3 C. √5 D. √7
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知a,b,c都是单位向量，且a·b=0,则下列结论正确的有 ( ).
A.(a+b)·(a-b)=0 B.|a+bHa-b|
C.b与a-6的夹角为五4 D.存在c,使得c=3a+55
10.已知直线1:(x-1)cosθ+ysinθ-2=0与圆C:(x-2)2+(y-1)2=16相交于A,B两点，
则下列结论正确的有 ).
A.直线1过-定点 B.直线1与圆x2+y2-2x-3=9相切，
C.点C到I的最大距离为2+√2 D. △ABC的面积恒小于8
11.对于等式o^=c.如果将a视为自变景x,b视为常数，c记为y,那么y=x 为幕函
数：如果将a(a>0,a≠1)视为常数，b视为自变量x,c记为y,那么y=a2为指
数函数：如果将a、b视为自变量x,c记为y,那么y=x2称为番指函数.关于函数
f(x)=a'(x>0),下列结论中正确的有 ( ).
A.函数f(x)在(0,+∞o)上单调递增
B.函数j(x)有最小值(
C.当0D.当0三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12.己知等比数列{a。}的前n项和为S。,且a =3,as=81.若S。=40,则
n=___.
13.已知函数f(x)= x+ax2-7x+1在(-1.3)上单调递减，则整数a的可能取值
为___.(答案不唯一，只需写出满足条件的一个值)
14.圆柱00,的轴截面为ABCD,AB为下底面圆的直径，AB=√2AD=2.点E为下底面
四周上的一点，平面ACE与上底面的交线为CF,若四边形BEDF为正方形，则四棱
锥B-CEAF的体积为_____.
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤)
15.(本小题满分13分)
记△ABC内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知a2+c2-b2=_2ac,
7
sinA=-simB.
(1)求A;
(2)若asinc=33,,求AB边上的高.
16.(本小题满分15分)
在平面直角坐标系中，已知F(-1,0),F Q,0),平面内一动点P满足|PF |,|FF |,
|PF |成等差数列，记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过点M(0,-2)的直线1交曲线C于A,B两点.
①若点A的坐标为(2,0),求线段AB的长；
②若△OMA的面积是△OMB面积的3倍，求直线1的方程.
17.(本小题满分15分)
如图，已知多面体PQABCD中，PA⊥平面ABCD,PA/IQC,底面ABCD为正方形.
(1)求证：平面PAB⊥平面QBC;
(2)若AB=2,PA=3,且平面PQB与平面ABCD所成角的余弦值为
①求线段CQ的长：
②线段PA上是否存在点M,使得平面MQB∩平面ABCD=1,且满足11/平面PAC.若
存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由. t
Q
AL D
Bl 老
18.(本小题满分17分)
某地文旅部门为了解天气状况对某景点旅游满意度的影响，分别于晴天和阴雨天在该
景点共调查了200位游客，调查结果如下表.
满意 不满意 合计
晴天 80
阴雨天 40
合计 140 200
(1)完善上述表格，并判断能否有99 把握认为当天天气状况对该景点旅游满意度有
影响；
(2)从这200位游客中任选两人，在两人调查当天的天气状况一致的条件下，试求他们
对该景点均满意的概率；
(3)当地天气多变，文旅部门根据以往数据，为游客发布如下天气信息：若第1天为晴
天，则第2天为晴天的概率为23,为阴雨天的概率为113;若第1天为阴雨天，则第2
天为阴雨天的概率为23 为晴天的概率为13 己知第1天是晴天，求第n天仍是晴
天的概率P,并求前n天晴天的天数X的期望 E(X).
附录： x2=(a+bYKc+d(a+02k +an=a+b+c+d.
α 0.010 0.005 0.001
x 6.635 7.879 10.828
19.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=ax+Inx,直线2x-y-1=0与曲线y=f(x)相切.
(1)求a的值：
(2)若对任意xe.e],,存在c∈[-e,0],使得不等式(x+1)f(x)≥x2+bx+c成立，求b的
最大值；
(3)若φ(x)=e3f(x),求证：对任意s,t∈(l,+∞),有φ(s+1)>φ(s)+φ(1).
江苏省扬州市2026届高三上学期期末考试
数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题只有一个选项符合要求
A = x Z∣x21.设 9 ,B = 0,1,2,3 ,则集合 A B 中元素的个数为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】 A = 2, 1,0,1,2 , A B = 2, 1,0,1,2,3 ,共 6 个元素.
2.已知复数 z 满足 (1 i) z =1+ i ，则 z 等于
A. 1 B. 2 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】 1 i z = 1+ i , 2 z = 2, z =1 .
3.若 P (x0 , 4) 为抛物线
2
y = 4x 上一点,则点 P 到其焦点的距离为
A. 4 B. 5 C. 2 5 D. 6
【答案】B
【解析】P (x0 , 4)
2
在抛物线 y = 4x 上， 16 = 4x0 ， x0 = 4 ， P 到焦点的距离 4+1= 5 .
2x a, x 0,

4.已知函数 f (x) = x 1 为奇函数,则 a +b 的值为
b , x 0.
2
A. 0 B. -2 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】 f (x) 为奇函数,则
f (0) = 0, 20 a = 0, a =1 f ( 1)+ f (1) = 0, b 2+ 2 a = 0, b = a =1, a +b = 2 .
5.已知第一组数据 x , x 21 2 , x3, , xn 的平均数为 x ,方差为 s ,第二组数据 x , x , x , , x , x 的平均数为 x ,1 2 3 n
方差为 s '2 ,则
A. B. C.
x = x , s2 s '2 x = x , s2 s '2 x x 2 '2
D.
, s s x x , s2 s '2
【答案】A
【解析】一组数据加上平均数后, 平均数不变, 方差变小.

6.函数 y = sin 2x cosx 在区间 0,2 上的零点个数为
3
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B

【解析】画作 y = sin 2x 与 y = cosx 的图象,两个函数共有 4 个交点.
3
7.在无穷正项等差数列 an 中,记 Sn 为数列 an 的前 n 项和,则 “ a2 = 3a1 + 2 ” 是 “数列 Sn + n
是等差数列” 的
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】当 a2 = 3a1 + 2 时,则 a1 + d = 3a1 + 2, d = 2a + 2
1
n(n 1) n (n 1)
Sn = na1 + d = na1 + (2a1 + 2) = na1 + n(n 1)(a1 +1) = n
2a1 + n
2 n
2 2
S + n = n2a 2
是等差数列,充分; 当 S + n 是等差
n 1 + n = n
2 (a1 +1) ,
n
Sn + n = a1 +1n, Sn + n
数列时, Sn + n = An+ B ,
2
Sn = (An+ B) = A
2n2 + 2ABn+ B2 n, S 是等差数列的前 n n 项和
n (n 1) d d
B2 = 0,Sn = A
2n2 n 2 ,而 Sn = na1 + d = n + a1 n ,
2 2 2
d
a1 = 1, d = 2a1 + 2, a2 = 3a1 + 2 ,必要.
2
8.已知双曲线的左、右焦点为 F1 、 F2 ,P 为双曲线的右支上一点,直线 PF1 与左支交于点 A ,且
2
AP = AF2. F1PF2 的平分线与 x 轴交于点 B,F2B = F2F1 ,则双曲线 C 的离心率为
5
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】D
PF1 BF1 3
【解析】方法一: PB 为 FPF 角平分线, = =1 2 , PF2 BF2 2
PF1 PF2 = 2a, PF1 = 6a,PF2 = 4a, AF2 AF1 = 2a ,
AF2 (PF1 PA) = 2AF2 6a = 2a, AF2 = 4a, AF1 = 2a, PAF2 = 60

,
1
F1AF2 =120
, 4c2 = 4a2 +16a2 2 2a 4a = 28a
2 , c2 = 7a2 , e = 7 .
2
PF1 F1B
方法二: 由角平分线条件 = ,
PF2 F2B
2 2 4c 4c 6c
又 F2B = F2F1 = 2c = , F1B = F1F2 F2B = 2c =
5 5 5 5 5
6
PF
1
3
= 5 = ,令 PF1 = 3t,PF2 = 2t ,则 PF1 PF2 = t = 2a t = 2a
PF 42 2
5
PF1 = 6a,PF2 = 4a . 又 A,P,F1 共线且 AP = AF2 ,若 F1 在 PA 上,
则 AP = PF1 + AF1 = AF2 AF2 AF1 = PF1 = 6a 与 AF2 AF1 = 2a 矛盾
A 在 PF1 线段上, PF1 = AP+ AF1 ,又 AP = AF2 , PF1 = AF2 + AF1
联立
AF2 + AF1 = PF1 = 6a
AF2 = 4a, AF1 = 2a, AP = 4a
AF2 AF1 = 2a
PF2 = AP = AF2 = 4a, APF2 为正三角形, APF2 = 60

,且 PA 与 PF1 同线
2 2 2 F1PF2 = 60 . 在 F1PF2 中, (2c) = (6a) + (4a) 2 6a 4a cos60

c
= 36a2 +16a2 24a2 = 28a2 , c2 = 7a2 ,e = = 7 .
a
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。

9.已知 a,b,c 都是单位向量，且 a b = 0 ，则下列结论正确的有

A. (a +b ) (a b ) = 0 B. a +b = a b
3 4
C. b 与 a b 的夹角为 D. 存在 c ,使得 c = a + b
4 5 5
【答案】ABD

【解析】 (a +b )(a b ) = a2 b 2 =1 1= 0 , A 对.
2 2
a +b = a2 + 2a b +b 2 = 2, a b = a2 2a b +b 2 = 2, a +b = a b ,B 对.

与 a b 夹角为 1 2
b (a b ) = 1, cos b,a b = = , b
1 2 2
3 9 24 16 9 16
c 2 = a2 + a b + b 2 = + =1 , D 对.
4 25 25 25 25 25
( ) 2 210.已知直线 l : x 1 cos + ysin 2 = 0 与圆 C : (x 2) + ( y 1) =16 相交于 A,B 两点,则下列结论正
确的有
A. 直线 l 过一定点
B. 直线 2 2 l 与圆 x + y 2x 3 = 0 相切
C. 点 C 到 l 的最大距离为 2+ 2
D. ABC 的面积恒小于 8
【答案】BC
【解析】直线 l 不可能过定点, A 错.
圆 x2 + y2 2x 3 = 0 ,圆心 (1,0) ,半径 2,直线 l : xcos + ysin cos 2 = 0
直线 l 与 x2 + y2 2x 3 = 0 相切, 对.
cos cos 2 B
d = = 2 = r,
cos2 + sin2
2cos + sin cos 2
C (2,1) 到直线 l 距离 d = = cos + sin 2 = 2sin + 2 2 + 2,C 1
1 4
对.
1 2
S = 2 16 d 2d 4 2 2 ABC 1 1 = d1 +16d1 = (d1 8) + 64,d 21 = 8 即 d1 = 2 2 时, (S ABC ) = 8 ，D
2 max
错.
b
11.对于等式 ab = c ,如果将 a 视为自变量 x,b 视为常数, c 记为 y ,那么 y = x 为幂函数; 如果将
a (a 0,a 1) 视为常数, b 视为自变量 x,c 记为 y ,那么 y = ax 为指数函数; 如果将 a 、 b 视为自变量
x,c x 记为 y ,那么 y = xx 称为幂指函数. 关于函数 f (x) = x (x 0) ,下列结论中正确的有
A. 函数 f (x) 在 (0,+ ) 上单调递增
1
e
B. 函数 f (x) 有最小值 1

e
1
e 1
C. 当 1 0 a 时,方程 = logax 无实根
e x
ax
D. 当 0 a 1 时,函数 h (x) = e elnf (x) 有两个极值点
【答案】BCD
1 1 1
【解析】令 g (x) = lnf (x) = lnxx = xlnx, g (x) = lnx +1= 0 x = , g (x) 在 0, 单调递减, ,+ 单
e e e
1
1 1
调递增,即 f ( ex) 在 0, 单调递减 ,+ 单调递增, A 错.
1 1
f (x) = f = ,B 对.
e e min e e
1
1 lnx 1 e 1
= logax = , lna = xlnx = lnx
x , a = f (x) ,0 a 时, = logax 无实根, C 对.
x lna e x
e
对于 D,0 a 1 时, h (x) = eax exlnx,h (x) = aeax e(lnx +1) , h (x) = a2eax 在 (0,+ ) 单调递增,
x
2 ax e
h (1) 0,h (x) = 0 有且仅有一个零点 x0 a e 0 = 且 x0 1,h (x) 在 (0, x0 ) 单调递减, (x0 ,+ ) 单调x0
递增
e 1 e
h (x) = h (x0 ) = ae
ax0 e(lnx0 +1) = e (lnx0 +1) = e
ax0
min lnx0 1 ax0e = e,ax0 ax0 a
p (x) x ( ) = xe x 0 , p (x) = (x +1)ex 0, p (1) = e, p (ax0 ) p (1) ,
, h x , h x , D , BCD.
1 如图 ( ) 有两个零点 ( ) 有两个极值点 对 选
ax0 1, 1 0, lnx0 0, h (x) 0
ax min0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12.已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 = 3,a5 = 81 . 若 S n =n = 40 ,则 ________.
【答案】4
a5 = 27 = q3【解析】 , q = 3,a1 =1,S4 = 40, n = 4 .
a2
1
13.已知函数 f (x) = x3 + ax2 7x +1 在 ( 1,3) 上单调递减，则整数 a 的可能取值为_______(答案不唯一,
3
只需写出满足条件的一个值).
【答案】 可取 3, 2, 1 任何一个
2
【解析】 f (x) = x + 2ax 7 0 在 ( 1,3) 恒成立,
1 2a 7 0

9+ 6a 7 0
1
3 a , a 可取 3, 2, 1 任何一个 .
3
14.圆柱 OO1 的轴截面为 ABCD, AB 为下底面圆的直径， AB = 2AD = 2 . 点 E 为下底面圆周上的一点,
平面 ACE 与上底面的交线为 CF ,若四边形 BEDF 为正方形，则四棱锥 B CEAF 的体积为________.
【答案】 6
3
【解析】方法一: 如图建系,
A(0, 1,0) ,B (0,1,0),C (0,1, 2 ),D (0, 1, 2 ),E (cos ,sin ,0)
设平面 ACE 的法向量
n AE = 0 xcos + (sin +1) y = 0
n = (x, y, z) , ,
n AC = 0 2y + 2z = 0
不妨设 y = cos ,则 x = sin 1, z = 2cos ,

n = ( sin 1,cos , 2sin ) ,F (x0 , y0 , 2 ),CF = (x0 , y0 1,0),CF n = 0
x0 ( sin 1)+ cos ( y0 1) = 0 ①

BEDF 为正方形, BE = (cos ,sin 1,0) ,FD = ( x0 , 1 y0 ,0) ,
, cos = x , ②
BF = (x0 , y 00 1, 2 ) , ,BE BF = 0
sin 1= 1 y0 , ③
x0cos + ( y0 1)(sin 1) = 0 ,④
2
cos2 + (sin 1) = x2
2
+ ( y 1) + 2 ⑤, 0
由①②③④⑤解得
1
sin = 2

1y =
0 2

3cos =
2

3x0 =
2
3 1 3 1 3 3 3 1
E , ,0 ,F , , 2 ,CE = , , 2 , AE =
, ,0 ,
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3
FA = , , 2 , AE CE = 0,CE = FA, CEAF 为矩形,
2 2
1 3 3
SCEAF = 5,n = , , ,B 到平面 ACE 距离
2 2 2

BA n 3 2 3 1 2 3 6
d = = = V = 5 =
n . 10 10 3 10 3
2
方法二: AB = 2, AD = 2 ,设 AE = x, BE = 4 x2 ,DE = 2+ x2 四边形 BEDF 为正方形,
BE = DE 4 x2 = 2+ x2 x =1 ,
1 1 6
AE =1,BE = 3, VB CEAF = 2VB AEC = 2VC ABE = 2 3 2 = .
3 2 3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
2 2 2 2 7
15.记 ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a,b,c ,已知 a + c b = ac,sinA = sinB.
7 8
(1) 求 A ；
3
( 2 )若 asinC = 3 ，求 AB 边上的高 .
2
a2 + c2 b2 1 4 3
【解析】(1) cosB = = , sinB =
2ac 7 7
7 4 3 3
sinA = = , A = .
8 7 2 3
3 1 1 4 3 3 3 3 3 14
(2) sinC = sin (A+ B) = + = , a = = 7
2 7 2 7 14 2 3 3
4 3
AB 边上的高 h = asinB = 7 = 4 3 .
7
16.在平面直角坐标系中，已知 F1 ( 1,0) ,F2 (1,0) ，平面内一动点 P 满足 PF1 , F1F2 , PF2 成等差数列,记
点 P 的轨迹为曲线 C .
(1)求曲线 C 的方程；
(2)过点 M (0, 2) 的直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点.
①若点 A 的坐标为 (2,0) ，求线段 AB 的长；
②若 OMA 的面积是 OMB 面积的 3 倍，求直线 l 的方程.
【解析】(1) PF1 , F1F2 , PF2 成等差数列， PF1 + PF2 = 2 F1F2 = 4(4 F1F2 )
P 的轨迹为椭圆且 2a = 4,a = 2,c =1, b = 3
x2 y2
曲线 C 的方程为 + =1 .
4 3
(2)① 当 A(2,0) 时， kl = kMA =1 ，直线 l 方程为 y = x 2
y = x 2 2
(7x 2)(x 2 = 0, x = ,
3x2
) B
+ 4y
2 =12 7
2 12 2
AB = 1+1 x x = 2 2 = . A B
7 7
S OMA MA
② = = 3 ，设 A(x1, y1 ) ,B (x2 , y2 ) ， xS MB 1
= 3x2 ①
OMB
设直线 l 方程为 y = kx 2
y = kx 2
(3+ 4k 2 ) x2 16kx + 4 = 0,Δ 0
3x2 + 4y2 =12
且 由 ,代入③
16k 12k
x1 + x2 = x1 = 3+ 4k 2 3+ 4k 2
①②
4 4kx x
1 2
= x2 =
3+ 4k 2 3+ 4k 2
48k 2 4 6
= k =
2
3+ 4k 2
(3+ 4k 2 ) 4
6
直线 l 的方程为 y = x 2 .
4
17.如图，已知多面体 PQABCD 中， PA⊥ 平面 ABCD ， PA / /QC ，底面 ABCD 为正方形.
(1)求证:平面 PAB ⊥ 平面 QBC ；
14
(2)若 AB = 2,PA = 3 ，且平面 PQB 与平面 ABCD 所成角的余弦值为 .
7
①式线段 CQ 的长；
②线段 PA 上是否存在点 M ,使得平面 MQB 平面 ABCD = l ,且满足 l / / 平面 PAC . 若存在,试确定点
M 的位置; 若不存在,请说明理由.
【解析】
(1)证明: PA⊥ 平面 ABCD ， PA⊥ BC ，又 BC ⊥ AB ， PA AB = A
BC ⊥ 平面 PAB, BC 平面 QBC, 平面 PAB ⊥ 平面 QBC .
(2)①如图建系，设 CQ = m ， P (0,0,3) ， Q (2,2,m) ， B (2,0,0)

PQ = (2,2,m 3) ,PB = (2,0, 3) ,设直线 PQB 的一个法向量
2x + 2y + (m 3) z = 0
n1 = (x, y, z) n1 = (3, m, 2) ,
2x 3z = 0

而平面 ABCD 的一个法向量 n2 = (0,0,1)

n1 n2 2 14
= = m =1, CQ =1 .
n n 13+m2 1 71 2
1
② 设 MA = PA ，当 0 时，由 MA = 3 ，延长 QM ,CA 延长线于点 G
3
6 2 6 6
AG = , l = BG ,此时 G , ,0 ,
1 3 3 1 3 1
2 6
若 l / / 平面 PAC BG / /AC ,而 BG = , ,0
3 1 3 1
2 6 1
AC = (2,2,0) ,此时 = = ,舍去
3 1 3 1 3
1
当 1 时,仿上,也舍
3
1 1
当 = 时,交线 l / /AC, l / / 平面 PAC 符合, =
3 3
MA =1,M 为 PA 上靠近 A 的三等分点 .
18.某地文旅部门为了解天气状况对某景点旅游满意度的影响，分别于晴天和阴雨天在该景点调查了 200 位游
客，调查结果如下表.
满意 不满意 合计
晴天 80
阴雨天 40
合计 140 200
(1)完善上述表格，并判断能否有 99%的把握认为当天天气状况对该景点旅游满意度有影响;
(2)从这 200 位游客中任选两人，在两人调查当天的天气状况一致的条件下，试求他们对该景点均满意的概率；
(3)当地天气多变，文旅部门根据以往数据，为游客发布如下天气信息:若第 1 天为晴天,则第 2 天为晴天的概率
2 1 2 1
为 ,为阴雨天的概率为 ; 若第 1 天为阴雨天,则第 2 天为阴雨天的概率为 ,为晴天的概率为 . 已知第
3 3 3 3
1 天是晴天, 求第 n 天仍是晴天的概率 Pn ,并求前 n 天晴天的天数 X 的期望 E (X ) .
2
n (ad bc2 )
附录: = ,n = a +b+ c + d .
(a +b)(c + d )(a + c)(b+ d )
0.010 0.005 0.001
x 6.635 7.879 10.828
【解析】(1)2×2 列联表如下:
满意 不满意 合计
晴天 80 20 100
阴雨天 60 40 100
合计 140 60 200
2
200
2 (80 40 20 60) = 9.524 6.635
100 100 140 60
有 99% 的把握认为当天天气状况对该景点旅游满意度有影响.
(2)记事件 A 为两个调查当天的天气状况一致，事件 B 为他们对该景点均满意
n (AB) C2 +C2 493
P (B∣A) = = 80 60 =2 2 n (A) C100 +C100 990
2 1 1 1
(3)由题意知 pn+1 = Pn + (1 Pn ) = Pn +
3 3 3 3
1 1 1 1 1
Pn+1 = Pn ,P1 =1, P1 = 0
2 3 2 2 2
1 1 1
Pn 成首项为 ,公比为 的等比数列
2 2 3
n 1 n 1
1 1 1 1 1 1
Pn = Pn = +
2 2 3 2 2 3
某一天要么是晴天,要么是雨天,它符合两点分布
1, 第 i 天为晴天
记第 i 天为 i ，且 i ={
0, 第 i 天为雨天
1
n
1
1
n n n
n
n 2 3 n 3 1
E (X ) = E i = E ( ) = P = +

i . i = + 1 1 i=1 i=1 i=1 2 2 41 3
3
19.已知函数 f (x) = ax + lnx ,直线 2x y 1= 0 与曲线 y = f (x) 相切.
(1)求 a 的值；
1 2
(2)若对任意 x ,e ，存在 c e,0 ，使得不等式 (x +1) f (x) x
2 +bx + c 成立,求 b 的最大值;
e
x
(3)若 = e f (x) ，求证:对任意 s, t (1,+ ) ，有 (s + t ) (s)+ (t ) .
【解析】(1)设切点为
1
1 1 a + = 2 x0 =1(x0 ,ax0 + lnx0 ) , f (x) = a + ,k = a + x0 , a =1
x x a =10
2x0 ax0 lnx0 1= 0
1
(2)对 x
2
,e , c e,0 使 (x +1)(x + lnx) x
2 +bx + c
e
先处理 3,固定住 x, c e,0 使之成立,即 xlnx + x + lnx bx + c 成立
只需 xlnx + x + lnx bx e 即可!
1
再处理 ,即 xlnx + x + lnx bx e 对 x ,e
2
恒成立
e
xlnx + x + lnx + e (x +1) lnx + x + e (x +1) lnx + x + e
b = ,b
x x x min
(x +1) lnx + x + e
令 g (x) = ,
x
1
lnx +1+ +1 x (x +1) lnx + x + e x x lnx +1 e g (x) = =
x2 x2
1
令 h(x) = x lnx +1 e,h (x) =1 ,
x
1
h (x) 在 ,1
2
上单调递减; (1,e 上单调递增
e
1 1 1 1
而 h = + 2 e 0 ,当 x ,1 时, h(x) h 0 ,
e e e e
当 x (1,e2 时,注意到 h (x) 单调递增且 h (e) = 0
1
当 x e 时, h (x) 0, g (x) 0, g (x) 单调递减;
e
当 e x e2 时, h (x) 0, g (x) 0, g (x) 单调递增
e+1+ e+ e 1 1 1
g (x) = g (e) = = 3+ , b 3+ ,b
min max
= 3+
e e e e
x
(3) (x) = e (x + lnx) ,要证: (s + t ) (s)+ (t )
只需证: (x + t ) (x) (t ) 0 ,其中 x, t 1
令 F (x) = (x + t ) (x) (t ) , x 1,F (x) = (x + t ) (x)
x 1 x x 1
而 (x) = e (x + lnx)+ 1+ e = e x + + lnx +1 , x 1
x x
x 2 1 (x) = e x + + lnx + 2 0, (x) 在 (1,+ 2 ) 上单调递增
x x
而 x + t x 1, (x + t ) (x) 0, F (x) 0,F (x) 在 (1,+ ) 上单调递增
F (x) F (1) = (1+ t ) (1) (t ) = (1+ t ) (t ) e
下只需证: (1+ t ) (t ) e 0, t 1 ,令 G (t ) = (1+ t ) (t ) e, t 1
G (t ) = (1+ t ) (t ) 0, G (t ) 在 (1,+ ) 上单调递增,
G (t ) G (1) = (2) (1) e ,只需证: (2) (1) e 0 ,
2
而 (2) (1) e = e (2+ ln2) 2e 0 显然成立
(x + t ) (x)+ (t ) 对 x, t 1 恒成立,令 x = s (s + t ) (s)+ (t ) .