2025-2026学年苏科版八年级数学上册期末常考点复习题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年苏科版八年级数学上册期末常考点复习题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 6.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-23 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年苏科版八年级数学上册期末常考点复习题
一．选择题
【★考点1】无理数的概念判断
1．在…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列实数中，是无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．0.1010010001
3．下列各数中属于无理数的是（ ）
A．3 B． C． D．
【★考点2】判断点所在的象限
1．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若一次函数的值随x增大而增大，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【★考点3】三角形三边关系的应用
1．已知 ABC中，，则的长度可能为（ ）
A． B． C． D．
2．下列长度的线段，能与长度为的两条线段，首尾相接组成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组线段中能组成三角形的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【★考点4】求一个数的平方根、算术平方根、立方根
1．化简后的值为（ ）
A． B．4 C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．是的平方根
C．是的平方根 D．是的平方根
3．下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【★考点5】根据一次函数解析式判断其经过的象限
1．如图，图象上对应的一次函数解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
2．一次函数的图像不经过第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
3．一次函数的自变量和函数值的部分对应值如表所示：
则这个函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【★考点6】等边对等角与三角形内角和定理的应用
1．等腰三角形一个角为，则顶角的度数可能为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．如图，，，．当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 ABC中，，将 ABC绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【★考点7】三角形的外角的定义及性质
1．将一副直角三角板如图放置，已知，，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是 ABC的角平分线，B、C、E共线，则、、之间的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 ABC中，点D在边上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【★考点8】证明三角形全等的条件
1．仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（ ）
A．60° B．65° C． D．
3．如图，已知，垂足分别为，．要根据“”判定，需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【★考点9】判断三边能否构成直角三角形
1．将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．下列各组数据中，是勾股数的是（ ）
A．0.6，0.8，1 B．1，2， C．4，5，9 D．3，4，5
3．下列各组数据中，可以作为直角三角形三边长的有（ ）
①1，2，3；②，，（其中为正数）③12，22，32；④，，．
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【★考点10】一次函数图象平移问题
1．将一次函数的图象向上平移2个单位，平移后，当时的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．要从直线得到直线，就要把直线（ ）
A．向上平移个单位 B．向下平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
3．函数的图像向左平移2个单位，相应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【★考点11】数轴上两点之间的距离、实数与数轴的关系
1．如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．如图，数轴上有四点，以下线段中，长度最接近的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
3．如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示－1，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【★★考点12】三角形折叠问题（角度计算）
1．在综合实践课上，同学们进行折纸活动．折叠三角形纸片，，分别是点A，C的对称点，折痕与边交于点D，连接．下列折纸示意图中，一定是 ABC的中线的是（ ）
A．B．C． D．
2．如图， ABC中，，，点D为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则为（ ）度．
A．100 B．118 C．108 D．128
3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点A与点B重合，则折痕的长是（ ）
A． B． C． D．
【★★考点13】以弦图为背景的计算题
1．如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（ ）
A． B．3 C． D．6
2．公元3世纪初，我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．连接，若，且大正方形的面积是，则小正方形的边长是（ ）
A． B． C．2 D．
3．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A．B． C． D．
【★★考点14】根据一次函数增减性与参数关系
1．已知一次函数的图象经过点，，若，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．一次函数（，为常数）的图象经过点，且函数值随增大而减小，则点的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
3．对于一次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．当时，函数图象经过第一、二、三象限
B．当时，随x的增大而减小
C．函数图象一定经过点
D．当时，函数图象一定交于y轴的正半轴
【★★考点15】从函数的图象获取信息
1．小明、小宇从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小明步行一段时间后，小宇骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前进．他们的路程差与小明出发时间之间的函数关系如图所示．有下列说法：①小宇先到达青少年宫；②小宇的速度是小明速度的倍；③；④其中正确的是（ ）
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
2．小强、小林从学校出发，沿着笔直的道路去少年宫参加书法比赛，小强步行去少年宫一段时间后，小林骑自行车去少年宫，两人均匀速前行．他们两人之间的距离米与小强出发时间分之间的函数关系如图．
结合图象信息，小成给出如下说法：
小林先到达少年宫；小林的速度是小强速度的倍；小强出发分钟时到达少年宫；小强出发分钟时，小林还需要继续行进米才能到达少年宫．
其中正确的说法是（ ）
A． B． C． D．
3．如图1是扬州南部城市快速通道的一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），为入口，，为出口，其中直行道为，，，且；弯道为以点为圆心的一段弧，且、、所对的圆心角均为．甲、乙两车由口同时驶入立交桥，均以的速度行驶，从不同出口驶出．其间两车到点的距离（）与时间（）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是（ ）
A．甲车在立交桥上共行驶8
B．从F口出比从G口出多行驶40
C．甲车从F口出，乙车从G口出
D．立交桥总长为150
二．填空题
【★考点16】求一个数的近似数
1．下列说法错误的有 ．
①近似数万精确到千位 ②近似数2百万与近似数200万精确度不同
③近似数与的精确度相同 ④数精确到万位是
2．年月日，第五轮“苏超”联赛在泰州举行，本场比赛观众人数为人，用四舍五入法将人精确到人，所得的近似数为 ．
3．据南京市第七次全国人口普查结果显示全市常住人口约为9360000人，用四舍五入法将9360000取近似数，并用科学记数法表示为 ．（精确到十万位）
【★考点17】实数的大小比较
1．比较大小： （填“”或“”或“”）．
2．比较大小： ．（填“”“”或“”）
3． ，比较大小： ．
【★考点18】实数与数轴
1.已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简 ．
2．一个正方形的面积是，那么它的边长在数轴上（如图）所对应的点的位置可能在点 处．
3．已知点在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点表示的实数为
【★考点19】坐标与图形变化 —— 轴对称
1．若点与点关于y轴对称，则的值是 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点，关于直线l对称，点B的坐标为，则点C的坐标为 ．
3．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点Q的坐标是 ．
【★考点20】等边三角形的性质
1．如图，直线，将等边三角形按如图方式放置，在直线上．若，则 °．
2．如图，在等边三角形中，．D是的中点，过点D作，垂足为E，则的长是 ．
3．如图， ABC是边长为的等边三角形，，分别是边，上的两点，将 ADE沿直线折叠，点落在点处，则阴影部分图形的周长为 ．
【★考点21】全等三角形的判定
1．如图，，若要证明，则还要添加条件 就可以了．
2．丽丽同学不小心把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，你认为应带去的一块是 ．
3．如图，请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是 ．
【★★考点22】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
1．已知函数（为常数），当时，的最大值为，则的值为 ．
2．已知一次函数，若的增大而增大，且此函数图像与轴的交点在轴下方，则的取值范围是 ．
3．已知一次函数，当时，函数有最小值，则k的值为
【★★考点23】等腰三角形 “三线合一” 性质应用
1．如图，已知，为的角平分线，E为中点，连接，若，那么 ．
2．如图， ABC中，，延长到点，使得，延长到点，使得，则的值为 ．
3．如图，在 ABC中，，以A为圆心，为半径画弧，交于点D．若M、N分别是、的中点，则的长为 ．
【★★考点24】用勾股定理解三角形
1．如图，在 ABC中，，，，，那么的值是 ．
2．如图，一根电线杆在离地面米处各用米长的铁丝向两侧地面拉线固定，则两个固定点之间的距离是 ．
3．如图，在 ABC中，，，平分，若，则点D到的距离为 ．
【★★考点25】线段垂直平分线的性质
1．在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ．
2．如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为 ．
3．如图，在 ABC中，于点D，且，，于点F，若，，则 ．
【★★考点26】根据两条直线的交点求不等式的解集
1．函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是 ．
2．一次函数与的图像如图，则关于的不等式的解集为 ．
3．如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可）
【★★考点27】已知点所在的象限求参数
1．一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ．
2．若一次函数的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围为 ．
3．一次函数的图像不经过第四象限，则m的取值范围是 ．
【★★考点28】比较一次函数值的大小
1．若点和是一次函数图象上的两点，则m与n的大小关系为m n．（填“”“ ”或“=”）
2．已知点和点是函数的图象上的两点，则 （填“>”，“<”或“=”）
3．设点和点是直线上的两个点，则的大小关系是 ．
【★★考点29】利用算术平方根的非负性解题
1．已知，则的值为 ．
2．已知实数满足的平方根等于它本身，则的值为 ．
3．若实数x、y满足，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为 ．
【★★考点30】勾股树（数）问题
1．仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为 ．
2．如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是 ．
3．满足的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足，这样的三个整数（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当时，共有 组这样的“完美勾股数”．
【★★★考点31】勾股定理与折叠问题
1．如图， ABC中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接、，则线段的长等于 ．
2．如图，将直角三角形纸片折叠，使得点A与点B重合，折痕为，，，，则折痕的长为 ．
3．如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠，使点C落在点F处，连接，若是直角三角形，则的长是 ．
【★★★考点32】以直角三角形三边为边长的图形面积计算
1．如图， ABC中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积 分别为，，，则 的值为 ．
2．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为．若，，则 ．
3．如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为 ．
【★★★考点33】一次函数与几何综合
1．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，另一条经过B点的直线交x轴于点C且与直线构成的夹角，则直线的解析式为 ．
2．对每个确定的x的值，y是，，中的最大值，则当x变化时，函数y的最小值为 ．
3．如图直线与轴、轴分别交于点A和点B，点分别为线段的中点，点P为上一动点，值最小时点P的坐标为 ．
【★★★考点34】轴对称综合题（几何变换）、最短路径问题
1．如图，在 ABC中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为 ．
2．如图，在 ABC中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点为的中点，连接，则长的最小值为 ．
三.解答题
【★考点35】实数的混合运算
1．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，b是的整数部分．
(1)求和的值；
(2)求的平方根．
2．计算、求值：
(1)计算：； (2)求的值：．
3．计算：
(1)； (2)．
【★考点36】画轴对称图形、格点图中画等腰三角形
1．如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上．
(1)请你画出 ABC关于y轴的对称图形；
(2) ABC的面积为________；
(3)若x轴上有一点P，使的周长最小，请在图中画出点P，并写出点P的坐标．
2．图①、②、③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，只用直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，不需保留作图痕迹．
(1)在图①中画出 ABC中边上的中线．
(2)在图②中，以为底边作等腰 ABC．
(3)在图③中，作 ABC的边上的高，则 ABC的面积为 ．
3．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中以为腰画一个等腰三角形；
(2)在图②中以为底边画一个等腰三角形．
【★考点37】全等的性质与判定简单综合
1．如图，点E在边上，与交于点F，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
2．如图，在中，是上一点，与相交于点，是的中点，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
3．已知在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE⊥AF于点G．
(1)求证：DE＝AF；
(2)若点E是AB的中点，AB＝4，求GF的长．
【★考点38】求一次函数解析式
1．已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求：
(1)此一次函数的表达式；
(2)当时，自变量x的取值范围．
2．已知直线经过点，与轴正半轴交于点，求直线的函数表达式．
3．在平面直角坐标系中，有，两点，已知点A关于y轴的对称点为点C．
(1)写出点C的坐标；
(2)写出过B、C两点的函数表达式．
【★★考点39】等边对等角与尺规作图综合
1．如图， ABC中，，．
(1)作边的垂直平分线，与，分别相交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
2．已知：如图，射线和线段有公共端点B．
(1)①在射线上取一点P，使是以为底边的等腰三角形；
②过P作射线，使
（以上按要求尺规作图，并保留作图痕迹）
(2)若，连接，则_______．
3．如图，在 ABC中，．
(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹并标注相应字母）：
①作边的垂直平分线，交边于点，交边于点；
②作的平分线，交边于点．
(2)连接，若，则______（用含的代数式表示）．
【★★考点40】角平分线的性质定理与角平分线性质综合
1．如图，在 ABC中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并解决问题：
(1)在图1中，作的平分线，与边交于点D；此时若 ABC的面积是24，，求的长；
(2)在图2中，把 ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕分别交，于点E，F．
①请作出折痕；
②连接，若，，求的周长．
2．如图，在中，．
(1)尺规作图，求作的平分线交于点E；（保留作图痕迹）
(2)由（1）可知点E到的距离相等，依据是______；
(3)取边的中点D，连接，画出边上的高；
(4)若 ABC的面积是20，，则_____．（直接写出结果）
3．如图，已知 ABC是锐角三角形．
(1)请用无刻度直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与分别交于点M、N，在线段上找一点O，使点N 关于直线的对称点恰好落在边上；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
【★★考点41】一次函数图象与形面积
1．已知一次函数的图象经过点，．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为
(1)求一次函数的解析式；
(2)若点在轴上，满足，求点的坐标；
(3)若直线与的三边有两个公共点，则的取值范围是______．
3．如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
【★★★考点42】全等三角形综合问题（多步证明、辅助线构造）
1．如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
2．如图，与相交于点，，．
(1)求证：；
(2)与是否成轴对称？若是，请用无刻度的直尺画出对称轴；若不是，请说明理由．
【★★★考点43】斜边的中线等于斜边的一半性质综合应用
1．如图， ABC中，是边上的高线，是边上的中线，．
(1)已知，求的度数．
(2)若，求证：．
2．已知线段，以为斜边作和，连接，、分别是线段、的中点，连接、．
(1)如图1，和在线段的两侧．
①求证：；
②若，；请求出的度数；
(2)如图2，和在线段的同侧，若，，则的度数为 （用含、的代数式表示）
3．如图，在 ABC中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接．
(1)若是的中点，求证：；
(2)若，求证：为等边三角形．
【★★★考点44】等腰三角形的性质和判定综合题
1．如图，在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且．
(1)【特例探究】如图1，若点为的中点，求证：；
(2)【类比迁移】如图2，若点在边上任意一点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
2．在 ABC中，，，点为直线上一个动点点不与，重合，以为直角边在右侧作等腰直角三角形()，连接．
(1)如图，当点在线段上时，猜想与的位置关系，并说明理由
(2)如图，当点在线段的延长线上时，（）的结论是否仍然成立请说明理由．
3．如图1，图2，点O是线段的中点，，；
(1)如图1，按边分类， ABC的形状为______；
(2)如图1，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求证：；
(3)如图2，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数．
【★★★考点45】三角形、四边形折叠问题
1．折叠如图所示的直角三角形纸片，使点C落在上的点处，折痕为 (点D在边上)．
(1)用直尺和圆规画出折痕；(不写作法，保留画图痕迹)
(2)若，求折痕的长．
2．如图将长方形纸片折叠，使得点落在边上的点M处，折痕经过点，与边交于点N．
(1)尺规作图：求作点N、M（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，，求的长．
3．在四边形中，，，．
(1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）．
①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______．
②在①的条件下，求的长．
(2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长．
【★★★考点46】一次函数的实际应用
1．某商店出售普通练习本和精装练习本，本普通练习本和本精装练习本销售总额为元；本普通练习本和本精装练习本销售总额为元．
(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
(2)该商店计划再次购进本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，已知普通练习本的进价为元/本，精装练习本的进价为元/本，设购买普通练习本本，获得的利润为元；
①求关于的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
2．某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车匀速运动，这辆新能源汽车行驶路程与行驶时间之间的函数图象如图①所示，电池满电量与行驶时间之间的函数图象如图②所示．
(1)与x的函数关系式为______；
(2)求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
(3)当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程．
3．A城有某种农机台，B城有该农机台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机台，D乡需要农机台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为元/台和元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为元/台和元/台．
(1)设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；
(3)现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元作为优惠，其它费用不变，如何调运使总费用最少？
【★★★考点47】一次函数与几何综合
1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求出一次函数的图象与轴，轴交点A和B的坐标；
(3)若点在该一次函数的图象上，当的面积为5时，求点P的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过两点，点C在x轴正半轴上，且．
(1)求直线的函数表达式；
(2)连接，在直线上取一点D，且点D在x轴上方，连接，若以A，C，D为顶点的三角形的面积是 ABC面积的2倍，求出D点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在线段，上分别取M，N，且使得线段轴，在x轴上取一点P，连接，，使得为等腰直角三角形，请直接写出P点的坐标．
3．如图：直线与轴、轴分别交于、两点，点是直线上与、不重合的动点．
(1)求直线的解析式；
(2)作直线，的面积被直线分成的两部分，求此时点C的坐标；
(3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与 AOB全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【★★★考点48】一次函数与几何动点问题
1．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且．
(1)B的坐标为_______，线段的长为_______．
(2)求直线的解析式和点D的坐标．
(3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连接．
①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明；
②连接，当面积最大时，求的长度和的面积．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，直线经过点，与轴交于点，，点在直线上．
(1)如图1，若平分，平分，试说明；
(2)如图2，连接，，求 ABC和的面积；
(3)若动点在坐标轴上，且满足时，求点的坐标．
3．如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，两点，过点作直线，交于点D，交y轴于点E，且．
(1)求点A及点E的坐标；
(2)求点D的坐标；
(3)如图2，M是线段上一动点（不与点C，D重合），，交于点N，连接，求的面积的最大值．
参考答案
一．选择题
【★考点1】无理数的概念判断
1．C
∵ 是分数，是有理数；
是有限小数，是有理数；
是整数，是有理数；
是含的式子，是无理数；
，是整数，是有理数；
是整数，是有理数；
是有限小数，是有理数；
开方开不尽，是无理数；
（每两个2之间依次多一个1）是无限不循环小数，是无理数；
∴ 无理数有、、（每两个2之间依次多一个1），共3个．
故选：C．
2．C
解：A. 0是有理数；
B. 是有理数；
C. 是无理数；
D. 0.1010010001是有理数；
故选：C．
3．C
解：A. 不是无理数，不符合题意；
B. 是分数，不是无理数，不符合题意；
C. 是无理数，符合题意；
D. 是循环小数，不是无理数，不符合题意；
故选：C．
【★考点2】判断点所在的象限
1．C
解：，，
点所在的象限是第三象限，
故选：C．
2．D
解：∵，，
∴P在第四象限．
故选：D．
3．D
解：一次函数的值随增大而增大，
，
，
点 在第四象限．
故选：D
【★考点3】三角形三边关系的应用
1．C
解：已知 ABC中，，
设的长度为，
根据三角形三边关系得：的取值范围为．
故选C．
2．C
解：设第三边长为，根据三角形的三边关系得，
，
即，
故选：C．
3．A
解：A、，符合三角形三边关系，故可构成三角形；
B、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；
C、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；
D、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；
故选：A．
【★考点4】求一个数的平方根、算术平方根、立方根
1．B
解：，
故选：B．
2．D
解：A、9的平方根是，故该选项不符合题意；
B、，故不是的平方根，故该选项不符合题意；
C、没有平方根，故该选项不符合题意；
D、，，故是的平方根，故该选项符合题意；
故选：D．
3．C
A、，原式子错误，不符合题意；
B、，原式子错误，不符合题意；
C、，原式子正确，符合题意；
D、，原式子错误，不符合题意；
故选C．
【★考点5】根据一次函数解析式判断其经过的象限
1．B
解：由图象可得，，，
观察选项，只有B选项中的解析式符合．
故选：B．
2．A
解：∵，，
∴直线经过二，三，四象限，
故选：A．
3．D
解：当时，，代入得．
取点代入解析式，得，解得．
因此，函数解析式为．
∵，
∴图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【★考点6】等边对等角与三角形内角和定理的应用
1．D
∵等腰三角形有两个角相等，
∴若为顶角，则顶角为；
若为底角，则另一底角也为，顶角为：；
∴顶角为或，
故选：D．
2．C
解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
3．C
解：∵将 ABC绕着点顺时针旋转后，得到，
∴，，
，
．
故选：C．
【★考点7】三角形的外角的定义及性质
1．B
解：如图所示，设分别与交于M、N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
2．C
解：∵是 ABC的角平分线，
∴设，
∴，，
∴，
∴，
故选C
3．D
解：∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故选D．
【★考点8】证明三角形全等的条件
1．A
解：由作图可知：，，，
∴，
∴，即，
故选：A．
2．A
解：，，
，
，
，
故选A．
3．A
解：∵，
∴，
∵，
∴要根据“”判定，则需要添加斜边，
故选：．
【★考点9】判断三边能否构成直角三角形
1．D
解：A．∵，
∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形；
B．∵，
∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形；
C．∵，
∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形；
D．∵，
∴以这三条线段的长为边能组成直角三角形．
故选：D．
2．D
解：勾股数的定义：三个正整数，且满足“两小边的平方和等于最大边的平方”．
A、不是正整数，不满足勾股数的”正整数”要求，故A不符合；
B、不是正整数，不满足勾股数的”正整数”要求，故B不符合；
C、是正整数，但计算平方和：，而，不满足“两小边平方和等于最大边平方”，故C不符合；
D、3、4、5是正整数，且，同时满足勾股数的两个条件，故D符合．
故选：D．
3．B
解：，故1，2，3不可以作为直角三角形的三边长；
，故，，（其中为正数）可以作为直角三角形的三边长；
，故12，22，32不可以作为直角三角形的三边长；
，故，，可以作为直角三角形的三边长；
∴可以作为直角三角形三边长的有2组．
故选：B．
【★考点10】一次函数图象平移问题
1．D
解：∵ 将 向上平移2个单位后，得到新函数解析式为，
由，
∴,
∴.
故选：D.
2．D
解：∵将一次函数的解析式整理，得，
将一次函数向下平移个单位，平移后的一次函数的解析式为；
将一次函数向右平移个单位，平移后的一次函数的解析式为，
故一次函数向下平移个单位或向右平移个单位，平移后的一次函数的解析式均为．
故选：D．
3．A
解：将函数向左平移2个单位得到，
故选：A．
【★考点11】数轴上两点之间的距离、实数与数轴的关系
1．B
解： ∵，
∴ ，
∴ 在数轴上表示实数的点可能是点B．
故选：B．
2．D
解：∵，即，
∴，
由数轴上各点所表示的数可得，
故选：D．
3．A
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点M表示点数为．
故选A．
【★★考点12】三角形折叠问题（角度计算）
1．A
解：A、由折叠的性质得到，因此一定是 ABC的中线，故选项A符合题意；
B、由折叠的性质得到，因此不是 ABC的中线，故选项B不符合题意；
C、由折叠的性质得到是的角平分线，不一定是 ABC的中线，故选项C不符合题意；
D、如图，由折叠的性质得到，但和不一定相等，因此不一定是 ABC的中线，故选项D不符合题意．
故选：A．
2．C
解：如图，连接、，
∵，为的平分线，
∴，
又∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点O在的垂直平分线上，
又∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴，
∴，
在中，．
故选：C．
3．D
解：
由折叠可得：
设 则
故选：D．
【★★考点13】以弦图为背景的计算题
1．A
解：由题意可知：每个直角三角形面积为，则四个直角三角形面积为，大正方形面积为，小正方形面积为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴小正方形的面积为，
∴小正方形的边长为．
故选：A．
2．B
解：由题意，，，，
∴，
∴，
∵正方形的面积为，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴正方形边长为．
故选：B．
3．B
解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意，
B、不能证明勾股定理，本选项符合题意．
C、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意，
D、利用C中结论，本选项不符合题意．
故选B．
【★★考点14】根据一次函数增减性与参数关系
1．C
解：∵ 点和在函数上，
∴，，
∵，
∴，化简得，
∴，
∴，
对于点，有，
∵，
∴，
∴，故 一定正确，选项正确；
选项：错误，应该是；
选项：错误，由且可知；
选项：，不一定成立，如时，．
故选：．
2．B
解：∵一次函数（，为常数）的函数值随增大而减小，
∴，
A、当时，，而，故点的坐标不可能为；
B、当时，，，故点的坐标可能为；
C、当时，，而，故点的坐标不可能为；
D、当时，，而，故点的坐标不可能为；
故选：B．
3．D
解：A、当时，， ，
当时，，图象经过一、三象限，
当时，，图象经过一、二、三象限，
当时，，图象经过一、三、四象限，故A不符合题意；
B、当时，，函数随的增大而增大，故B不符合题意；
C、将代入函数，得，即函数图象经过点，故C不符合题意；
D、当时，，即图象与轴交于正半轴，故D符合题意；
故选：D．
【★★考点15】从函数的图象获取信息
1．B
解：由图象得出小明步行800米，需要8分钟，所以小明的运动速度为：（米/分），
当第12分钟时，小宇运动（分钟），运动距离为：（米），
∴小宇的运动速度为：（米/分），
∴，故②小宇的速度是小明速度的3倍，正确；
当第15分钟以后两人之间距离越来越近，说明小宇已经到达终点，故①小宇先到达青少年宫正确；
此时小宇运动（分钟），
运动总距离为（m），
∴小明运动时间为：（分钟），故a的值为21，故③错误；
∵小明15分钟运动距离为：（m），
∴，故④正确．
故正确的有：①②④．
故选：B．
2．A
解：由图象得出小强步行米，需要分钟，
所以小强的运动速度为：分，
当第分钟时，小林运动分钟，
运动距离为：，
小林的运动速度为：分，
故正确；
当第分钟以后两人之间距离越来越近，说明小林已经到达终点，则小林先到达少年宫，故正确；
此时小林运动分钟，
运动总距离为：，
小强运动时间为：分钟，
小强出发分钟时到达少年宫，故错误；
由知小林先到达少年宫，故错误；
综上，正确的结论有，
故选：A．
3．C
解：由图象可知，两车通过弧时每段所用时间均为通过直行道时，每段用时为
因此，甲车所用时间为故A正确；
根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走弧长之和，用时为则走故B正确；
根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从G口驶出，故C错误；
根据题意立交桥总长为D正确；
故选：C．
二．填空题
【★考点16】求一个数的近似数
1．③
解：①近似数万表示，数字在千位上，所以精确到千位，说法正确；
②近似数百万表示，精确到百万位；近似数万表示，精确到万位，所以精确度不同，说法正确；
③近似数精确到十分位，精确到百分位，精确度不同，说法错误；
④数精确到万位，万位是，千位是，四舍五入得，用科学记数法表示为，说法正确．
故说法错误的有③．
故答案为：③
2．
解：24986精确到1000人，即精确到千位．百位上的数字是9，，因此向千位进1，千位4变为5，后面各位变为0，故近似数为25000．
；
故答案为：．
3．
解：9360000精确到十万位，十万位为3，万位为6，，向十万位进位，3变为4，故近似数为9400000，科学记数法表示为，
故答案为：．
【★考点17】实数的大小比较
1．
解：因为，
所以．
故答案为：．
2．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3．
解：∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，
故答案为：；．
【★考点18】实数与数轴
1．3
解：观察数轴得：，
∴，
∴
．
故答案为：3．
2．
解：因为正方形的面积是，
所以正方形的边长为，
因为，
所以．
则边长在数轴上所对应的点的位置可能在点处．
故答案为：．
3．
解：设点M表示的实数为a，则点M到原点的距离为，根据题意，
，
解得．
∴点M表示的实数为．
故答案为：．
【★考点19】坐标与图形变化 —— 轴对称
1．2
解：∵点与点关于y轴对称，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：2．
2．
解：由题意得B、C关于直线l对称，
∵直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点，，
∴线段的中点的坐标为，
则点C的横坐标为，点C的纵坐标为，
∴点C的坐标为，
故答案为：．
3．
解：点关于x轴对称的点Q的坐标是．
故答案为：．
【★考点20】等边三角形的性质
1．
解：∵，，
∴，
∵三角形是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
2．
解：∵ ABC是等边三角形，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3．
解：∵等边 ABC的边长为，
∴，
∵，分别是边，上的两点，将 ADE沿直线折叠，点落在处，
∴，，
则阴影部分图形的周长为：，
故答案为：．
【★考点21】全等三角形的判定
1．
解：依题意，还要添加条件，
，
，
，
在和中，
，
，
故答案为：．
2．第2块
解：只有第2块玻璃中包含两角及这两角的夹边，符合．
∴应带去的一块是第2块，
故答案为：第2块．
3．
解：由作图可知：，
∴；
故答案为：
【★★考点22】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
1．或
解：当时，随的增大而增大，在处取得最大值，
代入得，解得；
当时，随的增大而减小，在处取得最大值，
代入得，解得．
故答案为：或．
2．
解：根据性质，得，解得；
根据函数图像与轴的交点在轴下方，得，
解得，
故m的取值范围为，
故答案为：．
3．5或
解：当时，函数y随x的增大而增大，
∴当时，，
∴，
解得：；
当时，函数y随x的增大而减小，
∴当时，，
∴，
解得：；
∴k的值为5或．
故答案为：5或．
【★★考点23】等腰三角形 “三线合一” 性质应用
1．
解：∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵E为中点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
2．2
解：∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
故答案为2．
3．2
解：连接，如图：
以为圆心，为半径画弧，交于点．
，
∴是等腰三角形，
是的中点，
，
∵N是的中点，，
．
故答案为：．
【★★考点24】用勾股定理解三角形
1．
解：设，由，可知，
在中，，
在中，，
故，
解得，即．
故答案为：．
2．米
解：电线杆、铁丝与地面构成直角三角形，
直角边（电线杆高度）：米，
斜边（铁丝长度）：米，
设单侧固定点到电线杆的距离米，则：
，
，
解得（米），
故两个固定点之间的距离为：（米）．
故答案为：米．
3．24
如图所示，过点A作于点E， 过点D作于点F，
∵，
∴
∴
∵
∴，
∵平分，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴点D到的距离为24．
故答案为：24．
【★★考点25】线段垂直平分线的性质
1．
解：如图，连接，
∵垂直平分，点是上一动点，
∴，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，
∵，三点共线，
∴此时是的高，
∴
∴的最小值为．
故答案为：．
2．14
解：由作图痕迹可知，点在线段的垂直平分线上，
∴，
∵，，
∴的周长为：
．
故答案为：．
3．9
解：连接，过点E作于点H，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为9．
【★★考点26】根据两条直线的交点求不等式的解集
1．
解：由图象得，当时，，
∴当时，的取值范围是，
故答案为：．
2．
解：由图像可得，当时，的图像在的图像的下方，
关于的不等式的解集为．
故答案为：．
3．6（答案不唯一，大于5均可）
解：直线经过点，
，即
设直线分别交x轴和y轴与、两点，
当时，；当时，，
即，，
∴，
，
过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图，
则轴，，
∴，
∴
∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置，
∵点在上，
∴当，则点在点的右上方，此时，
故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）．
【★★考点27】已知点所在的象限求参数
1．
解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴，解得；
故答案为：．
2．
∵一次函数的函数值y随x的增大而增大，
且此函数的图象不经过第二象限，
，且， 解得．
故答案为：．
3．
解：∵一次函数的图像不经过第四象限，
∴，
解得：．
故答案为：．
【★★考点28】比较一次函数值的大小
1．
解：∵一次函数中，，
∴函数值y随x的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
2．<
解：∵一次函数中，
∴函数值y随x增大而增大．
∵，
∴．
故答案为：．
3．
解：∵，
∴，
∴一次函数的函数值随自变量的增大而减小.
∵,
∴.
故答案为：.
【★★考点29】利用算术平方根的非负性解题
1．6
解：∵，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：6．
2．0
解：∵被开方数，且，
∴，
∴，即，
代入原式得，
∴，
∵的平方根等于它本身，
∴，
则，
故答案为：．
3．15
解：∵，，且，
∴，，
解得，．
当腰长为6，底边长为3时，三边长为6、6、3，满足三角形三边关系，周长为；
当腰长为3，底边长为6时，三边长为3、3、6，但，不满足三角形三边关系，故不成立．
因此，等腰三角形的周长为15．
故答案为：15．
【★★考点30】勾股树（数）问题
1．37
解：观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2，
设勾为a，股为b，弦为c，
则，
根据勾股定理，，
∴，
化简得，
依题意，当时，则，
∴，
故答案为：．
2．
解：如图，
由勾股定理得，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴
∴，
解得
故答案为：4．
3．
解：∵，
∴，
∴为奇数，且为完全平方数，
∵，
∴，
∴为以内的数，有：，共7个；
∴共有组这样的“完美勾股数”；
故答案为：．
【★★★考点31】勾股定理与折叠问题
1．
解：如图，延长交于点，
在中，由勾股定理得，
∵为的中点，
∴，
由翻折的性质可知，，，，
∴是的垂直平分线，
∴， ，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
2．
解：如图，连接，
由折叠的性质得，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：．
3．7或
解：当时，
，
，
，，共线，
，，
，
设，则，
在中，则有
解得，
；
当时，，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为7或．
故答案为：7或．
【★★★考点32】以直角三角形三边为边长的图形面积计算
1．
解：在 中，，，
∴，
∴
．
∵，
∴．
故答案为：．
2．
解：如下图所示，连接，
，
，
，，，，
，
，
．
故答案为：
3．5
解：设中间正方形为E，
由勾股定理可知：，，
∴，
正方形、、的面积依次为、、，
∴，
故答案为：5．
【★★★考点33】一次函数与几何综合
1．或
解：由题意，∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴，
∴．
分两种情形，
①当C在x轴负半轴上，如图1，过A作交于D，再过D作轴于E，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴()．
∴．
∴．
∴．
又∵，
设直线解析式为，
则，
解得：，
∴此时直线解析式为；
②当C在x轴正半轴上，如图2，过A作交于D，再过D作轴于E，
同理可得．
又∵，
设直线解析式为，
则，
解得：，
∴此时直线BC为．
综上，直线为或．
故答案为：或．
2．
解：作出图象，如图：
图中实线部分为函数y的图象．
与的交点A：
解方程，得，对应．
与的交点：
解方程，得，对应．
当时，是三个函数中的最大值；
当时，是三个函数中的最大值；
当时，是三个函数中的最大值．
则当时，函数y的最小值为．
故答案为：．
3．
解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示．
令中，则，
点的坐标为；
令中，则，解得：，
点的坐标为．
点、分别为线段、的中点，
点，点．
点和点关于轴对称，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
直线过点，，
，解得：，
直线的解析式为．
令中，则，解得：，
点的坐标为．
故答案为：．
【★★★考点34】轴对称综合题（几何变换）、最短路径问题
1．
解：连接．
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴时，最小，即当是 ABC的高时，
故答案为：．
2．
解：∵，
∴，
如图1，由翻折得，
∵，
∴，
∴，
∴当点落在上时，，此时的值最小，
如图2，当点落在上时，则，
作于点F，于点E，则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3．
解：如图，以为边作等边三角形，过点E作于F，连接，
∵点A的坐标为，
∴，
∵点P为的中点，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴当有最小值时，有最小值，
即轴时，有最小值，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
三．解答题
【★考点35】实数的混合运算
1．（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∵b是的整数部分，
∴；
（2）解：当，时，
，
∴的平方根为．
2．（1）解：
（2）解：
解得．
3．（1）解：
；
（2）解：
．
【★考点36】画轴对称图形、格点图中画等腰三角形
1．（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：；
（3）解：如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接交x轴于P，点P即为所求；
由网格的特点和图形可得点P的坐标为．
2．（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）解：如图所示， ABC即为所求；
（3）解：如图所示，线段即为所求，则．
3．（1）解：如图所示， ABC即为所求（画出其中一个即可）；
（2）解：如图所示，即为所求；
【★考点37】全等的性质与判定简单综合
1．（1）解：如图所示：
，
即，
在和中，
；
（2）解：由（1）得，
，
又，
．
2．（1）证明：∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴（），
（2）解：由（）得：，
∴，
∵，，
∴．
3．（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，点是中点，
∴，
在中，，
∵DE=AF，
∴，
∵，
∴，
∴．
【★考点38】求一次函数解析式
1．（1）解：设一次函数解析式为，
把，；，分别代入得
，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：当时，，
解得，
即自变量x的取值范围为．
2．解：设直线的函数表达式为．
因为直线经过点，所以．
因为直线与轴正半轴交于点，
所以，解得，
所以直线的函数表达式为．
3．（1）解：∵，点A关于y轴的对称点为点C，
∴
（2）解：设B、C两点的函数表达式为，
则，
解得，
∴过B、C两点的函数表达式为．
【★★考点39】等边对等角与尺规作图综合
1．（1）解：如图所示，直线就是所求．
（2）解：连接，
因为，且，
所以，
因为是线段的垂直平分线，，
所以，
所以，
则，
在中，，
所以．
2．（1）如图所示：
（2），
，
，
．
故答案为：．
3．（1）解：图形如图所示：
（2）∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
【★★考点40】角平分线的性质定理与角平分线性质综合
1．（1）解：如图，即为所求．
过作交于，
平分，且，
（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又
，
解得，
所以；
（2）解：①如图，折痕即为所求；
②连接，
由作图知，
∴的周长为，
所以的周长为10．
2．（1）解：如图，射线即为所求．
（2）由（1）可知点E到的距离相等，依据是角平分线上的任意一点到角两边的距离相等．
故答案为：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等．
（3）如图，即为所求．
（4）点D为边的中点， ABC的面积是20，
，
，
，
故答案为：
3．（1）解：如图，直线，点O即为所求；
（2）解：过点O作于点H．
∵平分，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【★★考点41】一次函数图象与形面积
1．（1）解：设此一次函数解析式为，
∵一次函数的图象经过点，
，
解得，
一次函数解析式为．
（2）解：当时，，
解得；
与x轴的交点坐标，
当时，．
与y轴的交点坐标．
一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是．
2．（1）把代入得，，
解得，
点的坐标为
把，点坐标代入得：，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）在中，；
当时，，
，
，
，
，
，
点在轴上，
，
，
，
或；
（3）直线经过点，
把点的坐标代入得，，
解得，
若直线与的三边有两个公共点，则，即
3．（1）解：将点代入，得，
解得，
，
将点代入，得，
解得，
；
（2）在中，令，得，
解得，
，
在中，令，得，
解得，
；
（3）由函数图象可知：当时，，当时，，
所以当时，．
【★★★考点42】全等三角形综合问题（多步证明、辅助线构造）
1．（1）解：∵，
，
在与 ADE中，，
∴
；
（2）解：连接,
，
，
在 ABC与中，
∴，
，
∵，
，
∴，
．
2．（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：与成轴对称．
如图，分别延长相交于点，作直线，
则直线即为所求．
【★★★考点43】斜边的中线等于斜边的一半性质综合应用
1．（1）解：∵是边上的高线，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：连结，如图所示：
∵，是边上的中线，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴．（等腰三角形三线合一）
2．（1）①证明：连接，
是线段的中点，
，，
，
∵N是的中点，
；
②解：由条件可知，
，，
，，
，
，，
，
．
（2）解：如图，连接，
由条件可知，
，，
，，
，
，是的中点，
．
3．（1）证明：如图，连接，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵的垂直平分线为，
∴，
∴为等边三角形．
【★★★考点44】等腰三角形的性质和判定综合题
1．（1）证明：∵等边三角形，
∴
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：成立，理由如下：
过点作交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ABC为等边三角形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，即．
（2）成立理由如下：
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴．
∵ ABC是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，即．
3．（1）解：点O是线段的中点，
，
，
，
在 AOB与中，
，
，
，，
，
是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）证明：是等边三角形， ABC是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
在与中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图2，作交于点E，则，，
，，
是等边三角形，
，
是等边三角形；
，，
，
在和中，
，
，
，
的度数是．
【★★★考点45】三角形、四边形折叠问题
1．（1）解：如图：即为所求．
（2）解：在中，，
∴，
∵ AC/D是由沿翻折得到的，
∴，
∴．
设，则
在中，，
∴，即，解得：，即．
在中，．
2．（1）解：如图所示，点N和点M即为所求；
以点C为圆心，长为半径画弧交于M，作线段的垂直平分线交于N，则M、N即为所求；
（2）解：如上图所示，连接，
由折叠的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
3．（1）解：如图所示，以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求，
根据图形折叠的性质可知，，，
在中，．
故答案为：．
②设，则，，
∵，，
∴，
在中，，即．
解得，即．
（2）解：①如图所示，当点在线段上时．
设，则，
根据图形折叠的性质可知，，，
在中，，
则，
在中，，
即，
解得，即；
②如图所示，当点在线段的延长线上时，
根据图形折叠的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴；
综上所述，或．
【★★★考点46】一次函数的实际应用
1．（1）解：设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，
根据题意，得，解得．
答：普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元；
（2）①设购买普通练习本本，则购买精装练习本本．
根据题意，得；
∵普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍．
∴，解得．
综上，关于的函数关系式为，自变量x的取值范围为；
②∵中，，
∴随的增大而减小．
∴当时，取最大值， （本），（元）．
答：当购买本普通练习本，本精装练习，销售总利润最大，最大总利润为元．
2．（1）解：该新能源汽车的行驶速度为，
与x的函数关系式为，
故答案为：；
（2）该新能源汽车的功率为，
与x的函数关系式为
由题意，电量，即，
，
；
（3）当时，即，
解得，
当时，．
答：这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为．
3．（1）解：
=；
（2）解：根据题意得，，
，
∵，
∴，
∴有3种不同的调运方案，
第一种方案：从A城调往C城台，调往D城台，从B城调往C城台，调往D城台；
第二种方案：从A城调往C城台，调往D城台，从B城调往C城台，调往D城台；
第三种方案：从A城调往C城台，调往D城0台，从B城调往C城4台，调往D城台；
（3）解：
=，
①当时，，
当时，元，
此时，从A城调往C城台，调往D城台，从B城调往C城台，调往D城台；
②当时，元，
∴各种方案费用一样多，
③当时，，，
∴ 当时，（元），利润最小，
此时从A城调往C城台，调往D城0台，从B城调往C城4台，调往D城台．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的性质．
【★★★考点47】一次函数与几何综合
1．（1）解：一次函数的图象由函数的图象平移得到，
一次函数为，
一次函数经过点，
，
，
一次函数为；
（2）解：由题意得
在一次函数中，
当时，，
当时，，
，
图象与轴、轴的交点的坐标分别为，；
（3）解：设，
，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
，或．
2．（1）解：将点、代入，
得，
解得，
直线的表达式．
（2）令，则，
，
，且点在轴正半轴上，
，
，
，
设点的坐标为，
如图①，过点作轴的垂线交轴于点，
则，
，
即，
解得：，
点的坐标为．
（3）由在、在，且轴，
设直线的表达式为，
将点、代入，
得，
解得，
直线的表达式．
设，，
∵轴，且N在上，
∴将代入，得，
解得，
∴点N的坐标是，
∴
①如图，当点M为直角顶点时，且，
∴，
解得：，
∴点P的坐标是；
②当点N为直角顶点时，如图，且，
∴，
解得：，，
∴点P的坐标是；
③当点N为直角顶点时，如图，且，
作于点Q，则为的中点，且，
∴，
解得：，
∴点P的横坐标为，
点坐标为：；
综上，点P的坐标是或或．
3．（1）解：将点代入：
代入得：；
代入得：，解得．
故直线AB的解析式为：；
（2）解： AOB的面积为：．
直线OC将其分为两部分，即两部分面积分别为2和4．
设，分两种情况：
情况1：
解得，对应，即．
情况2：
，同理解得，对应，即．
故点C坐标：或；
（3）解： AOB是直角三角形（直角在O），边长为，
中，D在y轴上，故是y轴上的线段，需使为直角三角形（与 AOB全等），分两种直角位置讨论：
情况1：直角在点（轴）
此时，
则，
∴，，
∵，符合题意，
故；
情况2：直角在点
此时，，
则，
则或．
设，则，解得，
当时，，即，此时应该为，
则，符合题意；
同理，当时，，，
则，符合题意；
∴C为或；
综上所述，满足条件的C点有，，．
【★★★考点48】一次函数与几何动点问题
1．（1）解：当时，直线，
当时，直线，解得：，
，
，
故答案为：；．
（2）解：过点作交于点，交轴于点，且，
，，
，
设过点，，直线的解析式为：，
则：解得：，
直线的解析式为：，
、交于点，
解得：，
，
故答案为：；．
（3）解：①，
，，
，，
，
，
，
，
，即线段与线段数量关系，保持不变，
②，
，
，
，
，
，即：，
，
，
，
，
，，，
，，
，
∴为定值，
，
∴要使最大，求最小即可，
，
∴当取最小值时，最小，
，，，
∴CE===5，
当时，取最小值，
，即：，解得：，
面积最小为，
，
故答案为：①相等，不变，见解析；②，．
2．（1）解：∵平分，
∴
∴
∵平分，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
（2），，，
（3）设动点在轴上时：
①∵
∴
∴
∴
②∵
∴
∴
∴
设动点在轴上时：
③∵
∴
∴
∴
④∵
∴
∴
∴
∴
综上所述：点的坐标
3．（1）解：把代入直线得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴点D的坐标为．
（3）解：，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∵OA=8，，，，
，，
，
四边形面积为定值，
，
要使面积最大，求面积最小即可，
，
当取最小值时，面积最小，
，，，
，
当时，取最小值，
，
即，面积最小为，
则面积，
即面积最大为．
一．选择题
【★考点1】无理数的概念判断
1．在…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列实数中，是无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．0.1010010001
3．下列各数中属于无理数的是（ ）
A．3 B． C． D．
【★考点2】判断点所在的象限
1．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若一次函数的值随x增大而增大，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【★考点3】三角形三边关系的应用
1．已知 ABC中，，则的长度可能为（ ）
A． B． C． D．
2．下列长度的线段，能与长度为的两条线段，首尾相接组成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组线段中能组成三角形的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【★考点4】求一个数的平方根、算术平方根、立方根
1．化简后的值为（ ）
A． B．4 C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．是的平方根
C．是的平方根 D．是的平方根
3．下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【★考点5】根据一次函数解析式判断其经过的象限
1．如图，图象上对应的一次函数解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
2．一次函数的图像不经过第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
3．一次函数的自变量和函数值的部分对应值如表所示：
则这个函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【★考点6】等边对等角与三角形内角和定理的应用
1．等腰三角形一个角为，则顶角的度数可能为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．如图，，，．当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 ABC中，，将 ABC绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【★考点7】三角形的外角的定义及性质
1．将一副直角三角板如图放置，已知，，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是 ABC的角平分线，B、C、E共线，则、、之间的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 ABC中，点D在边上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【★考点8】证明三角形全等的条件
1．仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（ ）
A．60° B．65° C． D．
3．如图，已知，垂足分别为，．要根据“”判定，需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【★考点9】判断三边能否构成直角三角形
1．将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．下列各组数据中，是勾股数的是（ ）
A．0.6，0.8，1 B．1，2， C．4，5，9 D．3，4，5
3．下列各组数据中，可以作为直角三角形三边长的有（ ）
①1，2，3；②，，（其中为正数）③12，22，32；④，，．
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【★考点10】一次函数图象平移问题
1．将一次函数的图象向上平移2个单位，平移后，当时的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．要从直线得到直线，就要把直线（ ）
A．向上平移个单位 B．向下平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
3．函数的图像向左平移2个单位，相应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【★考点11】数轴上两点之间的距离、实数与数轴的关系
1．如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．如图，数轴上有四点，以下线段中，长度最接近的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
3．如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示－1，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【★★考点12】三角形折叠问题（角度计算）
1．在综合实践课上，同学们进行折纸活动．折叠三角形纸片，，分别是点A，C的对称点，折痕与边交于点D，连接．下列折纸示意图中，一定是 ABC的中线的是（ ）
A．B．C． D．
2．如图， ABC中，，，点D为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则为（ ）度．
A．100 B．118 C．108 D．128
3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点A与点B重合，则折痕的长是（ ）
A． B． C． D．
【★★考点13】以弦图为背景的计算题
1．如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（ ）
A． B．3 C． D．6
2．公元3世纪初，我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．连接，若，且大正方形的面积是，则小正方形的边长是（ ）
A． B． C．2 D．
3．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A．B． C． D．
【★★考点14】根据一次函数增减性与参数关系
1．已知一次函数的图象经过点，，若，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．一次函数（，为常数）的图象经过点，且函数值随增大而减小，则点的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
3．对于一次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．当时，函数图象经过第一、二、三象限
B．当时，随x的增大而减小
C．函数图象一定经过点
D．当时，函数图象一定交于y轴的正半轴
【★★考点15】从函数的图象获取信息
1．小明、小宇从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小明步行一段时间后，小宇骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前进．他们的路程差与小明出发时间之间的函数关系如图所示．有下列说法：①小宇先到达青少年宫；②小宇的速度是小明速度的倍；③；④其中正确的是（ ）
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
2．小强、小林从学校出发，沿着笔直的道路去少年宫参加书法比赛，小强步行去少年宫一段时间后，小林骑自行车去少年宫，两人均匀速前行．他们两人之间的距离米与小强出发时间分之间的函数关系如图．
结合图象信息，小成给出如下说法：
小林先到达少年宫；小林的速度是小强速度的倍；小强出发分钟时到达少年宫；小强出发分钟时，小林还需要继续行进米才能到达少年宫．
其中正确的说法是（ ）
A． B． C． D．
3．如图1是扬州南部城市快速通道的一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），为入口，，为出口，其中直行道为，，，且；弯道为以点为圆心的一段弧，且、、所对的圆心角均为．甲、乙两车由口同时驶入立交桥，均以的速度行驶，从不同出口驶出．其间两车到点的距离（）与时间（）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是（ ）
A．甲车在立交桥上共行驶8
B．从F口出比从G口出多行驶40
C．甲车从F口出，乙车从G口出
D．立交桥总长为150
二．填空题
【★考点16】求一个数的近似数
1．下列说法错误的有 ．
①近似数万精确到千位 ②近似数2百万与近似数200万精确度不同
③近似数与的精确度相同 ④数精确到万位是
2．年月日，第五轮“苏超”联赛在泰州举行，本场比赛观众人数为人，用四舍五入法将人精确到人，所得的近似数为 ．
3．据南京市第七次全国人口普查结果显示全市常住人口约为9360000人，用四舍五入法将9360000取近似数，并用科学记数法表示为 ．（精确到十万位）
【★考点17】实数的大小比较
1．比较大小： （填“”或“”或“”）．
2．比较大小： ．（填“”“”或“”）
3． ，比较大小： ．
【★考点18】实数与数轴
1.已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简 ．
2．一个正方形的面积是，那么它的边长在数轴上（如图）所对应的点的位置可能在点 处．
3．已知点在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点表示的实数为
【★考点19】坐标与图形变化 —— 轴对称
1．若点与点关于y轴对称，则的值是 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点，关于直线l对称，点B的坐标为，则点C的坐标为 ．
3．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点Q的坐标是 ．
【★考点20】等边三角形的性质
1．如图，直线，将等边三角形按如图方式放置，在直线上．若，则 °．
2．如图，在等边三角形中，．D是的中点，过点D作，垂足为E，则的长是 ．
3．如图， ABC是边长为的等边三角形，，分别是边，上的两点，将 ADE沿直线折叠，点落在点处，则阴影部分图形的周长为 ．
【★考点21】全等三角形的判定
1．如图，，若要证明，则还要添加条件 就可以了．
2．丽丽同学不小心把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，你认为应带去的一块是 ．
3．如图，请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是 ．
【★★考点22】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
1．已知函数（为常数），当时，的最大值为，则的值为 ．
2．已知一次函数，若的增大而增大，且此函数图像与轴的交点在轴下方，则的取值范围是 ．
3．已知一次函数，当时，函数有最小值，则k的值为
【★★考点23】等腰三角形 “三线合一” 性质应用
1．如图，已知，为的角平分线，E为中点，连接，若，那么 ．
2．如图， ABC中，，延长到点，使得，延长到点，使得，则的值为 ．
3．如图，在 ABC中，，以A为圆心，为半径画弧，交于点D．若M、N分别是、的中点，则的长为 ．
【★★考点24】用勾股定理解三角形
1．如图，在 ABC中，，，，，那么的值是 ．
2．如图，一根电线杆在离地面米处各用米长的铁丝向两侧地面拉线固定，则两个固定点之间的距离是 ．
3．如图，在 ABC中，，，平分，若，则点D到的距离为 ．
【★★考点25】线段垂直平分线的性质
1．在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ．
2．如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为 ．
3．如图，在 ABC中，于点D，且，，于点F，若，，则 ．
【★★考点26】根据两条直线的交点求不等式的解集
1．函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是 ．
2．一次函数与的图像如图，则关于的不等式的解集为 ．
3．如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可）
【★★考点27】已知点所在的象限求参数
1．一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ．
2．若一次函数的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围为 ．
3．一次函数的图像不经过第四象限，则m的取值范围是 ．
【★★考点28】比较一次函数值的大小
1．若点和是一次函数图象上的两点，则m与n的大小关系为m n．（填“”“ ”或“=”）
2．已知点和点是函数的图象上的两点，则 （填“>”，“<”或“=”）
3．设点和点是直线上的两个点，则的大小关系是 ．
【★★考点29】利用算术平方根的非负性解题
1．已知，则的值为 ．
2．已知实数满足的平方根等于它本身，则的值为 ．
3．若实数x、y满足，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为 ．
【★★考点30】勾股树（数）问题
1．仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为 ．
2．如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是 ．
3．满足的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足，这样的三个整数（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当时，共有 组这样的“完美勾股数”．
【★★★考点31】勾股定理与折叠问题
1．如图， ABC中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接、，则线段的长等于 ．
2．如图，将直角三角形纸片折叠，使得点A与点B重合，折痕为，，，，则折痕的长为 ．
3．如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠，使点C落在点F处，连接，若是直角三角形，则的长是 ．
【★★★考点32】以直角三角形三边为边长的图形面积计算
1．如图， ABC中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积 分别为，，，则 的值为 ．
2．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为．若，，则 ．
3．如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为 ．
【★★★考点33】一次函数与几何综合
1．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，另一条经过B点的直线交x轴于点C且与直线构成的夹角，则直线的解析式为 ．
2．对每个确定的x的值，y是，，中的最大值，则当x变化时，函数y的最小值为 ．
3．如图直线与轴、轴分别交于点A和点B，点分别为线段的中点，点P为上一动点，值最小时点P的坐标为 ．
【★★★考点34】轴对称综合题（几何变换）、最短路径问题
1．如图，在 ABC中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为 ．
2．如图，在 ABC中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点为的中点，连接，则长的最小值为 ．
三.解答题
【★考点35】实数的混合运算
1．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，b是的整数部分．
(1)求和的值；
(2)求的平方根．
2．计算、求值：
(1)计算：； (2)求的值：．
3．计算：
(1)； (2)．
【★考点36】画轴对称图形、格点图中画等腰三角形
1．如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上．
(1)请你画出 ABC关于y轴的对称图形；
(2) ABC的面积为________；
(3)若x轴上有一点P，使的周长最小，请在图中画出点P，并写出点P的坐标．
2．图①、②、③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，只用直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，不需保留作图痕迹．
(1)在图①中画出 ABC中边上的中线．
(2)在图②中，以为底边作等腰 ABC．
(3)在图③中，作 ABC的边上的高，则 ABC的面积为 ．
3．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中以为腰画一个等腰三角形；
(2)在图②中以为底边画一个等腰三角形．
【★考点37】全等的性质与判定简单综合
1．如图，点E在边上，与交于点F，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
2．如图，在中，是上一点，与相交于点，是的中点，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
3．已知在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE⊥AF于点G．
(1)求证：DE＝AF；
(2)若点E是AB的中点，AB＝4，求GF的长．
【★考点38】求一次函数解析式
1．已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求：
(1)此一次函数的表达式；
(2)当时，自变量x的取值范围．
2．已知直线经过点，与轴正半轴交于点，求直线的函数表达式．
3．在平面直角坐标系中，有，两点，已知点A关于y轴的对称点为点C．
(1)写出点C的坐标；
(2)写出过B、C两点的函数表达式．
【★★考点39】等边对等角与尺规作图综合
1．如图， ABC中，，．
(1)作边的垂直平分线，与，分别相交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
2．已知：如图，射线和线段有公共端点B．
(1)①在射线上取一点P，使是以为底边的等腰三角形；
②过P作射线，使
（以上按要求尺规作图，并保留作图痕迹）
(2)若，连接，则_______．
3．如图，在 ABC中，．
(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹并标注相应字母）：
①作边的垂直平分线，交边于点，交边于点；
②作的平分线，交边于点．
(2)连接，若，则______（用含的代数式表示）．
【★★考点40】角平分线的性质定理与角平分线性质综合
1．如图，在 ABC中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并解决问题：
(1)在图1中，作的平分线，与边交于点D；此时若 ABC的面积是24，，求的长；
(2)在图2中，把 ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕分别交，于点E，F．
①请作出折痕；
②连接，若，，求的周长．
2．如图，在中，．
(1)尺规作图，求作的平分线交于点E；（保留作图痕迹）
(2)由（1）可知点E到的距离相等，依据是______；
(3)取边的中点D，连接，画出边上的高；
(4)若 ABC的面积是20，，则_____．（直接写出结果）
3．如图，已知 ABC是锐角三角形．
(1)请用无刻度直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与分别交于点M、N，在线段上找一点O，使点N 关于直线的对称点恰好落在边上；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
【★★考点41】一次函数图象与形面积
1．已知一次函数的图象经过点，．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为
(1)求一次函数的解析式；
(2)若点在轴上，满足，求点的坐标；
(3)若直线与的三边有两个公共点，则的取值范围是______．
3．如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
【★★★考点42】全等三角形综合问题（多步证明、辅助线构造）
1．如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
2．如图，与相交于点，，．
(1)求证：；
(2)与是否成轴对称？若是，请用无刻度的直尺画出对称轴；若不是，请说明理由．
【★★★考点43】斜边的中线等于斜边的一半性质综合应用
1．如图， ABC中，是边上的高线，是边上的中线，．
(1)已知，求的度数．
(2)若，求证：．
2．已知线段，以为斜边作和，连接，、分别是线段、的中点，连接、．
(1)如图1，和在线段的两侧．
①求证：；
②若，；请求出的度数；
(2)如图2，和在线段的同侧，若，，则的度数为 （用含、的代数式表示）
3．如图，在 ABC中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接．
(1)若是的中点，求证：；
(2)若，求证：为等边三角形．
【★★★考点44】等腰三角形的性质和判定综合题
1．如图，在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且．
(1)【特例探究】如图1，若点为的中点，求证：；
(2)【类比迁移】如图2，若点在边上任意一点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
2．在 ABC中，，，点为直线上一个动点点不与，重合，以为直角边在右侧作等腰直角三角形()，连接．
(1)如图，当点在线段上时，猜想与的位置关系，并说明理由
(2)如图，当点在线段的延长线上时，（）的结论是否仍然成立请说明理由．
3．如图1，图2，点O是线段的中点，，；
(1)如图1，按边分类， ABC的形状为______；
(2)如图1，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求证：；
(3)如图2，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数．
【★★★考点45】三角形、四边形折叠问题
1．折叠如图所示的直角三角形纸片，使点C落在上的点处，折痕为 (点D在边上)．
(1)用直尺和圆规画出折痕；(不写作法，保留画图痕迹)
(2)若，求折痕的长．
2．如图将长方形纸片折叠，使得点落在边上的点M处，折痕经过点，与边交于点N．
(1)尺规作图：求作点N、M（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，，求的长．
3．在四边形中，，，．
(1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）．
①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______．
②在①的条件下，求的长．
(2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长．
【★★★考点46】一次函数的实际应用
1．某商店出售普通练习本和精装练习本，本普通练习本和本精装练习本销售总额为元；本普通练习本和本精装练习本销售总额为元．
(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
(2)该商店计划再次购进本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，已知普通练习本的进价为元/本，精装练习本的进价为元/本，设购买普通练习本本，获得的利润为元；
①求关于的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
2．某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车匀速运动，这辆新能源汽车行驶路程与行驶时间之间的函数图象如图①所示，电池满电量与行驶时间之间的函数图象如图②所示．
(1)与x的函数关系式为______；
(2)求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
(3)当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程．
3．A城有某种农机台，B城有该农机台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机台，D乡需要农机台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为元/台和元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为元/台和元/台．
(1)设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；
(3)现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元作为优惠，其它费用不变，如何调运使总费用最少？
【★★★考点47】一次函数与几何综合
1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求出一次函数的图象与轴，轴交点A和B的坐标；
(3)若点在该一次函数的图象上，当的面积为5时，求点P的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过两点，点C在x轴正半轴上，且．
(1)求直线的函数表达式；
(2)连接，在直线上取一点D，且点D在x轴上方，连接，若以A，C，D为顶点的三角形的面积是 ABC面积的2倍，求出D点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在线段，上分别取M，N，且使得线段轴，在x轴上取一点P，连接，，使得为等腰直角三角形，请直接写出P点的坐标．
3．如图：直线与轴、轴分别交于、两点，点是直线上与、不重合的动点．
(1)求直线的解析式；
(2)作直线，的面积被直线分成的两部分，求此时点C的坐标；
(3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与 AOB全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【★★★考点48】一次函数与几何动点问题
1．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且．
(1)B的坐标为_______，线段的长为_______．
(2)求直线的解析式和点D的坐标．
(3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连接．
①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明；
②连接，当面积最大时，求的长度和的面积．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，直线经过点，与轴交于点，，点在直线上．
(1)如图1，若平分，平分，试说明；
(2)如图2，连接，，求 ABC和的面积；
(3)若动点在坐标轴上，且满足时，求点的坐标．
3．如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，两点，过点作直线，交于点D，交y轴于点E，且．
(1)求点A及点E的坐标；
(2)求点D的坐标；
(3)如图2，M是线段上一动点（不与点C，D重合），，交于点N，连接，求的面积的最大值．
参考答案
一．选择题
【★考点1】无理数的概念判断
1．C
∵ 是分数，是有理数；
是有限小数，是有理数；
是整数，是有理数；
是含的式子，是无理数；
，是整数，是有理数；
是整数，是有理数；
是有限小数，是有理数；
开方开不尽，是无理数；
（每两个2之间依次多一个1）是无限不循环小数，是无理数；
∴ 无理数有、、（每两个2之间依次多一个1），共3个．
故选：C．
2．C
解：A. 0是有理数；
B. 是有理数；
C. 是无理数；
D. 0.1010010001是有理数；
故选：C．
3．C
解：A. 不是无理数，不符合题意；
B. 是分数，不是无理数，不符合题意；
C. 是无理数，符合题意；
D. 是循环小数，不是无理数，不符合题意；
故选：C．
【★考点2】判断点所在的象限
1．C
解：，，
点所在的象限是第三象限，
故选：C．
2．D
解：∵，，
∴P在第四象限．
故选：D．
3．D
解：一次函数的值随增大而增大，
，
，
点 在第四象限．
故选：D
【★考点3】三角形三边关系的应用
1．C
解：已知 ABC中，，
设的长度为，
根据三角形三边关系得：的取值范围为．
故选C．
2．C
解：设第三边长为，根据三角形的三边关系得，
，
即，
故选：C．
3．A
解：A、，符合三角形三边关系，故可构成三角形；
B、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；
C、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；
D、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；
故选：A．
【★考点4】求一个数的平方根、算术平方根、立方根
1．B
解：，
故选：B．
2．D
解：A、9的平方根是，故该选项不符合题意；
B、，故不是的平方根，故该选项不符合题意；
C、没有平方根，故该选项不符合题意；
D、，，故是的平方根，故该选项符合题意；
故选：D．
3．C
A、，原式子错误，不符合题意；
B、，原式子错误，不符合题意；
C、，原式子正确，符合题意；
D、，原式子错误，不符合题意；
故选C．
【★考点5】根据一次函数解析式判断其经过的象限
1．B
解：由图象可得，，，
观察选项，只有B选项中的解析式符合．
故选：B．
2．A
解：∵，，
∴直线经过二，三，四象限，
故选：A．
3．D
解：当时，，代入得．
取点代入解析式，得，解得．
因此，函数解析式为．
∵，
∴图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【★考点6】等边对等角与三角形内角和定理的应用
1．D
∵等腰三角形有两个角相等，
∴若为顶角，则顶角为；
若为底角，则另一底角也为，顶角为：；
∴顶角为或，
故选：D．
2．C
解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
3．C
解：∵将 ABC绕着点顺时针旋转后，得到，
∴，，
，
．
故选：C．
【★考点7】三角形的外角的定义及性质
1．B
解：如图所示，设分别与交于M、N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
2．C
解：∵是 ABC的角平分线，
∴设，
∴，，
∴，
∴，
故选C
3．D
解：∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故选D．
【★考点8】证明三角形全等的条件
1．A
解：由作图可知：，，，
∴，
∴，即，
故选：A．
2．A
解：，，
，
，
，
故选A．
3．A
解：∵，
∴，
∵，
∴要根据“”判定，则需要添加斜边，
故选：．
【★考点9】判断三边能否构成直角三角形
1．D
解：A．∵，
∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形；
B．∵，
∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形；
C．∵，
∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形；
D．∵，
∴以这三条线段的长为边能组成直角三角形．
故选：D．
2．D
解：勾股数的定义：三个正整数，且满足“两小边的平方和等于最大边的平方”．
A、不是正整数，不满足勾股数的”正整数”要求，故A不符合；
B、不是正整数，不满足勾股数的”正整数”要求，故B不符合；
C、是正整数，但计算平方和：，而，不满足“两小边平方和等于最大边平方”，故C不符合；
D、3、4、5是正整数，且，同时满足勾股数的两个条件，故D符合．
故选：D．
3．B
解：，故1，2，3不可以作为直角三角形的三边长；
，故，，（其中为正数）可以作为直角三角形的三边长；
，故12，22，32不可以作为直角三角形的三边长；
，故，，可以作为直角三角形的三边长；
∴可以作为直角三角形三边长的有2组．
故选：B．
【★考点10】一次函数图象平移问题
1．D
解：∵ 将 向上平移2个单位后，得到新函数解析式为，
由，
∴,
∴.
故选：D.
2．D
解：∵将一次函数的解析式整理，得，
将一次函数向下平移个单位，平移后的一次函数的解析式为；
将一次函数向右平移个单位，平移后的一次函数的解析式为，
故一次函数向下平移个单位或向右平移个单位，平移后的一次函数的解析式均为．
故选：D．
3．A
解：将函数向左平移2个单位得到，
故选：A．
【★考点11】数轴上两点之间的距离、实数与数轴的关系
1．B
解： ∵，
∴ ，
∴ 在数轴上表示实数的点可能是点B．
故选：B．
2．D
解：∵，即，
∴，
由数轴上各点所表示的数可得，
故选：D．
3．A
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点M表示点数为．
故选A．
【★★考点12】三角形折叠问题（角度计算）
1．A
解：A、由折叠的性质得到，因此一定是 ABC的中线，故选项A符合题意；
B、由折叠的性质得到，因此不是 ABC的中线，故选项B不符合题意；
C、由折叠的性质得到是的角平分线，不一定是 ABC的中线，故选项C不符合题意；
D、如图，由折叠的性质得到，但和不一定相等，因此不一定是 ABC的中线，故选项D不符合题意．
故选：A．
2．C
解：如图，连接、，
∵，为的平分线，
∴，
又∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点O在的垂直平分线上，
又∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴，
∴，
在中，．
故选：C．
3．D
解：
由折叠可得：
设 则
故选：D．
【★★考点13】以弦图为背景的计算题
1．A
解：由题意可知：每个直角三角形面积为，则四个直角三角形面积为，大正方形面积为，小正方形面积为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴小正方形的面积为，
∴小正方形的边长为．
故选：A．
2．B
解：由题意，，，，
∴，
∴，
∵正方形的面积为，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴正方形边长为．
故选：B．
3．B
解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意，
B、不能证明勾股定理，本选项符合题意．
C、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意，
D、利用C中结论，本选项不符合题意．
故选B．
【★★考点14】根据一次函数增减性与参数关系
1．C
解：∵ 点和在函数上，
∴，，
∵，
∴，化简得，
∴，
∴，
对于点，有，
∵，
∴，
∴，故 一定正确，选项正确；
选项：错误，应该是；
选项：错误，由且可知；
选项：，不一定成立，如时，．
故选：．
2．B
解：∵一次函数（，为常数）的函数值随增大而减小，
∴，
A、当时，，而，故点的坐标不可能为；
B、当时，，，故点的坐标可能为；
C、当时，，而，故点的坐标不可能为；
D、当时，，而，故点的坐标不可能为；
故选：B．
3．D
解：A、当时，， ，
当时，，图象经过一、三象限，
当时，，图象经过一、二、三象限，
当时，，图象经过一、三、四象限，故A不符合题意；
B、当时，，函数随的增大而增大，故B不符合题意；
C、将代入函数，得，即函数图象经过点，故C不符合题意；
D、当时，，即图象与轴交于正半轴，故D符合题意；
故选：D．
【★★考点15】从函数的图象获取信息
1．B
解：由图象得出小明步行800米，需要8分钟，所以小明的运动速度为：（米/分），
当第12分钟时，小宇运动（分钟），运动距离为：（米），
∴小宇的运动速度为：（米/分），
∴，故②小宇的速度是小明速度的3倍，正确；
当第15分钟以后两人之间距离越来越近，说明小宇已经到达终点，故①小宇先到达青少年宫正确；
此时小宇运动（分钟），
运动总距离为（m），
∴小明运动时间为：（分钟），故a的值为21，故③错误；
∵小明15分钟运动距离为：（m），
∴，故④正确．
故正确的有：①②④．
故选：B．
2．A
解：由图象得出小强步行米，需要分钟，
所以小强的运动速度为：分，
当第分钟时，小林运动分钟，
运动距离为：，
小林的运动速度为：分，
故正确；
当第分钟以后两人之间距离越来越近，说明小林已经到达终点，则小林先到达少年宫，故正确；
此时小林运动分钟，
运动总距离为：，
小强运动时间为：分钟，
小强出发分钟时到达少年宫，故错误；
由知小林先到达少年宫，故错误；
综上，正确的结论有，
故选：A．
3．C
解：由图象可知，两车通过弧时每段所用时间均为通过直行道时，每段用时为
因此，甲车所用时间为故A正确；
根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走弧长之和，用时为则走故B正确；
根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从G口驶出，故C错误；
根据题意立交桥总长为D正确；
故选：C．
二．填空题
【★考点16】求一个数的近似数
1．③
解：①近似数万表示，数字在千位上，所以精确到千位，说法正确；
②近似数百万表示，精确到百万位；近似数万表示，精确到万位，所以精确度不同，说法正确；
③近似数精确到十分位，精确到百分位，精确度不同，说法错误；
④数精确到万位，万位是，千位是，四舍五入得，用科学记数法表示为，说法正确．
故说法错误的有③．
故答案为：③
2．
解：24986精确到1000人，即精确到千位．百位上的数字是9，，因此向千位进1，千位4变为5，后面各位变为0，故近似数为25000．
；
故答案为：．
3．
解：9360000精确到十万位，十万位为3，万位为6，，向十万位进位，3变为4，故近似数为9400000，科学记数法表示为，
故答案为：．
【★考点17】实数的大小比较
1．
解：因为，
所以．
故答案为：．
2．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3．
解：∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，
故答案为：；．
【★考点18】实数与数轴
1．3
解：观察数轴得：，
∴，
∴
．
故答案为：3．
2．
解：因为正方形的面积是，
所以正方形的边长为，
因为，
所以．
则边长在数轴上所对应的点的位置可能在点处．
故答案为：．
3．
解：设点M表示的实数为a，则点M到原点的距离为，根据题意，
，
解得．
∴点M表示的实数为．
故答案为：．
【★考点19】坐标与图形变化 —— 轴对称
1．2
解：∵点与点关于y轴对称，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：2．
2．
解：由题意得B、C关于直线l对称，
∵直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点，，
∴线段的中点的坐标为，
则点C的横坐标为，点C的纵坐标为，
∴点C的坐标为，
故答案为：．
3．
解：点关于x轴对称的点Q的坐标是．
故答案为：．
【★考点20】等边三角形的性质
1．
解：∵，，
∴，
∵三角形是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
2．
解：∵ ABC是等边三角形，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3．
解：∵等边 ABC的边长为，
∴，
∵，分别是边，上的两点，将 ADE沿直线折叠，点落在处，
∴，，
则阴影部分图形的周长为：，
故答案为：．
【★考点21】全等三角形的判定
1．
解：依题意，还要添加条件，
，
，
，
在和中，
，
，
故答案为：．
2．第2块
解：只有第2块玻璃中包含两角及这两角的夹边，符合．
∴应带去的一块是第2块，
故答案为：第2块．
3．
解：由作图可知：，
∴；
故答案为：
【★★考点22】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
1．或
解：当时，随的增大而增大，在处取得最大值，
代入得，解得；
当时，随的增大而减小，在处取得最大值，
代入得，解得．
故答案为：或．
2．
解：根据性质，得，解得；
根据函数图像与轴的交点在轴下方，得，
解得，
故m的取值范围为，
故答案为：．
3．5或
解：当时，函数y随x的增大而增大，
∴当时，，
∴，
解得：；
当时，函数y随x的增大而减小，
∴当时，，
∴，
解得：；
∴k的值为5或．
故答案为：5或．
【★★考点23】等腰三角形 “三线合一” 性质应用
1．
解：∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵E为中点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
2．2
解：∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
故答案为2．
3．2
解：连接，如图：
以为圆心，为半径画弧，交于点．
，
∴是等腰三角形，
是的中点，
，
∵N是的中点，，
．
故答案为：．
【★★考点24】用勾股定理解三角形
1．
解：设，由，可知，
在中，，
在中，，
故，
解得，即．
故答案为：．
2．米
解：电线杆、铁丝与地面构成直角三角形，
直角边（电线杆高度）：米，
斜边（铁丝长度）：米，
设单侧固定点到电线杆的距离米，则：
，
，
解得（米），
故两个固定点之间的距离为：（米）．
故答案为：米．
3．24
如图所示，过点A作于点E， 过点D作于点F，
∵，
∴
∴
∵
∴，
∵平分，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴点D到的距离为24．
故答案为：24．
【★★考点25】线段垂直平分线的性质
1．
解：如图，连接，
∵垂直平分，点是上一动点，
∴，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，
∵，三点共线，
∴此时是的高，
∴
∴的最小值为．
故答案为：．
2．14
解：由作图痕迹可知，点在线段的垂直平分线上，
∴，
∵，，
∴的周长为：
．
故答案为：．
3．9
解：连接，过点E作于点H，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为9．
【★★考点26】根据两条直线的交点求不等式的解集
1．
解：由图象得，当时，，
∴当时，的取值范围是，
故答案为：．
2．
解：由图像可得，当时，的图像在的图像的下方，
关于的不等式的解集为．
故答案为：．
3．6（答案不唯一，大于5均可）
解：直线经过点，
，即
设直线分别交x轴和y轴与、两点，
当时，；当时，，
即，，
∴，
，
过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图，
则轴，，
∴，
∴
∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置，
∵点在上，
∴当，则点在点的右上方，此时，
故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）．
【★★考点27】已知点所在的象限求参数
1．
解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴，解得；
故答案为：．
2．
∵一次函数的函数值y随x的增大而增大，
且此函数的图象不经过第二象限，
，且， 解得．
故答案为：．
3．
解：∵一次函数的图像不经过第四象限，
∴，
解得：．
故答案为：．
【★★考点28】比较一次函数值的大小
1．
解：∵一次函数中，，
∴函数值y随x的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
2．<
解：∵一次函数中，
∴函数值y随x增大而增大．
∵，
∴．
故答案为：．
3．
解：∵，
∴，
∴一次函数的函数值随自变量的增大而减小.
∵,
∴.
故答案为：.
【★★考点29】利用算术平方根的非负性解题
1．6
解：∵，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：6．
2．0
解：∵被开方数，且，
∴，
∴，即，
代入原式得，
∴，
∵的平方根等于它本身，
∴，
则，
故答案为：．
3．15
解：∵，，且，
∴，，
解得，．
当腰长为6，底边长为3时，三边长为6、6、3，满足三角形三边关系，周长为；
当腰长为3，底边长为6时，三边长为3、3、6，但，不满足三角形三边关系，故不成立．
因此，等腰三角形的周长为15．
故答案为：15．
【★★考点30】勾股树（数）问题
1．37
解：观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2，
设勾为a，股为b，弦为c，
则，
根据勾股定理，，
∴，
化简得，
依题意，当时，则，
∴，
故答案为：．
2．
解：如图，
由勾股定理得，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴
∴，
解得
故答案为：4．
3．
解：∵，
∴，
∴为奇数，且为完全平方数，
∵，
∴，
∴为以内的数，有：，共7个；
∴共有组这样的“完美勾股数”；
故答案为：．
【★★★考点31】勾股定理与折叠问题
1．
解：如图，延长交于点，
在中，由勾股定理得，
∵为的中点，
∴，
由翻折的性质可知，，，，
∴是的垂直平分线，
∴， ，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
2．
解：如图，连接，
由折叠的性质得，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：．
3．7或
解：当时，
，
，
，，共线，
，，
，
设，则，
在中，则有
解得，
；
当时，，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为7或．
故答案为：7或．
【★★★考点32】以直角三角形三边为边长的图形面积计算
1．
解：在 中，，，
∴，
∴
．
∵，
∴．
故答案为：．
2．
解：如下图所示，连接，
，
，
，，，，
，
，
．
故答案为：
3．5
解：设中间正方形为E，
由勾股定理可知：，，
∴，
正方形、、的面积依次为、、，
∴，
故答案为：5．
【★★★考点33】一次函数与几何综合
1．或
解：由题意，∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴，
∴．
分两种情形，
①当C在x轴负半轴上，如图1，过A作交于D，再过D作轴于E，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴()．
∴．
∴．
∴．
又∵，
设直线解析式为，
则，
解得：，
∴此时直线解析式为；
②当C在x轴正半轴上，如图2，过A作交于D，再过D作轴于E，
同理可得．
又∵，
设直线解析式为，
则，
解得：，
∴此时直线BC为．
综上，直线为或．
故答案为：或．
2．
解：作出图象，如图：
图中实线部分为函数y的图象．
与的交点A：
解方程，得，对应．
与的交点：
解方程，得，对应．
当时，是三个函数中的最大值；
当时，是三个函数中的最大值；
当时，是三个函数中的最大值．
则当时，函数y的最小值为．
故答案为：．
3．
解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示．
令中，则，
点的坐标为；
令中，则，解得：，
点的坐标为．
点、分别为线段、的中点，
点，点．
点和点关于轴对称，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
直线过点，，
，解得：，
直线的解析式为．
令中，则，解得：，
点的坐标为．
故答案为：．
【★★★考点34】轴对称综合题（几何变换）、最短路径问题
1．
解：连接．
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴时，最小，即当是 ABC的高时，
故答案为：．
2．
解：∵，
∴，
如图1，由翻折得，
∵，
∴，
∴，
∴当点落在上时，，此时的值最小，
如图2，当点落在上时，则，
作于点F，于点E，则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3．
解：如图，以为边作等边三角形，过点E作于F，连接，
∵点A的坐标为，
∴，
∵点P为的中点，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴当有最小值时，有最小值，
即轴时，有最小值，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
三．解答题
【★考点35】实数的混合运算
1．（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∵b是的整数部分，
∴；
（2）解：当，时，
，
∴的平方根为．
2．（1）解：
（2）解：
解得．
3．（1）解：
；
（2）解：
．
【★考点36】画轴对称图形、格点图中画等腰三角形
1．（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：；
（3）解：如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接交x轴于P，点P即为所求；
由网格的特点和图形可得点P的坐标为．
2．（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）解：如图所示， ABC即为所求；
（3）解：如图所示，线段即为所求，则．
3．（1）解：如图所示， ABC即为所求（画出其中一个即可）；
（2）解：如图所示，即为所求；
【★考点37】全等的性质与判定简单综合
1．（1）解：如图所示：
，
即，
在和中，
；
（2）解：由（1）得，
，
又，
．
2．（1）证明：∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴（），
（2）解：由（）得：，
∴，
∵，，
∴．
3．（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，点是中点，
∴，
在中，，
∵DE=AF，
∴，
∵，
∴，
∴．
【★考点38】求一次函数解析式
1．（1）解：设一次函数解析式为，
把，；，分别代入得
，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：当时，，
解得，
即自变量x的取值范围为．
2．解：设直线的函数表达式为．
因为直线经过点，所以．
因为直线与轴正半轴交于点，
所以，解得，
所以直线的函数表达式为．
3．（1）解：∵，点A关于y轴的对称点为点C，
∴
（2）解：设B、C两点的函数表达式为，
则，
解得，
∴过B、C两点的函数表达式为．
【★★考点39】等边对等角与尺规作图综合
1．（1）解：如图所示，直线就是所求．
（2）解：连接，
因为，且，
所以，
因为是线段的垂直平分线，，
所以，
所以，
则，
在中，，
所以．
2．（1）如图所示：
（2），
，
，
．
故答案为：．
3．（1）解：图形如图所示：
（2）∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
【★★考点40】角平分线的性质定理与角平分线性质综合
1．（1）解：如图，即为所求．
过作交于，
平分，且，
（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又
，
解得，
所以；
（2）解：①如图，折痕即为所求；
②连接，
由作图知，
∴的周长为，
所以的周长为10．
2．（1）解：如图，射线即为所求．
（2）由（1）可知点E到的距离相等，依据是角平分线上的任意一点到角两边的距离相等．
故答案为：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等．
（3）如图，即为所求．
（4）点D为边的中点， ABC的面积是20，
，
，
，
故答案为：
3．（1）解：如图，直线，点O即为所求；
（2）解：过点O作于点H．
∵平分，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【★★考点41】一次函数图象与形面积
1．（1）解：设此一次函数解析式为，
∵一次函数的图象经过点，
，
解得，
一次函数解析式为．
（2）解：当时，，
解得；
与x轴的交点坐标，
当时，．
与y轴的交点坐标．
一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是．
2．（1）把代入得，，
解得，
点的坐标为
把，点坐标代入得：，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）在中，；
当时，，
，
，
，
，
，
点在轴上，
，
，
，
或；
（3）直线经过点，
把点的坐标代入得，，
解得，
若直线与的三边有两个公共点，则，即
3．（1）解：将点代入，得，
解得，
，
将点代入，得，
解得，
；
（2）在中，令，得，
解得，
，
在中，令，得，
解得，
；
（3）由函数图象可知：当时，，当时，，
所以当时，．
【★★★考点42】全等三角形综合问题（多步证明、辅助线构造）
1．（1）解：∵，
，
在与 ADE中，，
∴
；
（2）解：连接,
，
，
在 ABC与中，
∴，
，
∵，
，
∴，
．
2．（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：与成轴对称．
如图，分别延长相交于点，作直线，
则直线即为所求．
【★★★考点43】斜边的中线等于斜边的一半性质综合应用
1．（1）解：∵是边上的高线，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：连结，如图所示：
∵，是边上的中线，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴．（等腰三角形三线合一）
2．（1）①证明：连接，
是线段的中点，
，，
，
∵N是的中点，
；
②解：由条件可知，
，，
，，
，
，，
，
．
（2）解：如图，连接，
由条件可知，
，，
，，
，
，是的中点，
．
3．（1）证明：如图，连接，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵的垂直平分线为，
∴，
∴为等边三角形．
【★★★考点44】等腰三角形的性质和判定综合题
1．（1）证明：∵等边三角形，
∴
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：成立，理由如下：
过点作交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ABC为等边三角形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，即．
（2）成立理由如下：
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴．
∵ ABC是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，即．
3．（1）解：点O是线段的中点，
，
，
，
在 AOB与中，
，
，
，，
，
是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）证明：是等边三角形， ABC是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
在与中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图2，作交于点E，则，，
，，
是等边三角形，
，
是等边三角形；
，，
，
在和中，
，
，
，
的度数是．
【★★★考点45】三角形、四边形折叠问题
1．（1）解：如图：即为所求．
（2）解：在中，，
∴，
∵ AC/D是由沿翻折得到的，
∴，
∴．
设，则
在中，，
∴，即，解得：，即．
在中，．
2．（1）解：如图所示，点N和点M即为所求；
以点C为圆心，长为半径画弧交于M，作线段的垂直平分线交于N，则M、N即为所求；
（2）解：如上图所示，连接，
由折叠的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
3．（1）解：如图所示，以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求，
根据图形折叠的性质可知，，，
在中，．
故答案为：．
②设，则，，
∵，，
∴，
在中，，即．
解得，即．
（2）解：①如图所示，当点在线段上时．
设，则，
根据图形折叠的性质可知，，，
在中，，
则，
在中，，
即，
解得，即；
②如图所示，当点在线段的延长线上时，
根据图形折叠的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴；
综上所述，或．
【★★★考点46】一次函数的实际应用
1．（1）解：设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，
根据题意，得，解得．
答：普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元；
（2）①设购买普通练习本本，则购买精装练习本本．
根据题意，得；
∵普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍．
∴，解得．
综上，关于的函数关系式为，自变量x的取值范围为；
②∵中，，
∴随的增大而减小．
∴当时，取最大值， （本），（元）．
答：当购买本普通练习本，本精装练习，销售总利润最大，最大总利润为元．
2．（1）解：该新能源汽车的行驶速度为，
与x的函数关系式为，
故答案为：；
（2）该新能源汽车的功率为，
与x的函数关系式为
由题意，电量，即，
，
；
（3）当时，即，
解得，
当时，．
答：这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为．
3．（1）解：
=；
（2）解：根据题意得，，
，
∵，
∴，
∴有3种不同的调运方案，
第一种方案：从A城调往C城台，调往D城台，从B城调往C城台，调往D城台；
第二种方案：从A城调往C城台，调往D城台，从B城调往C城台，调往D城台；
第三种方案：从A城调往C城台，调往D城0台，从B城调往C城4台，调往D城台；
（3）解：
=，
①当时，，
当时，元，
此时，从A城调往C城台，调往D城台，从B城调往C城台，调往D城台；
②当时，元，
∴各种方案费用一样多，
③当时，，，
∴ 当时，（元），利润最小，
此时从A城调往C城台，调往D城0台，从B城调往C城4台，调往D城台．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的性质．
【★★★考点47】一次函数与几何综合
1．（1）解：一次函数的图象由函数的图象平移得到，
一次函数为，
一次函数经过点，
，
，
一次函数为；
（2）解：由题意得
在一次函数中，
当时，，
当时，，
，
图象与轴、轴的交点的坐标分别为，；
（3）解：设，
，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
，或．
2．（1）解：将点、代入，
得，
解得，
直线的表达式．
（2）令，则，
，
，且点在轴正半轴上，
，
，
，
设点的坐标为，
如图①，过点作轴的垂线交轴于点，
则，
，
即，
解得：，
点的坐标为．
（3）由在、在，且轴，
设直线的表达式为，
将点、代入，
得，
解得，
直线的表达式．
设，，
∵轴，且N在上，
∴将代入，得，
解得，
∴点N的坐标是，
∴
①如图，当点M为直角顶点时，且，
∴，
解得：，
∴点P的坐标是；
②当点N为直角顶点时，如图，且，
∴，
解得：，，
∴点P的坐标是；
③当点N为直角顶点时，如图，且，
作于点Q，则为的中点，且，
∴，
解得：，
∴点P的横坐标为，
点坐标为：；
综上，点P的坐标是或或．
3．（1）解：将点代入：
代入得：；
代入得：，解得．
故直线AB的解析式为：；
（2）解： AOB的面积为：．
直线OC将其分为两部分，即两部分面积分别为2和4．
设，分两种情况：
情况1：
解得，对应，即．
情况2：
，同理解得，对应，即．
故点C坐标：或；
（3）解： AOB是直角三角形（直角在O），边长为，
中，D在y轴上，故是y轴上的线段，需使为直角三角形（与 AOB全等），分两种直角位置讨论：
情况1：直角在点（轴）
此时，
则，
∴，，
∵，符合题意，
故；
情况2：直角在点
此时，，
则，
则或．
设，则，解得，
当时，，即，此时应该为，
则，符合题意；
同理，当时，，，
则，符合题意；
∴C为或；
综上所述，满足条件的C点有，，．
【★★★考点48】一次函数与几何动点问题
1．（1）解：当时，直线，
当时，直线，解得：，
，
，
故答案为：；．
（2）解：过点作交于点，交轴于点，且，
，，
，
设过点，，直线的解析式为：，
则：解得：，
直线的解析式为：，
、交于点，
解得：，
，
故答案为：；．
（3）解：①，
，，
，，
，
，
，
，
，即线段与线段数量关系，保持不变，
②，
，
，
，
，
，即：，
，
，
，
，
，，，
，，
，
∴为定值，
，
∴要使最大，求最小即可，
，
∴当取最小值时，最小，
，，，
∴CE===5，
当时，取最小值，
，即：，解得：，
面积最小为，
，
故答案为：①相等，不变，见解析；②，．
2．（1）解：∵平分，
∴
∴
∵平分，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
（2），，，
（3）设动点在轴上时：
①∵
∴
∴
∴
②∵
∴
∴
∴
设动点在轴上时：
③∵
∴
∴
∴
④∵
∴
∴
∴
∴
综上所述：点的坐标
3．（1）解：把代入直线得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴点D的坐标为．
（3）解：，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∵OA=8，，，，
，，
，
四边形面积为定值，
，
要使面积最大，求面积最小即可，
，
当取最小值时，面积最小，
，，，
，
当时，取最小值，
，
即，面积最小为，
则面积，
即面积最大为．
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