期末专题复习二 有理数及其运算（5大考点）（学生版+答案版）初中数学北师大版（2024）七年级上册

期末专题复习二 有理数及其运算
【考点1】有理数的有关概念
1．下列说法中正确的是( )
A.0是最小的整数 B.有理数不是正数就是负数
C.一定是负数 D.整数和分数统称为有理数
2．如图，数轴上的三点，，所表示的数分别为，，且满足，，则原点在( )
A.点左侧 B.点点之间(不含点点)
C.点点之间(不含点点) D.点右侧
3．已知点 是数轴上的一点，它到原点的距离为3，把点 向左平移7个单位长度后，再向右平移5个单位长度得到点，则点 到原点的距离为( )
A.3或7 B.3或5 C.1或3 D.1或5
4．判断题(对的画“√”，错的画“×”)：
(1)整数和分数统称为有理数．( )
(2)绝对值是它本身的数只有0．( )
(3)两数之和一定大于每个加数．( )
(4)如果两个数的积为0，那么至少有一个因数为0．( )
(5)0是最小的整数．( )
(6)数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧．( )
(7)几个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，那么积为负数．( )
5．已知：，互为相反数，， 互为倒数，，求的值.
【考点2】有理数的大小比较
6．在0，－2，1，这四个数中，最小的数是( )
A．0 B．－2 C．1 D．
7．某个时刻，测得四个地点的气温分别是－11 ℃，－8.5 ℃，－11.5 ℃，－8.9 ℃，其中最高温度是( )
A．－11℃ B．－11.5℃ C．－8.5℃ D．－8.9℃
8．如果a>0，b<0，a＋b>0，那么下列各式中大小关系正确的是( )
A．－b<－a9．实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是( )
A．m＞n B．－n＞|m| C．－m＞|n| D．|m|＜|n|
【考点3】有理数的运算
10．对任意两个有理数, 定义如下运算： .有下列四个结论：
；; ;④若，则 ，其中所有正确结论的序号是( )
A.①② B.③ C.①③ D.③④
11．小颖同学做这样一道题“计算|－5＋△|”，其中“△”是被墨水污染看不清的一个数，她翻看答案，得知该题的计算结果是3，那么“△”表示的数是________．
12．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
(1)用“>”“<”或“＝”填空：b______0，a＋b______0，a－c______0，b－c______0；
(2)|b－1|＋|a－1|＝______；
(3)化简：|a＋b|＋|a－c|－|b|＋|b－c|．
13．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
14．(1)计算：__，___，___， ， _____.
(2)由(1)可得 _______.
(3)利用上述规律计算： .
15．如图，， 为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端点，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“2.5厘米”，“1厘米”两个刻度分别对应着数轴上表示数，的两点，且，两数满足 .
(1)___， ___；
(2)图中刻度“3厘米”所对应数轴上的数是多少？
(3)若刻度尺右端点 的刻度为“0.5厘米”，将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点 恰好与数轴上表示数1的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧的长度为多少厘米，并说明理由.
【考点4】有理数的实际应用
16．根据数据显示，海拔每增加1000米，气温的变化量为－6℃．
(1)若某登山运动员攀登了3000米，则气温的变化量为多少？
(2)若某登山运动员在攀登途中发回信息，报告他所在高度的气温为－27℃，如果当时地面温度为6℃，求此时该登山运动员攀登了多少米？
17．有一个水库某天8:00的水位为 (以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正)，在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下(记上升为正，单位：)：， ，0，，， .
(1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？
(2)现在由于下暴雨，水库水位以 的速度上升，指挥部要求水位降至警戒线以下(含 )，现在水库匀速泄水，可使静态水位按 的速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间.
【考点5】科学记数法和近似数
18．长白山天池是由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达.数据2 040 000 000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
19．下列说法正确的是( )
A.近似数 精确到十分位
B.近似数1.28万精确到百分位
C.数3.9953精确到百分位为4.00
D.近似数6.5与6.50精确度相同
20．在比例尺为1∶8000000的地图上，若量得A，B两地在地图上的距离为3.5厘米，则实际距离为______________厘米．(用科学记数法表示)
参考答案
【考点1】有理数的有关概念
1．下列说法中正确的是( )
A.0是最小的整数 B.有理数不是正数就是负数
C.一定是负数 D.整数和分数统称为有理数
【答案】D
2．如图，数轴上的三点，，所表示的数分别为，，且满足，，则原点在( )
A.点左侧 B.点点之间(不含点点)
C.点点之间(不含点点) D.点右侧
【答案】B
3．已知点 是数轴上的一点，它到原点的距离为3，把点 向左平移7个单位长度后，再向右平移5个单位长度得到点，则点 到原点的距离为( )
A.3或7 B.3或5 C.1或3 D.1或5
【答案】D
【解析】因为点到原点的距离为3，所以点 表示的数是3或.当点表示的数是3时，把点 向左平移7个单位长度后，再向右平移5个单位长度得到点，所以点 表示的数是1，所以点到原点的距离为1；当点表示的数是时，把点 向左平移7个单位长度后，再向右平移5个单位长度得到点 ，所以点表示的数是，所以点 到原点的距离为5.综上所述，点 到原点的距离为1或5.
4．判断题(对的画“√”，错的画“×”)：
(1)整数和分数统称为有理数．( )
(2)绝对值是它本身的数只有0．( )
(3)两数之和一定大于每个加数．( )
(4)如果两个数的积为0，那么至少有一个因数为0．( )
(5)0是最小的整数．( )
(6)数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧．( )
(7)几个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，那么积为负数．( )
【答案】√ × × √ × × ×
5．已知：，互为相反数，， 互为倒数，，求的值.
解：因为，互为相反数，所以 .
因为，互为倒数，所以 .
因为 ，
所以且，解得且 .
所以 .
【考点2】有理数的大小比较
6．在0，－2，1，这四个数中，最小的数是( )
A．0 B．－2 C．1 D．
【答案】B
7．某个时刻，测得四个地点的气温分别是－11 ℃，－8.5 ℃，－11.5 ℃，－8.9 ℃，其中最高温度是( )
A．－11℃ B．－11.5℃ C．－8.5℃ D．－8.9℃
【答案】C
8．如果a>0，b<0，a＋b>0，那么下列各式中大小关系正确的是( )
A．－b<－a【答案】B
9．实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是( )
A．m＞n B．－n＞|m| C．－m＞|n| D．|m|＜|n|
【答案】C
【考点3】有理数的运算
10．对任意两个有理数, 定义如下运算： .有下列四个结论：
；; ;④若，则 ，其中所有正确结论的序号是( )
A.①② B.③ C.①③ D.③④
【答案】B
11．小颖同学做这样一道题“计算|－5＋△|”，其中“△”是被墨水污染看不清的一个数，她翻看答案，得知该题的计算结果是3，那么“△”表示的数是________．
【答案】8或2　
12．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
(1)用“>”“<”或“＝”填空：b______0，a＋b______0，a－c______0，b－c______0；
【答案】＜ ＜ ＞ ＜
(2)|b－1|＋|a－1|＝______；
【答案】a－b　
(3)化简：|a＋b|＋|a－c|－|b|＋|b－c|．
解：原式＝－a－b＋a－c＋b－b＋c＝－b．
13．计算：
(1) ；
解： .
(2) ；
解： .
(3) ；
解： .
(4) .
.
14．(1)计算：__，___，___， ， _____.
【答案】
(2)由(1)可得 _______.
【答案】
(3)利用上述规律计算： .
【解】 .
15．如图，， 为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端点，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“2.5厘米”，“1厘米”两个刻度分别对应着数轴上表示数，的两点，且，两数满足 .
(1)___， ___；
【答案】
【解析】因为，所以 ,，所以, .
(2)图中刻度“3厘米”所对应数轴上的数是多少？
解：因为,，所以数轴上表示数， 的两点之间的距离为 ，对应刻度尺上的距离为 (厘米)，所以刻度“3厘米”所对应数轴上的数是 .
(3)若刻度尺右端点 的刻度为“0.5厘米”，将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点 恰好与数轴上表示数1的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧的长度为多少厘米，并说明理由.
这把刻度尺有刻度一侧 的长度为4厘米，理由如下:设移动前表示的数为 .因为将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点 恰好与数轴上表示数1的点重合，所以 .因为,，对应的刻度为2.5厘米， 对应的刻度为
1厘米，所以数轴上一个单位长度表示的实际长度为 (厘米).所以易得移动前 表示的数为3，所以在数轴上表示的长度为 (个单位长度)，所以这把刻度尺有刻度一侧的长度为 (厘米).
【考点4】有理数的实际应用
16．根据数据显示，海拔每增加1000米，气温的变化量为－6℃．
(1)若某登山运动员攀登了3000米，则气温的变化量为多少？
(2)若某登山运动员在攀登途中发回信息，报告他所在高度的气温为－27℃，如果当时地面温度为6℃，求此时该登山运动员攀登了多少米？
解：(1)×(－6)＝－18．
答：气温的变化量为－18℃．
(2)由题意得［(－27)－6］÷(－6)×1000＝5500(米)．
答：登山运动员攀登了5500米．
17．有一个水库某天8:00的水位为 (以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正)，在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下(记上升为正，单位：)：， ，0，，， .
(1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？
解：所以水库的水位未超过警戒线.
(2)现在由于下暴雨，水库水位以 的速度上升，指挥部要求水位降至警戒线以下(含 )，现在水库匀速泄水，可使静态水位按 的速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间.
.所以水库需放水 .
【考点5】科学记数法和近似数
18．长白山天池是由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达.数据2 040 000 000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】B
19．下列说法正确的是( )
A.近似数 精确到十分位
B.近似数1.28万精确到百分位
C.数3.9953精确到百分位为4.00
D.近似数6.5与6.50精确度相同
【答案】C
20．在比例尺为1∶8000000的地图上，若量得A，B两地在地图上的距离为3.5厘米，则实际距离为______________厘米．(用科学记数法表示)
【答案】2.8×107