期末专题复习五 一元一次方程（4大考点）（学生版+答案版）初中数学北师大版（2024）七年级上册

期末专题复习五 一元一次方程
【考点1】一元一次方程及方程的解
1．已知下列方程：
；； ；；； .
其中一元一次方程的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．若是一元一次方程，则 的值是( )
A． B． C．2 D．4
3．如果是方程 的解，那么 的值是( )
A．0 B．2 C． D．
【考点2】等式的基本性质
4．下列等式变形，正确的是( )
A．由得 B．由得
C．由得 D．由得
5．下列等式变形中，错误的是( )
A．由，得 B．由，得
C．由,得 D．由，得
6．如图所示，两个天平都平衡，则与2个球体质量相等的正方体的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点3】一元一次方程的解法
7．已知关于x的一元一次方程＋5＝2024x＋m的解为x＝2020，那么关于x的一元一次方程－5＝2024(x－5)－m的解为x＝( )
A．2015 B．－2015 C．2025 D．－2025
8．若不论取什么数，关于的方程，是常数的解总是，则的值是( )
A． B． C． D．
9．关于y的方程ay－2＝4与2y－5＝－1的解相同，则a的值为________．
10．一位同学在解方程5x－1＝□x＋3时，把“□”处的数字看错了，解得x＝－.这位同学把“□”处的数字看成了________．
11．在有理数范围内定义运算“*”，其规则为a*b＝，则关于x的方程4*x＝8的解为_______．
12．解方程：
(1) ； (2) ；
(3) . (4) .
13．已知关于x的方程 m＋ ＝4的解是关于x的方程 － ＝ －1的解的2倍，求m的值．
14．李老师在课堂上，提出这样一个问题：解方程 .小亮认为本题可设 ，因而原方程可化为，只要求出的值，即可求出 的值.
(1)根据小亮的解题思路，求得______，进而求得_____.
(2)利用上述方法解方程： .
【考点4】一元一次方程的应用
15．某购物中心在国庆节期间举行优惠活动，规定一次购物不超过200元的不优惠；超过200元的，全部按八折优惠．小丽买了一件服装，付款180元，这件服装的标价是( )
A．180元 B．200元 C．225元 D．180元或225元
16．如图，一个容积为2 L(1 L＝1000 cm3)的瓶子中装着一些水．当瓶子正放时，瓶中水的高度为20 cm，倒放时，空余部分的高度为5 cm，则瓶子的底面积为( )
A．50 cm2 B．80 cm2 C．100 cm2 D．200 cm2
17．如果一个长方形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”．如图所示，“优美长方形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为 ____．
18．根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元．求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．
19．为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲、乙两个工程队还需联合工作多少天？
20．用相同规格的正方形硬纸板做成如图①的直三棱柱盒子，每个盒子由3个相同的长方形做侧面和2个相同的正三角形做底面组成，硬纸板按如图②的两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用).方法A：剪出6个侧面；方法B：剪出4个侧面和5个底面．现有19张这种规格的正方形硬纸板，裁剪时x张用方法A，其余用方法B.
(1)裁剪出________个侧面，________个底面；(用含x的代数式表示)
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？
21．某中学学生步行到郊外旅行，七(1)班学生组成前队，步行速度为 ，七(2)班的学生组成后队，步行速度为；前队出发 后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为 .
(1)后队追上前队需要多长时间？
(2)后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少千米？
(3)七(1)班出发多少小时后两队相距 ？
22．将长为1，宽为 的长方形纸片如图①那样折一下，剪下一个边长等于长方形的宽度的正方形(称为第一次操作)；再把剩下的长方形如图②那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形(称为第二次操作)；如此反复操作下去，若在第次操作后剩下的长方形为正方形，则操作终止.
(1)第一次操作后，剩下的长方形的两边长分别为_________；(用含的代数式表示)
(2)若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，求 的值，并写出解答过程；
(3)若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，试求 的值.
参考答案
【考点1】一元一次方程及方程的解
1．已知下列方程：
；； ；；； .
其中一元一次方程的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
2．若是一元一次方程，则 的值是( )
A． B． C．2 D．4
【答案】B
3．如果是方程 的解，那么 的值是( )
A．0 B．2 C． D．
【答案】C
【考点2】等式的基本性质
4．下列等式变形，正确的是( )
A．由得 B．由得
C．由得 D．由得
【答案】C
5．下列等式变形中，错误的是( )
A．由，得 B．由，得
C．由,得 D．由，得
【答案】D
6．如图所示，两个天平都平衡，则与2个球体质量相等的正方体的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【考点3】一元一次方程的解法
7．已知关于x的一元一次方程＋5＝2024x＋m的解为x＝2020，那么关于x的一元一次方程－5＝2024(x－5)－m的解为x＝( )
A．2015 B．－2015 C．2025 D．－2025
【答案】B
8．若不论取什么数，关于的方程，是常数的解总是，则的值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为不论取什么数，关于 的方程，是常数的解总是 ，所以，整理，得 ，所以,.所以, 所以 .
9．关于y的方程ay－2＝4与2y－5＝－1的解相同，则a的值为________．
【答案】3
10．一位同学在解方程5x－1＝□x＋3时，把“□”处的数字看错了，解得x＝－.这位同学把“□”处的数字看成了________．
【答案】8
11．在有理数范围内定义运算“*”，其规则为a*b＝，则关于x的方程4*x＝8的解为_______．
【答案】x＝6
12．解方程：
(1) ；
解：去括号，得 .
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
(2) ；
解： ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
解得 .
(3) .
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
解得 .
(4) .
解：去分母，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
13．已知关于x的方程 m＋ ＝4的解是关于x的方程 － ＝ －1的解的2倍，求m的值．
解：解方程m＋ ＝4 ，得x＝12－3m，解方程－ ＝ －1，得x＝6－m，根据题意得2(6－m)＝12－3m，解得m＝0
14．李老师在课堂上，提出这样一个问题：解方程 .小亮认为本题可设 ，因而原方程可化为，只要求出的值，即可求出 的值.
(1)根据小亮的解题思路，求得______，进而求得_____.
【答案】
(2)利用上述方法解方程： .
解：设,则原方程转化为 ，
去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得，所以 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
【考点4】一元一次方程的应用
15．某购物中心在国庆节期间举行优惠活动，规定一次购物不超过200元的不优惠；超过200元的，全部按八折优惠．小丽买了一件服装，付款180元，这件服装的标价是( )
A．180元 B．200元 C．225元 D．180元或225元
【答案】D
16．如图，一个容积为2 L(1 L＝1000 cm3)的瓶子中装着一些水．当瓶子正放时，瓶中水的高度为20 cm，倒放时，空余部分的高度为5 cm，则瓶子的底面积为( )
A．50 cm2 B．80 cm2 C．100 cm2 D．200 cm2
【答案】B
17．如果一个长方形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”．如图所示，“优美长方形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为 ____．
【答案】5
18．根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元．求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．
解：设调整前甲地该商品的销售单价是x元，则乙地该商品的销售单价是(x＋10)元．
根据题意，得(1＋10%)x＋1＝x＋10－5，
解得x＝40，所以x＋10＝50．
答：调整前甲地该商品的销售单价是40元，乙地该商品的销售单价是50元．
19．为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲、乙两个工程队还需联合工作多少天？
解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进(x－2)米．
由题意得2x＋(x＋x－2)＝26，解得x＝7，
所以x－2＝5(米)，＝10(天)．
答：甲、乙两个工程队还需联合工作10天．
20．用相同规格的正方形硬纸板做成如图①的直三棱柱盒子，每个盒子由3个相同的长方形做侧面和2个相同的正三角形做底面组成，硬纸板按如图②的两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用).方法A：剪出6个侧面；方法B：剪出4个侧面和5个底面．现有19张这种规格的正方形硬纸板，裁剪时x张用方法A，其余用方法B.
(1)裁剪出________个侧面，________个底面；(用含x的代数式表示)
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？
解：(1)(2x＋76)　(95－5x)　
(2)根据题意，得＝，解得x＝7，所以＝30.答：能做30个盒子
21．某中学学生步行到郊外旅行，七(1)班学生组成前队，步行速度为 ，七(2)班的学生组成后队，步行速度为；前队出发 后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为 .
(1)后队追上前队需要多长时间？
解：设后队追上前队需要 ，
根据题意得，解得 .
所以后队追上前队需要 .
(2)后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少千米？
，
所以联络员走的路程是 .
(3)七(1)班出发多少小时后两队相距 ？
设七(1)班出发后，两队相距 ，
当七(2)班没有出发时， ；
当七(2)班出发，但没有追上七(1)班时，
，解得 ；
当七(2)班超过七(1)班时， ，解得 .
所以七(1)班出发或或后，两队相距 .
22．将长为1，宽为 的长方形纸片如图①那样折一下，剪下一个边长等于长方形的宽度的正方形(称为第一次操作)；再把剩下的长方形如图②那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形(称为第二次操作)；如此反复操作下去，若在第次操作后剩下的长方形为正方形，则操作终止.
(1)第一次操作后，剩下的长方形的两边长分别为_________；(用含的代数式表示)
【答案】，
(2)若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，求 的值，并写出解答过程；
解：第1次操作后，剩下的长方形的两边长分别是 ，. 若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则或 ，解得或 (舍去).
(3)若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，试求 的值.
第二次操作后，剩下的长方形的两边长分别是， .
若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则或 ，解得或 .