福建省宁德市三校2025-2026学年上学期高三1月月考数学试卷（含答案）

宁德市三校学年第一学期高三1月联考
数学试题
本试卷共4页，共150分，考试时长120分钟。
注意事项：答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚。
班级：__________姓名：__________座号：__________
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1. 复数的虚部为（ ）
A.1 B.
C. D.
2. 已知非零向量，，则“与共线”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若点不在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
5. 已知函数，则在下列区间上，单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A. 函数图象可由的图象向左平移个单位得到
B. 函数图象的对称中心为
C. 函数图象关于直线对称
D. 函数在区间上单调递增
7. 数列满足，则数列的前9项和为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在平面直角坐标系中，若抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，，圆为的外接圆，直线与圆切于点，点在圆上，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 若正数，，均不为1，则下列不等式中与“”不等价的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知的三个角，，所对的三边分别为，，，，，设的中点为，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 不可能是等腰三角形
C. 面积的最大值为
D. 周长的最小值为4
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，函数恰有1个零点
B. 当时，函数恰有2个极值点
C. 当时，函数恰有2个零点
D. 函数恰有2个零点时，必有一个零点为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 对于任意不等于1的正数，函数的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是______。
13. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时4秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；已知与的离心率之比为，则。
14. 棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点，到平面距离之和的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（13分）. 在中，内角，，所对的边分别为，，。已知。
（I）求角的大小；（6分）
（II）设，。求和的值。（7分）
16（15分）.已知正方体的棱长为2，是空间中的一点。
（1）证明：直线平面；（6分）
（2）若点在平面内，且满足平面平面，请判断点的轨迹，并说明理由。（9分）
17（15分）. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足，。
（1）求数列和的通项公式；（6分）
（2）设，求数列的前项和。（9分）
18（17分）. 已知椭圆：的离心率，点在椭圆上。
（1）求椭圆的方程；（4分）
（2）过的直线与椭圆相交于两点，，设的中点为，
（i） 若直线的斜率为，求；（4分）
（ii） 若点，判断与的大小，并证明你的结论。（9分）
19（17分）.若函数的图象上至少有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的“自公切线”。设。
（1）判断函数是否存在“自公切线”，并说明理由；（3分）
（2）若时，函数的最大值为，求的取值范围；（5分）
（3）当时，证明：函数存在至少三个切点的“自公切线”，并求出所有相应的切线方程。（9分）
宁德市三校学年第一学期高三1月联考数学参考答案
1~5:BCADB 6~8:DAC
8.【详解】由题意，设，所以，解得，
所以抛物线的方程为，，，，所以直
线的方程为，设圆心坐标为，所以
，解得，即，
圆的方程为，不妨设，设直线的方程为，
则，根据，解得，由，解得，
设，所以，
因为，所以。
9、ABD 10、AC 11、ABD【详解】因为，
所以，令，，当时，，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，对于A：当时，，即恒成立，
所以在上单调递增，又，
，所以函数恰有1个零点，A正确；对于B：当时，
，令，有，设，则，当时，，
单调递增，当时，，单调递减，所以，作出图象如右图，又，所以方程必有2个根，
即必有两个零点，设为，，且，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，所以函数在上单调递增，在单调
递减，在上单调递增，即函数恰有2个极值点，B正确；
对于CD：当函数有2个零点时，或，所以
或，将或代入得
或，解得或，
故C错误，D正确.
12. 13.20 14.
【详解】在正方体中，，，两两互相垂直，建立空
间直角坐标系，如图所示：
设，，，所以，，设平面
的法向量为，则，令，则
，，于是，
则点，到平面距离之和为，
设，则，
，因为，所以，所以
，令，则，故函数为开口向上，对称轴为
的二次函数，在上单调递增，所以当时，即时，
取到最小值为
15.（1）由已知及正弦定理可得…………………………1分.
因为，所以，故.……2分
即. ……3分
整理得.……4分
所以. ……5分
因为，所以. ……6分
（II）根据余弦定理，，将 ，，代入解得：
因为，所以. ……8分
根据正弦定理有：，解得. ……9分
又因为，所以，则，……10分
可求得：，. ……12分
则. ……13分
16.（1）在正方体中，
因为平面，平面，……1分
所以.……2分
又因为，，……4分
，平面……5分
所以平面……6分
（2）如图，以为坐标原点，以，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，……7分
设点，平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，……8分
得， ， ， ，
由 ……………………10分
取，得，即。…………………11分
由得，取，得。
即。………………………………………13分
又因为平面平面，所以，
得，故点的轨迹为抛物线。…………………15分
17.（1）对数列，因为数列为等差数列，可设公差为，
由题意：，所以， ………………………………1分
所以； …………………………………………………………2分
对数列，因为， …………3分
且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， …………5分
所以。……………………………………………6分
（2）因为。……………………8分
， ……………………………………………………………………9分
所以 …………11分
…………13分
。……………15分
17.（1）因为离心率即，①，…………………………1分
又因为点（1，2）在椭圆上所以②………………………………………2分
由①②联立解得：，，………………………………………………3分
所以椭圆的方程为：.………………………………………………4分
（2）（i）由题意可知直线的方程为：，……………………………5分
与椭圆方程：联立整理可得：，………………6分
解得，………………………………………7分
即……………………………………8分
（ii）结论是：. ………………………………………………9分
当斜率等于0时，直线为，此时，，即
当斜率不等于0时，设直线：，，………11分
，整理得：…………………………12分
………………………………………13分
故， ……………………………………14分
……………15分
………………………………………………………………16分
故，即点在以为直径的圆内，故
综上所述………………17分
18.（1）不存在；………………1分
即在上单调递增，不存在且时，，……………2分
不存在自公切线。3分
（2） ，，，4分
当时，，与题意矛盾，所以，5分
当时，，在递减，即6分
当时，，使得在区间上，即在上递增，即，与题意矛盾，7分
综上所述，8分
（3），9分
设，，，，在点处的切线方程为，
，10分
即，，，重合：①，
且②11分
即，则，，12分
（i）当，，时，有
由②可得（舍去）14分
（ii）当，，中至少有一个成立时，
不妨设，由②可得，即，即
，16分
综上所述存在！二个切点的自公切线，且切线方程为17分