高考数学复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲常用逻辑用语课件

(共55张PPT)
第一章　集合与常用逻辑用语
第2讲　常用逻辑用语
1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.4.理解全称量词与存在量词的意义.5.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.6.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．
1．充分条件、必要条件与充要条件
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词有 “所有的”“任意一个”“任给一个”，用符号“__”表示；存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”，用符号“__”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为______________．
(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符号简记为______________．


x∈M，p(x)
x∈M，p(x)
3．含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
x∈M，p(x) _______________
x∈M，p(x) _______________
1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A B，则p是q的充分条件；
(2)若A B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A?B，则p是q的充分不必要条件；
(5)若A?B，则p是q的必要不充分条件；
(6)若A?B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
总结：小推大，大不可推小．
2．常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是
否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有
1．(人教A必修第一册习题1.5 T3(1)改编)命题“ x∈Q，|x|∈N”的否定是(　　)
A． x Q，|x| N B． x∈Q，|x|∈N
C． x Q，|x| N D． x∈Q，|x| N
解析：存在量词命题的否定需要把存在量词改为全称量词，并否定结论．故选D.
2．(2025·内蒙古赤峰模拟)已知p：x(x－1)＝0，q：x＝1，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：x(x－1)＝0 x＝0或x＝1，因此由p：x(x－1)＝0不能推出q：x＝1，但是由q：x＝1一定能推出p：x(x－1)＝0，所以p是q的必要不充分条件．故选B.
3．(人教A必修第一册习题1.4 T6改编)在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形；若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立．综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．故选A.
4．(人教A必修第一册1.5.2练习T2改编)“等边三角形都是等腰三角形”的否定是_______________________________________．
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题．故命题的否定是存在一个等边三角形，它不是等腰三角形．
存在一个等边三角形，它不是等腰三角形
5．已知p：x>a是q：2解析：由已知，得{x|2a}，所以实数a的取值范围是(－∞，2]．
(－∞，2]
核心考向突破
考向一　充分、必要条件的判断
(2)设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)(2025·江苏常州期末)已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a，b，c既是等差数列又是等比数列”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝b＝c＝0时，a，b，c不是等比数列，充分性不成立；当a，b，c既是等差数列又是等比数列时，a＝b＝c≠0，必要性成立，所以“a＝b＝c”是“a，b，c既是等差数列又是等比数列”的必要不充分条件．故选B.
判断充分、必要条件的两种方法
(1)定义法
(2)集合法
基本思路 根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断
适用范围 多适用于命题中涉及字母取值范围的推断问题
解题技巧 抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，简记为“小充分，大必要”
1.(2025·江苏扬州模拟)已知集合A＝{0，a2}，B＝{1，a＋1，a－1}，则“a＝1”是“A B”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝1时，A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则A B；反之，当A B时，a＋1＝0或a－1＝0，解得a＝－1或a＝1，若a＝－1，A＝{0，1}，B＝{0，1，－2}，满足A B，若a＝1，显然满足A B，因此a＝－1或a＝1，所以“a＝1”是“A B”的充分不必要条件．故选B.
考向二　根据充分、必要条件求参数的范围
已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________；
(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则m的取值范围为_________．
[0，3]
[9，＋∞)
由充分、必要条件求参数范围的策略
巧用转化求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形
端点值慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍
　(2024·山东济南二模)已知A＝{x|1A．{a|a≤1} B．{a|a≥1}
C．{a|a≤2} D．{a|a≥2}
解析：因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A?B，所以a≥2.故选D.
考向三　全称量词命题与存在量词命题
1．判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路
2．写出全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤
1.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
解析：根据存在量词命题的否定为全称量词命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
2．已知P，Q为R的两个非空真子集，若 RQ? RP，则下列结论正确的是(　　)
A． x∈Q，x∈P B． x∈ RP，x∈ RQ
C． x Q，x∈P D． x∈ RP，x∈ RQ
解析：因为 RQ? RP，所以P?Q，如图，对于A，由题
意知P是Q的真子集，故 x∈Q，x P，故A不正确；对于B，
由 RQ是 RP的真子集且 RQ， RP都不是空集知， x∈ RP，
x∈ RQ，故B正确；对于C，由P是Q的真子集知， x Q，x P，故C不正确；对于D， RQ是 RP的真子集，故 x∈ RP，x RQ，故D不正确．故选B.
角度2　由命题的真假求参数的取值范围
(2025·陕西渭南模拟)已知a∈R，命题p： x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题p，q均为真命题，则实数a的取值范围是________________．
解析：若命题p为真命题，则 x∈[1，2]，a≤x2恒成立，又当x∈[1，2]时，x2的最小值为1，所以a≤1；若命题q为真命题，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1，所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．
(－∞，－2]∪{1}
由命题的真假求参数取值范围的策略
(1)全称量词命题可转化为恒成立问题，存在量词命题可转化为存在性问题．
(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决．
(2025·黑龙江大庆模拟)已知命题“ x∈{x|－2解析：若原命题为真命题，则 x∈{x|－2(－∞，－4]∪[6，＋∞)
课时作业
一、单项选择题
1．(2024·广东梅州一模)命题“ x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是(　　)
A． x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B． x (0，＋∞)，ln x＝x－1
C． x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
D． x (0，＋∞)，ln x＝x－1
解析：存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“ x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“ x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”．故选C.
3．(2025·天津北辰区模拟)对于实数x，“x≠5”是“|x－3|≠2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为|x－3|≠2等价于x≠1且x≠5，且(－∞，1)∪(1，5)∪(5，＋∞)是(-∞，5)∪(5，＋∞)的真子集，所以“x≠5”是“|x－3|≠2”的必要不充分条件．故选B.
4．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　)
A． x∈Q，有x∈P B． x Q，有x P
C． x Q，使得x∈P D． x∈P，使得x Q
解析：因为P∩Q＝P，所以P Q，所以 x Q，有x P.故选B.
6．(2025·云南昆明一中阶段考试)已知命题p： x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a＜1} B．{a|a≤1}
C．{a|a＞1} D．{a|a≥1}
8．(2025·云南名校联考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|2a－1A．[－1，0] B．(－1，0)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)
10．(2025·湖南长沙一中模拟)下列命题中，是真命题的是(　　)
A． x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0
B．若x＋y≥6，则x，y中至少有一个数大于3
C． x∈R，2xD．命题“ x<0，x2－x－2<0”的否定是“ x≥0，x2－x－2≥0”
解析：对于A，当x≥0时，x3≥0，所以x3＋x≥0，故A是真命题；对于B，取x＝3，y＝3，显然为假命题，故B是假命题；对于C，取x＝－1，因为2－1<(－1)2，故C是真命题；对于D，命题“ x<0，x2－x－2<0”的否定是“ x<0，x2－x－2≥0”，故D是假命题．故选AC.
11．命题“ x∈[1，2]，x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥1 B．a≥4
C．a≥－2 D．a＝4
解析：命题“ x∈[1，2]，x2≤a”等价于a≥1，即命题“ x∈[1，2]，x2≤a”为真命题，所对应的a的取值范围为[1，＋∞)，所求的一个充分不必要条件所对应的集合真包含于[1，＋∞)，显然只有B，D正确．故选BD.
三、填空题
12．《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也．”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的__________(填“充分条件”“必要条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)．
解析：由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”是导致某个结果出现的几个条件中的一个或一部分条件，故“小故”指的是逻辑中的必要条件．
必要条件
13．(2025·江西九江模拟)已知命题：“ x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是__________．
解析：因为命题“ x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，所以Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.
(－∞，4]
14．若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b为实数．
(1)若A是B的充要条件，则b＝________；
(2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是________．
四、解答题
15．已知集合A＝{x|(x－2)(x－3)≤0}，B＝{x|x≤m－2，或x≥4m－1}，且B≠R.
(1)若命题“ x∈A，则x∈B”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题“ x∈A，使得x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．
16．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
证明：设p：xy≥0，q：|x＋y|＝|x|＋|y|.
①充分性(p q)：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况：当xy＝0时，不妨设x＝0，则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立；
当xy>0时，则x>0，y>0或x<0，y<0.
又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立；
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，所以等式成立．
综上，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性(q p)：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，
所以|xy|＝xy，所以xy≥0.
由①②可得，|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.