高考数学复习第二章不等式第3讲一元二次不等式的解法课件
文档属性
| 名称 | 高考数学复习第二章不等式第3讲一元二次不等式的解法课件 |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-25 00:00:00 | ||
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文档简介
(共77张PPT)
第二章 不等式
第3讲 一元二次不等式
的解法
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.了解一元二次不等式的现实意义.3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
4.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
1．三个“二次”之间的关系
两相异
两相等
没有
xx>x2
R
x1
f(x)g(x)>0(<0)
2.分式不等式与整式不等式的关系
一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．
－14
5．不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_______．
[0，4)
核心考向突破
考向一 一元二次不等式的解法
角度1 不含参数的一元二次不等式
解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)9x2－6x＋1>0；(4)x2<6x－10.
解一元二次不等式的一般方法和步骤
解下列不等式：
角度2 含参数的一元二次不等式
解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法
(1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
解关于x的不等式：x2－(a2＋a)x＋a3>0.
角度3 可化为一元二次不等式的分式不等式
分式不等式的求解策略
考向二 三个“二次”之间的关系
(2)已知关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，且x2－x1＝10，则a＝_______．
－16
(1)一元二次方程的根就是对应一元二次函数的零点，也是对应一元二次不等式解集的端点值．
(2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了对应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用根或根与系数的关系求待定系数．
(2025·山西临汾模拟)已知二次函数y＝
x2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式bx2－cx＋3≤0的解
集为_____________________．
解析：根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，则bx2－cx＋3≤0，即－x2＋2x＋3≤0，即x2－2x－3≥0，也即(x－3)(x＋1)≥0，解得x≥3或x≤－1.故原不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(－∞，－1]∪[3，＋∞)
考向三 一元二次不等式恒(能)成立问题
角度1 在R上的恒成立问题
1
已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是( )
A．[0，1] B．(0，1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
一元二次不等式在R上恒成立的条件
不等式类型 恒成立条件
ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0
若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，－2)
C．(－2，2) D．(－2，2]
角度2 在给定区间上的恒成立问题
(1)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是( )
A．[－1，3] B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
(2)若对于x∈[1，3]，mx2－mx＋m－6<0(m≠0)恒成立，则m的取值范围是
__________________．
在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a，即n≤a.
(3)对于以下两种题型，可以利用二次函数在端点m，n处的取值特点确定不等式求范围．
①ax2＋bx＋c<0(a>0)对x∈[m，n]恒成立；
②ax2＋bx＋c>0(a<0)对x∈[m，n]恒成立．
提醒：一般地，知道谁的范围，就选谁当主元；求谁的范围，谁就是参数．如本例(1)中建立关于p的函数，x为参数，本例(2)中建立关于x的函数，m为参数．
2．已知函数f(x)＝x2－4x－4.若f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立，则实数m的取值范围是________．
角度3 不等式能成立或有解问题
已知关于x的不等式ax2－2x＋3a<0在(0，2]上有解，则实数a的取值范围是( )
解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数最值，即a>f(x)能成立 a>f(x)min；a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
若存在x∈[0，1]，使x2＋(1－a)x＋3－a>0成立，则实数a的取值范围是__________．
(－∞，3)
课时作业
3．(2025·福建泉州模拟)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是( )
A．{x|x<－n，或x>m} B．{x|－nC．{x|x<－m，或x>n} D．{x|－m解析：不等式(m－x)(n＋x)>0可化为(x－m)·(x＋n)<0，因为m＋n>0，所以m>－n，所以原不等式的解集为{x|－n5．(2024·广东佛山模拟)已知a，b，c∈R且a≠0，则“ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x≠1}”是“a＋b＋c＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．(2024·广西南宁一模)若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，5) B．(5，＋∞)
C．(－4，＋∞) D．(－∞，4)
解析：设f(x)＝x2－4x－a，则f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以要使不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，只要f(5)＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5，所以实数a的取值范围为(－∞，5)．
三、填空题
12．不等式2x2－3|x|－35>0的解集为_________________．
{x|x<－5，或x>5}
13．(2025·四川绵阳模拟)若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是___________________．
[－3，－2)∪(6，7]
解析：不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0，即(x－2)(x－m)＜0，当m＞2时，不等式的解集为(2，m)，此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7；当m＝2时，不等式的解集为 ，此时不符合题意；当m＜2时，不等式的解集为(m，2)，此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2，故实数m的取值范围是[－3，－2)∪(6，7]．
100
[60，100]
四、解答题
15．某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋x(x≥8)层，每层2800平方米的楼房，经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为565＋70x(单位：元)．
(1)若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，则该楼房最多建多少层？
(2)当该楼房建多少层时，每平方米的平均综合费用最少？最少为多少元？
注：综合费用＝建筑费用＋购地费用．
第二章 不等式
第3讲 一元二次不等式
的解法
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.了解一元二次不等式的现实意义.3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
4.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
1．三个“二次”之间的关系
两相异
两相等
没有
x
R
x1
f(x)g(x)>0(<0)
2.分式不等式与整式不等式的关系
一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．
－14
5．不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_______．
[0，4)
核心考向突破
考向一 一元二次不等式的解法
角度1 不含参数的一元二次不等式
解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)9x2－6x＋1>0；(4)x2<6x－10.
解一元二次不等式的一般方法和步骤
解下列不等式：
角度2 含参数的一元二次不等式
解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法
(1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
解关于x的不等式：x2－(a2＋a)x＋a3>0.
角度3 可化为一元二次不等式的分式不等式
分式不等式的求解策略
考向二 三个“二次”之间的关系
(2)已知关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，且x2－x1＝10，则a＝_______．
－16
(1)一元二次方程的根就是对应一元二次函数的零点，也是对应一元二次不等式解集的端点值．
(2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了对应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用根或根与系数的关系求待定系数．
(2025·山西临汾模拟)已知二次函数y＝
x2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式bx2－cx＋3≤0的解
集为_____________________．
解析：根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，则bx2－cx＋3≤0，即－x2＋2x＋3≤0，即x2－2x－3≥0，也即(x－3)(x＋1)≥0，解得x≥3或x≤－1.故原不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(－∞，－1]∪[3，＋∞)
考向三 一元二次不等式恒(能)成立问题
角度1 在R上的恒成立问题
1
已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是( )
A．[0，1] B．(0，1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
一元二次不等式在R上恒成立的条件
不等式类型 恒成立条件
ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0
若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，－2)
C．(－2，2) D．(－2，2]
角度2 在给定区间上的恒成立问题
(1)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是( )
A．[－1，3] B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
(2)若对于x∈[1，3]，mx2－mx＋m－6<0(m≠0)恒成立，则m的取值范围是
__________________．
在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a，即n≤a.
(3)对于以下两种题型，可以利用二次函数在端点m，n处的取值特点确定不等式求范围．
①ax2＋bx＋c<0(a>0)对x∈[m，n]恒成立；
②ax2＋bx＋c>0(a<0)对x∈[m，n]恒成立．
提醒：一般地，知道谁的范围，就选谁当主元；求谁的范围，谁就是参数．如本例(1)中建立关于p的函数，x为参数，本例(2)中建立关于x的函数，m为参数．
2．已知函数f(x)＝x2－4x－4.若f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立，则实数m的取值范围是________．
角度3 不等式能成立或有解问题
已知关于x的不等式ax2－2x＋3a<0在(0，2]上有解，则实数a的取值范围是( )
解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数最值，即a>f(x)能成立 a>f(x)min；a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
若存在x∈[0，1]，使x2＋(1－a)x＋3－a>0成立，则实数a的取值范围是__________．
(－∞，3)
课时作业
3．(2025·福建泉州模拟)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是( )
A．{x|x<－n，或x>m} B．{x|－n
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．(2024·广西南宁一模)若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，5) B．(5，＋∞)
C．(－4，＋∞) D．(－∞，4)
解析：设f(x)＝x2－4x－a，则f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以要使不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，只要f(5)＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5，所以实数a的取值范围为(－∞，5)．
三、填空题
12．不等式2x2－3|x|－35>0的解集为_________________．
{x|x<－5，或x>5}
13．(2025·四川绵阳模拟)若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是___________________．
[－3，－2)∪(6，7]
解析：不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0，即(x－2)(x－m)＜0，当m＞2时，不等式的解集为(2，m)，此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7；当m＝2时，不等式的解集为 ，此时不符合题意；当m＜2时，不等式的解集为(m，2)，此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2，故实数m的取值范围是[－3，－2)∪(6，7]．
100
[60，100]
四、解答题
15．某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋x(x≥8)层，每层2800平方米的楼房，经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为565＋70x(单位：元)．
(1)若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，则该楼房最多建多少层？
(2)当该楼房建多少层时，每平方米的平均综合费用最少？最少为多少元？
注：综合费用＝建筑费用＋购地费用．
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