中小学教育资源及组卷应用平台
人教版2025—2026学年九年级上册期末试题调研名校模考卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·萧山期末）在同一平面内，已知半径为5的⊙O及点P，M，N，Q.若OP=3，OM=4，ON=5，OQ=6，则在⊙O外的点是( )
A．P B．M C．N D．Q
2．（2024九上·零陵期末）已知抛物线，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小
3．（2024九上·湘西期末）下列说法正确的是（ ）
A．“三点确定一个圆”是真命题
B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
C．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
D．抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是3的概率为
4．（2024九上·克孜勒苏柯尔克孜期末）若m＜n＜0，且关于x的方程（a＜0）的解为，，关于x的方程（a＜0）的解为．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·青山湖期末）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．投一次骰子，朝上面的点数是
B．任意画一个三角形，其内角和是
C．从一个只装有白球与黑球的袋中摸球，摸出红球
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
6．（2024九上·南沙期末）二次函数图象上部分点的坐标满足下表∶
x … 0 1 2 3 4 …
y … 8 3 0 m 3 …
下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线；②；③不等式的解集为；④方程有两个不相等的实数根，正确的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024九上·四会期末）如图，四边形内接于圆，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·乌鲁木齐期末）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．从一个装有个白球和个红球的袋子中任取一球，取到红球
B．掷一枚正六面体的骰子，出现点
C．抛一枚硬币，出现正面
D．任意写一个整数，它能被整除
9．（2024九上·嵩明期末）如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A、B两点，结合图象分析下列结论：
①；②，为抛物线上的两点，则；③当时，有；④抛物线与x轴的另一个交点是．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
10．（2024九上·绵阳期末）如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（ ）
A．或5 B．5或6 C．或6 D．5
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023九上·武汉期末）若，是一元二次方程的两个实数根，则 ．
12．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末）如图，是的切线，是切点，连结、若，则的大小为 度
13．（2024九上·进贤期末）如图， ， 是 的半径，点 在 上，连接 ， ，若 ，则 度．
14．（2024九上·伊犁哈萨克期末）若二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是 ．
15．（2023九上·乌鲁木齐期末）同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子点数之和小于5的概率是
16．（2024九上·朝阳期末）已知函数（是常数，），（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·湘西期末）解方程：
（1）；
（2）．
18．（2025九上·钱塘期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连接．
（1）求的度数．
（2）若，求图中阴影部分的面积．
19．（2025九上·鹿城期末）现有，，，四张印有四大发明的纪念邮票，邮票除图案外其它均相同．将四张邮票背面朝上，洗匀后，小明从中随机抽取一张，记录图案后不放回，再抽取一张．
（1）用列表或画树状图的方法，表示所有可能出现的结果．
（2）求小明抽到的两张邮票中有造纸术的概率．
20．（2024九上·旌阳期末）某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．
（1）商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，若商城要想销售这种商品每天的销售额为1280元，则每个应降价多少元？
21．（2024九上·长沙期末）二次函数中的x，y满足下表：
x ．．． 0 1 2 3 ．．．
y ．．． 0 3 4 3 ．．．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求的值．
22．（2023九上·赤坎期末）无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸性溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱性溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水（中性）、白醋溶液（酸性）、食用纯碱溶液（碱性）、柠檬水溶液（酸性）、烧碱溶液（碱性）．
（1）小丽同学从这5瓶溶液中随机取一瓶，取样，滴加酚酞溶液，且操作正确，则滴入酚酞溶液后呈现红色的概率为 ；
（2）小明从上述5瓶溶液中随机取两瓶，取样，滴加酚酞溶液，且操作正确，请你用列表或画树状图的方法，求选取的两瓶溶液滴入酚酞后都呈现红色的概率．
23．（2024九上·贵州期末）已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）
（1）EF ＝ cm， GH＝ cm；（用含x的代数式表示）
（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长．
24．（2025九上·天津市期末）已知抛物线（，是常数）的顶点为P，与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C．
（1）若，A点坐标为，对称轴为直线，
①求点P的坐标：
②将直线BC沿y轴向下平移个单位长度，并且与抛物线总有公共点，求n的取值范围；
（2）若，A点坐标为，对称轴为直线，在平面内有一个动点Q，当m为何值时，的最小值是？
25．（2024九上·凤山期末）某智能机器人生产厂家准备对甲、乙两款机器人进行投资生产，根据前期市场调研情况发现，投资甲机器人一年后的收益（万元）与投入成本x（）（万元）的函数表达式为：，投资乙机器人一年后的收益（万元）与投入成本x（）（万元）的函数表达式为：.
（1）若将2万元资金投给乙机器人，一年后获得的收益是多少？
（2）请在平面直角坐标系中画出两函数图象的简图，并结合图象分析怎样选择投资对象使获得的收益更多？
（3）若该生产厂家共有活动资金32万元，计划全部投入到甲、乙两款机器人生产中，当甲、乙两款机器人分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
人教版2025—2026学年九年级上册期末试题调研名校模考卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·萧山期末）在同一平面内，已知半径为5的⊙O及点P，M，N，Q.若OP=3，OM=4，ON=5，OQ=6，则在⊙O外的点是( )
A．P B．M C．N D．Q
【答案】D
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为r=5，OP=3，OM=4，ON=5，OQ=6，
∴点P、M在圆内，N在圆上，Q在圆外.
故答案为：D .
【分析】点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外.根据点到圆心的距离即可得出答案.
2．（2024九上·零陵期末）已知抛物线，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】A
【解析】【解答】解：A、，抛物线开口向上，结论正确，∴A符合题意；
B、∵对称轴是直线，结论错误，∴B不符合题意；
C、∵顶点坐标为，结论错误，∴C不符合题意；
D、∵当时，y随x的增大而增大，∴D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用抛物线的顶点式可直接得到抛物线的顶点坐标及对称轴，再利用二次函数的性质和图形与系数的关系逐项分析判断即可.
3．（2024九上·湘西期末）下列说法正确的是（ ）
A．“三点确定一个圆”是真命题
B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
C．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
D．抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是3的概率为
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵“不在同一直线上的三点确定一个圆”是真命题，故原说法错误，∴A不符合题意；
B、∵“抛一枚硬币正面朝上的概率为”，每抛两次不一定有一次正面朝上，故原说法错误，∴B不符合题意；
C、∵同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故原说法错误，∴C不符合题意；
D、∵抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是3的概率为，此说法正确，∴D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用真命题的定义、概率的计算方法和弧与弦的关系逐项分析判断即可.
4．（2024九上·克孜勒苏柯尔克孜期末）若m＜n＜0，且关于x的方程（a＜0）的解为，，关于x的方程（a＜0）的解为．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（a<0）的解为，，
∴抛物线与直线y=m的两交点的横坐标分别为，，如图所示：
∵关于x的方程（a＜0）的解为 ，
∴抛物线与直线y=n的两交点的横坐标分别为，如图所示：
∴，
故答案为：B.
【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系画出函数图象，再求解即可.
5．（2024九上·青山湖期末）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．投一次骰子，朝上面的点数是
B．任意画一个三角形，其内角和是
C．从一个只装有白球与黑球的袋中摸球，摸出红球
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
【答案】D
【解析】【解答】解：
A：投一次骰子，朝上面的点数是，正常的骰子点数是1-6，故为不可能事件，不符合题意
B：任意画一个三角形，其内角和是，描述符合三角形内角和定理，是必然事件，不符合题意
C：从一个只装有白球与黑球的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件，不符合题意
D：随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，页码可能是奇数也可能是偶数，是随机事件，符合题意。
故答案为：D
【分析】了解事件的可能性分类，并了解随机事件的含义，结合生活经验和所学的数学知识判定事件发生的可能性大小。
6．（2024九上·南沙期末）二次函数图象上部分点的坐标满足下表∶
x … 0 1 2 3 4 …
y … 8 3 0 m 3 …
下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线；②；③不等式的解集为；④方程有两个不相等的实数根，正确的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点(0，3)，（4，3)，
∴抛物线的对称轴为直线x =2，顶点坐标为(2，-1)，①正确
∵由表中数据得x=2时，y=-1最小，
∴抛物线开口向上，
∴a >0，②错误
∵抛物线的对称轴为直线=2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，抛物线开口向上，
∴当1<3时，y<0
即不等式ax2+ bx+c< 0的解集为1<3，③正确
∵抛物线的对称轴为直线=2，抛物线经过点(-1，8)
∴抛物线经过点(5，8)，
∴方程ax2+bx+c=8(a≠0)有两个不相等的实数根，④正确
故答案为：C
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
7．（2024九上·四会期末）如图，四边形内接于圆，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，，
∴∠ABC=180°-48°=132°，
∵四边形内接于圆，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=48°，
∴∠AOC=2∠D=96°，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）得到∠ABC=180°-48°=132°，进而根据圆内接四边形的性质得到∠D=48°，从而根据圆周角定理即可求解。
8．（2024九上·乌鲁木齐期末）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．从一个装有个白球和个红球的袋子中任取一球，取到红球
B．掷一枚正六面体的骰子，出现点
C．抛一枚硬币，出现正面
D．任意写一个整数，它能被整除
【答案】A
【解析】【解答】解：、选项中取到红球的概率是；
、选项中出现点的概率是；
、选项中出现正面的概率是；
、选项中能被整除的概率即为偶数的概率为；
由图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近，所以符合条件的只有．
故答案为：．
【分析】先分别求出每个选项中的概率，再由频率统计图估计出的概率，最后作比较得出答案。
9．（2024九上·嵩明期末）如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A、B两点，结合图象分析下列结论：
①；②，为抛物线上的两点，则；③当时，有；④抛物线与x轴的另一个交点是．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
【答案】D
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
，
即．
故结论①正确，符合题意；
抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，
当时，随的增大而减小，
由抛物线的对称性可知，当与时对应的函数值相同，
．
故结论②正确，符合题意；
由图象可知，当时，．
故结论③正确，符合题意；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点是．
故结论④不正确，不符合题意．
故答案为：D
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
10．（2024九上·绵阳期末）如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（ ）
A．或5 B．5或6 C．或6 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：设 与x轴相切与点K，连接MK，MC，过点M作y轴的垂线交y轴与点H，
与x轴相切，
，
∠KOM=∠OHM=90°，
四边形OKMH是矩形，
M在一次函数的图象上，
设点M的坐标为，
OK=MH=a，CM=MK=，
CM=MH，
，
在中，，
即，
解得：a=5或，
MK=6或MK=.
故答案为：C.
【分析】设 与x轴相切与点K，连接MK，MC，过点M作y轴的垂线交y轴与点H，先证四边形OKMH是矩形，设点M的坐标为，利用等腰三角形的性质及矩形的性质分别表示出CM、CH、MH的长，再利用勾股定理求出a的值，进而得到圆的半径.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023九上·武汉期末）若，是一元二次方程的两个实数根，则 ．
【答案】-7
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根
∴m+n=2，mn=-5
∴
故答案为：-7
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得m+n=2，mn=-5，化简代数式，再整体代入即可求出答案。
12．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末）如图，是的切线，是切点，连结、若，则的大小为 度
【答案】54
【解析】【解答】∵MN是的切线，是切点，
∴∠OMN=90°，
∵∠N=36°，
∴∠MON=180°-∠OMN-∠N=180°-90°-36°=54°，
故答案为：54.
【分析】利用切线的性质可得∠OMN=90°，再利用三角形的内角和求出∠MON的度数即可.
13．（2024九上·进贤期末）如图， ， 是 的半径，点 在 上，连接 ， ，若 ，则 度．
【答案】60
【解析】【解答】∵∠AOB=120°，
∴∠ACB=120°× =60°，
故答案是：60．
【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．
14．（2024九上·伊犁哈萨克期末）若二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是 ．
【答案】m≤1且m≠0
【解析】【解答】解：y＝mx2+2x+1是二次函数，
∴m≠0，
由题意可知：△≥0，
∴4﹣4m≥0，
∴m≤1
∴m≤1且m≠0
故答案为m≤1且m≠0．
【分析】由抛物线与x轴有公共点可知△≥0，再由二次项系数不等于0，建立不等式即可求出m的取值范围.
15．（2023九上·乌鲁木齐期末）同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子点数之和小于5的概率是
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，画同时抛掷两枚骰子所得结果的树状图，如图所示：
共有36种等可能的结果数，
其中两枚骰子点数的和是小于5的结果数为6，
所以两枚骰子点数之和小于5的概率是 ，
故答案为：．
【分析】根据题意，画同时抛掷两枚骰子所得结果的树状图，得到所有等可能的结果数，再找出“两枚骰子点数之和小于5”的结果数，利用概率公式求解.
16．（2024九上·朝阳期末）已知函数（是常数，），（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是 ．
【答案】或
【解析】【解答】且 ，
该函数过点（-4，-2），
且 ，
该函数过（-5，0），（1，0）
当a<0时，无论k为何值，函数和的图象总有公共点，
a<0符合题意；
当a>0时，无论k为何值，函数和的图象总有公共点，
x=-4时，可得
解得
符合题意；
无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围为或 .
【分析】根据求得其过定点（-4，-2），根据求得其过定点（-5，0），（1，0），利用数形结合以及分两种情况进行讨论，从而求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·湘西期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
∴
解得，；
（2）解：
∴或
解得，．
【解析】【分析】（1）利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）分析求解即可.
（2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
18．（2025九上·钱塘期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连接．
（1）求的度数．
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：，，
．
，
，
．
（2）过点作的垂线，垂足为，
，，
是等边三角形，
，．
又，
，
，
．
又，
．
【解析】【分析】（1）先求出的度数，根据等边对等角可得，然后利用外角性质解题．
（2）过点作的垂线，然后求出△ACD的面积，再根据计算即可．
（1）解：，，
．
，
，
．
（2）过点作的垂线，垂足为，
，，
是等边三角形，
，．
又，
，
，
．
又，
．
19．（2025九上·鹿城期末）现有，，，四张印有四大发明的纪念邮票，邮票除图案外其它均相同．将四张邮票背面朝上，洗匀后，小明从中随机抽取一张，记录图案后不放回，再抽取一张．
（1）用列表或画树状图的方法，表示所有可能出现的结果．
（2）求小明抽到的两张邮票中有造纸术的概率．
【答案】（1）解：列表如下：
（2）解：由表格知，共有种可能的结果，其中小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的结果有种，
小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的概率为： ．
【解析】【分析】简单随机事件概率容易计算，对于两步试验，列表时一定注意抽取后放回还是不放回，如果是放回，则表格每栏都要填，否则对角线上的栏目不填数据。另列树状图时，记得不重复不遗漏。
（1）解：列表如下：
（2）解：由表格知，共有种可能的结果，其中小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的结果有种，
小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的概率为： ．
20．（2024九上·旌阳期末）某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．
（1）商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，若商城要想销售这种商品每天的销售额为1280元，则每个应降价多少元？
【答案】解：（1）设每次降价的百分率为，依题意得：，
解得，（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率是；
（2）假设下调元，依题意得：．
解得或．
∵20-12=8＜14，故舍去，
答：每个应降价4元．
【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格×降价的百分率），则第一次降价后的价格是元，第二次后的价格是元，最终降价后的售价是16.2元，据此即可列方程求解；
（2）假设每个应降价元，降低售价的同时， 当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个 ，则当降价a元时，售价为20-a，销售量为40+10a，根据销售额售价销量，即可列方程求解．
21．（2024九上·长沙期末）二次函数中的x，y满足下表：
x ．．． 0 1 2 3 ．．．
y ．．． 0 3 4 3 ．．．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求的值．
【答案】（1）解：根据表格可知：当x=-1时，y=0，当x=0时，y=3，
∴，
解得：解得：，
∴这个二次函数的解析式为.
（2）解：由（1）可知，二次函数的解析式为，
∴当x=3时，y=，
即m=0，
∴m的值为0.
【解析】【分析】（1）根据表格可知：当x=-1时，y=0，当x=0时，y=3，将其代入 ，可得，解方程组即可求出、的值，即可求得二次函数的解析式；
（2） 由（1）可知，二次函数的解析式为， 将代入求值即可.
（1）解：由题可知：函数过点，，
将，代入，得：
，
解得：，
该二次函数的解析式为；
（2）解：由（1）可得：该二次函数的解析式为，
当时，，
的值为．
22．（2023九上·赤坎期末）无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸性溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱性溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水（中性）、白醋溶液（酸性）、食用纯碱溶液（碱性）、柠檬水溶液（酸性）、烧碱溶液（碱性）．
（1）小丽同学从这5瓶溶液中随机取一瓶，取样，滴加酚酞溶液，且操作正确，则滴入酚酞溶液后呈现红色的概率为 ；
（2）小明从上述5瓶溶液中随机取两瓶，取样，滴加酚酞溶液，且操作正确，请你用列表或画树状图的方法，求选取的两瓶溶液滴入酚酞后都呈现红色的概率．
【答案】（1）
（2）解：树状图如下：
一共有20种情况，选取的两瓶溶液滴入酚酞后都呈现红色的情况有2种，
选取的两瓶溶液滴入酚酞后都呈现红色的概率为：．
【解析】【解答】解：（1）∵ 通常情况下酚酞溶液遇酸性溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱性溶液变红色 ，而五中液体中只有食用纯碱溶液及烧碱溶液是碱性的，
∴ 小丽同学从这5瓶溶液中随机取一瓶，取样，滴加酚酞溶液 呈现红色的只有食用纯碱溶液及烧碱溶液2种，
∴滴入酚酞溶液后呈现红色的概率为；
故答案为：；【分析】（1）根据概率公式，用五瓶溶液中碱性液体的瓶数除以液体的总瓶数，计算即可；
（2）用树状图列举出所有等可能的情况数，由树状图可知一共有20种等可能的情况，选取的两瓶溶液滴入酚酞后都呈现红色的情况只有2种，从而根据概率公式计算可得答案.
23．（2024九上·贵州期末）已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）
（1）EF ＝ cm， GH＝ cm；（用含x的代数式表示）
（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长．
【答案】（1）（30-2x）；（20-x）
（2）解：设剪掉的小正方形边长为xcm，x＜30
由题意可得（30-2x）（20-x）=300
解得：x=5或x=30（舍去）．
答：剪掉的小正方形的边长5cm
【解析】【解答】（1）解：由图示可得：EF=（30-2x）cm，GH=（40÷2-x）cm=（20-x）cm．
故答案为（30-2x），（20-x）．
【分析】（1）直接根据图形表示EF与GH即可；
（2）根据（1）中EF与GH，利用M的面积列方程（30-2x）（20-x）=300即可解题．
（1）解：由图示可得：EF=（30-2x）cm，GH=（40÷2-x）cm=（20-x）cm．
故答案为（30-2x），（20-x）．
（2）解：设剪掉的小正方形边长为xcm，x＜30
由题意可得（30-2x）（20-x）=300
解得：x=5或x=30（舍去）．
答：剪掉的小正方形的边长5cm．
24．（2025九上·天津市期末）已知抛物线（，是常数）的顶点为P，与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C．
（1）若，A点坐标为，对称轴为直线，
①求点P的坐标：
②将直线BC沿y轴向下平移个单位长度，并且与抛物线总有公共点，求n的取值范围；
（2）若，A点坐标为，对称轴为直线，在平面内有一个动点Q，当m为何值时，的最小值是？
【答案】（1）解：①∵A点坐标为，对称轴为直线，∴B点坐标为，
∵，
∴抛物线解析式为：，
化为一般式为：，
化为顶点式为：，
∴顶点P的坐标为；
②当时，，
∴点C的坐标为，
如图，设向下平移至时，与抛物线只有一个交点，
∵点C的坐标为，B点坐标为，
∴设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
∵将直线BC沿y轴向下平移个单位长度得到，
∴设直线的解析式为：，
联立：，
可得关于x的一元二次方程：，
∴方程的，
∵与抛物线只有一个交点，
∴，
解得：，
∵与抛物线总有公共点，
∴，
（2）解：∵A点坐标为，对称轴为直线，∴B点坐标为，
∵，
∴抛物线解析式为：，
∵当时，，
∴C点坐标为，
当时，连接、、，将绕点C逆时针旋转90度，得到，将绕点C逆时针旋转，使得与重合，得到，过E点作轴于F点，连接，如图，
根据旋转有：，，，
∴是等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
显然，当点A、Q、D、E四点共线时，最短，最短为，
即最短为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，轴，
∴，
∴结合，有，
∴，，
∵B点坐标为，C点坐标为，
∴，，
∴，，
∴，
∴E点坐标为，
∵A点坐标为，
∴，
∴，
∵最短为，
∴，解得；
当时，同理可求出，
综上所述，m的值为．
【解析】【分析】（1）①根据抛物线的对称性可得B点坐标为，即可得抛物线解析式为：，化为顶点式为：，可得顶点P的坐标为；②先求出点C的坐标为，再求出直线的解析式为：，根据将直线BC沿y轴向下平移个单位长度得到，可得设直线的解析式为：，联立：，可得关于x的一元二次方程：，根据与抛物线只有一个交点，可得，解得：，问题随之得解；
（2）根据对称性求出B点坐标为，即可得抛物线解析式为：，则有C点坐标为，当时，连接、、，将绕点C逆时针旋转90度，得到，将绕点C逆时针旋转，使得与重合，得到，过E点作轴于F点，连接，先证明是等腰直角三角形，即有，则，当点A、Q、D、E四点共线时，最短为，证明，即可求出E点坐标为，即，可得，解得；当时，同理可求．
（1）①∵A点坐标为，对称轴为直线，
∴B点坐标为，
∵，
∴抛物线解析式为：，
化为一般式为：，
化为顶点式为：，
∴顶点P的坐标为；
②当时，，
∴点C的坐标为，
如图，设向下平移至时，与抛物线只有一个交点，
∵点C的坐标为，B点坐标为，
∴设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
∵将直线BC沿y轴向下平移个单位长度得到，
∴设直线的解析式为：，
联立：，
可得关于x的一元二次方程：，
∴方程的，
∵与抛物线只有一个交点，
∴，
解得：，
∵与抛物线总有公共点，
∴，
（2）∵A点坐标为，对称轴为直线，
∴B点坐标为，
∵，
∴抛物线解析式为：，
∵当时，，
∴C点坐标为，
当时，连接、、，将绕点C逆时针旋转90度，得到，将绕点C逆时针旋转，使得与重合，得到，过E点作轴于F点，连接，如图，
根据旋转有：，，，
∴是等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
显然，当点A、Q、D、E四点共线时，最短，最短为，
即最短为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，轴，
∴，
∴结合，有，
∴，，
∵B点坐标为，C点坐标为，
∴，，
∴，，
∴，
∴E点坐标为，
∵A点坐标为，
∴，
∴，
∵最短为，
∴，解得；
当时，同理可求出，
综上所述，m的值为．
25．（2024九上·凤山期末）某智能机器人生产厂家准备对甲、乙两款机器人进行投资生产，根据前期市场调研情况发现，投资甲机器人一年后的收益（万元）与投入成本x（）（万元）的函数表达式为：，投资乙机器人一年后的收益（万元）与投入成本x（）（万元）的函数表达式为：.
（1）若将2万元资金投给乙机器人，一年后获得的收益是多少？
（2）请在平面直角坐标系中画出两函数图象的简图，并结合图象分析怎样选择投资对象使获得的收益更多？
（3）若该生产厂家共有活动资金32万元，计划全部投入到甲、乙两款机器人生产中，当甲、乙两款机器人分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
【答案】（1）解：当时，
（万元），
答：一年后获得的收益是4万元；
（2）解：过点，，
画出简图如图，
抛物线的对称轴为：直线，顶点为，
当时，，
当时，，
解得，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，，
画出简图如图，
直线与抛物线的两个交点为，，
由图象可知：当投入成本万元时，选择投资生产甲、乙两款机器人获得的收益一样；
当投入成本万元时，选择投资生产乙款机器人获得的收益更多；
当投入成本万元时，选择投资生产甲款机器人获得的收益更多.
（3）解：设一年后获得的收益之和为w，投入乙款机器人生产n万元，则投入甲款机器人生产万元，
∴
，
∴当时，w有最大值，最大值为20.
.
答：当投入甲款机器人生产28万元，投入乙款机器人生产4万元，一年后获得的收益之和最大，最大值是20万元.
【解析】【分析】（1）将x=2代入乙的表达式求解即可；
（2）通过特殊点描法画出两个函数图象的简图，通过数形结合思想判断投入成本跟甲乙收益的关系；
（3）列出收益之和与乙款机器人生产资金的关系式，配成顶点式，二次函数在对称点时取到最值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
