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浙教版2025—2026学年九年级上册期末模拟尖子生领航卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025九上·台州期末）下列事件为随机事件的是（ ）
A．地球绕太阳转
B．自然状态下的水从低处向高处流
C．明天太阳从东方升起
D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
2．（2024九上·八步期末）如果两个相似三角形的面积比是，那么它们的相似比是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·金昌期末）如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A'B'C，A'B'交AC于点D，若∠A'DC＝90°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．75° C．55° D．65°
4．（2024九上·祁东期末）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·上城期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·内江期末）如图，在中，E为BC的中点，AE、BD相交于点F．若的面积为6，则四边形CDFE的面积是（ ）.
A．9 B．12 C．15 D．18
7．（2024九上·江海期末）如图，用力转动转盘甲和转盘乙的指针，则哪个转盘的指针停在白色区域的概率大（ ）
A．转盘甲 B．转盘乙 C．无法确定 D．一样大
8．（2024九上·柳州期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九上·诸暨期末）等腰，，，，则（ ）
A．3 B． C． D．4
10．（2024九上·黔东南期末）二次函数中，自变量与函数的对应值如下表：
若，则下面叙述正确的是（ ）
A．该函数图象开口向上
B．该函数图象与轴的交点在轴的下方
C．对称轴是直线
D．若是方程的正数解，则
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·仁寿期末） 已知二次函数可以写成，则的取值范围是 ．
12．（2024九上·南海期末） 在平面直角坐标系中，已知，在轴上有一点，它与两点形成的三角形与相似（全等除外），则点的坐标是 .
13．（2024九上·义乌期末）如图，在中，点E在边上，交对角线于F，若，的面积等于8，那么的面积等于 ．
14．（2024九上·香坊期末）一个扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积是 .
15．（2024九上·滨江期末）已知扇形面积为，半径为，则扇形的弧长为 ．
16．（2024九上·长沙期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为则下面的四个结论：；；；当时，或其中正确的是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025九上·南沙期末）2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表名录．某次班会上，甲、乙同学准备从“．贴春联”、“．吃饺子”、“．发红包”、“．拜新年”这四个传统习俗中，各选一个进行讲解．班长做了4张背面完全相同的卡片，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回后，由乙再随机抽取一张，两人根据所抽取卡片正面的内容进行讲解．
（1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“C．发红包”的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都未抽到“．吃饺子”的概率．
18．（2025九上·天津市期末）在一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点，建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）通过计算判断球能否进球门；
（3）若抛物线的形状、最大高度均保持不变，且抛物线恰好经过点O正上方处，则该抛物线应向右平移几个单位？
19．（2025九上·金牛期末）某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为、、、四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如图所示两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．
（1）本次抽取调查学生共有______人，并补全条形统计图；
（2）求出扇形统计图中组部分所占的圆心角的度数；
（3）小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到、、、四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率．
20．（2024九上·东城期末）如图，在中，，，．
（1）以点为旋转中心，将沿逆时针方向旋转得到，请用尺规作图作出变换后的图形（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求点和点之间的距离．
21．（2024九上·石鼓期末）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知四边形是“等对角四边形”，，，，则 °， °．
（2）如图1，在中，，为斜边边上的中线，过点作垂直于交于点，试说明四边形是“等对角四边形”．
（3）如图2，在中，，，，平分，点在线段延长线上，，，以点B、C、E、D为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长．
22．（2024九上·红桥期末）已知的半径为5，四边形内接于，．
（1）如图①，若，求弦和的长；
（2）如图②，连接，若，求弦的长和的大小．
23．（2026九上·期末）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现超市决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量（千克）与每千克降价（元），之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求与之间的函数关系式．
（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
（3）设销售这种菠萝蜜总共获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
24．（2024九上·福州期末）如图，和分别位于两侧，为中点，连接，．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，连接交于点F，在上取一点G使得．若，．猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，是以为斜边的等腰直角三角形，若，，请直接写出当取最大值时的面积．
25．（2024九上·绿园期末）在平面直角坐标系中，抛物线、是常数）经过点，．点在抛物线上，且点的横坐标为．
（1）求该抛物线对应的函数表达式．
（2）求点关于抛物线、是常数）的对称轴对称的点的坐标（用含的代数式表示）．
（3）当点在轴上方时，直接写出的取值范围．
（4）若此抛物线在点及点左侧部分的最低点的纵坐标为，求的值．
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浙教版2025—2026学年九年级上册期末模拟尖子生领航卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025九上·台州期末）下列事件为随机事件的是（ ）
A．地球绕太阳转
B．自然状态下的水从低处向高处流
C．明天太阳从东方升起
D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【答案】D
【解析】【解答】解：A．地球绕太阳转是必然事件；
B．自然状态下的水从低处向高处流是不可能事件；
C．明天太阳从东方升起是必然事件；
D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上为随机事件．
故答案为：D．
【分析】根据事件的分类“必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”逐项判断解题即可．
2．（2024九上·八步期末）如果两个相似三角形的面积比是，那么它们的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：2，
∴它们的相似比=.
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的性质（相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方）分析求解即可.
3．（2024九上·金昌期末）如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A'B'C，A'B'交AC于点D，若∠A'DC＝90°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．75° C．55° D．65°
【答案】C
【解析】【解答】解：由于把绕C点顺时针旋转，得到，
， ，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质得到，求出的度数即可求解．
4．（2024九上·祁东期末）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（0，-3），
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可.
5．（2024九上·上城期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OD，作DH⊥BO，
在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4，
∴BC=，OB=OD=OC=，
∵∠DOB=2∠ACB=60°，
∴Rt△DHO中，DH=OD=3，
∴S阴=S△ABC-S△OCD-S扇形ODB=
故答案为：C.
【分析】连接OD，作DH⊥BO，算出S△OCD和S扇形ODB，由S阴=S△ABC-S△OCD-S扇形ODB可得结果.
6．（2024九上·内江期末）如图，在中，E为BC的中点，AE、BD相交于点F．若的面积为6，则四边形CDFE的面积是（ ）.
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴，，
∵点E是BC边的中点，
∴BE=BC=AD，
∴，，
∵的面积为6，
∴，
，
∴，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】先由平行四边形的性质得出AD=2BE，BE∥AD，进而得出△ADF∽△EBF，利用相似三角形的性质和的面积为6， 即可得出△BEF，△ADF的面积，从而求出△ABD和△BCD的面积，用面积的和差即可得出结论.
7．（2024九上·江海期末）如图，用力转动转盘甲和转盘乙的指针，则哪个转盘的指针停在白色区域的概率大（ ）
A．转盘甲 B．转盘乙 C．无法确定 D．一样大
【答案】D
【解析】【解答】解：转盘甲，白色区域占该圆总面积的 ，转盘的指针停在白色区域的概率为 ；
转盘乙，白色区域占该圆总面积的 ，转盘的指针停在白色区域的概率为 ；
因此转盘甲和转盘乙中转盘的指针停在白色区域的概率均为
故答案为：D．
【分析】利用几何概率求解即可。
8．（2024九上·柳州期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接，如图，
由题知，四边形是正方形，且，
∴点的坐标为，
由勾股定理得，，
∴点的坐标为，
依次类推点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
由此可见，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，每旋转次为一个周期，
∵，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】连接，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，每旋转次为一个周期，总结规律，即可求出答案.
9．（2025九上·诸暨期末）等腰，，，，则（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
或（不符合题意，舍去），
故答案为：B.
【分析】将线段AP绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接PE、CE，由旋转的性质得，，由等腰直角三角形性质得到，，由周角求出，由同角的余角相等得，从而利用SAS证明，由全等三角形的对应角相等得到，由角的构成可证明，，由等角对等边得，由勾股定理得出，，则，求出，即可得到结论.
10．（2024九上·黔东南期末）二次函数中，自变量与函数的对应值如下表：
若，则下面叙述正确的是（ ）
A．该函数图象开口向上
B．该函数图象与轴的交点在轴的下方
C．对称轴是直线
D．若是方程的正数解，则
【答案】D
【解析】【解答】根据表格可知
若，
A：该函数图象开口向上，叙述错误，图象开口应向下，不符合题意
B：该函数图象与轴的交点在轴的下方，叙述错误，函数图象与轴的交点在轴的上方，不符合题意
C：对称轴是直线，叙述错误，对称轴是直线，不符合题意
D：若是方程的正数解，则，叙述正确，当 时，，有，符合题意
故选：D
【分析】根据表格分析，m=0和m=2时y值相等，对称轴为x=1；x由1增大到4，y值由m减小到 可知对称轴右侧图象递减，图象开口向下；，当x=0时，故 函数图象与轴的交点在轴的上方；由零点定理，函数必有一个交点在对应的x值之间。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·仁寿期末） 已知二次函数可以写成，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据题意顶点式转化为一般式，进而对比系数即可求解。
12．（2024九上·南海期末） 在平面直角坐标系中，已知，在轴上有一点，它与两点形成的三角形与相似（全等除外），则点的坐标是 .
【答案】
【解析】【解答】解：设P(m，0)
∵点P与A，C两点形成的三角形与△ABC相似，∠BAC=∠PAC
∴
∵
∴
解得：m=3
∴P（3，0）
故答案为：（3，0）
【分析】设P(m，0)，根据相似三角形性质可得，结合勾股定理代值计算即可求出答案.
13．（2024九上·义乌期末）如图，在中，点E在边上，交对角线于F，若，的面积等于8，那么的面积等于 ．
【答案】18
【解析】【解答】解：过点F作MN⊥BC交BC，AD于点M，N，如图，
∵ 四边形ABCD为平行四边形，MN⊥BC，
∴ MN⊥AD，
∵ ∠EFC=∠DFA，∠ECF=∠DAF，
∴ △CEF∽△ADF，
∴，
∵ BC∥AD，
∴ ∠MEF=∠NDF，
∵ ∠EFM=∠DFN，
∴ △EFM∽△DFN，
∴，
∴，
∵ S△CEF=8，
∴ S△AFD=18.
故答案为：18.
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求得，，即可求得.
14．（2024九上·香坊期末）一个扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积是 .
【答案】
【解析】【解答】解：设该扇形的半径为r，根据弧长与圆心角的关系可得：解得：根据扇形的面积公式可得：
故答案为：
【分析】本题主要考查弧长公式、扇形的面积公式，根据弧长与圆心角的关系可得：解得：代入扇形的面积公式即可求解.
15．（2024九上·滨江期末）已知扇形面积为，半径为，则扇形的弧长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，扇形的面积，半径，
根据得，
弧长.
故答案为：4π.
【分析】根据扇形的面积公式计算即可.
16．（2024九上·长沙期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为则下面的四个结论：；；；当时，或其中正确的是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵对称轴为，
∴，
∴，
∴．故结论①正确，符合题意．
∵点B坐标为，
∴当时，，
故结论②正确，符合题意．
∵图象开口向下，
∴．
∵，
∴，
∵图象与y轴交于正半轴上，
∴．
∴，故结论③错误，不符合题意．
∵对称轴为，点B坐标为，
∴A点坐标为．
∴当时或．故结论④错误，不符合题意．
综上可知，正确的是①②，
故答案为：①②
【分析】根据二次函数的图象与性质结合题意对①②③④分析，进而即可求解。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025九上·南沙期末）2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表名录．某次班会上，甲、乙同学准备从“．贴春联”、“．吃饺子”、“．发红包”、“．拜新年”这四个传统习俗中，各选一个进行讲解．班长做了4张背面完全相同的卡片，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回后，由乙再随机抽取一张，两人根据所抽取卡片正面的内容进行讲解．
（1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“C．发红包”的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都未抽到“．吃饺子”的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
共有种等可能的结果，其中甲、乙两人都未抽到“吃饺子”的结果有：， 共种，
∴甲、乙两人都未抽到“.吃饺子”的概率为．
【解析】【解答】解：（1）由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到“.发红包”的结果有种，∴甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“.发红包”的概率是；
故答案为：；
【分析】（1）根据题目描述，共有种等可能的结果，其中抽到“.发红包”这一结果有种情况。因此，所求概率可直接用概率公式计算得出；
（2）通过列表法可以列举出所有可能的等概率结果，并从中统计出甲、乙两人均未抽到“.吃饺子”的结果数目。最后，利用概率公式即可求出相应的概率值。
（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到“.发红包”的结果有种，
∴甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“.发红包”的概率是；
（2）解：列表如下：
共有种等可能的结果，其中甲、乙两人都未抽到“吃饺子”的结果有：， 共种，
∴甲、乙两人都未抽到“.吃饺子”的概率为．
18．（2025九上·天津市期末）在一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点，建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）通过计算判断球能否进球门；
（3）若抛物线的形状、最大高度均保持不变，且抛物线恰好经过点O正上方处，则该抛物线应向右平移几个单位？
【答案】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，经过，
可设抛物线为，
把代入得，
解得：，
抛物线表达式为：；
（2）解：当时，
，
球不能进球门；
（3）解：设平移后抛物线为，
把点代入得，
，
整理得，，
解得（舍去）或，
平移后抛物线顶点为，
原抛物线的顶点为，
抛物线应向右平移1个单位．
【解析】【分析】（1）由题可得抛物线的顶点坐标为，经过，再根据抛物线的顶点式可设抛物线为，将代入计算，即可求解；
（2）当时，求出球的高度，判断是否超过球门高度米，即可求解；
（3）设平移后抛物线为，把点代入得，求出的值，可求出平移后抛物线的顶点，即可求解；
（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，经过，
可设抛物线为，
把代入得，
解得：，
抛物线表达式为：；
（2）解：当时，
，
球不能进球门；
（3）解：设平移后抛物线为，
把点代入得，
，
整理得，，
解得（舍去）或，
平移后抛物线顶点为，
原抛物线的顶点为，
抛物线应向右平移1个单位．
19．（2025九上·金牛期末）某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为、、、四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如图所示两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．
（1）本次抽取调查学生共有______人，并补全条形统计图；
（2）求出扇形统计图中组部分所占的圆心角的度数；
（3）小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到、、、四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率．
【答案】（1）解：60
组的人数为（人）．
补全条形图如下图所示，
（2）解：组部分所占的圆心角；
（3）解：根据题意，画树状图如下，
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两人恰好分到同一组的结果为4，
所以两人恰好分到同一组的概率．
【解析】【解答】（1）解：本次抽取调查的学生总人数为（人），
故答案为：60；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，利用“组学生人数除以其占比”，即可求得本次抽取调查学生总人数；利用“本次抽取调查学生总人数A组的学生人数占比”求出组的学生人数， 从而即可补全条形图；
（2）利用“组学生占比”即可求得扇形统计图中组部分所占的圆心角的度数 ；
（3）此题是抽取放回类型，根据题意作出树状图，由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两人恰好分到同一组的结果为4，从而根据概率公式计算即可.
（1）解：本次抽取调查的学生总人数为（人），
组的人数为（人）．
补全条形图如下图所示，
故答案为：60；
（2）组部分所占的圆心角；
（3）根据题意，画树状图如下，
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两人恰好分到同一组的结果为4，
所以两人恰好分到同一组的概率．
20．（2024九上·东城期末）如图，在中，，，．
（1）以点为旋转中心，将沿逆时针方向旋转得到，请用尺规作图作出变换后的图形（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求点和点之间的距离．
【答案】（1）解：如图所示，以为圆心长度为半径画弧交于点，
长为半径画弧交延长线于点，连接，
∴即为所求.
（2）解：如图，连接，
由（）得：，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：．
【解析】【分析】（）以为圆心长度为半径画弧交于点，长为半径画弧交延长线于点，连接，即可求解；
（）连接，分别在和中，利用勾股定理，即可求解.
（1）如图，以为圆心长度为半径画弧交于点，长为半径画弧交延长线于点，连接，
∴即为所求；
（2）如图，连接，
由（）得：，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：．
21．（2024九上·石鼓期末）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知四边形是“等对角四边形”，，，，则 °， °．
（2）如图1，在中，，为斜边边上的中线，过点作垂直于交于点，试说明四边形是“等对角四边形”．
（3）如图2，在中，，，，平分，点在线段延长线上，，，以点B、C、E、D为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长．
【答案】（1）140，70
（2）证明：如图：
在中，
为斜边边上的中线，
，
，
，
，
.
，
，
，且
四边形是“等对角四边形”；
（3）解：点在的延长线上，，时，过作交的延长线于，如图：
平分，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
∵，，
∴，
，，
，
，即，
，
，
，
；
【解析】【解答】（1）解：四边形是“等对角四边形”，，
，
，
故答案为：140，70；
【分析】（1）利用“ 等对角四边形 ”直接可得，再利用四边形的内角和求出∠C的度数即可；
（2）先利用直角三角形斜边上中线的性质可得，利用等边对等角的性质可得，再利用角的运算和等量代换求出，且，即可证出四边形是“等对角四边形”；
（3）点在的延长线上，，时，过作交的延长线于，先证出，可得，即，求出，利用勾股定理求出CE的长，最后利用线段的和差求出AE的长即可.
22．（2024九上·红桥期末）已知的半径为5，四边形内接于，．
（1）如图①，若，求弦和的长；
（2）如图②，连接，若，求弦的长和的大小．
【答案】（1）解：如图，连接．
，
．
为的直径．
．
的半径为5，
．
又，
在中，．
在中，由，
解得．
（2）解：如图，连接．
，
．
．
．
在中，．
，
∴是等边三角形，
．
．
【解析】【分析】
（1）连接．由圆周角定理可知，为的直径，则得，分别在、中，利用勾股定理解答即可；
（2）连接．由及直径对的圆周角是直角得，，根据圆周角定理得，由30°直角三角形性质得．在中，由勾股定理求得，再根据等边三角形的判定和性质即可求出的度数．
（1）解：如图，连接．
，
．
为的直径．
．
的半径为5，
．
又，
在中，．
在中，由，
解得．
（2）解：如图，连接．
，
．
．
．
在中，．
，
∴是等边三角形，
．
．
23．（2026九上·期末）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现超市决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量（千克）与每千克降价（元），之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求与之间的函数关系式．
（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
（3）设销售这种菠萝蜜总共获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由题意可知，将和代入中得，
解得：
y与x之间的函数关系式为
故答案为：；
（2）解：根据题意得
整理得：，
解得：，
又要让顾客获得更大实惠，
．
答：这种干果每千克应降价12元．
（3）解：销售这种菠萝蜜总共获利
，
∵，，
∴当时，每天获利最大，最大利润为2645元，
此时销售单价为元
即：当销售单价为51.5元时，每天获利最大，最大利润是2645元．
【解析】【分析】（1）观察图象可知：直线过点和，利用待定系数法，即可得出求解；
（2）根据（售价-进价）×销量=总利润，可得出方程，解方程并根据题意求较大解即可；
（3）设获得总利润为元，由（2）可得：再，整理转化成顶点式，根据二次函数最值。即可求解。
（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由题意可知，将和代入中得，
解得：
y与x之间的函数关系式为
故答案为：；
（2）根据题意得
整理得：，
解得：，
又要让顾客获得更大实惠，
．
答：这种干果每千克应降价12元．
（3）销售这种菠萝蜜总共获利
，
∵，，
∴当时，每天获利最大，最大利润为2645元，
此时销售单价为元
即：当销售单价为51.5元时，每天获利最大，最大利润是2645元．
24．（2024九上·福州期末）如图，和分别位于两侧，为中点，连接，．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，连接交于点F，在上取一点G使得．若，．猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，是以为斜边的等腰直角三角形，若，，请直接写出当取最大值时的面积．
【答案】（1）解：如图，过点E作，交延长线于F，
∵，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵E是中点，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：，理由如下：
如图2，延长至，使，作于，
∵，
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
∵E为AD中点，
∴
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，取的中点，连接，
是的中点，
，
点在以为圆心，半径是1的上运动，
在上截取，
，
，
，
，
，
，
当、、在一条直线上时，
最大，
，
，
如图4，
连接，作于，
，
，
设，，
在中，
，
，
，（舍去），
．
【解析】【分析】（1）过点E作，交延长线于F，证明是等腰直角三角形，求出AD的长度，进而证明是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到求出CF，最后利用勾股定理即可求解；
（2）延长至，使，作于，证明是等边三角形，证明是等边三角形，得到，利用"SAS"证明，得到，再利用"SAS"证明，得到，进而即可求解；
（3）取的中点，连接，可得到点在以为圆心，半径是1的上运动，在上截取，证明，得到确定当、、在一条直线上时，最大，在中，利用勾股定理求出EM的长度，最后根据三角形面积计算公式即可求解.
25．（2024九上·绿园期末）在平面直角坐标系中，抛物线、是常数）经过点，．点在抛物线上，且点的横坐标为．
（1）求该抛物线对应的函数表达式．
（2）求点关于抛物线、是常数）的对称轴对称的点的坐标（用含的代数式表示）．
（3）当点在轴上方时，直接写出的取值范围．
（4）若此抛物线在点及点左侧部分的最低点的纵坐标为，求的值．
【答案】（1）解：把，代入，
则，
解得，
抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：
∴抛物线的对称轴是直线，
设点的横坐标为n，由题意，得
∴（5分）
∵
∴
（3）解：的取值范围为或
（4）解：，
抛物线顶点为，
当时，在点左侧的图象顶点为最低点，
即，
解得；
当时，随的增大而减小，
为最低点，
即当时，，
解得（舍去），，
综上所述，的值为或．
【解析】【分析】（1）运用待定系数法结合题意即可求出二次函数的解析式；
（2）先根据二次函数的图象即可得到二次函数的对称轴，设点的横坐标为n，进而结合题意即可得到，再结合题意根据二次函数的性质即可求解；
（3）求出抛物线与x轴的交点为（-3，0），（1，0），再由点A在x轴上方，求m的范围即可；
（4）先根据函数关系式即可得到抛物线的顶点坐标，进而分类讨论：当时，在点左侧的图象顶点为最低点，当时，随的增大而减小，进而结合题意即可求解。
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