高考数学复习第三章函数第3讲函数的奇偶性、周期性、对称性课件

(共63张PPT)
第三章　函数
第3讲　函数的奇偶性、
周期性、对称性
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解周期性的概念和几何意义.3.能综合运用函数的奇偶性、周期性、对称性解决问题.
1．函数的奇偶性
－x∈I
f(－x)＝－f(x)
f(－x)＝f(x)
原点
y轴
2.函数的周期性
(1)周期函数
设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有_________，且____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，同时nT(n∈Z，n≠0)也是这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_______的正数，那么这个_________就叫做f(x)的最小正周期．
x＋T∈D
f(x＋T)＝f(x)
最小
最小正数
1．函数奇偶性的重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量的值互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量的值也互为相反数．
解析：对于A，B，D中的函数，定义域均关于原点对称，且f(－x)＝－f(x)，故均是奇函数；对于C，f(－x)＝(－x)3＋1＝－x3＋1≠－f(x)，故不是奇函数．故选ABD.
2．(人教B必修第一册习题3－1B T8改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
3．(人教A必修第一册3.2.2练习T1改编)设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为_________________．
解析：由题中图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0.又f(x)是偶函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＞0；当－5≤x＜－2时，f(x)＜0.综上，不等式f(x)＜0的解集为[－5，－2)∪(2，5]．
[－5，－2)∪(2，5]
4．(人教A必修第一册习题3.2 T11改编)已知函数f(x)是奇函数且定义域为R，
当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为_________________．
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2027)＝________．
解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4.又f(1)＝1，所以f(2027)＝f(－1＋4×507)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
－1
核心考向突破
考向一　函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性．
解： (1)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)解法一(定义法)：易知f(x)的定义域为R.
当x＞0时，f(x)＝x2－2x－1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝f(x)；
当x＝0时，f(0)＝－1，满足f(－x)＝f(x)；
当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1＝f(x)．
综上可知， x∈R，f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
1.已知函数f(x)＝sinx，g(x)＝ex＋e－x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：易知f(x)＝sinx是奇函数，g(x)＝ex＋e－x是偶函数，|f(x)|＝|sinx|，|g(x)|＝|ex＋e－x|都是偶函数，所以f(x)g(x)是奇函数，|f(x)|g(x)是偶函数，f(x)|g(x)|是奇函数，A，B错误，C正确；|f(x)g(x)|＝|sinx(ex＋e－x)|，|f(－x)g(－x)|＝|sin(－x)(e－x＋ex)|＝|sinx(ex＋e－x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，D错误．故选C.
考向二　函数奇偶性的应用
(3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f(x)＝_____________．
解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，所以a＝－1.当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1，设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－2－x－2x＋1.
－1
－2－x－2x＋1
已知函数奇偶性可以解决的四个问题
求函数值 利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解
求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出
求参数 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程(组)求得参数
画图象 利用奇偶性可画出对称区间上的图象并解决单调性等相关问题
1.(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)已知f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)
A．－2 B．2
C．1 D．－1
解析：当x<0时，－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋2(－x)2]＝x3－2x2，通过对比系数得a＝－2.故选A.
2．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f(x)＋g(x)＝2×3x，则函数f(x)＝________．
3x＋3－x
2
考向三　函数的周期性
(2022·新高考Ⅱ卷改编)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝1.
函数周期性的判断与应用
2．设f(x)是定义在R上周期为2的函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，则函数f(x)在[1，3]上的解析式为_________________________．
解析：根据题意，设x∈[1，3]，则x－2∈[－1，1]，又当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，则f(x－2)＝(x－2)2＋1＝x2－4x＋5，又f(x)是周期为2的函数，所以f(x)＝f(x－2)＝x2－4x＋5，x∈[1，3]．
f(x)＝x2－4x＋5，x∈[1，3]
考向四　函数图象的对称性
(2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于点(2，0)对称
C．4为f(x)的周期 D．y＝f(x＋4)为偶函数
解析： ∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴4为f(x)的周期，故C正确；∵4为f(x)的周期且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．故选ACD.
函数图象自身对称的常用结论
1.已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　)
A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称
C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称
解析：设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．故选A.
3
课时作业
一、单项选择题
1．下列函数中为偶函数的是(　　)
2．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为3，f(－1)＝2，则f(2026)＝(　　)
A．2 B．0
C．－2 D．－4
解析：依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为3，且f(－1)＝2，则f(2026)＝f(1＋675×3)＝f(1)＝－f(－1)＝－2.故选C.
3．(2025·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a＝(　　)
A．1 B．2 C．0 D．－2
解析：函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.故选B.
4．已知函数f(x)＝x(x－a)＋b，若函数y＝f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝0，则b的值为(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析： f(x)＝2x－24－x，则f(4－x)＝24－x－24－(4－x)＝24－x－2x，所以f(x)＋f(4－x)＝0，则函数f(x)的图象关于点(2，0)对称．故选B.
8．(2025·山东青岛模拟) x∈R，f(x)＋f(x＋3)＝1－f(x)f(x＋3)，f(－1)＝0，则f(2024)的值为(　　)
A．2 B．1 C．0 D．－1
二、多项选择题
9．已知f(x)＝x3g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以是(　　)
10．已知函数f(x)图象的对称轴方程为x＝3，则函数f(x)的解析式可以是(　　)
11．定义在R上的函数f(x)满足：x为整数时，f(x)＝2024；x不为整数时，f(x)＝0，则(　　)
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是偶函数
C． x∈R，f(f(x))＝2024
D．f(x)的最小正周期为1
解析：对于A，f(1)＝2024，f(－1)＝2024，f(－x)＝－f(x)不恒成立，则f(x)不是奇函数，A错误；对于B，若x为整数，则－x也是整数，则有f(x)＝f(－x)＝2024，若x不为整数，则－x也不为整数，则有f(x)＝f(－x)＝0，综上可得f(x)＝f(－x)，f(x)是偶函数，B正确；对于C，若x为整数，f(x)＝2024，若x不为整数，f(x)＝0，总之f(x)是整数，则f(f(x))＝2024，C正确；对于D，若x为整数，则x＋1也为整数，若x不为整数，则x＋1也不为整数，总之有f(x＋1)＝f(x)，f(x)的周期为1，若t(0＜t＜1)也是f(x)的周期，而x和x＋t可能一个是整数，另一个不是整数，则有f(x)≠f(x＋t)，故f(x)的最小正周期为1，D正确．故选BCD.
三、填空题
1
1
(0，2)
12
16．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解： (1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
又f(x)为奇函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.