高考数学复习第三章函数第5讲指数与指数函数课件
文档属性
| 名称 | 高考数学复习第三章函数第5讲指数与指数函数课件 |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-25 00:00:00 | ||
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文档简介
(共63张PPT)
第三章 函数
第5讲 指数与指数函数
xn＝a
正数
负数
两个
相反数
ar＋s
ars
arbr
4．指数函数的概念
函数__________________叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．
说明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，a>0，且a≠1)的函数叫做指数型函数．
y＝ax(a>0，且a≠1)
底数 a>1 0图象
性质 定义域 R
值域 _____________
定点 过定点_________ ，即x＝0时，y＝1
函数值的变化 当x>0时，y>1；当x<0时，00时，01
单调性 _________ _________
对称性 y＝ax与y＝ 的图象关于y轴对称
(0，＋∞)
5．指数函数的图象和性质
(0，1)
增函数
减函数
3．(人教A必修第一册习题4.2 T6改编)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>a>c
解析：因为指数函数y＝1.01x是增函数，又0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，故b>a.因为幂函数y＝x0.5是增函数，又1.01>0.6，所以1.010.5>0.60.5，故a>c.所以b>a>c.故选D.
4．函数f(x)＝ax－2026＋2026(a＞0，且a≠1)的图象过定点A，则点A的坐标为_____________．
解析：令x－2026＝0，得x＝2026，又f(2026)＝2027，故点A的坐标为(2026，2027)．
(2026，2027)
核心考向突破
考向一 指数幂的运算
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．
a4
考向二 指数函数的图象及其应用
(1)(多选)已知实数a，b满足等式2025a＝2026b，则下列关系式有可能成立的是( )
A．0C．0解析：在同一坐标系下画出y＝2025x与y＝2026x的大致图象，结合图象可知A，B，D可能成立．故选ABD.
(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
处理指数图象问题的策略
(1)抓住特殊点
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，与直线x＝1的交点坐标为(1，a)．
(2)巧用图象变换
常见的变换有：①函数y＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象可由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到；
②函数y＝ax＋b的图象可由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到；
③函数y＝a|x|的图象关于y轴对称，当x≥0时，其图象与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在 [0，＋∞)上的图象相同；当x<0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称．
1.(2025·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x-b) (a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
解析：由图象可知，b＜－1，0＜a＜1，所以函数g(x)＝ax＋b是减函数，g(0)＝1＋b＜0，所以A符合．故选A.
解析：如图是函数y＝2|x|在值域为[1，2]上的图象．使函数y＝2|x|的值域为[1，2]的定义域区间中，长度最小的区间为[－1，0]或[0，1]，长度最大的区间为[－1，1]，从而由定义可知区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为2－1＝1.故选B.
考向三 指数函数的性质及其应用
(2)(2025·辽宁沈阳模拟)若p：0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：设f(x)＝4x－5－x，则函数f(x)为增函数，则由4a－4b<5－a－5－b，即4a－5－a<4b－5－b可得a比较指数式大小的方法
比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．
(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．
(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小，或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．
(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．
1．解指数方程的依据
af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1) f(x)＝g(x)．
2．解指数不等式的思路方法
对于形如ax>ab(a>0，且a≠1)的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解．
2．方程4x＋|1－2x|＝11的解为________．
x＝log23
[－2，＋∞)
0
指数函数综合问题的处理策略
(1)涉及最值(或值域)的问题，通常要先对函数解析式进行变形，然后逐步求函数的最值．
(2)涉及单调性的问题，一方面要注意底数对指数函数单调性的影响；另一方面要注意借助“同增异减”这一性质分析判断．
1.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
2．已知函数f(x)＝4x－2x＋2－1，x∈[0，3]，则其值域为___________．
解析：令t＝2x，∵x∈[0，3]，∴1≤t≤8，∴g(t)＝t2－4t－1＝(t－2)2－5，t∈[1，8]，又y＝g(t)的图象关于直线t＝2对称，开口向上，∴g(t)在[1，2)上单调递减，在(2，8]上单调递增，且|8－2|>|2－1|，∴当t＝2时，函数取得最小值，即g(t)min＝－5，当t＝8时，函数取得最大值，即g(t)max＝31，∴f(x)的值域为[－5，31]．
[－5，31]
课时作业
11．(2024·湖北武汉质量评估)若实数a，b满足2a＋3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是( )
A．0C．1解析：设f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均为增函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．当x∈(－∞，0)时，f(x)g(x)；当x∈(1，＋∞)时，f(x)(－∞，－1]
13．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为__________，f(－4)与f(1)的大小关系是____________．
解析：因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(－3)＝f(1)．
(1，＋∞)
f(－4)>f(1)
14．已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为____________．
(－∞，－18]
第三章 函数
第5讲 指数与指数函数
xn＝a
正数
负数
两个
相反数
ar＋s
ars
arbr
4．指数函数的概念
函数__________________叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．
说明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，a>0，且a≠1)的函数叫做指数型函数．
y＝ax(a>0，且a≠1)
底数 a>1 0
性质 定义域 R
值域 _____________
定点 过定点_________ ，即x＝0时，y＝1
函数值的变化 当x>0时，y>1；当x<0时，0
单调性 _________ _________
对称性 y＝ax与y＝ 的图象关于y轴对称
(0，＋∞)
5．指数函数的图象和性质
(0，1)
增函数
减函数
3．(人教A必修第一册习题4.2 T6改编)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>a>c
解析：因为指数函数y＝1.01x是增函数，又0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，故b>a.因为幂函数y＝x0.5是增函数，又1.01>0.6，所以1.010.5>0.60.5，故a>c.所以b>a>c.故选D.
4．函数f(x)＝ax－2026＋2026(a＞0，且a≠1)的图象过定点A，则点A的坐标为_____________．
解析：令x－2026＝0，得x＝2026，又f(2026)＝2027，故点A的坐标为(2026，2027)．
(2026，2027)
核心考向突破
考向一 指数幂的运算
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．
a4
考向二 指数函数的图象及其应用
(1)(多选)已知实数a，b满足等式2025a＝2026b，则下列关系式有可能成立的是( )
A．0
(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
处理指数图象问题的策略
(1)抓住特殊点
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，与直线x＝1的交点坐标为(1，a)．
(2)巧用图象变换
常见的变换有：①函数y＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象可由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到；
②函数y＝ax＋b的图象可由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到；
③函数y＝a|x|的图象关于y轴对称，当x≥0时，其图象与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在 [0，＋∞)上的图象相同；当x<0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称．
1.(2025·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x-b) (a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
解析：由图象可知，b＜－1，0＜a＜1，所以函数g(x)＝ax＋b是减函数，g(0)＝1＋b＜0，所以A符合．故选A.
解析：如图是函数y＝2|x|在值域为[1，2]上的图象．使函数y＝2|x|的值域为[1，2]的定义域区间中，长度最小的区间为[－1，0]或[0，1]，长度最大的区间为[－1，1]，从而由定义可知区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为2－1＝1.故选B.
考向三 指数函数的性质及其应用
(2)(2025·辽宁沈阳模拟)若p：0
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：设f(x)＝4x－5－x，则函数f(x)为增函数，则由4a－4b<5－a－5－b，即4a－5－a<4b－5－b可得a
比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．
(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．
(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小，或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．
(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．
1．解指数方程的依据
af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1) f(x)＝g(x)．
2．解指数不等式的思路方法
对于形如ax>ab(a>0，且a≠1)的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0
2．方程4x＋|1－2x|＝11的解为________．
x＝log23
[－2，＋∞)
0
指数函数综合问题的处理策略
(1)涉及最值(或值域)的问题，通常要先对函数解析式进行变形，然后逐步求函数的最值．
(2)涉及单调性的问题，一方面要注意底数对指数函数单调性的影响；另一方面要注意借助“同增异减”这一性质分析判断．
1.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
2．已知函数f(x)＝4x－2x＋2－1，x∈[0，3]，则其值域为___________．
解析：令t＝2x，∵x∈[0，3]，∴1≤t≤8，∴g(t)＝t2－4t－1＝(t－2)2－5，t∈[1，8]，又y＝g(t)的图象关于直线t＝2对称，开口向上，∴g(t)在[1，2)上单调递减，在(2，8]上单调递增，且|8－2|>|2－1|，∴当t＝2时，函数取得最小值，即g(t)min＝－5，当t＝8时，函数取得最大值，即g(t)max＝31，∴f(x)的值域为[－5，31]．
[－5，31]
课时作业
11．(2024·湖北武汉质量评估)若实数a，b满足2a＋3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是( )
A．0
13．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为__________，f(－4)与f(1)的大小关系是____________．
解析：因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(－3)＝f(1)．
(1，＋∞)
f(－4)>f(1)
14．已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为____________．
(－∞，－18]
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