高考数学复习第三章函数第4讲二次函数与幂函数课件

(共70张PPT)
第三章　函数
第4讲　二次函数与幂函数
幂函数
(1)定义：函数_______叫做幂函数，其中x是自变
量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
y＝xα
1．(人教A必修第一册复习参考题3 T5改编)已知幂函数 f(x)＝xα的图象经过点(2，4)，则 f(－3)＝(　　)
A．－9 　　　　　B．9 　　　　　C．3 　　　　　D．－3
解析：因为幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，4)，所以2α＝4，α＝2，所以f(x)＝x2，所以f(－3)＝(－3)2＝9.故选B.
3．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域是__________．
解析：∵g(x)＝(x－1)2－1，∴g(x)min＝g(1)＝－1，g(x)max＝g(3)＝3，∴所求函数的值域为[－1，3]．
[－1，3]
解析：∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递减，∴α<0，故α＝－1.
－1
<
≤
核心考向突破
考向一　幂函数的图象与性质
(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，
y＝xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则
a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d>c>b>a 　　　　　　　　B．a>b>c>d
C．d>c>a>b 　　　　　　　　D．a>b>d>c
解析：由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d.故选B.
(2)(2025·河北衡水模拟)幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm在(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　)
A．m＝4 　　　　　　　　　　　B．f(x)是减函数
C．f(x)是奇函数 　　　　　　　　D．f(x)是偶函数
(3)若(a＋1)－2＞(3－2a)－2，则a的取值范围是__________________________．
幂函数的性质与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)；在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
(3)当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
1.(2025·四川南充模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)
考向二　求二次函数的解析式
若二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)的解析式为____________________．
f(x)＝－4x2＋4x＋7
确定二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
解：函数f(x)＝x2＋bx＋c，
则g(x)＝f(x)＋2x＝x2＋(b＋2)x＋c，
因为g(x)为偶函数，所以g(－x)＝g(x)，
即x2－(b＋2)x＋c＝x2＋(b＋2)x＋c，可得b＝－2，
所以f(x)＝x2－2x＋c，图象开口向上，对称轴为直线x＝1.
考向三　二次函数的图象与性质
角度1　二次函数图象的识别
(多选)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，
则下列结论中正确的是(　　)
A．b＝－2a B．a＋b＋c＜0
C．a－b＋c＞0 D．abc＜0
识别二次函数图象应学会“三看”
一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象可能是(　　)
角度2　二次函数的单调性
(1)已知函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间为(　　)
A．(－2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，－2)
解析：由函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，可知a<0，∴g(x)＝a(x2－4x＋3)的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，∴函数g(x)的单调递增区间为(－∞，2)．故选C.
(2)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)满足f(1)＝f(3)，则下列不等式成立的是
(　　)
A．f(1)C．f(4)解析：因为f(1)＝f(3)，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝2，又因为a<0，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，所以f(4)1．决定二次函数单调性的两个关键因素
2．利用二次函数单调性比较大小的两个常用方法
(1)利用对称轴一侧的单调性比较大小
(2)利用图象中对应点的高低关系比较大小
当抛物线开口向上时，离对称轴越远(或越近)的点，位置越高(或越低)，这个点的纵坐标越大(或越小)；当抛物线开口向下时，离对称轴越远(或越近)的点，位置越低(或越高)，这个点的纵坐标越小(或越大)．
角度3　二次函数的最值问题
设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)·|x－a|.
(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；
(2)求f(x)的最小值．
二次函数最值问题的类型及求解策略
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．
(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
　 (2025·江苏宿迁模拟)已知函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2.
(1)若a＝2，求函数f(x)在区间(－1，2)上的值域；
(2)若函数f(x)在区间[0，2]上有最小值3，求a的值．
角度4　与二次函数有关的恒成立问题
已知两函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x2＋4x＋4，其中k为实数．
(1)对任意x∈[－3，3]，都有f(x)≤g(x)，求k的取值范围；
(2)存在x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
(3)对任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围．
解：(1)设h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k，问题转化为当x∈[－3，3]时，h(x)≤0恒成立，故h(x)max≤0.
由二次函数的性质可知h(x)max＝h(3)＝86－k，
由86－k≤0，得k≥86，即k的取值范围为[86，＋∞)．
(2)由题意，存在x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，即h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k≤0在x∈[－3，3]上有解，故h(x)min≤0.
由二次函数的性质可知h(x)min＝h(－1)＝－10－k，
由－10－k≤0，得k≥－10，即k的取值范围为[－10，＋∞)．
(3)对任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，
所以f(x)max≤g(x)min，x∈[－3，3]．
由二次函数的性质可得f(x)max＝f(3)＝120－k，g(x)min＝g(－1)＝2.
由120－k≤2，得k≥118，即k的取值范围为[118，＋∞)．
由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是构造新函数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.
已知二次函数f(x)的最小值为3，且f(1)＝f(3)＝5.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋2m＋1的上方，求实数m的取值范围．
解： (1)根据题意，得二次函数f(x)图象的顶点坐标为(2，3)，
设f(x)＝a(x－2)2＋3，然后把点(3，5)代入得a＝2，
∴f(x)＝2(x－2)2＋3＝2x2－8x＋11.
课时作业
一、单项选择题
1．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则函数f(x)在(－∞，0)上
(　　)
A．是增函数 B．不是单调函数
C．是减函数 D．不能确定
解析：对于A，y＝x－1是奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，三个性质中有两个不正确，不符合题意；对于B，y＝x－2是偶函数，值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上单调递增，三个性质中有两个正确，符合题意；同理可判断C，D中的函数不符合题意．故选B.
5．已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1，3)．若对任意的x∈[－1，0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]　　　B．[4，＋∞)　　　C．[2，＋∞)　　　D．(－∞，4]
8．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2，若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．[－2，1]
C．[－1，2] D．[－1，＋∞)
二、多项选择题
9．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是(　　)
A．在x轴上截得的线段的长度是2 B．与y轴交于点(0，3)
C．图象的顶点是(－2，－2) D．图象过点(3，0)
解析：易知二次函数的解析式为y＝a(x－1)(x－3)＝a(x2－4x＋3)(a≠0)，图象与x轴的两交点为(1，0)，(3，0)，故在x轴上截得的线段的长度为2，A，D正确；将x＝0代入二次函数的解析式，得y＝3a，故B可能正确；图象顶点的横坐标为2，故C错误．故选ABD.
13．(2025·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝x5＋x，若f(2x－1)＋f(2－x)>0，则x的取值范围是_____________．
解析：因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝(－x)5＋(－x)＝－x5－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，因为函数y＝x5和y＝x都在R上单调递增，所以f(x)在R上单调递增，由f(2x－1)＋f(2－x)>0，可得f(2x－1)>－f(2－x)＝f(x－2)，则2x－1>x－2，解得x>－1，即x的取值范围是(－1，＋∞)．
(－1，＋∞)
四、解答题
15．现有三个条件：①对任意的x∈R，都有f(x＋1)－f(x)＝2x－2；②不等式f(x)<0的解集为{x|1已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且满足________．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f(x)－mx，若函数g(x)在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值．
16．设二次函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c.若a＋b＋c＝0，f(1)f(0)＞0.
(1)求证：方程f(x)＝0有实根；
(2)设x1，x2是方程f(x)＝0的两个实数根，求|x1－x2|的取值范围．