高考数学复习第三章函数第2讲函数的单调性与最值课件
文档属性
| 名称 | 高考数学复习第三章函数第2讲函数的单调性与最值课件 |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 3.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-25 00:00:00 | ||
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文档简介
(共71张PPT)
第三章 函数
第2讲 函数的单调性与最值
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
单调递增 单调递减
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I. x1，x2∈D
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上____________
1．函数的单调性
(1)定义
单调递增
单调递减
图象描述
自左向右看图象是_________
自左向右看图象是_______
增(减)函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数
上升的
下降的
(2)单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)_________，区间D叫做y＝f(x)的__________．
单调性
单调区间
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈I，都有f(x)≤M；
(2) x0∈I，使得f(x0)＝M (1) x∈I，都有f(x)≥M；
(2) x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为函数y＝f(x)的______ M为函数y＝f(x)的________
最大值
2．函数的最值
最小值
3．对勾函数
1.(多选)(人教A必修第一册习题3.2 T1改编)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4，3]的图象，则下列说法正确的是( )
A．f(x)在[－4，－1]上单调递减
B．f(x)在[－1，3]上单调递增
C．f(x)的单调递减区间是[－4，－1]∪[1，3]
D．f(x)的最小值为－2，最大值为3
解析：结合函数图象易知，f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，f(x)min＝f(－1)＝－2，f(x)max＝f(1)＝3，故A，D正确，B错误；f(x)的单调递减区间是[－4，－1]和[1，3]，故C错误．故选AD.
3．若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，则f(m)与f(1)的大小关系是( )
A．f(m)f(1)
C．f(m)≤f(1) D．f(m)＝f(1)
解析：因为函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，所以m－1<0，得m<1，因为f(x)在R上是减函数，所以f(m)>f(1)．故选B.
－2
5．(人教A必修第一册复习参考题3 T4改编)函数y＝－2x2－4ax＋3在区间[－4，－2]上具有单调性，则a的取值范围是___________________．
解析：函数y＝－2x2－4ax＋3图象的对称轴为直线x＝－a，由题意可得－a≤－4或－a≥－2，解得a≤2或a≥4.故a的取值范围是(－∞，2]∪[4，＋∞)．
(－∞，2]∪[4，＋∞)
核心考向突破
考向一 判断函数的单调性(单调区间)
角度1 定义法确定函数的单调性
定义法判断函数单调性的步骤
已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)对任意x，y∈(0，＋∞)，都满足f(x)＋f(y)＝f(xy)＋3，且当x∈(0，1)时，f(x)<3.根据定义，研究f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
角度2 图象法、性质法确定函数的单调性
(1)函数f(x)＝x2－4|x|＋3的单调递减区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－2)和(0，2)
C．(－2，2) D．(－2，0)和(2，＋∞)
[2，＋∞)
(－∞，－3]
1．图象法判断函数的单调性
如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．
2．判断函数的单调性常用的性质
(1)对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)的增减性进行判断．
(2)对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(u)和u＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断．
2．求函数f(x)＝|4－x|·(x－1)的单调区间．
考向二 函数单调性的应用
角度1 利用函数的单调性比较大小
利用函数的单调性比较大小的思路
已知下面的三个条件中任意两个都能推出第三个．
①函数f(x)在某个区间上的单调性；
②在这个区间上的任意两个自变量x1，x2的大小；
③在这个区间上的任意两个函数值f(x1)，f(x2)的大小．
提醒：若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较．
利用函数的单调性解不等式的步骤
(1)将函数不等式转化为f(x1)>f(x2)的形式；
(2)确定函数f(x)的单调性；
(3)根据函数f(x)的单调性去掉对应关系“f”，转化为形如“x1>x2”或“x1(2025·广东佛山模拟)已知函数y＝f(x)在定义域(－1，3)上是增函数，且f(2a－1)A．(1，2) B．(－∞，1)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
利用函数的单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意每段端点值的大小．
考向三 函数的最值(值域)问题
(－1，1]
1
(3)(2025·广西柳州模拟)记实数x1，x2，…，xn的最小数为min{x1，x2，…，xn}，若f(x)＝min{x＋1，x2－2x＋1，－x＋8}，则函数f(x)的最大值为________．
函数的最值(或值域)的几种求解方法
(1)分离常数法：分子上构造一个跟分母一样的因式，把分式拆成常量和变量，进一步确定变量范围破解．
(2)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(3)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
(6)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
2
－1
课时作业
一、单项选择题
[0，1)
0
第三章 函数
第2讲 函数的单调性与最值
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
单调递增 单调递减
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I. x1，x2∈D
当x1
1．函数的单调性
(1)定义
单调递增
单调递减
图象描述
自左向右看图象是_________
自左向右看图象是_______
增(减)函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数
上升的
下降的
(2)单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)_________，区间D叫做y＝f(x)的__________．
单调性
单调区间
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈I，都有f(x)≤M；
(2) x0∈I，使得f(x0)＝M (1) x∈I，都有f(x)≥M；
(2) x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为函数y＝f(x)的______ M为函数y＝f(x)的________
最大值
2．函数的最值
最小值
3．对勾函数
1.(多选)(人教A必修第一册习题3.2 T1改编)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4，3]的图象，则下列说法正确的是( )
A．f(x)在[－4，－1]上单调递减
B．f(x)在[－1，3]上单调递增
C．f(x)的单调递减区间是[－4，－1]∪[1，3]
D．f(x)的最小值为－2，最大值为3
解析：结合函数图象易知，f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，f(x)min＝f(－1)＝－2，f(x)max＝f(1)＝3，故A，D正确，B错误；f(x)的单调递减区间是[－4，－1]和[1，3]，故C错误．故选AD.
3．若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，则f(m)与f(1)的大小关系是( )
A．f(m)
C．f(m)≤f(1) D．f(m)＝f(1)
解析：因为函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，所以m－1<0，得m<1，因为f(x)在R上是减函数，所以f(m)>f(1)．故选B.
－2
5．(人教A必修第一册复习参考题3 T4改编)函数y＝－2x2－4ax＋3在区间[－4，－2]上具有单调性，则a的取值范围是___________________．
解析：函数y＝－2x2－4ax＋3图象的对称轴为直线x＝－a，由题意可得－a≤－4或－a≥－2，解得a≤2或a≥4.故a的取值范围是(－∞，2]∪[4，＋∞)．
(－∞，2]∪[4，＋∞)
核心考向突破
考向一 判断函数的单调性(单调区间)
角度1 定义法确定函数的单调性
定义法判断函数单调性的步骤
已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)对任意x，y∈(0，＋∞)，都满足f(x)＋f(y)＝f(xy)＋3，且当x∈(0，1)时，f(x)<3.根据定义，研究f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
角度2 图象法、性质法确定函数的单调性
(1)函数f(x)＝x2－4|x|＋3的单调递减区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－2)和(0，2)
C．(－2，2) D．(－2，0)和(2，＋∞)
[2，＋∞)
(－∞，－3]
1．图象法判断函数的单调性
如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．
2．判断函数的单调性常用的性质
(1)对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)的增减性进行判断．
(2)对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(u)和u＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断．
2．求函数f(x)＝|4－x|·(x－1)的单调区间．
考向二 函数单调性的应用
角度1 利用函数的单调性比较大小
利用函数的单调性比较大小的思路
已知下面的三个条件中任意两个都能推出第三个．
①函数f(x)在某个区间上的单调性；
②在这个区间上的任意两个自变量x1，x2的大小；
③在这个区间上的任意两个函数值f(x1)，f(x2)的大小．
提醒：若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较．
利用函数的单调性解不等式的步骤
(1)将函数不等式转化为f(x1)>f(x2)的形式；
(2)确定函数f(x)的单调性；
(3)根据函数f(x)的单调性去掉对应关系“f”，转化为形如“x1>x2”或“x1
C．(0，1) D．(1，＋∞)
利用函数的单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意每段端点值的大小．
考向三 函数的最值(值域)问题
(－1，1]
1
(3)(2025·广西柳州模拟)记实数x1，x2，…，xn的最小数为min{x1，x2，…，xn}，若f(x)＝min{x＋1，x2－2x＋1，－x＋8}，则函数f(x)的最大值为________．
函数的最值(或值域)的几种求解方法
(1)分离常数法：分子上构造一个跟分母一样的因式，把分式拆成常量和变量，进一步确定变量范围破解．
(2)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(3)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
(6)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
2
－1
课时作业
一、单项选择题
[0，1)
0
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