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【真题精选·50道解答题专练】浙教版数学八年级上册期末总复习
1．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
2．某科技小组在老师的指导下积极开展科技实践活动。他们在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，再在镜片的后面放一个光屏正对着镜片；不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小。此时他们测量了镜片与光斑之间的距离，得到如下数据：
老花镜的度数D/度 100 120 200 250 300
镜片与光斑之间的距离f/m 1 0.8 0.5 0.4 0.3
（1）观察表中的数据，你发现了什么
（2）如果按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为0.7m，那么你估计这副老花镜的度数是多少
3． 一条食品包装生产线完成智能化升级后，每个月生产的无菌纸盒包装饮料的数量是原来月均产量的1.7倍. 升级后，这条生产线8个月生产的无菌纸盒包装饮料的数量比原来12个月的生产量至少多1000万盒，这条生产线原来平均每月的产量至少是多少万盒
4． 解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
⑴ 解不等式，得 ▲ ；
⑵ 解不等式，得 ▲ ；
⑶把不等式和的解集在数轴上表示出来：
⑷ 原不等式组的解集为 ▲ ．
5．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需投入多少元？
6．峨眉山特级（静心）竹叶青是竹叶青的一种中端产品，每年在采摘加工前，茶商们都会针对二级经销商群体推出两种预售方式，方式一：缴纳5000元购买钻石会员，二级经销商可以1600元/kg的价格购买；方式二：缴纳2000元购买铂金会员，二级经销商可以1800元/kg的价格购买；某竹叶青二级经销商此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为y1元，按方式二购买茶叶的总费用为y2元.
（1）请直接写出y1，y2关于x的函数解析式；
（2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该二级经销商此次购买茶叶的质量；
（3）此次二级经销商购买茶叶的总预算为65000元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？
7．已知 ．
（1）求x与y的数量关系；
（2）若x，y满足 ，求z的值；
（3）若x，y，z皆为非负数，，则N的取值范围是 ．
8．某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．
（1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；
（2）该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？
9．如图，在△ABC 中，∠C=29°，D为AC上一点，且AB=AD，DB=DC．求∠A的度数．
10．小英的爸爸用某电信公司的套餐月租为58元，包含 100 GB通用流量和国内拨打电话200 分钟，其中通用流量他每月都用不完，超出套餐部分国内拨打电话0.19 元/分（不足1分钟按1 分钟收费）.
（1）他上个月拨打电话的时间为225分钟，求他上个月支付的费用是多少元.
（2）设他某月拨打电话的时间为x（x>200）分钟，支付费用为y元，求y与x之间的关系式.
（3）若他某月业务多，该月支付的费用为86.5元，求他该月拨打电话的时间是多少分钟.
11．中，．
（1）尺规作图：在上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
12．某超市销售茶壶茶杯，茶壶每只定价25元，茶杯每只定价5元，超市在开展促销活动时，向顾客提供了两种优惠方案：①买一只茶壶赠一只茶杯；②茶壶和茶杯都按定价的九折付款．现某顾客要到该超市购买茶壶6只，茶杯x只（茶杯数多于6只）．求当该顾客购买多少只茶杯，选择方案①比较划算．
13．如图，在中，垂直平分，分别交、于点、，平分，．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
14．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°.
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 ，射线AE是∠DAC的 .
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数.
15．如图，在四边形中，，，，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作直线交于点F，交于点O．
请回答：
（1）直线与线段的关系是_______．
（2）若，，求的长．
16．某商场计划购进，两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示：
价格类型 进价（元/件） 售价（元/件）
30 50
50 75
（1）若商场预计用3400元进货，则这两种服装各购进多少件？
（2）若商场规定种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？
17． 甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍.两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(小时)的函数图象如图所示.
（1）求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式.
（2）求乙组加工零件总量a 的值.
（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，则经过多长时间恰好装满第1箱 再经过多长时间恰好装满第 2 箱
18．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB=DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠DEC的度数．
19．如图，BC⊥ED，垂足为O，∠A=27°，∠D=20°，求∠ACB与∠B的度数．
20．将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分交 DE于点F.
（1）求证： ∥
（2）求 的度数.
21．直线和直线分别交y轴于A、B两点，两直线交于点．
（1）求m，k的值；
（2）求的面积；
（3）根据图像直接写出当时x的取值范围．
22．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接AC，OA＝4，OA＝2OC．
（1）根据题意，写出点A的坐标 ，点C的坐标 ；
（2）将纸片OABC沿EF折叠，使点A落在点C的位置，求CE所在直线的表达式 ．
23． 解不等式(组) ，并把解集在数轴上表示出来．
（1）6x-3>2x-7．
（2）
24．今年，我省部分地区出现持续干旱现象，为确保生产生活用水，某村决定由村里提供一点，村民捐一点的办法筹集资金维修和新建一批储水池．该村共有243户村民，准备维修和新建的储水池共有20个，费用和可供使用的户数及用地情况如下表：
储水池 费用（万元/个） 可供使用的户数（户/个） 占地面积（m2/个）
新建 4 5 4
维修 3 18 6
已知可支配使用土地面积最多为，若新建储水池x个，新建和维修的总费用为y万元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）满足要求的方案各有几种；
（3）在以上备选方案中，若平均每户捐2000元时，村里出资最多和最少分别是多少？
25．如图，直线y=kx+6分别与x轴、y轴相交于点E和点F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）．
（1）求k的值；
（2）（图1）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）（图2）当P点运动到横坐标为-4时，在y轴上找一点M，使MA+MP最小，求出M点坐标
26．正值樱桃上市时节，某水果店分两次购进红樱桃和黄樱桃两种水果进行销售，两次购进同一种水果的进价相同，具体情况如下表所示：
购进数量（斤） 购进所需费用（元）
红樱桃 黄樱桃
第一次 30 40 720
第二次 40 30 680
（1）求红樱桃和黄樱桃每斤的进价；
（2）水果店决定红樱桃以每斤10元出售，黄樱桃以每斤15元出售．为满足市场需要，需购进红樱桃和黄樱桃两种共200斤，且红樱桃的数量不少于黄樱桃数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
27．
（1）如图1，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，已知∠B=30°，∠C=50°．求∠DAE的度数．
（2）如图2，∠BAC的平分线AF交BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D，若∠B=x°，∠C=（x+30）°．
①∠CAE= ▲ （含x的代数式表示）．
②求∠F的度数．
28．为了加强中华传统文化教育，某校计划组织学生去参观陕西历史博物馆．现有两种客车可供选择，种客车可载人，种客车可载人．若租用辆种客车和辆种客车，共需元；若租用辆种客车和辆种客车，共需元。
（1）每辆种客车和每辆种客车的租金各多少元？
（2）若学校安排名教师带名学生去博物馆，计划租用两种客车共辆，且要保证所有出行师生都有座位，则有几种租车方案？哪种方案租金最便宜？
29．某校为达成省体育器材类装备，计划在京东惠购一次性购进篮球和足球共50个，某电商内部信息表给出其进价与售价间的关系如下表：
篮球 足球
进价（元/个） 105 90
售价（元/个） 135 125
（1）学校用4920元以进价购进这批篮球和足球，求购进篮球和足球各多少个；
（2）设该电商所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数表达式（不要求写出x的取值范围）；
（3）因资金紧张，学校的进货成本只能在4745元的限额内，请为学校设计一种进货方案使得尽可能多地购买篮球和足球，同时要使电商利润最小；并求出利润的最小值．
30．如果关于x的不等式1≤3x-8＜m-1有4个整数解，求m的取值范围．
31． 已知：如图，在△ABC中，AB=13，AC=20，BC=21，AD⊥BC，垂足为点D．
（1）求BD、CD的长；
（2）求△ABC的面积．
32．如图，直线AB：y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线OE与直线AB交于点E，点E的纵坐标是横坐标的3倍．
（1）求直线OE的解析式；
（2）点P为直线OE上一点，点P的横坐标为t，过点P作x轴的垂线，交直线AB于Q，设PQ＝d，求d关于t的函数解析式及t的取值范围．
33．如图，在和中，点A，E，F，C在同一直线上，有下面四个论断：
⑴；⑵；⑶；⑷.请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一证明题，并写出证明过程.
34．《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈＝10尺）
35．A、B两地相距300千米，甲、乙两车先后从A地出发到B地.如图，线段表示甲车离A地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线表示乙车离A地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系.根据图象回答下列问题.
（1）直接写出线段EF对应的函数解析式；
（2）求点P的坐标，并说出点P坐标的实际意义.
36．生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．某村为抓好“园区绿化”，购买了甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花了21000元，购买乙种树苗花了12000元，甲种树苗的单价比乙种树苗的单价高了50%，购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量多200棵．
（1）求甲、乙两种树苗的单价分别是多少元？
（2）为扩大园区绿化面积，该村准备再次购进甲、乙两种树苗共2600棵，且总金额不超过28000元，则最多可以购进多少棵甲种树苗？
37．某校计划为足球兴趣小组重新购买A、B两种足球．经调研得知：购买1个A型足球和2个B型足球共需800元，购买3个A型足球和2个B型足球共需1200元．
（1）求每个A型足球和B型足球各多少元；
（2）若该学校准备购买A、B两种足球共20个(每种至少买一个)；要求总费用不超过5000元，则对购买A型足球在数量上有什么要求？说明理由．
（3）在(2)的条件下，若甲、乙两商店以同样价格出售这两种足球，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲店购买A型足球按原价80%收费，B型足球不优惠；在乙店购买A型足球不优惠，但购买B型足球按原价80%收费；则学校到哪家商店购买足球花费少？
38．如图所示，已知点在直线上，点在直线上，且平分．
（1）如图1，判断直线与直线是否平行，并说明理由．
（2）如图2，是上点右侧一动点，的平分线交的延长线于点，设．
①若，求的度数．
②点在运动过程中，请直接写出和的数量关系．
39．某种书包原价每个x元，超市店庆促销，第一次降价打八折，第二次降价每个再减10元，经两次降价后超市的利润不少于20%.已知书包的成本是每个60元.根据题意列出x所满足的不等式.
40．解答：
（1）在中，，，，求的长．
（2）在中，，，，判断的形状，并说明理由．
41．如图，，，，，垂足分别为，．
（1）证明：；
（2）若，，求的长．
42．已知一次函数（k，b为常数且）．
（1）若函数图象过点，求的值．
（2）已知点和点都在该一次函数的图象上，求k的值．
（3）若，点且在该一次函数的图象上，求证．
43．一次函数y1＝kx+b（k≠0）恒过定点（3，2）．
（1）若一次函数y1＝kx+b还经过（0，5）点，求k的值；
（2）一次函数y1＝kx+b不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）另一函数y2＝x﹣1，满足y1﹣y2＝b+1，且k≠1，求x的值．
44．如图，AB∥CD，CE平分∠ACD交AB于点E。
（1）求证：△ACE是等腰三角形。
（2）若AC=13cm，CE=24cm，求△ACE的面积。
45．如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，且．
（1）求证：；
（2）已知，求的长．
46．如图，在矩形 中， 是 边的中点， 是线段 边上的动点， 将 沿 所在的直线折叠得到 ， 连结 ， 求 的最小值．
47．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且．
（1）求直线的表达式；
（2）点P是线段上一动点，点E是直线上一动点，点F为x轴上一动点，过P作于Q，连接，当时，求的最小值；
（3）如图2，在（2）问条件下，点M为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标．
48． “图形的变化”是初中几何的重要模块之一，为更好地研究图形在某种变换下具有怎样的性质，某校七年级数学小组设计如下探究活动并提出问题：
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，
（1）当点D在BC上时，如图1，BD和CF的数量关系为 ，位置关系为 ；
（2）当点D运动到BC延长线上时（图2），以上两种关系还成立吗？如果成立，请给出证明。
（3）在（2）的条件下，若AB=AC=1，连接AE，BE，在点D的运动过程中，△ABE的面积是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由。
49．如图，是边长为的等边三角形，为中点．
（1）求的长．
（2）如图，点在线段上，连接并延长至点，使，连接，为线段上一动点．
①当时，求的长；
②若，且，求的最小值．
50．年月日是第个中国学生营养日，某营养餐公司为学生提供的克早餐食品中，蛋白质总含量为，包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋一个鸡蛋的质量约为，蛋白质含量占；谷物食品和牛奶的部分营养成分表所示．
谷物食品：牛奶
项目每克 项目每克
能量千焦蛋白质克脂肪克碳水化合物克钠毫克 能量千焦蛋白质克脂肪克碳水化合物克钙毫克
（1）设该份早餐中谷物食品为克，牛奶为克，请写出谷物食品中所含的蛋白质为 克，牛奶中所含的蛋白质为 克用含有，的式子表示
（2）求出，的值．
（3）该公司为学校提供的午餐有，两种套餐每天只提供一种：
套餐 主食克 肉类克 其它克
为了膳食平衡，建议合理控制学生的主食摄入量，如果在一周里，学生午餐主食摄入总量不超过克，那么该校在一周里可以选择，套餐各几天？写出所有的方案说明：一周按天计算
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【真题精选·50道解答题专练】浙教版数学八年级上册期末总复习
1．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
【答案】解：在中，
，
设秋千的绳索长为，则，
故，
解得：，
答：绳索的长度是．
【解析】【分析】设秋千的绳索长为，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
2．某科技小组在老师的指导下积极开展科技实践活动。他们在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，再在镜片的后面放一个光屏正对着镜片；不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小。此时他们测量了镜片与光斑之间的距离，得到如下数据：
老花镜的度数D/度 100 120 200 250 300
镜片与光斑之间的距离f/m 1 0.8 0.5 0.4 0.3
（1）观察表中的数据，你发现了什么
（2）如果按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为0.7m，那么你估计这副老花镜的度数是多少
【答案】（1）随着老花镜度数的增加， 镜片与光斑之间的距离在逐步缩小。
（2）解：设这副老花镜的度数是x。
列式为
解得x≈147
因此估计这副老花镜的度数是147度。
【解析】【分析】（1）题根据表格中的数据变化可以发现，随着老花镜度数的增加， 镜片与光斑之间的距离在逐步缩小。
（2）题可以首先假设这副老花镜的度数是x，因为测得一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为0.7m，因此120＜x＜200，然后列式计算即可。
3． 一条食品包装生产线完成智能化升级后，每个月生产的无菌纸盒包装饮料的数量是原来月均产量的1.7倍. 升级后，这条生产线8个月生产的无菌纸盒包装饮料的数量比原来12个月的生产量至少多1000万盒，这条生产线原来平均每月的产量至少是多少万盒
【答案】解：设这条生产线原来平均每月的产量是x万盒，
8×1.7x-12x1000，
解得：x625，
答：这条生产线原来平均每月的产量至少是625万盒.
【解析】【分析】设这条生产线原来平均每月的产量是x万盒，根据题意建立不等式，求出不等式的解集即可.
4． 解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
⑴ 解不等式，得 ▲ ；
⑵ 解不等式，得 ▲ ；
⑶把不等式和的解集在数轴上表示出来：
⑷ 原不等式组的解集为 ▲ ．
【答案】解：⑴ 解不等式，得；
⑵ 解不等式，得；
⑶把不等式和的解集在数轴上表示出来：
⑷原不等式组的解集为．
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
5．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需投入多少元？
【答案】（1）如图，连接AC，
在直角三角形ABC中，
∵∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，
∴AC＝＝10m，
∵AC2+CD2＝102+242＝676＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝，
答：空地ABCD的面积是144m2．
（2）144×100＝14400（元），
答：总共需投入14400元．
【解析】【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理。（1）连接AC，得AC＝10m，根据AC2+CD2＝AD2得∠ACD＝90°，则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD；（2）根据单价×数量=总价可得。
6．峨眉山特级（静心）竹叶青是竹叶青的一种中端产品，每年在采摘加工前，茶商们都会针对二级经销商群体推出两种预售方式，方式一：缴纳5000元购买钻石会员，二级经销商可以1600元/kg的价格购买；方式二：缴纳2000元购买铂金会员，二级经销商可以1800元/kg的价格购买；某竹叶青二级经销商此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为y1元，按方式二购买茶叶的总费用为y2元.
（1）请直接写出y1，y2关于x的函数解析式；
（2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该二级经销商此次购买茶叶的质量；
（3）此次二级经销商购买茶叶的总预算为65000元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？
【答案】（1）解：根据题意，得；
（2）解：当时，，
解得：，
若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，该二级经销商此次购买茶叶的质量为；
（3）解：当时，即，
解得：，
当时，即，
解得：，
，
按方式一购买可以获得更多的茶叶．
【解析】【分析】(1) 总费用=会员费+单价×购买质量，据此直接列出函数解析式：，；
(2) 令，列方程，求解的值，即为两种方式费用相同时的购买质量；
(3) 分别令和，列方程求出对应的值：解得，解得，比较两个的大小，，故方式一购买更多。
7．已知 ．
（1）求x与y的数量关系；
（2）若x，y满足 ，求z的值；
（3）若x，y，z皆为非负数，，则N的取值范围是 ．
【答案】（1）解：由题意得：
得：
化简：．
（2）解：由题意得：
得：，
把代入①中，得：，
把，代入得：．
（3）
【解析】【解答】解：（3），，，，
由得：
，
，
，
，
，
，
又，，
，
解得：，，，
，
，
．
【分析】
（1）根据二元一次方程组的解法，利用加减消元法，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）根据二元一次方程组的解法，利用加减消元法，求得方程组的解，即可得到答案；
（3）根据二元一次方程组的解法，利用加减消元法，得出，，的取值范围，即可得到答案．
（1）解：由题意得：
得：
化简：．
（2）解：由题意得：
得：，
把代入①中，得：，
把，代入得：．
（3）解：，，，，
由得：
，
，
，
，
，
，
又，，
，
解得：，，，
，
，
．
8．某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．
（1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；
（2）该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）解：设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元.
（2）解：设购买m个篮球，则购买排球（10-m）
根据题意得：120m+100（10-m）≤1100，
解得：m≤5，
答：最多可以购买5个篮球．
【解析】【分析】（1）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，根据“ 购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设购买m个篮球，则购买排球（10-m），根据“ 总费用不超过1100元 ”列出不等式120m+100（10-m）≤1100，再求解即可.
9．如图，在△ABC 中，∠C=29°，D为AC上一点，且AB=AD，DB=DC．求∠A的度数．
【答案】解：∵ ∠C=29° ， DB=DC ，
∴∠DBC= ∠C=29° ，
∴∠ADB=∠DBC+∠C=58°，
∵ AB=AD ，
∴∠ABD=∠ADB=58°，
∴∠A=180°-∠ABD-∠ADB=64°
【解析】【分析】由等腰三角形的性质求出∠DBC= ∠C=29° ，利用三角形外角的性质可得∠ADB=∠DBC+∠C=58°，根据等角对等边可得∠ABD=∠ADB=58°，再利用三角形内角和定理即可求解.
10．小英的爸爸用某电信公司的套餐月租为58元，包含 100 GB通用流量和国内拨打电话200 分钟，其中通用流量他每月都用不完，超出套餐部分国内拨打电话0.19 元/分（不足1分钟按1 分钟收费）.
（1）他上个月拨打电话的时间为225分钟，求他上个月支付的费用是多少元.
（2）设他某月拨打电话的时间为x（x>200）分钟，支付费用为y元，求y与x之间的关系式.
（3）若他某月业务多，该月支付的费用为86.5元，求他该月拨打电话的时间是多少分钟.
【答案】（1）解：根据“支付费用=套餐月租+超出套餐部分国内拨打电话的电话费”，得58+0.19×(225-200)= 62.75(元)，所以他上个月支付的费用是62.75元
（2）解：根据题意得 y=58+0. 19(x-200)=0.19x+20，所以y 与 x 之间的关系式为 y=0.19x+20
（3）解：因为86.5>58，所以x>200，所以0.19x+20=86.5，解得x=350，所以他该月拨打电话的时间是350分钟
【解析】【分析】(1)(2)根据“支付费用=套餐月租+超出套餐部分国内拨打电话的电话费”作答即可；
(3)由86.5>58可以判断：x>200，将y=86.5代入(2)中得到的y与x的关系式，求出对应x的值即可.
11．中，．
（1）尺规作图：在上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
【答案】（1）解：如图，作AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，
点D即为所求作；
（2）解：∵，且，，
∴，
∴，
由（1）作图知，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
【解析】【分析】（1）利用尺规作图，分别以A、B两点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线MN，MN交AC于点D，连接BD，由线段垂直平分线的性质得AD=BD，进而根据等边对等角可得∠DBA=∠A，从而可得点D就是所求的点；
（2）先由三角形外角性质和角的和差关系，线段垂直平分线性质得到，再根据直角三角形的两锐角互余，即可解答．
12．某超市销售茶壶茶杯，茶壶每只定价25元，茶杯每只定价5元，超市在开展促销活动时，向顾客提供了两种优惠方案：①买一只茶壶赠一只茶杯；②茶壶和茶杯都按定价的九折付款．现某顾客要到该超市购买茶壶6只，茶杯x只（茶杯数多于6只）．求当该顾客购买多少只茶杯，选择方案①比较划算．
【答案】解：方案①：（元），
方案②：（元），
，
解得
故当顾客购买的茶杯数多于6只小于30只时，选择方案一比较划算．
【解析】【分析】根据单价乘以数量=总价及6个茶壶的钱+(x-6)个茶杯的钱=优惠方案①的费用，列式表示出优惠方案①的费用；根据单价乘以数量=总价及6个茶壶的钱×折扣率+x个茶杯的钱×折扣率=优惠方案②的费用，列式表示出优惠方案②的费用；进而根据“ 选择方案①比较划算”列出不等式，求解即可解决此题.
13．如图，在中，垂直平分，分别交、于点、，平分，．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵垂直平分，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∴ ．
（2）解：∵平分，，，
∴．
在中，，，
∴．
∴．
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可求得，根据等边对等角可得，再根据角平分线性质可得，由三角形内角和定理即可求出答案.
（2）根据角平分线性质可得．再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）∵垂直平分，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∴ ．
（2）∵平分，，，
∴．
在中，，，
∴．
∴．
14．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°.
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 ，射线AE是∠DAC的 .
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数.
【答案】（1）垂直平分线；角平分线
（2）解：∵DF垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴∠BAD=∠B=30°，
∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠
B-∠C=180°-30°-50°=100°，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=100°-30°=70°，
∵AE平分∠CAD，
【解析】【解答】(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的角平分线.
故答案为：垂直平分线，角平分线；
【分析】(1)根据作图痕迹判断即可.
(2)由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得∠BAD=30°，结合三角形内角和定理求出∠CAD，根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数.
15．如图，在四边形中，，，，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作直线交于点F，交于点O．
请回答：
（1）直线与线段的关系是_______．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）直线垂直平分线段；
（2）解：如图，连接，
直线垂直平分线段BD，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
【解析】【解答】（1）解：根据作图过程可知：
直线与线段的关系是：直线垂直平分线段；
故答案为：直线垂直平分线段.
【分析】（1）利用线段垂直平分线的判定方法及作图痕迹分析求解即可；
（2）连接BF，先求出，，再结合，最后利用勾股定理求出BC的长即可.
16．某商场计划购进，两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示：
价格类型 进价（元/件） 售价（元/件）
30 50
50 75
（1）若商场预计用3400元进货，则这两种服装各购进多少件？
（2）若商场规定种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？
【答案】（1）解：设购进种服装件，种服装件，
根据题意得：
，
解得：，
答：购进种服装件，种服装件；
（2）解：设种服装进货为件，则种服装进货为件，总利润为元，
由题意得：
，
，
随的增大而减小，
商场规定种服装进货不少于件，购进，两种服装共件，
，
当时，取得最大值，，
，
答：当购进种服装件、种服装件时才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润为元．
购进种服装件、种服装件时获利最多，此时利润为元
【解析】【分析】(1) 本题考察二元一次方程组在进货问题中的应用，解题需根据“总件数”和“总进价”建立等量关系。设购进A种服装x件，B种服装y件，根据题意，两种服装共100件，因此；进货总费用为3400元，A种进价30元，B种进价50元，因此。将这两个方程组成方程组，解方程组：由得，代入第二个方程得，化简得，解得，则，即A种服装购进80件，B种服装购进20件。
(2) 本题考察一次函数的性质在最大利润问题中的应用，解题需先建立利润函数，再根据自变量取值范围求最值。设A种服装进货a件，则B种服装进货件，总利润为W元。根据“利润 = （售价 - 进价）×数量”，可得。由于，因此W随a的增大而减小，即a越小，W越大。又因为商场规定A种服装进货不少于50件，所以，当时，W取得最大值，此时，最大利润元。因此，购进A种服装50件、B种服装50件时获利最多，利润为2250元。
（1）解：设购进种服装件，种服装件，
根据题意得：
，
解得：，
答：购进种服装件，种服装件；
（2）解：设种服装进货为件，则种服装进货为件，总利润为元，
由题意得：
，
，
随的增大而减小，
商场规定种服装进货不少于件，购进，两种服装共件，
，
当时，取得最大值，，
，
答：当购进种服装件、种服装件时才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润为元．
17． 甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍.两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(小时)的函数图象如图所示.
（1）求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式.
（2）求乙组加工零件总量a 的值.
（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，则经过多长时间恰好装满第1箱 再经过多长时间恰好装满第 2 箱
【答案】（1）解：∵图象经过原点及(6，360)，
∴设解析式为：
解得：
故答案为：
（2）解：乙2小时加工100件，
∴乙的加工速度是：每小时50件，
∴乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍.
∴更换设备后，乙组的工作速度是：每小时加工 件，
（3）解：乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为：
当 时，
解得： (不合题意舍去)；
当 时，
解得： (不合题意舍去)；
∵当 时，
解得
∴经过3小时恰好装满第1箱.
答：经过3小时恰好装满第一箱.
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式即可；
(2)利用乙的原来加工速度得出更换设备后，乙组的工作速度即可；
(3)首先利用当 时， 当 时， 以及当 时， 当 时，求出x的值，进而得出答案即可，再假设出再经过x小时恰好装满第1箱，列出方程即可.
18．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB=DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠DEC的度数．
【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE，
在△ABE和△DBE中，
AB＝DB，∠ABE＝∠DBE，BE=BE，
∴△ABE≌△DBE（SAS）；
（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝50°，
∴∠ABC＝30°，
∵BE平分∠ABC，
∴，
∴∠AEB＝180°-∠A-∠ABE＝180°-100°-15°＝65°，
∵△ABE≌△DBE，
∴∠AEB＝∠DEB，
∴∠DEC＝180°-65°-65°＝50°．
【解析】【分析】（1）根据BE平分∠ABC，可以得到∠ABE＝∠DBE，然后利用“SAS”证明△ABE和△DBE全等；
（2）根据三角形内角和定理和角平分线的定义可以得到∠AEB的度数，再利用全等三角形的性质求∠DEC的度数．
19．如图，BC⊥ED，垂足为O，∠A=27°，∠D=20°，求∠ACB与∠B的度数．
【答案】解：∵BC⊥ED，
∴∠COD=90°，
又∵∠D=20°，
∴∠ACB=∠COD+∠D=90°+20°=110°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=43°．
【解析】【分析】先根据垂直得到∠COD=90°，再进行角的运算得到∠ACB的度数，从而根据三角形内角和定理即可求解。
20．将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分交 DE于点F.
（1）求证： ∥
（2）求 的度数.
【答案】（1）证明：由题意，得△ACB是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，
所以∠B=45°.
因为CF平分∠DCE，所以∠DCF=∠ECF=45°，
所以∠B=∠ECF，所以 CF∥AB；
（2）由三角板知，∠E=60°，由(1)知，∠ECF=45°，
所以∠CFE=180°-60°-45°=75°，所以∠DFC=180°-75°=105°.
【解析】【分析】(1)首先根据角平分线的性质可得 再有 ，再根据内错角相等两直线平行可判定出
(2)利用三角形内角和定理进行计算即可.
21．直线和直线分别交y轴于A、B两点，两直线交于点．
（1）求m，k的值；
（2）求的面积；
（3）根据图像直接写出当时x的取值范围．
【答案】（1）解：把代入中得：，
∴，
把代入中得：，
∴；
（2）解：当时，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由函数图象可知，当直线的图象在函数的图象上方时，自变量的取值范围为，∴当时x的取值范围，
故答案为：．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出与x轴交点A、B的坐标，再根据解题即可；
（3）借助图象得到直线上方时的自变量的取值范围解题即可．
（1）解：把代入中得：，
∴，
把代入中得：，
∴；
（2）解：当时，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由函数图象可知，当直线的图象在函数的图象上方时，自变量的取值范围为，
∴当时x的取值范围，
故答案为：．
22．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接AC，OA＝4，OA＝2OC．
（1）根据题意，写出点A的坐标 ，点C的坐标 ；
（2）将纸片OABC沿EF折叠，使点A落在点C的位置，求CE所在直线的表达式 ．
【答案】（1）（4，0），（0，2）
（2）y＝﹣x+2
【解析】【解答】解：（1）∵OA＝4，OA＝2OC．
∴OC＝2，
∴A（4，0），C（0，2）；
故答案为：（4，0），（0，2）；
（2）由折叠知：AE＝CE，
设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
，
解得x＝，
∴OE＝4﹣＝，
∴E（，0），
设直线CE的函数解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线CE的函数解析式为y＝﹣x+2．
故答案为：y＝﹣x+2．
【分析】
（1）由OA＝4，OA＝2OC，求出OC的值，即可得点A、C的坐标；
（2）由折叠的性质可得AE＝CE，设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x，在Rt△OCE中，由勾股定理列关于x的方程，解方程可得AE的长，由线段的和差OE=OA-AE求出OE的值，从而可得点E的坐标，然后用待定系数法求函数解析式即可．
（1）解：∵OA＝4，OA＝2OC．
∴OC＝2，
∴A（4，0），C（0，2）；
故答案为：（4，0），（0，2）；
（2）解：由折叠知：AE＝CE，
设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
，
解得x＝，
∴OE＝4﹣＝，
∴E（，0），
设直线CE的函数解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线CE的函数解析式为y＝﹣x+2．
故答案为：y＝﹣x+2．
23． 解不等式(组) ，并把解集在数轴上表示出来．
（1）6x-3>2x-7．
（2）
【答案】（1）解：移项，得，，
合并同类项，得，，
系数化为1，得，，
在数轴上表示如下.
（2）解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，在数轴上表示如下.
【解析】【分析】（1）根据不等式的性质1、2，先移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化为1，即可解出此不等式.
（2）分别解出不等式①、②，分别找出它们的解集，再利用数轴找出这两个不等式解集的公共部分，即为这个不等式组的解集.
24．今年，我省部分地区出现持续干旱现象，为确保生产生活用水，某村决定由村里提供一点，村民捐一点的办法筹集资金维修和新建一批储水池．该村共有243户村民，准备维修和新建的储水池共有20个，费用和可供使用的户数及用地情况如下表：
储水池 费用（万元/个） 可供使用的户数（户/个） 占地面积（m2/个）
新建 4 5 4
维修 3 18 6
已知可支配使用土地面积最多为，若新建储水池x个，新建和维修的总费用为y万元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）满足要求的方案各有几种；
（3）在以上备选方案中，若平均每户捐2000元时，村里出资最多和最少分别是多少？
【答案】（1）解：由题意，得：；
（2）解：由题意，得：，
解得：；
∴的整数解有7，8，9共3个；
故满足要求的方案有三种：
新建7个，维修13个；
新建8个，维修12个；
新建9个，维护11个；
（3）解：由知：y随x的增大而增大．
∴当时，y最小（万），
当时，y最大（万）．
而居民捐款共（万）．
∴村里出资最多为万，最少为万．
【解析】【分析】（1）根据总费用新建x个储水池的费用+维护(20-x)个储水池的费用，可列出y与x之间的函数关系式；
（2）根据新建x个储水池可供使用的户数+维护的(20-x)个水池可供使用的户数不少于243及新建的x个水池占地面积+维护的(20-x)个水池的占地面面积不超过106，列出不等式组，求出x的整数解即可得出答案；
（3）根据一次函数的增减性，求出函数最大值和最小值，进而算出居民捐款的总钱数，再分别求差即可.
（1）解：由题意，得：；
（2）由题意，得：，
解得：；
∴的整数解有7，8，9共3个；
故满足要求的方案有三种：
新建7个，维修13个；
新建8个，维修12个；
新建9个，维护11个；
（3）由知：y随x的增大而增大．
∴当时，y最小（万），当时，y最大（万）．
而居民捐款共（万）．
∴村里出资最多为万，最少为万．
25．如图，直线y=kx+6分别与x轴、y轴相交于点E和点F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）．
（1）求k的值；
（2）（图1）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）（图2）当P点运动到横坐标为-4时，在y轴上找一点M，使MA+MP最小，求出M点坐标
【答案】（1）解：∵直线分别与轴、轴相交于点和点，点的坐标为，
，
；
（2）解：如图所示，过点P作OG⊥OA于G，
由（1）得直线EF的解析式为
∵点P的坐标为（x，y），且点P在线段EF上（不包括E、F），
∴，
∵点A的坐标为（-6，0），
∴OA=6，
∴；
（3）解：如图所示，作点A关于y轴对称的点D，则点D的坐标为（6，0），连接MA，MP，MD，连接PD交y轴于C
∴MA=MD，
∴MP+MA=MP+MD，
∴当D、M、P三点共线时，MP+MD有最小值，即此时MP+MA有最小值，则点M与点C重合，
∵点P的横坐标为-4，点P在直线
∴点P的坐标为（-4，3），
设直线PD的解析式为，
∴，
∴，
∴直线PD的解析式为，
∴点M的坐标为（0，）．
【解析】 【分析】（1）根据点的坐标为代入直线，即可求解；
（2）过点P作OG⊥OA于G，可得，根据，即可求解；
（3）作点A关于y轴对称的点D，则点D的坐标为（6，0），连接MA，MP，MD，连接PD交y轴于C，当D、M、P三点共线时，MP+MD有最小值，即此时MP+MA有最小值，则点M与点C重合，待定系数法求得直线PD的解析式为，令x=0，即可求解．
26．正值樱桃上市时节，某水果店分两次购进红樱桃和黄樱桃两种水果进行销售，两次购进同一种水果的进价相同，具体情况如下表所示：
购进数量（斤） 购进所需费用（元）
红樱桃 黄樱桃
第一次 30 40 720
第二次 40 30 680
（1）求红樱桃和黄樱桃每斤的进价；
（2）水果店决定红樱桃以每斤10元出售，黄樱桃以每斤15元出售．为满足市场需要，需购进红樱桃和黄樱桃两种共200斤，且红樱桃的数量不少于黄樱桃数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
【答案】（1）解：设红樱桃、黄樱桃每斤的进价分别是x元、y元，
依题意得，解得，
答：红樱桃、黄樱桃每斤的进价分别是8元，12元
（2）解：设购买红樱桃a斤，则购买黄樱桃（200-a）斤，利润为w元，w=（10-8）a+（15-12）（200-a）=-a+600，
∵红樱桃的数量不少于黄樱桃数量的4倍，
∴a≥4（200-a），
解得，a≥160，
∵-1<0，
∴w的值随a的增加而减少，
∴当a=160时，w取得最大值，此时w=440，200-a=40，
答：获利最大的进货方案是购买红樱桃160斤，黄樱桃40斤，最大利润是440元
【解析】【分析】（1）设红樱桃、黄樱桃每斤的进价分别是x元、y元，根据表格中的数据可以列出相应的二元一次方程组：，解此方程组即可；
（2）设购买红樱桃a斤，则购买黄樱桃（200-a）斤，则利润为根据"红樱桃的数量不少于黄樱桃数量的4倍"据此得到a的取值范围，结合一次函数的性质即可求解.
27．
（1）如图1，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，已知∠B=30°，∠C=50°．求∠DAE的度数．
（2）如图2，∠BAC的平分线AF交BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D，若∠B=x°，∠C=（x+30）°．
①∠CAE= ▲ （含x的代数式表示）．
②求∠F的度数．
【答案】（1）解：∵∠B=30°，∠C=50°，
是的角平分线，
是的高线，
，
（2）解：①（75-x）°
②∵=
【解析】【解答】解：（2）①∵∠B=x°，∠C=(x+30)°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=（150-2x）°
AF平分∠BAC，
，
故答案为：（75-x）°；
【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理算出∠CAB的度数，由角平分线定义求出∠CAE的度数，由高线定义可得∠ADC=90°，再由直角三角形的两锐角互余算出∠CAD的度数，最后根据角的和差，由∠DAE=∠CAE-∠CAD可算出答案；
（2）①先由三角形的内角和定理算出∠CAB的度数，由角平分线定义求出∠CAE的度数；
②在△ACE中，由三角形的内角和定理可求出∠AEC的度数，由对顶角相等可得极爱哦FED的度数，进而根据垂直的定义及直角三角形的两锐角互余可算出∠F的度数.
28．为了加强中华传统文化教育，某校计划组织学生去参观陕西历史博物馆．现有两种客车可供选择，种客车可载人，种客车可载人．若租用辆种客车和辆种客车，共需元；若租用辆种客车和辆种客车，共需元。
（1）每辆种客车和每辆种客车的租金各多少元？
（2）若学校安排名教师带名学生去博物馆，计划租用两种客车共辆，且要保证所有出行师生都有座位，则有几种租车方案？哪种方案租金最便宜？
【答案】（1）解：设每辆种客车的租金是元，每辆种客车的租金是元，
根据题意可得，
解得，
答：每辆种客车的租金是元，每辆种客车的租金是元．
（2）解：设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意可得，，
解得，
∵为整数，
∴，或，
∴一共有种租车方案：
①时，租金为（元），
②时，租金为（元），
③时，租金为（元），
∴租用辆种客车，辆种客车，租金最便宜，
答：共有种方案；租用辆种客车，辆种客车，租金最便宜．
【解析】【分析】(1)设每辆A种客车的租金是x元，每辆B种客车的租金是y元，根据租用2辆A种客车和3辆B种客车，共需1700元可列方程2x+3y=1700，再根据租用1辆A种客车和2辆B种客车，共需1000元可列方程x+2y=1000，联立方程组解得x、y的值.
(2)设租用A种客车a辆，由租用A、B两种客车共7辆可得租用B种客车(7-a)辆，根据题意列出不等式组，解得a的取值范围后求得a的整数解，然后得到租车方案.
29．某校为达成省体育器材类装备，计划在京东惠购一次性购进篮球和足球共50个，某电商内部信息表给出其进价与售价间的关系如下表：
篮球 足球
进价（元/个） 105 90
售价（元/个） 135 125
（1）学校用4920元以进价购进这批篮球和足球，求购进篮球和足球各多少个；
（2）设该电商所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数表达式（不要求写出x的取值范围）；
（3）因资金紧张，学校的进货成本只能在4745元的限额内，请为学校设计一种进货方案使得尽可能多地购买篮球和足球，同时要使电商利润最小；并求出利润的最小值．
【答案】（1）解：购进篮球和足球分别为28个和22个
（2）解：y=-5x+1750
（3）解：购进篮球16个，足球34个，电商利润的最小值为1670元
【解析】【解答】 解： （1）设购进篮球x个，则购进足球是（50-x）个，根据题意可得：
105x+90（50-x）=4920
解得x=28，
则50-x=22
答： 学校用4920元以进价购进这批篮球和足球， 篮球数量为28个，足球数量为22个。
（2） 设该电商所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x
则y=（135-105）x+（125-90）（50-x）=-5x+1750
（3）设学校购进篮球的个数为x，则足球数量为50-x，根据题意得：
105x+90（50-x）≤4745，
解得x≤
电商利润y=-5x+1750，
∵ -5＜0，
∴ y随x的增大而减小
∴ 当x=16时，y有最小值，即y=-5×16+1750=1670元
∴ 学校可购买篮球16个，足球34个，此时电商利润最小，是1670元。
【分析】本题考查二元一次方程的应用--销售问题和一次函数的应用，不等式的应用。（1）根据购进篮球和足球共50个和购买费用4920元，可得方程组，求解即可；（2）根据购进篮球和足球共50个和进价，利润=售价-进价，可得y=-5x+1750 ；（3）根据进货成本4745元，电商利润最小，可列出关于篮球数量的不等式，求出自变量x的取值范围，结合利润表达式，根据函数性质，可得利润最小值。
30．如果关于x的不等式1≤3x-8＜m-1有4个整数解，求m的取值范围．
【答案】解：由不等式组得：，
∵关于x的不等式1≤3x-8＜m-1有4个整数解，
∴，
解得：11
【解析】【分析】1≤3x-8＜m-1 可写为不等式组的形式，含有参数的不等式组依然可以用同样的方式求解出x的取值范围，因为关于x的不等式1≤3x-8＜m-1有4个整数解，则这4个整数解为：3、4、5、6，因此可得 ，从而求出m的取值范围。
31． 已知：如图，在△ABC中，AB=13，AC=20，BC=21，AD⊥BC，垂足为点D．
（1）求BD、CD的长；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）解：设BD=x，则CD=21﹣x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB2﹣BD2，
∴AD2=132﹣x2，
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2﹣CD2，
∴AD2=202﹣（21﹣x）2，
∴132﹣x2=202﹣（21﹣x）2，
解得x=5，即BD=5，
∴CD=21﹣x=21﹣5=16；
（2）解：在Rt△ABD中，
由勾股定理，得AD==12，
∴S△ABC=BC AD=×21×12=126．
【解析】【分析】（1）设BD=x，则CD=21﹣x，在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=132﹣x2．在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=202﹣（21﹣x）2，依此列出方程求出x，进一步得到CD的长；
（2）在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD的长，再根据三角形面积公式即可求解．
32．如图，直线AB：y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线OE与直线AB交于点E，点E的纵坐标是横坐标的3倍．
（1）求直线OE的解析式；
（2）点P为直线OE上一点，点P的横坐标为t，过点P作x轴的垂线，交直线AB于Q，设PQ＝d，求d关于t的函数解析式及t的取值范围．
【答案】（1）解：∵点E的纵坐标是横坐标的3倍，
∴设点E的坐标为（m，3m），
又∵点E在直线y＝x+4上，
∴3m＝m+4，
解得：m＝2，
∴点E的坐标为（2，6），
设直线OE的解析式为y＝kx（k≠0），
将点E（2，6）代入y＝kx，得：6＝2k，解得：k＝3，
∴直线OE的解析式为y＝3x，
（2）解：∵PQ⊥x轴，
∴点P与点Q的横坐标相同，均为t，
∵点P在直线OE上，点Q在直线AB上，
∴点P的坐标为（t，3t），点Q的坐标为（t，t+4），①当点P在点E的下方时，即：t＜2，如图：
此时，PQ＝d＝t+4﹣3t＝﹣2t+4，
②当点P与点Q重合时，即：t＝2，
此时，PQ＝d＝0，
③当点P在点E的上方时，即：t＞2，如图：
PQ＝d＝3t﹣（t+4）＝2t﹣4，
综上所述：d关于t的函数解析式为：．
【解析】【分析】本题主要考查了一次函数解析式的求法以及分类讨论思想的应用．
（1）根据“点E的纵坐标是横坐标的3倍”设出点E的坐标，代入，求出a的值，得到点E的坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）分点P在点点E的左右两侧以及与点E重合三种情况讨论求解即可．
33．如图，在和中，点A，E，F，C在同一直线上，有下面四个论断：
⑴；⑵；⑶；⑷.请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一证明题，并写出证明过程.
【答案】解：（答案不唯一）
已知：如图，在和中，点A，E，F，C在同一条直线上，
，，.
求证：.
证明：∵，∴.
∵，∴，即：.
∵在和中，
，∴，
∴
【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定与性质。此题答案不唯一。理清题意，找出已知条件和结论，编出题目，求解即可。
34．《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈＝10尺）
【答案】解：设竹子折断处离地面有x尺，
由题意得：∠C＝90°，BC＝4尺，AC+AB＝10尺，AC＝x尺，
∴AB＝（10﹣x）尺，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴x2+42＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.2．
答：竹子折断处离地面有4.2尺．
【解析】【分析】设竹子折断处离地面有x尺，表示出AB＝（10﹣x）尺，在直角三角形ABC中，根据勾股定理列方程x2+42＝（10﹣x）2，计算即可解答.
35．A、B两地相距300千米，甲、乙两车先后从A地出发到B地.如图，线段表示甲车离A地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线表示乙车离A地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系.根据图象回答下列问题.
（1）直接写出线段EF对应的函数解析式；
（2）求点P的坐标，并说出点P坐标的实际意义.
【答案】（1）的解析式为
（2）解：由图可得甲的速度为（千米/时），
由甲的速度为60千米/时，可得解析式为，
解得，
∴，
∴点P坐标的实际意义是：
甲出发3.9小时，在距A地234千米处，乙追上甲
【解析】【解答】解：（1）设线段EF的解析式为y=kx+b，
将点E（2.5，80）和（4.5，300）分别代入y=kx+b，
可得：，
解得：，
∴线段EF的解析式为，
故答案为：.
【分析】（1）利用待定系数法求出线段EF的解析式即可；
（2）先求出直线OP的解析式，再联立方程组，求出x、y的值，可得点P的坐标，再求出点P的实际意义即可.
36．生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．某村为抓好“园区绿化”，购买了甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花了21000元，购买乙种树苗花了12000元，甲种树苗的单价比乙种树苗的单价高了50%，购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量多200棵．
（1）求甲、乙两种树苗的单价分别是多少元？
（2）为扩大园区绿化面积，该村准备再次购进甲、乙两种树苗共2600棵，且总金额不超过28000元，则最多可以购进多少棵甲种树苗？
【答案】（1）解：设乙种树苗的单价是元，则甲种树苗的单价是元，
依题意得：，
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元），
答：甲种树苗单价是15元，乙种树苗单价是10元；
（2）解：设购进甲种树苗棵，则购进乙种树苗棵，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为400，
答：最多可以购进400棵甲种树苗．
【解析】【分析】（1）设乙种树苗的单价是x元，则甲种树苗的单价是元；利用总价÷单价=数量，结合“购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量多200棵”可列出关于x的分式方程，解之经检验后可得出x的值（即乙种树苗的单价），再将其代入中，即可求出甲种树苗的单价；
（2）设购进m棵甲种树苗，则购进棵乙种树苗，利用总价单价数量，结合“购买m棵甲种树苗的费用+购买(2600-m)棵乙种树苗的费用不超过28000元”，可列出关于的一元一次不等式，求出其最大整数解即可.
（1）解：设乙种树苗的单价是元，则甲种树苗的单价是元，
依题意得：，
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元），
答：甲种树苗单价是15元，乙种树苗单价是10元；
（2）解：设购进甲种树苗棵，则购进乙种树苗棵，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为400，
答：最多可以购进400棵甲种树苗．
37．某校计划为足球兴趣小组重新购买A、B两种足球．经调研得知：购买1个A型足球和2个B型足球共需800元，购买3个A型足球和2个B型足球共需1200元．
（1）求每个A型足球和B型足球各多少元；
（2）若该学校准备购买A、B两种足球共20个(每种至少买一个)；要求总费用不超过5000元，则对购买A型足球在数量上有什么要求？说明理由．
（3）在(2)的条件下，若甲、乙两商店以同样价格出售这两种足球，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲店购买A型足球按原价80%收费，B型足球不优惠；在乙店购买A型足球不优惠，但购买B型足球按原价80%收费；则学校到哪家商店购买足球花费少？
【答案】（1）解：设A型足球每个x元，B型足球每个y元，
则
∴解得为
即每个A型足球和B型足球各是200元和300元(3分)；
（2）解：设购买A型足球a个，则200a+300(20-a)≤5000，解得a≥10
所以至少购买A型足球10个；
（3）解：在甲店所需费用：200×80%×a+300(20-a)=-140a+6000
在乙店所需费用：200a+300×80%(20-a)=-40a+4800
当-140a+6000<-40a+4800时，解得：a>12
当-140a+6000=-40a+4800时，解得：a=12
当-140a+6000>-40a+4800时，解得：a<12
所以当12【解析】【分析】(1)设A型足球每个x元，B型足球每个y元，由题意得，求出x、y即可；
(2)设购买A型足球a个，利用单价数量=总价，列不等式求出a的取值范围，进而作答；
(3)利用单价数量=总价，结合优惠方案，求出甲乙两家商店购买所需费用，再分-140a+6000<-40a+4800、-140a+6000=-40a+4800和-140a+6000>-40a+4800讨论，分别求出m的取值范围，得出结论．
38．如图所示，已知点在直线上，点在直线上，且平分．
（1）如图1，判断直线与直线是否平行，并说明理由．
（2）如图2，是上点右侧一动点，的平分线交的延长线于点，设．
①若，求的度数．
②点在运动过程中，请直接写出和的数量关系．
【答案】（1）解：直线AB与直线CD平行，理由：
∵EF平分∠AEG，
∴∠AEF=∠GEF．
又∵∠EFG=∠FEG，∴∠AEF=∠GFE，AB∥CD．
（2）解：①∵∠HEG=40°，∴∠FEG=(18o°-40°)=70°．又∵GQ平分∠EGH∴
∴∠QGH=∠QGE=20°，∴∠Q=∠FEG-∠EGQ=70°-20°=50°．
②点H在运动过程中，α和β的数量关系不发生变化，
∵∠FEG是△EGQ的外角，∠AEG是△EGH的外角，
∴∠Q=∠FEG-∠EGQ，∠EHG=∠AEG-∠EGH．
又∵EF平分∠AEG，GQ平分∠EGH，
∴∠FEG=∠AEG，∠EGQ=∠EGH，
∴∠Q=∠FEG-∠EGQ=(∠AEG-∠EGH)=EHG，
即α=．
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得∠AEF=∠GEF，结合已知可推出∠AEF=∠GFE，根据平行线的判定即证结论；
（2）①由线段的和差及角平分线的定义可求∠FEG=70°，由角平分线的定义可得∠QGH=∠QGE=20°，利用∠Q=∠FEG-∠EGQ进行计算即可；
②由三角形外角的性质可得∠Q=∠FEG-∠EGQ，∠EHG=∠AEG-∠EGH，由角平分线的定义可得∠FEG=∠AEG，∠EGQ=∠EGH，根据∠Q=∠FEG-∠EGQ=(∠AEG-∠EGH)=EHG即可得解.
39．某种书包原价每个x元，超市店庆促销，第一次降价打八折，第二次降价每个再减10元，经两次降价后超市的利润不少于20%.已知书包的成本是每个60元.根据题意列出x所满足的不等式.
【答案】解：由题意可得：
0.8x-10-60≥0.2×60．
【解析】【分析】由题意建立不等式即可求出答案.
40．解答：
（1）在中，，，，求的长．
（2）在中，，，，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：∵中，，
由勾股定理，得
又∵，，
∴；
故答案为：.
（2）是直角三角形
理由：∵，，，
∴，
又∵，
，
∴是直角三角形．
故答案为：是直角三角形.
【解析】【分析】（1）根据勾股定理直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边长的平方，直接解答即可；
（2）根据勾股定理的逆定，如果一个三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
（1）解：∵中，，，，
∴；
（2）解：是直角三角形，理由：
∵，，，
∴，
，
，
∴是直角三角形．
41．如图，，，，，垂足分别为，．
（1）证明：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，，
，
在与中，
；
（2）解：，
，
，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理得：，
．
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，垂直的定义，勾股定理
（1）由垂直的定义可知：∠BEC=∠ADC=90°；由角的加法可知：∠ACE+∠BCE=90°，∠ACE+∠DAC=90°，由同角的余角相等可知：∠BCE=∠CAD，再由BC=AC，即可由AAS证得△BCE≌△CAD即可证明；
（2）由全等三角形的性质可知：BE=CD=5，由勾股定理可得： ，由线段的加减可得：DE=CE-CD=7㎝即可得出答案.
42．已知一次函数（k，b为常数且）．
（1）若函数图象过点，求的值．
（2）已知点和点都在该一次函数的图象上，求k的值．
（3）若，点且在该一次函数的图象上，求证．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象过点，
∴，
∴；
（2）解：∵点和点都在该一次函数的图象上，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴，
∵点且在该一次函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据一次函数图象上的点的坐标特点将点代入一次函数 ，进行整理，即可求解；
（2）将 点和点 代入一次函数联立方程组，解方程组即可求解；
（3）由， 得到， 将 点 代入一次函数 ，得到不等式，解不等式即可求解.
43．一次函数y1＝kx+b（k≠0）恒过定点（3，2）．
（1）若一次函数y1＝kx+b还经过（0，5）点，求k的值；
（2）一次函数y1＝kx+b不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）另一函数y2＝x﹣1，满足y1﹣y2＝b+1，且k≠1，求x的值．
【答案】（1）解：∵把（3，2）和（0，5）代入一次函数 y1＝kx+b得，
解得：
∴k=-1；
（2）解：因为一次函数不经过第四象限，
当经过原点时，把 （3，2） 代入得，2=3k，
.
当不经过原点时，会经过一二三象限，所以k>0，
∴
（3）解： ∵y1﹣y2＝kx+b-(x-1)=(k-1)x+(b+1) ＝b+1，
∴(k-1)x=0.
∵k≠1，
∴x=0.
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得k的值；
（2）根据 一次函数y1＝kx+b不经过第四象限，可知图象经过原点或经过一二三象限，再结合过定点（3，2），可得k的取值范围；
（3）计算 y1﹣y2并化简，结合值为b+1，可知(k-1)x=0，由k≠1得到x的值.
44．如图，AB∥CD，CE平分∠ACD交AB于点E。
（1）求证：△ACE是等腰三角形。
（2）若AC=13cm，CE=24cm，求△ACE的面积。
【答案】（1）证明：∵AB∥CD
∴∠AEC=∠DCE
∵CE平分∠ACD
∴∠ACE=∠DCE
∴∠ACE=∠AEC
∴ △ACE是等腰三角形
（2）解：过点A作AG⊥CE，垂足为G
∵AC=AE
∴
∴
∴
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠AEC=∠DCE，根据角平分线定义可得∠ACE=∠DCE，则∠ACE=∠AEC，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）过点A作AG⊥CE，垂足为G，根据等腰三角形三线合一性质可得CG，再根据勾股定理可得AG，再根据三角形面积即可求出答案.
45．如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，且．
（1）求证：；
（2）已知，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中
∴，
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【解析】【分析】（1）由，，得，再由， 可得，最后由AB=CF，利用AAS定理即可求证。
（2）由求出，再根据，得出DF的值，即可求出AF的值。
46．如图，在矩形 中， 是 边的中点， 是线段 边上的动点， 将 沿 所在的直线折叠得到 ， 连结 ， 求 的最小值．
【答案】解：根据折叠的性质可知 ，
．
又 是 边的中， ，
点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
当 三共线时， 的值最， 如图，
，
，
．
【解析】【分析】依据中点和折叠的性质可得A，B，B'三点共圆，然后依据D，B’，E共线得出B'D最小，再结合勾股定理即可得解.
47．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且．
（1）求直线的表达式；
（2）点P是线段上一动点，点E是直线上一动点，点F为x轴上一动点，过P作于Q，连接，当时，求的最小值；
（3）如图2，在（2）问条件下，点M为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【答案】（1）解：∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为：，
把，代入，得：，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，，
连接，过点作，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，
∵点在线段上，
∴当时，，解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作轴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作点关于的对称点，则：，
∵，
∴三点共线，且为的中点，
∴，
∵，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，
又∵为轴上的动点，
∴当轴时，最短，此时，
∴的最小值的最小值为；
（3）解：或
【解析】【解答】解：（3）当点在点的右侧时：将线段绕点逆时针旋转90度，得到，连接并延长，交轴于点，则：，，，
由（2）知：，，
∴，，，
∴，
∴，
∴
过点作轴，交于点，则：，点的纵坐标为，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，即：，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
联立，
解得：，
∴；
当点在点左侧时，如图，将线段绕点顺时针旋转90度，得到，连接，
则：，，
∴，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
过点作，交于点，则：点的横坐标为，
同理可知：，
∴，
∴点的纵坐标为：，
∴，
同法可得，直线的解析式为：，
联立，
解得：，
∴；
综上：或．
【分析】（1）令y=x+2中的x=0算出对应的函数值，可得点B的坐标，令y=x+2中的y=0算出对应的自变量x的值，可得点A的坐标，然后根据OC=3OB求出点坐标，从而利用待定系数法求出直线BC解析式；
（2）连接，过点作，由S△ABC=S△ABP+S△ACP结合三角形面积公式建立方程，求出PD的长，从而可得点P的纵坐标得值，然后根据直线上点的坐标特点求出P点坐标，进而根据两点间的距离公式求出BP的长，再用勾股定理求出BQ的长，进而求出的长；过点作轴，根据等腰直角三角形的性质，求出点坐标；作点关于的对称点，根据对称的性质，推出点为的中点，进而求出的坐标，根据，得到当三点共线时，的值最小，为的长，再根据垂线段最短，得到轴时，最短，进而得到的最小值即为的纵坐标，即可得出结果；
（3） 当点在点的右侧时：将线段绕点逆时针旋转90度，得到，连接并延长，交轴于点，则：， 由旋转性质、等腰直角三角形性质及勾股定理可求出PH的长，结合（2）可得△ADH是等腰直角三角形，从而求出AD=DH=，进而根据线段和差算出OD，得到点H的坐标； 过点作轴，交于点，则：，点的纵坐标为， 根据已知及角的构成推出， 由等角的同名三角函数值相等即正切函数的定义建立方程求出HK的值，从而得到点K的坐标；利用待定系数法求出直线PM的解析式，联立直线PM与AB求解得出点M的坐标； 当点在点左侧时，如图，将线段绕点顺时针旋转90度，得到，连接， 易得PH∥AC，由点的坐标与图形性质易得点H的坐标， 过点作，交于点，则：点的横坐标为， 同前面求出KH的值，从而求出点K的坐标，利用待定系数法求出直线PM的解析式，联立直线PM与AB求解得出点M的坐标，综上可得答案.
（1）解：∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为：，把，代入，得：，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，，
连接，过点作，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，
∵点在线段上，
∴当时，，解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作轴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作点关于的对称点，则：，
∵，
∴三点共线，且为的中点，
∴，
∵，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，
又∵为轴上的动点，
∴当轴时，最短，此时，
∴的最小值的最小值为；
（3）当点在点的右侧时：将线段绕点逆时针旋转90度，得到，连接并延长，交轴于点，则：，，，
由（2）知：，，
∴，，，
∴，
∴，
∴
过点作轴，交于点，则：，点的纵坐标为，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，即：，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：，
∴；
当点在点左侧时，如图，将线段绕点顺时针旋转90度，得到，连接，
则：，，
∴，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
过点作，交于点，则：点的横坐标为，
同理可知：，
∴，
∴点的纵坐标为：，
∴，
同法可得，直线的解析式为：，
联立，解得：，
∴；
综上：或．
48． “图形的变化”是初中几何的重要模块之一，为更好地研究图形在某种变换下具有怎样的性质，某校七年级数学小组设计如下探究活动并提出问题：
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，
（1）当点D在BC上时，如图1，BD和CF的数量关系为 ，位置关系为 ；
（2）当点D运动到BC延长线上时（图2），以上两种关系还成立吗？如果成立，请给出证明。
（3）在（2）的条件下，若AB=AC=1，连接AE，BE，在点D的运动过程中，△ABE的面积是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由。
【答案】（1）BD=CF；BD⊥CF
（2）解：四边形 ADEF 为正方形，，，又 ，，
，
所以 ，
，，
，
.
（3）解：过点 A 作 于点 G，过点 E 作 于点 H，
易证 ，，，
又 ，，即 ，
连接 EC，得 ，
，.
【解析】【解答】（1）解：因 ，，正方形 中 ， ，可证 ，得 ，由全等得，，故 .
故答案为：；.
【分析】（1）（2）利用正方形与等腰直角三角形的边、角关系，通过 证全等，得出线段相等与垂直关系，核心是全等三角形的判定与性质.
（3）构造垂线证三角形全等，推导平行线，利用同底等高三角形面积相等，将 面积转化为 面积，关键是辅助线构造与面积转化思想.
49．如图，是边长为的等边三角形，为中点．
（1）求的长．
（2）如图，点在线段上，连接并延长至点，使，连接，为线段上一动点．
①当时，求的长；
②若，且，求的最小值．
【答案】（1）解：∵是边长为的等边三角形，点为中点，
∴，，
∴∠AOB=90°，
在中，，，
∴；
（2）解：①取中点，连接，则，
同理（）可得，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②在上取点，使，
同理①可得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴的最小值为．
【解析】【分析】（）根据等边三角形的性质得，，再利用勾股定理即可求出AO的长；
（）①取中点，连接，同理（）可得，再证明，得到，即可求出AF的长；
②在上取点，使，同理（）可得，得出，从而即出，再证出，得出，，从而得出，，即可得出，即可得出的最小值为．
（1）解：∵是边长为的等边三角形，点为中点，
∴，，
在中，，，
∴；
（2）解：①取中点，连接，则，
同理（）可得，，
，
∴，
∴，
，，
∴，
∴；
②在上取点，使，
同理①可得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴的最小值为．
50．年月日是第个中国学生营养日，某营养餐公司为学生提供的克早餐食品中，蛋白质总含量为，包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋一个鸡蛋的质量约为，蛋白质含量占；谷物食品和牛奶的部分营养成分表所示．
谷物食品：牛奶
项目每克 项目每克
能量千焦蛋白质克脂肪克碳水化合物克钠毫克 能量千焦蛋白质克脂肪克碳水化合物克钙毫克
（1）设该份早餐中谷物食品为克，牛奶为克，请写出谷物食品中所含的蛋白质为 克，牛奶中所含的蛋白质为 克用含有，的式子表示
（2）求出，的值．
（3）该公司为学校提供的午餐有，两种套餐每天只提供一种：
套餐 主食克 肉类克 其它克
为了膳食平衡，建议合理控制学生的主食摄入量，如果在一周里，学生午餐主食摄入总量不超过克，那么该校在一周里可以选择，套餐各几天？写出所有的方案说明：一周按天计算
【答案】（1）9%x；3%y
（2）解：依题意，列方程组为，
解得，
，；
（3）解：该学校一周里共有天选择套餐，则有天选择套餐．
依题意，得 ．
解得．
方案 套餐 套餐
方案 天 天
方案 天 天
方案 天 天
【解析】【解答】(1) 根据题意，每100g谷物食品里，有9.0克蛋白质，即蛋白质占谷物食品的9%，
早餐中谷物食品为x克，谷物食品中所含的蛋白质为9%x
故填：9%x
根据题意，每100g牛奶里，有3.0克蛋白质，即蛋白质占牛奶的3%，牛奶为y克，牛奶中所含的蛋白质为3%y
故填：3%y
【分析】(1)根据题意，列代数式。(2)谷物、牛奶、鸡蛋共300g，可得等式x+y+60=300； 谷物中蛋白质、牛奶中蛋白质、鸡蛋中蛋白质共（3008%）g，可得等式9%x+3%y+6015%=3008%，两个等式联立可解x、y。(3)不超过830g，提示我们考虑不等式，根据题意设a天选则A套餐，列出表示早餐主食的总摄入量小于等于830g，根据解得a值讨论可能的方案。
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