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【真题精选·50道解答题专练】浙教版数学九年级上册期末总复习
1．已知二次函数的图象与轴的交点为.
（1）求的值.
（2）求二次函数图象在轴上截得的线段长.
2．现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球，1个白球，一个装有1个黄球，2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出一个球，利用树状图或列表的方法，求摸出的两个球颜色相同的概率．
3．垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低康．深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状星如图②所示的抛物线型，它距离地面的高度与到树干的水平距离之间满足关系式．已知这枝垂柳的始端到地面的距离，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）踩着高跷的小明头顶距离地面2m，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰到树枝？
4．已知二次函数 的图象经过点(3，3).
（1）求a 的值，并写出这个二次函数的表达式；
（2）点 和点 在这个二次函数的图象上吗
（3）写出这个二次函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向和图象的位置.
5．2024年10月19日，学校举办建校160周年校庆的校友返校活动．为了保证返校活动顺利进行，学校在非毕业年级校区的各个班级中招募志愿者，小明和小亮积极报名参加．根据学校安排，志愿者将被随机分到A组（精美礼物发放），B组（行进路线指引），C组（学校校史介绍）中的其中一组进行志愿工作．
（1）小明被分配到A组是________事件，小亮被分配到B组是________事件（填“必然”，“随机”或“不可能”）；
（2）请用列表或画树状图的方法，求出小明和小亮被分配到同一组的概率．
6．如图，在中，点、、分别在、、上，，．若，，，求的长度．
7．对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如表所示：
投篮次数 10 50 100 150 200
命中次数 4 25 65 90 120
命中率 0.4
（1）计算表中投篮50次、100次、150次、200次相应的命中率；
（2）这个运动员3分球投篮命中的概率约是多少？、
（3）估计这个运动员3分球投篮30次能得多少分．
8．如图1是中式圆弧形门洞，门洞由圆弧和矩形两部分组成，图2是其示意图，已知矩形ABCD的边，某学习小组用一根长为220cm的笔直竹竿PQ测门洞大小，调整竹竿位置使点Q在边BC上，点P在圆弧上，且测得记圆心为点
（1）求圆心O到竹竿的距离OE的长.
（2）求门洞的半径.
9．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A=30°，BC=2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．
（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．
10．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界鬼斧神工的美丽作品．如图，P是AB的黄金分割点(BP>AP)．
（1）写出一个与相等的线段比．
（2）若线段PB的长为7，求线段AB的长．
11．设二次函数（，b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
（1）若时，求二次函数的表达式；
（2）当时，y有最小值为，求a的值；
（3）若，求证：。
12．中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力.某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件.
（1）某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件
（2）中国的天问一号探测器、奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐.该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘(转盘被分为5个大小相同的扇形).凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个(指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形).一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少
13． 已知线段a， b， 满足
（1） 求 的值；
（2）当线段x是a，b的比例中项且(a=4时，求x的值.
14．如图，在矩形 中， ，以 为圆心， 为半径的圆弧交 于点 ，交 的延长线于点 ， ，求图中阴影部分的面积.
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高线AD上.
（1）求证：△ABC是等腰三角形
（2）若AB=10，BC=12，求⊙O的半径.
16．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元．
（1）当商品降价元时，用含的代数式表示下列各量．
①每件商品的利润为 元；②每星期卖出商品的件数为 件．
（2）降价多少元时，商家每星期获得利润5280元？
（3）降价多少元才能使每星期的利润最大，其最大值是多少？
17．2023年亚运会在杭州举办，亚运会吉祥物“宸宸”深受广大人民的喜爱，某特许零售店吉祥物“宸宸”的销售日益火爆，已知每个“宸宸”纪念品的进价为40元，最高售价不能超过60元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．
（1）吉祥物“宸宸”销售单价上涨多少元时，该店每天销售盈利可达到2400元；
（2）将纪念品的销售单价上涨多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大？最大利润是多少元？
18．某购物中心举办有奖销售活动，每购物满100元，就会有一次转动大转盘的机会.请根据大转盘(如图所示)来计算：
（1）享受七折优惠的概率.
（2）得20元的概率.
（3）得10元的概率.
（4）中奖直接得钱的概率.
19．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，，OB=6，S△AOC=50，求：
（1）AO的长．
（2）S△BOD的值．
20．某公园的圆弧形门示意图如图所示，已知这个圆弧形门所在的圆的半径为1.5m，圆上A，B两点到水平地面的距离AC=BD=0.4m，AB=1.8m，求圆弧形门的最高点离地面的高度．
21．如图，矩形ABCD内有一正方形AEFD，且，E是线段AB的黄金分割点吗
（1）变式①：把一根长为44cm的铁丝折弯成一个矩形框，并使矩形框的宽与长的比为黄金比，你能求出这个矩形框的面积吗
（2）变式②：把一根长为6cm的铁丝折弯成一个矩形框，并使矩形框的宽与长的比为黄金比，你能求出这个矩形框的长与宽的差吗
22．一个不透明的袋子中装有4个小球，这4个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3．这些小球除标有的数字外都相同．
（1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出标有数字1的小球的概率为： ；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
23．如图，△ABC内接于⊙O，∠A = 30°，过圆心O作OD⊥BC，垂足为D.若⊙O的半径为6，求OD的长.
24．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝15cm，CB＝20cm，以CA为半径的⊙C交AB于D，求AD的长．
25．某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同，当每瓶洗衣液的售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销，该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶.规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价.
（1）求今年这款消毒洗衣液每瓶的进价.
（2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大 最大利润是多少元
26．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
27．如图，O是正八边形的外接圆的圆心，M，N分别是正八边形相邻的边AB，BC上的点，且AM=BN．求∠MON的度数．
28．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：），面积为S（单位：）．
（1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）；
（2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
（3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
29．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD．若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，求弦AB的长．
30．如图是一个被平均分成6等份的转盘，每一个扇形中都标有相应的数字，甲乙两人分别转动转盘，设甲转动转盘后指针所指区域内的数字为x，乙转动转盘后指针所指区域内的数字为y（当指针在边界上时，重转一次，直到指向一个区域为止）．
（1）直接写出甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的概率；
（2）用树状图或列表法，求出点（x，y）落在第二象限内的概率．
31．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．
（1）若在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，则△ABC的最小覆盖圆的半径是 ；若在△ABC中，AB=AC，BC=6，∠BAC=120°，则△ABC的最小覆盖圆的半径是
（2）如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称的图形，求该图形的最小覆盖圆的半径．
32． 小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看．可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小敏，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将两人抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率；
（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．
33．为构建“五育并举”教育体系，某学校综合实践课程要在一块靠墙（墙长）的空地上建一个矩形的劳动田园，田园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．
（1）如图1，当长为多少时，矩形的劳动田园的面积为？
（2）如图2，用栅栏围矩形的劳动田园时，在边上预留2米宽的小门（小门用其它材料），当长为多少时？劳动田园的面积最大？最大面积是多少？
34． 如图，抛物线的图象与交于，两点，其中点坐标为，为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求四边形的面积．
35．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
（2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
36．根据设计图纸已知：所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+2x+ ，求喷出的水流距水平面的最大高度是多少
37．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“武”、“汉”、“加”、 “油”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一球，球上的汉字刚好是“武”的概率为多少？
（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用画树状图的方法，求出甲取出的两 个球上的汉字恰能组成“武汉”或“加油”的概率P．
38．已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过A (0，4)和B(1，﹣2)，求该抛物线的解析式以及它的开口方向.
39．已知函数y＝（m2-m）x2+（m-1）x-2（m为常数）．
（1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．
（2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．
40．知识迁移
当a＞0且x＞0时，因为 ，所以x﹣ + ≥0，从而x+ ≥ （当x= ）是取等号）．
记函数y=x+ （a＞0，x＞0）．由上述结论可知：当x= 时，该函数有最小值为2 ．
直接应用
已知函数y1=x（x＞0）与函数y2= （x＞0），则当x=1时，y1+y2取得最小值为2．
变形应用
已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），求 的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．
实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分，一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
41．如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，若．
（1）求的长；
（2）若大圆半径为，求小圆的半径．
42．如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．
43．已知二次函数的解析式为．
（1）求证：该二次函数图象与x轴一定有2个交点；
（2）若，点，都在该二次函数的图象上，且，求n的取值范围；
（3）当时，函数最大值与最小值的差为8，求m的值．
44．平面直角坐标系中，已知二次函数为常数，的图象经过点．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含的式子表示）；
（2）若平面内一点，将点向左平移个单位长度，或者将点向右平移个单位长度，或者将点向上平移个单位长度，平移后的三个对应点都在二次函数图象上，试求和的值；
（3）当时，的最大值为，的最小值为，令，若，试求的取值范围．
45．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠BCD＜90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，试在边AB上确定点P的位置，使得以P、C、D为顶点的三角形是直角三角形.
46．已知二次函数的图象L过点，顶点坐标为．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）L与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），求A，B两点坐标；
（3）将L向上平移个单位长度，与x轴相交于，两点，若点在线段上，求k的取值范围．
47．如图，点P为直线外一点，过点P作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线、上，且点E在点P的右侧，，，设．
（1）填空： ；
（2）若的平分线交直线于点H，如图2．
①当时，求的度数；
②在①的条件下，将三角板绕点E以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当_▲_秒时，有．
48．小明在一次数学兴趣小组活动中，进行了如下探索活动．
问题原型：
如图（1），在矩形中，，，、分别是、边的中点，以、为邻边作矩形．连接．则的长为_______________；（直接填空）
问题变式：
（1）如图（2），小明让矩形绕着点逆时针旋转至点恰好落在上，连接、，请帮助小明求出的值=______________，_______________（直接填空）
（2）如图（3），当矩形绕着点逆时针旋转至如图（3）位置时，请帮助小明判断的值是否发生变化？若不变，说明理由．若改变，求出新的比值．
问题拓展：
若将“问题原型”中的矩形改变为平行四边形，且，，，、分别是、边上的点，且，，以、为邻边作平行四边形．当平行四边形绕着点逆时针旋转至如图（4）位置时，连接、．请帮助小明求出的值______________．（直接填空）
49． 网络直播带货已成为一种新业态，某网店尝试用60天的时间，按单价随天数而变化的直播带货模式销售一种成本为10元/每件的商品，经过统计得到此商品的日销售量（件）、销售单价（元/件）在第天（x为正整数）销售的相关信息：
①与满足一次函数关系，且第1天的日销售量为98件，第4天的日销售量为92件；
②与函数关系如下图所示；
（1）第5天的日销售量 件；与的函数关系式为 ．
（2）在这60天中，网店哪天销售该商品的日利润最大？最大是多少元？
（3）在这60天中，共有多少天日利润不低于2418元？
50．
（1）如图①，已知 OC 是∠AOB 的平分线，P是OC上任意一点，点D，E分别在边 OA，OB 上，连 结 PD，PE，∠AOB +∠DPE=180°.若∠AOB=60°，OD+OE= ，则OP的长为 ；
（2）如图②，在 ABCD 中，∠ABC=60°，BE平分∠ABC交AD 于点E，连结CE，将CE 绕点 E 旋转，当点 C 的对应点 F 落在边AB 上时，若 求四边形BCEF的面积.
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【真题精选·50道解答题专练】浙教版数学九年级上册期末总复习
1．已知二次函数的图象与轴的交点为.
（1）求的值.
（2）求二次函数图象在轴上截得的线段长.
【答案】（1）解：二次函数的图象与轴的交点为，
，
解得，
的值为；
（2）解： 由（1）知，，
，
令y=0，则，
解得，，
，
即二次函数图象在轴上截得的线段长为.
【解析】【分析】（1）把（0，1）代入解析式即可；
（2）把（1）中求出的a的值代入求出y的解析式，令y=0，解方程求出和，然后求出即可.
2．现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球，1个白球，一个装有1个黄球，2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出一个球，利用树状图或列表的方法，求摸出的两个球颜色相同的概率．
【答案】解：列表如下
如图知，共有9种情况，
其中摸出的两个球颜色相同的由4种情况
所以摸出两个球颜色相同的概率为 ．
【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式就可算出．
3．垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低康．深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状星如图②所示的抛物线型，它距离地面的高度与到树干的水平距离之间满足关系式．已知这枝垂柳的始端到地面的距离，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）踩着高跷的小明头顶距离地面2m，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰到树枝？
【答案】（1）解：，，
，，
分别代入，得
，解得，
该抛物线的函数解析式为；
（2）解：令，则，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
故小明走出时，头顶刚好碰到树枝．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可得出该抛物线的函数解析式；
（2）求出当y=2时的x的值即可。
（1）解：，，
，，
分别代入，得
，解得，
该抛物线的函数解析式为；
（2）令，则，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
故小明走出时，头顶刚好碰到树枝．
4．已知二次函数 的图象经过点(3，3).
（1）求a 的值，并写出这个二次函数的表达式；
（2）点 和点 在这个二次函数的图象上吗
（3）写出这个二次函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向和图象的位置.
【答案】（1）解：由已知可得3=9a，
则，
这个二次函数的表达式为
（2）解：当x=-2时， =，
当x=2时， =，
则点A 在这个二次函数的图象上，点B不在这个二次函数的图象上
（3）解：这个二次函数图象的对称轴为 y轴，顶点坐标为(0，0)，开口向上，图象在x轴的上方(除顶点外)
【解析】【分析】（1）将 (3，3)代入函数解析式即可；
（2）分别将x=-2和x=2代入函数解析式，再判断即可；
（3）根据函数解析式即可得出答案.
5．2024年10月19日，学校举办建校160周年校庆的校友返校活动．为了保证返校活动顺利进行，学校在非毕业年级校区的各个班级中招募志愿者，小明和小亮积极报名参加．根据学校安排，志愿者将被随机分到A组（精美礼物发放），B组（行进路线指引），C组（学校校史介绍）中的其中一组进行志愿工作．
（1）小明被分配到A组是________事件，小亮被分配到B组是________事件（填“必然”，“随机”或“不可能”）；
（2）请用列表或画树状图的方法，求出小明和小亮被分配到同一组的概率．
【答案】（1）随机；随机.
（2）解：根据题意可画树状图如下：
根据树状图得：共有9种等可能的结果，其中小明和小亮被分配到同一组的结果有3种，
小明和小亮被分配到同一组的概率为．
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：小明被分配到A组是随机事件，小亮被分配到B组是随机事件．
故答案为：随机；随机.
【分析】（1）根据随机事件的定义可得答案.
（2）根据题意画出树状图即可得共有9种等可能的结果，其中小明和小亮被分配到同一组的结果有3种
代入概率公式可得出答案．
（1）解：小明被分配到A组是随机事件，小亮被分配到B组是随机事件．
（2）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮被分配到同一组的结果有3种，
小明和小亮被分配到同一组的概率为．
6．如图，在中，点、、分别在、、上，，．若，，，求的长度．
【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即
又∵，，，
∴，
解得：，
∴的长度为.
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例，可得，代入数据即可求解．
7．对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如表所示：
投篮次数 10 50 100 150 200
命中次数 4 25 65 90 120
命中率 0.4
（1）计算表中投篮50次、100次、150次、200次相应的命中率；
（2）这个运动员3分球投篮命中的概率约是多少？、
（3）估计这个运动员3分球投篮30次能得多少分．
【答案】（1）0.5 0.65 0.6 0.6
（2）解：由表格数据知，当投篮次数逐渐增加时，命中率稳定在0.6附近，所以估计这个运动员3分球投篮命中的概率是0.6．
（3）解：由（2）的结论可知这个运动员投篮30次，命中的次数约为（次），约能得到（分）．
【解析】【解答】解：（1）投篮50次命中率为25÷50=0.5，
投篮100次命中率为65÷100=0.65，
投篮150次命中率为90÷150=0.6，
投篮200次命中率为120÷200=0.6；
故答案为：0.5 ，0.65 ，0.6， 0.6；
【分析】（1）用命中的次数除以投篮总次数即可得出答案；
（2）根据投篮次数逐渐增加时，命中率稳定在0.6附近求解即可；
（3）先根据命中率的稳定值求出投篮30次命中的次数，再进一步求解即可。
8．如图1是中式圆弧形门洞，门洞由圆弧和矩形两部分组成，图2是其示意图，已知矩形ABCD的边，某学习小组用一根长为220cm的笔直竹竿PQ测门洞大小，调整竹竿位置使点Q在边BC上，点P在圆弧上，且测得记圆心为点
（1）求圆心O到竹竿的距离OE的长.
（2）求门洞的半径.
【答案】（1）解：如图，作，垂足为G，
是矩形，且，
，
根据题意可知，
，
圆心O到竹竿的距离OE的长为60cm；
（2）解：，，
，
在中，设的半径为R cm，
由勾股定理可得，
，
在中，，
解得，
故门洞的半径为
【解析】【分析】(1)作 垂足为G，根据垂径定理和矩形的性质计算即可；
(2)先计算出PH长，再设⊙O的半径为 Rcm，两次利用勾股定理建立关于R方程 解方程即可得到结果.
9．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A=30°，BC=2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．
（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．
【答案】解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心，
∴PD⊥AB，
∵∠A=30°，
∴∠POC=∠AOD=60°，OA=2OD，
∵PF⊥AC，
∴∠OPF=30°，
∴OF=OP，
∵OA=OC，AD=BD，
∴BC=2OD，
∴OA=BC=2，
∴⊙O的半径为2，
∴劣弧PC的长==；
（2）∵OF=OP，
∴OF=1，
∴PF=，
∴S阴影=S扇形﹣S△OPF=﹣×1×=﹣．
【解析】【分析】（1）根据垂径定理求得PD⊥AB，然后根据30°角的直角三角形的性质求得OA=2OD，进而求得OF=OP，根据三角形中位线的性质求得OD=BC，从而求得OA=2，然后根据弧长公式即可求得劣弧PC的长；
（2）求得OF和PF，然后根据S阴影=S扇形﹣S△OPF即可求得．
10．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界鬼斧神工的美丽作品．如图，P是AB的黄金分割点(BP>AP)．
（1）写出一个与相等的线段比．
（2）若线段PB的长为7，求线段AB的长．
【答案】（1）解：∵ P是AB的黄金分割点 ，
∴.
（2）解：∵BP=7，∴AP=AB-BP=AB-7，
∵P是AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴，
∴，
解得：AB=.
∴线段AB的长是.
【解析】【分析】(1)由黄金分割点的定义即可解答；
(2)由黄金分割点的定义可得，然后AP用含AB的式子表示，然后代入计算即可解答.
11．设二次函数（，b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
（1）若时，求二次函数的表达式；
（2）当时，y有最小值为，求a的值；
（3）若，求证：。
【答案】（1）解：由题意得：
∴
∴二次函数的表达式为：.
（2）解：由题意得到：二次函数的对称轴为直线，
∴二次函数，
∵当时，y有最小值为，
①当时，当时，函数值取最小，
∴
∴，
②当时，当时，函数值取最小，
∴
∴，
综上所述，a的值为，
（3）证明：由（2）知：二次函数的对称轴为直线，
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴.
【解析】【分析】（1）根据题意把点代入解析式，进而即可求出a和b的值，即可求解；
（2）由题意得到：二次函数的对称轴为直线，二次函数，根据题意可知需分两种情况讨论，①当时，当时，函数值取最小，②当时，当时，函数值取最小，分别计算即可求解；
（3）根据二次函数的对称轴为直线则即利用表格信息求出m、n、和p的值，进而计算即可.
12．中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力.某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件.
（1）某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件
（2）中国的天问一号探测器、奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐.该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘(转盘被分为5个大小相同的扇形).凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个(指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形).一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少
【答案】（1）解：设销售扎染x件，刺绣y件.
根据题意得，
所以，
因为x，y均为非负整数.
所以，当时，（舍去）；
当时，（舍去）；
当时，；
当时，（舍去）.
答：该店销售扎染3件.刺绣2件.
（2）解：转动一次转盘所有等可能结果共5种，指针指向有纪念品的扇形(记为事件A)的结果有3种.
所以，
答：该顾客获得纪念品的概率是
【解析】【分析】（1）设销售扎染x件，刺绣y件.根据两种工艺品的销售额为1175元， 即可得出方程，根据x，y均为非负整数，解方程即可得出答案；
（2）根据概率计算公式，即可得出答案。
13． 已知线段a， b， 满足
（1） 求 的值；
（2）当线段x是a，b的比例中项且(a=4时，求x的值.
【答案】（1）解：∵a， b满足
设a=4k，b=9k，
则原式
（2）解：当a=4时，
∵线段x是a，b的比例中项，
∵线段x>0，
【解析】【分析】(1)根据比例的性质求解即可；
(2)根据比例中项的定义，即可得到 再根据 即可求解.
14．如图，在矩形 中， ，以 为圆心， 为半径的圆弧交 于点 ，交 的延长线于点 ， ，求图中阴影部分的面积.
【答案】解：连结BE，
∵BC＝BE，∠ECB＝60°，
∴△BCE是等边三角形，∴∠ABE＝90°－60°＝30°.
Rt△DCE中，∠DCE＝90°－60°＝30°，
∵DC＝AB＝ ，∴DE＝2，CE＝4.
∴BE＝BC＝CE＝4，∴AE＝4－2＝2.
∴阴影部分的面积＝S扇形BEF－S△BAE
＝ ×2× .
【解析】【分析】连接BE，由BE=BC，且∠ECB＝60°，则△BCE是等边三角形，所以BC =CE，在Rt△DCE中，∠DCE＝90°－60°＝30°，由CD可求得DE、CE的长，即求得CE=BC=AD的长，则AE的长也能求出来，由阴影部分的面积＝S扇形BEF－S△BAE计算即可。
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高线AD上.
（1）求证：△ABC是等腰三角形
（2）若AB=10，BC=12，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：∵OD⊥BC，
∴BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；
（2）解：如图，连接OB .
∵AD是 的高.
在 中，
设圆的半径是 R.
则OD=8-R.
在 中，根据勾股定理可以得到：
解得：
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到BD=CD，然后根据垂直平分线的性质得到结论即可；
（2）连接OB，根据垂径定理首先求得BD的长，根据勾股定理求得AD的长，可以设出圆的半径，在直角三角形OBD中，利用勾股定理即可列方程求得半径.
16．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元．
（1）当商品降价元时，用含的代数式表示下列各量．
①每件商品的利润为 元；②每星期卖出商品的件数为 件．
（2）降价多少元时，商家每星期获得利润5280元？
（3）降价多少元才能使每星期的利润最大，其最大值是多少？
【答案】（1）（20-x）；（300+30x）
（2）解：根据题意知，（20-x）（300+30x）=5280，
解得x1=12，x2=-2（舍去）.
答：降价元时，商家每星期获得利润5280元.
（3）解：设总利润为y元，
则y=（20-x）（300+30x）
=-30x2+300x+6000
=-30（x-5）2+6750
∵-30<0，
∴当x=5时，利润y有最大值为6750元.
答：降价元才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元.
【解析】【解答】（1）据题意知：商品降价后售价为（60-x）元，成本为40元，
因此单件商品利润为（60-x-40）元，即（20-x）元；
又原商品销量为300件， 每降价1元，每星期可多卖出30件 ，
∴降价后销量为（300+30x），
故答案为：（20-x）；（300+30x）.
【分析】（1）根据利润=售价-成本得商品利润，根据“ 每降价1元，每星期可多卖出30件 ”得商品销量.
（2）根据“总利润=单件商品利润×总销量”列方程求解即可.
（3）根据题意将总利润写成二次函数表达式并转化为顶点式，从而求函数最值即可.
17．2023年亚运会在杭州举办，亚运会吉祥物“宸宸”深受广大人民的喜爱，某特许零售店吉祥物“宸宸”的销售日益火爆，已知每个“宸宸”纪念品的进价为40元，最高售价不能超过60元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．
（1）吉祥物“宸宸”销售单价上涨多少元时，该店每天销售盈利可达到2400元；
（2）将纪念品的销售单价上涨多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设吉祥物“宸宸”销售单价上涨x元时，该店每天销售盈利可达到2400元，
由题意得，，
整理得：，
解得或（舍去），
∴吉祥物“宸宸”销售单价上涨6元时，该店每天销售盈利可达到2400元；
（2）解：设商家每天销售纪念品获得的利润为W，纪念品的销售单价上涨m元，
由题意得，
，
∵，
∴当时，W最大，最大为2890，
∴将纪念品的销售单价上涨13元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大，最大利润是2890元．
【解析】【分析】（1）设吉祥物“宸宸”销售单价上涨x元，则每天可售出(300 10x)个，再根据总利润等于单件利润乘以销售量列出方程求解即可；（2）设每天的销售利润为w元，根据总利润等于单件利润乘以销售量列出二次函数的解析式，再利用二次函数的性质求解即可．
18．某购物中心举办有奖销售活动，每购物满100元，就会有一次转动大转盘的机会.请根据大转盘(如图所示)来计算：
（1）享受七折优惠的概率.
（2）得20元的概率.
（3）得10元的概率.
（4）中奖直接得钱的概率.
【答案】（1）解：根据扇形统计图分析可知，享受七折优惠占的角度为80°，占整个扇形的=，所以P（享受七折优惠的概率）=；
（2）解：根据扇形统计图分析可知，得20元占的角度为90°，所以P( 得20元的概率 )==；
（3）解：根据扇形统计图分析可知，得10元占的角度为60°+60°=120°，所以P( 得10元的概率 )==；
（4）解：根据扇形统计图分析可知，中奖直接得钱所占的角度为90°+120°=210°，所以P( 中奖得钱的概率 )==.
【解析】【分析】（1）根据扇形统计图，可以得出享受七折优惠占的角度，扇形的总角度为360°，根据概率公式，所求事件的概率=，即可求出；
（2）由扇形统计图，可以得出得20元占的角度，扇形的总角度为360°，根据概率公式，所求事件的概率=，即可求出；
（3）由扇形统计图，可以得出得10元占的角度，扇形的总角度为360°，根据概率公式，所求事件的概率=，即可求出；
（4）中奖直接得钱包括得10元和得20元，两种情况，算出这两种情况的总角度，根据（1）中概率公式即可求出.
19．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，，OB=6，S△AOC=50，求：
（1）AO的长．
（2）S△BOD的值．
【答案】（1）解：∵△OBD∽△OAC，
∴，
∵BO=6，
∴AO=10．
（2）解：∵△OBD∽△OAC，，
∴，
∵S△AOC=50，
∴S△BOD=18．
【解析】【分析】（1）先利用相似三角形的性质可得，再结合BO=6求出AO的长即可；
（2）先利用相似三角形的性质可得，再结合S△AOC=50，求出S△BOD=18即可．
20．某公园的圆弧形门示意图如图所示，已知这个圆弧形门所在的圆的半径为1.5m，圆上A，B两点到水平地面的距离AC=BD=0.4m，AB=1.8m，求圆弧形门的最高点离地面的高度．
【答案】解：过圆心点O作OF⊥CD，交AB于点E，交圆的上部于点M，
∵OE⊥AB，
∴AE= =0.9m，
设圆O的半径为R，则OE=R﹣AC=R﹣0.4，
在Rt△OAE中，AE2+OE2=OA2，
即0.92+（R﹣0.4）2=R2，
解得：R=1.2125．
则圆弧形门的最高点离地面的高度=OM+OE+EF=1.2125+1.2125﹣0.4+0.4=2.425m
答：这个圆弧形门的最高点离地面的高度为2.425m．
【解析】【分析】首先应弄清最高点在哪儿，即在过圆心作弦AB的垂线与圆的上边的交点，然后将问题转化为求圆的半径，主要运用垂径定理和勾股定理即可．
21．如图，矩形ABCD内有一正方形AEFD，且，E是线段AB的黄金分割点吗
（1）变式①：把一根长为44cm的铁丝折弯成一个矩形框，并使矩形框的宽与长的比为黄金比，你能求出这个矩形框的面积吗
（2）变式②：把一根长为6cm的铁丝折弯成一个矩形框，并使矩形框的宽与长的比为黄金比，你能求出这个矩形框的长与宽的差吗
【答案】（1）解：∵四边形AEFD为正方形，
∴BC=EF=AE．
∵，，
∴E是线段AB的黄金分割点
设矩形框的宽为xcm，则长为(2-x)cm．
根据题意得，
解得x=3-，
经检验，x=3-是原分式方程的根，
2-x=-1，
∴该矩形框的面积为(3-)(-1)=(4-8)cm2．
（2）解：设矩形框的宽为ycm，则长为(3-y)cm．
根据题意得，
解得：y=
经检验，y=是原分式方程的根，
∴3-y=，
∴这个矩形的长与宽的差为==(3-6)cm．
【解析】【分析】（1）设矩形框的宽为xcm，则长为(2-x)cm，利用黄金分割点的定义可得，再求出x的值，最后利用矩形的面积公式求解即可；
（2）设矩形框的宽为ycm，则长为(3-y)cm，利用黄金分割点的定义可得，再求出y的值，最后求出矩形的长和宽的差即可.
22．一个不透明的袋子中装有4个小球，这4个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3．这些小球除标有的数字外都相同．
（1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出标有数字1的小球的概率为： ；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【答案】（1）
（2）解：根据题意列表如下：
1 1 2 3
1 (1，1) (1，1) (2，1) (3，1)
1 (1，1) (1，1) (2，1) (3，1)
2 (1，2) (1，2) (2，2) (3，2)
3 (1，3) (1，3) (2，3) (3，3)
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的结果有7种.
∴
【解析】【解答】（1）∵共有4种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有2种，
∴P（ 摸出标有数字1的小球 ）=，
故答案为：.
【分析】（1）利用概率公式分析求解即可；
（2）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
23．如图，△ABC内接于⊙O，∠A = 30°，过圆心O作OD⊥BC，垂足为D.若⊙O的半径为6，求OD的长.
【答案】解：连接OB、OC，如图
则OB=OC=6
∵圆周角∠A与圆心角∠BOC对着同一段弧
∴∠BOC=2∠A=60゜
∴△OBC是等边三角形
∴BC=OB=6
∵OD⊥BC
∴
在Rt△ODC中，由勾股定理得：
【解析】【分析】连OB、OC，则OB=OC=6，由圆周角定理得∠BOC=2∠A=60°，则△OBC是等边三角形，则BC=OB=6，CD=BD=3，然后利用勾股定理求解即可.
24．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝15cm，CB＝20cm，以CA为半径的⊙C交AB于D，求AD的长．
【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，
∴AB＝ ＝ ＝25．
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
∵CM⊥AB，
∴M为AD的中点，
∵S△ABC＝ AC BC＝ AB CM，且AC＝15，BC＝20，AB＝25，
∴CM＝ ＝12，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2＝AM2＋CM2，即225＝AM2＋144，
解得：AM＝9，
∴AD＝2AM＝18．
【解析】【分析】先根据勾股定理求出AB的长，过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可知M为AD的中点，由三角形的面积可求出CM的长，在Rt△ACM中，根据勾股定理可求出AM的长，进而可得出结论．
25．某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同，当每瓶洗衣液的售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销，该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶.规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价.
（1）求今年这款消毒洗衣液每瓶的进价.
（2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大 最大利润是多少元
【答案】（1）解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是m元，
根据题意得
解得m=24，
经检验，m=24是原方程的解，且符合题意，
∴今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元；
（2）解：设消毒洗衣液每瓶的售价为x元，每周的销售利润为w元，
根据题意得w=(x-24)[600+100(36-x)]=-100x2+6600x-100800=-100(x-33)2+8100
∵-100＜0，
∴当x=33时，w取最大值8100，
∴当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元.
【解析】【分析】（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是m元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是(m-4)元，根据单价等于数量及总价除以今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同，列出方程，求解并经验即可得出答案；
（2）设消毒洗衣液每瓶的售价为x元，每周的销售利润为w元，根据每瓶利润乘销售量等于总利润可得w关于x的函数解析式，再根据二次函数性质可得答案.
26．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】解：连接AD，如图，
∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD⊥BC，且AD=2，
又∵∠EAF=2∠EPF=80°，
而BC=4，
∴S阴=S△ABC﹣S扇EAF=BC×AD﹣=4﹣．
【解析】【分析】连接AD，根据切线的性质得AD⊥BC，即AD=2为BC边上的高；再根据圆周角定理得∠EAF=2∠EPF=80°，而S阴=S△ABC﹣S扇EAF，然后利用扇形的面积公式：S=和三角形的面积公式即可计算出图中阴影部分的面积．
27．如图，O是正八边形的外接圆的圆心，M，N分别是正八边形相邻的边AB，BC上的点，且AM=BN．求∠MON的度数．
【答案】解：连结OA，OB，则OA=OB，
∠OAB=∠OBC=，
∠AOB=45°.
又AM=BN，故△OAM≌△OBN，
∴∠AOM=∠BON，
∴∠AOB=∠AOM+∠BOM=∠BON+∠BOM=∠MON=180°-67.5°-67.5°=45°.
【解析】【分析】连结OA，OB，利用正八边形的性质可求出∠OAB，∠OBA的度数，同时求出∠AOB的度数，利用SAS证明△OAM≌△OBN，利用全等三角形的性质可得到∠AOM=∠BON，再证明∠AOB=∠MON，利用三角形的内角和定理可求出结果.
28．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：），面积为S（单位：）．
（1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）；
（2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
（3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
【答案】（1）；；
（2）答：能，理由如下：
当时，，
，
，
或（舍去），
当时，矩形实验田的面积能达到；
（3）解：，
当时，有最大值．
【解析】【解答】
（1）
解：，
，
，
；
，
，
，
；
【分析】
（1）由题意知，即，由于都是正数且，可解不等式得；再利用矩形面积公式表示出S即可；
（2）先根据题意列一元二次方程并求解，再结合x的取值范围对根进行取舍即可；
（3）化面积的一般形式为顶点式，由于二次项系数为负，再结合二次函数的性质即可求出最大值．
（1）解：，
，
，
；
，
，
，
；
（2）当时，，
，
，
或（舍去），
当时，矩形实验田的面积能达到；
（3），
当时，有最大值．
29．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD．若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，求弦AB的长．
【答案】接：如图，延长AO，交⊙O于点E，连结BE，
则∠AOB+∠BOE= 180°．
又∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠BOE=∠COD，
∴BE=CD=6．
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴AB= =8．
【解析】【分析】延长AO，交⊙O于点E，连结BE，根据补角的性质可得∠BOE=∠COD，根据等角对等边可得BE=CD=6，由AE为⊙O的直径可得∠ABE=90°，根据勾股定理即可求解.
30．如图是一个被平均分成6等份的转盘，每一个扇形中都标有相应的数字，甲乙两人分别转动转盘，设甲转动转盘后指针所指区域内的数字为x，乙转动转盘后指针所指区域内的数字为y（当指针在边界上时，重转一次，直到指向一个区域为止）．
（1）直接写出甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的概率；
（2）用树状图或列表法，求出点（x，y）落在第二象限内的概率．
【答案】解：（1）∵一共有6种等可能的结果，甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的有：﹣1，﹣2共2种情况，
∴甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的概率为：=；
甲乙 ﹣1 ﹣2 0 2 3 4
﹣1 （﹣1，﹣1） （﹣2，﹣1） （0，﹣1） （2，﹣1） （3，﹣1） （4，﹣1）
﹣2 （﹣1，﹣2） （﹣2，﹣2） （0，﹣2） （2，﹣2） （3，﹣2） （4，﹣2）
0 （﹣1，0） （﹣2，0） （0，0） （2，0） （3，0） （4，0）
2 （﹣1，2） （﹣2，2） （0，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （﹣1，3） （﹣2，3） （0，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （﹣1，4） （﹣2，4） （0，4） （2，4） （3，4） （4，4）
（2）根据题意，列表得：
∴点（x，y）的坐标一共有36种等可能的结果，且每种结果发生的可能性相等，其中点（x，y）落在第二象限的结果共有6种，
∴点（x，y）落在第二象限内的概率为：=．
【解析】【分析】（1）根据古典概率的知识，利用概率公式即可求得答案；
（2）根据题意列出表格，然后根据表格即可求得所有等可能的结果与点（x，y）落在第二象限内的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
31．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．
（1）若在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，则△ABC的最小覆盖圆的半径是 ；若在△ABC中，AB=AC，BC=6，∠BAC=120°，则△ABC的最小覆盖圆的半径是
（2）如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称的图形，求该图形的最小覆盖圆的半径．
【答案】（1）2.5；3
（2）解：如图，设OB=a，则OC=2-a．
∵OA=OD，∠DCO=∠ABO=90%，
∴12+a2=()2+(2-a)2，
解得a=
∴OA=
即该图形最小覆盖圆的半径为号
【解析】【解答】解：(1)如图，要求△ABC的最小覆盖圆的半径，即求其外接圆的半径.
∵AB=5，AC=3，BC=4.
∴△ABC是直角三角形，
∴其外接圆的半径，即为斜边的一半，是2.5；
如图，△ABC的最小覆盖圆的半径是BC边的一半，即；
故答案为：2.5，3.
【分析】(1)根据最小覆盖圆的概念知：三角形是锐角三角形，那么它的最小覆盖圆应该是三角形ABC的外接圆；三角形是钟角三角形，那么它的最小覆盖圆应该是以BC为直径的圆，由勾股定理的逆定理，知AB=5，AC=3，BC=4的三角形是直角三角形，再根据直角三角形的外接圆的半径等于其斜边的一半，即可求解；
(2)所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，找到对称轴中一点，使其到各顶点的最远距离相等即可求得覆盖本图形最小的圆的圆心，计算半径可解此题.
32． 小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看．可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小敏，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将两人抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率；
（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．
【答案】（1）解：
小敏
哥哥 2 3 5 9
4 （4，2） （4，3） （4，5） （4，9）
6 （6，2） （6，3） （6，5） （6，9）
7 （7，2） （7，3） （7，5） （7，9）
8 （8，2） （8，3） （8，5） （8，9）
从表格可知，所有可能出现的结果共有16种，这些结果出现的可能性相等，而和为偶数的结果共有6种，所以小敏去看比赛的概率P==.
（2）解：不公平.
由（1）得哥哥去看比赛的概率P=1-=，
因为<，所以哥哥设计的游戏规则不公平.
设计的游戏规则：
规定数字之和小于等于10时小敏（哥哥）去，数字之和大于等于11时哥哥（小敏）去，则两人去看比赛的概率都为.
【解析】【分析】（1）根据列表法得出所有机会均等的结果一共有16种，可求得小敏去看比赛的概率P==；
（2）由（1）知小敏去看比赛的概率P=，即可求得 哥哥去看比赛的概率P=， 故而得出游戏不公平，根据所得数据，只需把游戏规则更改为： 规定数字之和小于等于10时小敏（哥哥）去，数字之和大于等于11时哥哥（小敏）去即可，因为这样两人去看比赛的概率都为.
33．为构建“五育并举”教育体系，某学校综合实践课程要在一块靠墙（墙长）的空地上建一个矩形的劳动田园，田园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．
（1）如图1，当长为多少时，矩形的劳动田园的面积为？
（2）如图2，用栅栏围矩形的劳动田园时，在边上预留2米宽的小门（小门用其它材料），当长为多少时？劳动田园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）解：设长为时，矩形的劳动田园的面积为，
根据题意，得，
解得，
答：长为时，矩形的劳动田园的面积为；
（2）解：设长为，劳动田园的面积为，
根据题意，得，
∵，，
∴当时，y有最大值，最大值为，
答：当长为时，劳动田园的面积最大，最大面积是．
【解析】【分析】（1）设长为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设长为，根据题意建立函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：设长为时，矩形的劳动田园的面积为，
根据题意，得，
解得，
答：长为时，矩形的劳动田园的面积为；
（2）解：设长为，劳动田园的面积为，
根据题意，得，
∵，，
∴当时，y有最大值，最大值为，
答：当长为时，劳动田园的面积最大，最大面积是．
34． 如图，抛物线的图象与交于，两点，其中点坐标为，为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，
将点坐标为代入解析式可得
．
（2）解：连接，，，过点作垂足为，
由知，对称轴为直线，，
，，，．
．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点坐标代入函数解析式即可求出答案；
（2） 连接，，，过点作垂足为， 根据二次函数的性质及三角形面积公式即可求出答案.
35．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
（2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
【答案】（1）①8；
②，
∵，
∴
∴函数的“最优纵横值”为2
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，∴，
解得：
∴
∴
∵最优纵横值为5，
∴
∴
（3）5或
【解析】【解答】（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，
故答案为：
（3）解：
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
【分析】（1）根据题意，先理解新定义，①由新定义直接求解即可；②根据定义结合反比例函数性质先求出，即可求解；
（2）根据题意，由二次函数的性质，先确定b=3，由新定义表示出y-x的表达式并对其配方得，再由题意得得，即可求解；
（3）先求，根据最优纵横值为2，可分两类讨论若，若，分别由二次函数的性质即可求解；
（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，
故答案为：
②，
∵，
∴
∴函数的“最优纵横值”为2
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：
∴
∴
∵最优纵横值为5，
∴
∴
（3）解：
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
36．根据设计图纸已知：所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+2x+ ，求喷出的水流距水平面的最大高度是多少
【答案】解： 当 时，
有最大值=
喷出的水流距水平面的最大高度时 。
当 时， 有最大值
答：喷出的水流距水平面的最大高度时 。
【解析】【分析】根据抛物线的顶点坐标公式求出顶点坐标，纵坐标的值即为所求。
37．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“武”、“汉”、“加”、 “油”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一球，球上的汉字刚好是“武”的概率为多少？
（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用画树状图的方法，求出甲取出的两 个球上的汉字恰能组成“武汉”或“加油”的概率P．
【答案】（1）解：若从中任取一球，球上的汉字刚好是“武”的概率P＝
（2）解：画树状图（用A、B、C、D分别表示标有汉字“武”、 “汉”、“加”、“油”的四个小球）共有12种等可能的 结果数，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“武汉” 或“加油”的结果数为4， 所以甲取出的两个球上的汉字恰能组成“武汉”或“加 油”的概率P＝
【解析】【分析】（1）根据简单事件的概率即可求解；
（2）用A、B、C、D分别表示标有汉字“武”、 “汉”、“加”、“油”的四个小球，根据题意画出树状图得到共有12种等可能的 结果数，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“武汉” 或“加油”的结果数为4，再根据等可能事件的概率即可求解。
38．已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过A (0，4)和B(1，﹣2)，求该抛物线的解析式以及它的开口方向.
【答案】解：把A （0，4）和B（1，﹣2）分别代入y=﹣2x2+bx+c得： ，解得： ，
所以y=﹣2x2﹣4x+4，
因为a=﹣2＜0，
所以抛物线的开口向下.
【解析】【分析】把A和B点坐标代入y=﹣2x2+bx+c得到关于b、c的方程组，则解方程组求出b、c得到抛物线解析式，然后根据二次函数的性质确定抛物线开口方向.
39．已知函数y＝（m2-m）x2+（m-1）x-2（m为常数）．
（1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．
（2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．
【答案】（1）解：依题意m2-m＝0且m-8≠0，
所以m＝0；
（2）解： 依题意m2-m≠0，
所以m≠1且m≠0．
【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫作一次函数，即可解决问题；
（2）根据二次函数的定义：一般地，把形如y=ax2+bx+c（a≠0）（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，即可解决问题.
40．知识迁移
当a＞0且x＞0时，因为 ，所以x﹣ + ≥0，从而x+ ≥ （当x= ）是取等号）．
记函数y=x+ （a＞0，x＞0）．由上述结论可知：当x= 时，该函数有最小值为2 ．
直接应用
已知函数y1=x（x＞0）与函数y2= （x＞0），则当x=1时，y1+y2取得最小值为2．
变形应用
已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），求 的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．
实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分，一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
【答案】解：直接应用：
∵函数y=x+ （a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x= 时，该函数有最小值为2 ．
∴函数y1=x（x＞0）与函数y2= （x＞0），则当x=1时，y1+y2取得最小值为2．
变形应用
已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），
则 = =（x+1）+ 的最小值为：2 =4，
∵当（x+1）+ =4时，
整理得出：x2﹣2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
检验：x=1时，x+1=2≠0，
故x=1是原方程的解，
故 的最小值为4，相应的x的值为1；
实际应用
设行驶x千米的费用为y，则由题意得，y=360+1.6x+0.001x2，
故平均每千米的运输成本为： =0.001x+ +1.6=0.001x+ +1.6，
由题意可得：当0.001x= 时， 取得最小，此时x=600km，
此时 ≥2 +1.6=2.8，
即当一次运输的路程为600千米时，平均每千米的运输成本最低，最低费用为：2.8元．
答：汽车一次运输的路程为600千米，平均每千米的运输成本最低，最低是2.8元．
【解析】【分析】直接运用：可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果．
变形运用：先得出 的表达式，然后将（x+1）看做一个整体，继而再运用所给结论即可．
实际运用：设行驶x千米的费用为y，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所给的结论即可得出答案．
41．如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，若．
（1）求的长；
（2）若大圆半径为，求小圆的半径．
【答案】（1）解：如图：作，垂足为，
由垂径定理知，点是的中点，也是的中点，
∴，，
∴；
（2）解：如图：连接，
在中，，，
．
在中，
，，
，即小圆的半径为．
【解析】【分析】
（1）如图，过点O作AB的垂线段OE，由垂径定理可得，，则AC可求；
（2）如图，连接OA、OC，先在中应用勾股定理可得，再在中应用勾股定理即可．
（1）解：如图：作，垂足为，
由垂径定理知，点是的中点，也是的中点，
∴，，
∴；
（2）解：如图：连接，
在中，，，
．
在中，
，，
，即小圆的半径为．
42．如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．
【答案】解：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠D=∠ABD，
∴∠D=∠CBD，
∴BC=CD，
∵BC=4，
∴CD=4，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴ = ，
∴ = ，
∴AE=2CE，
∵AC=6=AE+CE，
∴AE=4．
【解析】【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD，求出BC=CD=4，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案．
43．已知二次函数的解析式为．
（1）求证：该二次函数图象与x轴一定有2个交点；
（2）若，点，都在该二次函数的图象上，且，求n的取值范围；
（3）当时，函数最大值与最小值的差为8，求m的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴的函数图象与x轴一定有2个交点．
（2）解：∵，
∴．
函数图象如下：
∵点，都在该二次函数的图象上，且，
∴有y1<0，y2>0或者y1>0，y2<0
∴①当y1<0，y2>0时，
，即，
②y1>0，y2<0时，
，即．
综上所述，或
（3）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向下．
令y=0，即，
解得：x1=m-2，x2=m+2，
所以抛物线与x轴的两个交点坐标为（m-2，0）和(m+2，0).
∴m-3对应的点在（m－2，0）左侧，
①，
则x=m－3时，，当x=5时，，
∴，
∴m1=4（舍去），m2=6
②，即2≤m≤5时，
则当时，，当x=m－3时，，
4－（－5）=9≠8，不符合题意，舍去.
③，即m<2时，
则当时，，当时，，
∴，
∴，．
∵m1>m2>2，都舍去.
综上所述，．
【解析】【分析】（1）根据根的判别式大于0即可得到与x轴有两个交点；
（2）把m=2代入求出函数表达式，画出函数图象，由 ， 得到有y1<0，y2>0或者y1>0，y2<0，对应n的取值也有两种情况.逐一分析即可；
（3）根据二次函数与x轴的交点坐标知道m-3对应的点在交点（m-2，0）左侧，5和m的大小关系不定，且m-3和5对应的点到对称轴的距离远近也不定，所以分m>5，和三种情况分别求出最大值和最小值，根据最大值和最小值的差为8分别讨论求出m即可.
44．平面直角坐标系中，已知二次函数为常数，的图象经过点．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含的式子表示）；
（2）若平面内一点，将点向左平移个单位长度，或者将点向右平移个单位长度，或者将点向上平移个单位长度，平移后的三个对应点都在二次函数图象上，试求和的值；
（3）当时，的最大值为，的最小值为，令，若，试求的取值范围．
【答案】（1）解：将代入中，
可得：，
，
，
整理可得：，
二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：将点按要求平移后的对应点的坐标分别为，，三点，
由可知抛物线的对称轴为，
和都在二次函数的图象上，且纵坐标相同，
，
解得：，
将，代入二次函数的解析式，
得到：，
解得：，；
（3）解：由可知二次函数的对称轴为，
当时，抛物线开口向上，
时，随的增大而先减后增，
时，有最小值，即，
时，有最大值，即，
又，
，
，
，
，
解得：，
，
，
令，
由，可得：，
随的增大而减小，
当时，有，
当时，有
；
当时，抛物线开口向下，
时，随的增大而先增后减，
时，有最大值，即，
时，有最小值，即．
，
，
，
，
，
解得：，
，
．
令，
由，
可得：，
随的增大而先减后增，
当时，有，
当时，有，
．
综上所述，的取值范围是且．
【解析】【分析】（1）将A（-2，2）代入，然后再根据对称轴的公式，求出b和a的关系，然后再把解析式化为顶点坐标式，即可求出顶点坐标
（2）根据题干信息，求出点平移后的对应点的三个坐标，观察坐标可知，和都在二次函数的图象上，且纵坐标相同，然后再根据抛物线的对称轴，从而可得：，解方程求出的值，即可得到点和的坐标分别为，，把这两个点的坐标代入二次函数的解析式，得到关于和的方程组，最后再解方程组即可求出和a的值；
（3）由（1）可知二次函数的对称轴为，当时，抛物线开口向上，在范围内随的增大而先减后增；当时，抛物线开口向下，在范围内随的增大而先增后减，然后再根据和两种情况进行求解即可
（1）解：将代入中，
可得：，
，
，
整理可得：，
二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：将点按要求平移后的对应点的坐标分别为，，三点，
由可知抛物线的对称轴为，
和都在二次函数的图象上，且纵坐标相同，
，
解得：，
将，代入二次函数的解析式，
得到：，
解得：，；
（3）解：由可知二次函数的对称轴为，
当时，抛物线开口向上，
时，随的增大而先减后增，
时，有最小值，即，
时，有最大值，即，
又，
，
，
，
，
解得：，
，
，
令，
由，可得：，
随的增大而减小，
当时，有，
当时，有
；
当时，抛物线开口向下，
时，随的增大而先增后减，
时，有最大值，即，
时，有最小值，即．
，
，
，
，
，
解得：，
，
．
令，
由，
可得：，
随的增大而先减后增，
当时，有，
当时，有，
．
综上所述，的取值范围是且．
45．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠BCD＜90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，试在边AB上确定点P的位置，使得以P、C、D为顶点的三角形是直角三角形.
【答案】解：（1）如图，当∠DPC＝90°时，
∴∠DPA+∠BPC＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠DPA+∠PDA＝90°，
∴∠BPC＝∠PDA，
∵AD∥BC，
∴∠B=180°-∠A=90°，
∴∠A＝∠B，
∴△APD∽△BCP，
∴ ，
∵AB=7，BP=AB-AP，AD=2，BC=3，
∴ ，
∴AP2﹣7AP+6＝0，
∴AP＝1或AP＝6，
（ 2 ）如图：
当∠PDC＝90°时，过D点作DE⊥BC于点E，
∵AD//BC，∠A=∠B=∠BED=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE＝AB＝7，AD=BE=2，
∵BC＝3，
∴EC＝BC-BE=1，
在Rt△DEC中，DC2＝EC2+DE2＝50，
设AP＝x，则PB＝7﹣x，
在Rt△PAD中PD2＝AD2+AP2＝4+x2，
在Rt△PBC中PC2＝BC2+PB2＝32+（7﹣x）2，
在Rt△PDC中PC2＝PD2+DC2 ，即32+（7﹣x）2＝50+4+x2，
解方程得： .
（ 3 ）当∠PDC＝90°时，
∵∠BCD＜90°，
∴点P在AB的延长线上，不合题意；
∴点P的位置有三处，能使以P、A、D为顶点的三角形是直角三角形，分别在线段AB上且距离点A为1、6、 处.
【解析】【分析】分∠DPC＝90°，∠PDC＝90，∠PDC＝90°三种情况讨论，在边AB上确定点P的位置，根据相似三角形的性质求得AP的长，使得以P、A、D为顶点的三角形是直角三角形.
46．已知二次函数的图象L过点，顶点坐标为．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）L与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），求A，B两点坐标；
（3）将L向上平移个单位长度，与x轴相交于，两点，若点在线段上，求k的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可设这个二次函数的表达式为，
图像L过点得，，
解得：，
所以这个二次函数的表达式为
（2）解：令，得，
解得：，，
所以两点坐标分别为，
（3）解：将L向上平移个单位长度，得新函数的表达式为，
设点M为新函数图象上一点，其横坐标为k，则纵坐标为
若点在线段上，则点M的纵坐标大于或等于零，即，
令，由图像可知，当时，图像在横轴的下方，函数值小于零
因为，所以得
【解析】【分析】(1)设抛物线的解析式为顶点式，利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
(2)令y=0得到一个关于x的二次方程，解方程即可得到点A、B坐标；
(3) 根据平移的规律得到新的抛物线解析式，设点M为新函数图象上一点，其横坐标为k，则可得到M的纵坐标，根据纵坐标大于等于零即可求解．
47．如图，点P为直线外一点，过点P作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线、上，且点E在点P的右侧，，，设．
（1）填空： ；
（2）若的平分线交直线于点H，如图2．
①当时，求的度数；
②在①的条件下，将三角板绕点E以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当_▲_秒时，有．
【答案】（1）90
（2）①∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②中有：，，
∵，
∴，
∴初始时，
如图，旋转中，当点旋转至直线上方时，存在，
根据运动特点可知，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即当秒时，有；
如图，旋转中，当点旋转至直线下方时，存在，
根据运动特点可知，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即当秒时，有；
综上：当或者秒时，有．
【解析】【解答】（1）∵CD//AB，
∴∠DEF+∠BFE=180°，
∵∠GEF+∠GFE=90°，
∴180°-（∠GEF+∠GFE）=90°，
故答案为：90°.
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠DEF+∠BFE=180°，再结合∠GEF+∠GFE=90°利用角的运算求出即可；
（2）①先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，最后利用平行线的性质可得；
②分类讨论：第一种情况： 当点旋转至直线上方时，存在， 第二种情况： 当点旋转至直线下方时，存在， 再分别画出图形并利用平行线的性质及角的运算求解即可.
48．小明在一次数学兴趣小组活动中，进行了如下探索活动．
问题原型：
如图（1），在矩形中，，，、分别是、边的中点，以、为邻边作矩形．连接．则的长为_______________；（直接填空）
问题变式：
（1）如图（2），小明让矩形绕着点逆时针旋转至点恰好落在上，连接、，请帮助小明求出的值=______________，_______________（直接填空）
（2）如图（3），当矩形绕着点逆时针旋转至如图（3）位置时，请帮助小明判断的值是否发生变化？若不变，说明理由．若改变，求出新的比值．
问题拓展：
若将“问题原型”中的矩形改变为平行四边形，且，，，、分别是、边上的点，且，，以、为邻边作平行四边形．当平行四边形绕着点逆时针旋转至如图（4）位置时，连接、．请帮助小明求出的值______________．（直接填空）
【答案】问题原型：5；
（1），；
问题变式：证明：（2）不变，理由如下：连接、，
由旋转可知：，
同上在中，由勾股定理可知：，
，，
，
，
；
问题拓展：
【解析】【解答】解：问题原型：如图1中，
延长交于，
∵矩形，矩形，，，、分别是、边的中点，
∴，，，，
∴，，
∴
∴在中，．
问题变式：（1）如图2中，过作于，则．
在矩形中，
，，
∴由勾股定理得，
∴，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
问题拓展：如图4中，过作于，连接，
，
是等腰直角三角形，
，
∴由勾股定理得：，
∴，
，
由勾股定理得：，
，
如图5，连接、．
∴在中，，，
同上可求：，
，
∴
由旋转得：
，
可得：，
故答案为：．
【分析】问题原型：延长交于，利用矩形的判定方法即可得出四边形是矩形，然后在中，利用勾股定理即可；
问题变式：（1）作于．利用勾股定理可以先求出AE、CE的长度，然后结合相似三角形的性质求出FQ，最后再利用勾股定理求出AF、DQ的长度，最后比较计算即可；
（2）连接、．结合旋转的性质以及勾股定理，可以求出和，然后比较发现，即可得出，最后利用相似比列出比例式计算即可；
问题拓展：在平行四边形APEQ中，先用m分别表示出AP、PE的长度，然后得出AE的长度，列式计算可得，并结合旋转的性质得出，最后列出对应边成比例即可得出答案。
49． 网络直播带货已成为一种新业态，某网店尝试用60天的时间，按单价随天数而变化的直播带货模式销售一种成本为10元/每件的商品，经过统计得到此商品的日销售量（件）、销售单价（元/件）在第天（x为正整数）销售的相关信息：
①与满足一次函数关系，且第1天的日销售量为98件，第4天的日销售量为92件；
②与函数关系如下图所示；
（1）第5天的日销售量 件；与的函数关系式为 ．
（2）在这60天中，网店哪天销售该商品的日利润最大？最大是多少元？
（3）在这60天中，共有多少天日利润不低于2418元？
【答案】（1）90；
（2）解：①当时，
，
，
当时，最大，，
②当时，
，
，
随增大而减小，
当时，最大，
，
综上所述：第15天该网店销售该商品的日利润y最大，最大是2450元；
（3）解：根据题意可得，，且为整数），
解得：，且为整数，
而当时，
综上所述：日利润不低于2418元的共有9天．
【解析】【解答】解：（1）设m与x的函数关系式为：m＝kx+b，
∵当x＝1时，m＝98；当 x＝4时，m＝92，
∴，
解得，
∴m=-2x+100，
当x=5，则m=-2×5+100=90，
则第5天的日销量为90件；
根据题图可知，当1≤x≤20时，n＝x+30，当20＜x≤60时，n＝50；
∴，
故答案为：90；
【分析】（1）求出m＝﹣2x+100，令x＝5时，m＝﹣2×5+100＝90，可知第5天的日销售量为90件；观察图象可知，当1≤x≤20时，n＝x+30；当20＜x≤60时，n＝50；
（2）当1≤x＜20时，y＝m（n﹣10）＝（﹣2x+100）（x+30﹣10）＝﹣2（x﹣15）2+2450，知当x＝15时，y有最大值2450；当20≤x≤60时，y＝m（n﹣10）＝40（﹣2x+100）＝﹣80x+4000，可得当x＝20时，y有最大值为﹣1600+4000＝2400，故第15天该网店销售该商品的日利润y最大，最大是2450元；
（3）可知20≤x≤60时，y≤2400＜2418，而1≤x＜20，令﹣2（x﹣15）2+2450＝2418，得x1＝11，x2＝19，故在这60天中，第11、12、13、14、15、16、17、18、19天的日利润y不低 于2418元．
50．
（1）如图①，已知 OC 是∠AOB 的平分线，P是OC上任意一点，点D，E分别在边 OA，OB 上，连 结 PD，PE，∠AOB +∠DPE=180°.若∠AOB=60°，OD+OE= ，则OP的长为 ；
（2）如图②，在 ABCD 中，∠ABC=60°，BE平分∠ABC交AD 于点E，连结CE，将CE 绕点 E 旋转，当点 C 的对应点 F 落在边AB 上时，若 求四边形BCEF的面积.
【答案】（1）5
（2）解：如图，过点 E 分别作 EM⊥BA，EN⊥BC，垂足分别为M，N.
由旋转的性质，得CE=EF.
∵BE 平分∠ABC，
EM⊥BA，EN⊥BC，
∴EM= EN，∠EMB = ∠ENB =∠ENC=90°.
又∵CE=EF，
∴
∴MF=NC.
在 Rt△BEM和 Rt△BEN中，
∵
∴Rt△BEM≌Rt△BEN(HL).
∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠CBE=∠MBE=30°.
∴EN=BN·tan∠CBE=6.
【解析】【分析】（1） 已知角平分线OC，点P在OC上，D、E分别在OA、OB上，且∠AOB + ∠DPE = 180°，结合∠AOB=60°，可推导出∠DPE=120°，需利用对称性或全等三角形，将OD+OE转化为OP的函数，结合已知 OD+OE= 求解OP.
（2） 在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC=60°，故∠ABE=30°，旋转CE至F在AB上，利用旋转性质及已知 结合几何关系求四边形BCEF的面积.
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