吉林省长春市第十一中学2025-2026学年高一上学期期末数学试卷（图片版，含答案）

公众号：中学英语课堂
公众号：中学英语课堂
公众号：中学英语课堂
公众号：中学英语课堂
2025-2026学年度高一上学期第三学程考试
数 学 答 案
一、单选题（每题 5分，共 40分）.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 D A B A A B B B
二、多选题（每题 6分，共 18分）
题号 9 10 11
答案 AC ABC BC
三、填空题（每题 5分，共 15分）.
12．162
13．3
1
14． ,

2
四、解答题（共 77分）
15．（13分）
解：（1）由题得 tan 3， 2分
2sin π cos 2π 2 sin cos

3π 2 2sin2 sin2 4分
sin cos

2
2tan 2 3 3

tan 2 1 32
. 7分
1 4
（2） (sin cos )2 1 2sin cos
1 2sin cos 1 2tan =
sin2

cos2 tan2 1
1 2 3 8= 13分
32 1 5
2025-2026 学年度高一上学期第三学程考试数学答案 第 1 页 共 7 页
公众号：中学英语课堂
e2x
16．（15分）解：（1）因为0 f x f x 1 ln e 2x 2kx 2x 2kx恒成立， 1
所以 k 1． 5分
2 f x ln e2x 1 x ln ex 1（ ）由题意可得， ex 7分
2x
令 t e f x e 1 1 x e
x
e ex
2 ， 9分
4x
e f 2x e 1 1 1
2
则 2x e
2x x 22x e x 2 t 2，e e e
即对任意的 t 2， t 2 2 t 1，
所以 t
3
在 t 2恒成立， 13分
t
2 3 1
1
则 ，故λ的取值范围为 ,
2 2 2
． 15分

17．（15分）
2π
解：（1）因为 f x 的最小正周期T π，所以 π ，且 0，即得 = 2， 3分
所以 f x 2sin 2x
π
，
4
2x π π令 kπ k Z π kπ， ， 解得 x ， k Z .
4 2 8 2
π kπ
所以 f x 图象的对称轴方程为 x ， k Z 分
8 2 . 6
（2）由（1）知 f x 2sin π 2x ，
4
x 0, π 2x π π 5π当 时，

2 4
, .
4 4

可得 sin

2x
π 2

π
4
,1 ， 2sin 2x 1, 2 2 4
所以函数的值域为 1, 2 10分
3 2 π 2
π 1
（ ）由 f ，知 2sin(2 ) ，即 sin(2 ) ，
3 4 3 4 3
2025-2026 学年度高一上学期第三学程考试数学答案 第 2 页 共 7 页
公众号：中学英语课堂
sin 2 π ∴ sin

2
π π cos 2 π

13分
4 4 2 4
sin 2 2 π cos2 2 π 1 sin 2(2 π) 1 1
2

8
4
15分
4 4 3 9
25 25
18．（1）在Rt BOE,Rt AOF中，由 BOE AFO ，得OE ，OF ，
cos sin
又Rt△EOF 25 25 25中，由勾股定理得 EF OE 2 OF 2 ( )2 ( )2 ，
cos sin sin cos
l 25 25 25 25(1 sin cos )因此 ， 3分
cos sin sin cos sin cos
π π
当点 F在点D时，此时 的值最小， ，当点 E在点C时，此时 的值最大， ，
6 3
l 25(1 sin cos ) π π所以函数关系式为 ，定义域为[ , ] . 5分
sin cos 6 3
25
（2）由（1）知 EF , tan
1
，
sin cos 2
sin cos sin cos tan 2因此 ， 8分
sin2 cos2 tan2 1 5
125
于是 EF . 9分
2
（3）依题意，要使费用最低，只需OE OF 最小即可，
OE OF 25(sin cos )由（1）得 , [
π , π ]， 10分
sin cos 6 3
2 OE OF 25t 50t 50t 1
设 sin cos t，则 sin cos ， t 2 1 t 2 1 t 1， 12分2 2 t
t 2 sin( π π π 5π )，由 [ , ]，得
π 7π sin 7π sin 5π ，
4 6 3 12 4 12 12 12
sin( π π ) 2 ( 1 3) 6 2 3 1 ，于是 t 2 ， 14分
6 4 2 2 2 4 2
令 f (t)
1 1
t ，函数 f (t) t 在 (0, )上为增函数，
t t
OE OF π则当 t 2 时， 最小，且最小值为50 2 ，此时 ， 16分4
所以当 BE AF 25米时，照明装置费用最低，最低费用为 20000 2元． 17分
2025-2026 学年度高一上学期第三学程考试数学答案 第 3 页 共 7 页
公众号：中学英语课堂
19．
π π 2π
（B组）解：（1 1）由图可知 A ，周期T 4 π，故 2， 2分3 3 12 T
此时 f x 1 cos 2x ，
3
π 1 1 1 π
代入 , ，可得 cos ，
12 3 3 3 6
π
故 2kπ,k Z，
6
π
解得 2kπ,k Z ，
6
由于
π
，
2
π 1 πk 0 故取 ， ， f x cos 2x ； 5分6 3 6
f x 1 1（2）由 cos 2x
π 1 cos

2x
π

1
，6 3 6 6 6 2
π 2kπ 2x π 5π π 11π则有 2kπ,k Z，解得 kπ x kπ,k Z ，
3 6 3 4 12
π 11π
所以不等式的解集为 x kπ x kπ, k Z . 9分
4 12
9 f 2 x a cos 2x π 1 a 3（3）由 0可得
3 4 2
cos2 2x
π
acos

2x
π 1
a 3 0
6 3 4 2
sin2 2x π acos 2x π 1 3

a 0
3 3 4 2
1 cos2 2x π acos 2x
π 1
a
3
0
3 3 4 2
cos2 π 2x acos

2x
π 1 1
a 0，
3 3 4 2
0, 3π 该方程在 上有四个不同的实数根，
4
t cos 2x π t 2令 ，则 at
1
a 1 0， x

0,
3π
，
3 4 2 4
π π 11π 3
则 2x , ， t 3 3 6
1,
2
，

2025-2026 学年度高一上学期第三学程考试数学答案 第 4 页 共 7 页
公众号：中学英语课堂
令T 2x
π π ,11π ，则 t cosT ，3 3 6
2 π π 1 1
如图，要使 cos 2x acos 2x a 0
3 3 4 2
0, 3π 在 上有四个不同的实数根，
4
2 1 1 1
则需要 t at a 0

在 1

4 2 1 2
上有两个不相等的实数根，

t 2 1 1故 a

t

2
，
4
1 t 2 1 1t a t t 1由于 时， 无解，故 ，
4 2 4 4
t 2 1
2 a 1 s 5 1则 1 ，令 t s

，则 , 且 s 0，
t 4 4 4


4
故 a s
9 1
，
16s 2
1
由于 y s
9 1
在 0,

单调递减，
16s 2 4
a s 9 1
5
此时 至多一个实数根，不符合题意，故 s , 0 ，
16s 2 4
5
如图：当 s 时，
4
y 5 9 4 1 6
4 16 5
，
2 5
y s 9 1 s 9 1 9 1 2 1，
16s 2 16s 2 16 2
3 6
当且仅当 s 时，取等号，故 a 1． 17分
4 5
2025-2026 学年度高一上学期第三学程考试数学答案 第 5 页 共 7 页
公众号：中学英语课堂
（A组）解：（1）当 a 0时， f x x ，其定义域为R ，且 f x x x f x ，
所以函数 f x 为偶函数； 1分
当 a 0时，函数 f x ax2 x a 2， f x ax x a ax2 x a ，
可得 f x f x 且 f x f x ，
所以函数 f x 既不是奇函数又不是偶函数， 3分
综上可得当 a 0时 f x 为偶函数，当 a 0时 f x 既不是奇函数又不是偶函数. 4分
2 2（ ）由函数 f x ax x a，
f 1 1 2 1 1 可得 f
a a ， 5分
a a a a a
2 1 1 1
a 0
1
当 时，因为 0， a a 0，所以 f f 0； 6分a a a a a
当0 a 1时， f
1 f 1 2 1 1

(a ) (a ) 0； 7分
a a a a a
1 1 2 2
当 a 1 时， f f (a
1) (a 1) 2( 1 a) 2(1 a ) 0， 8分
a a a a a a a
1 1
综上可得，当 a 0时， f f a a
0 .

（3）设 t e x (t 0)，
因为 t是关于 x的单调增函数，问题可转化为函数 y f t 有三个大于0的零点， 9分
2025-2026 学年度高一上学期第三学程考试数学答案 第 6 页 共 7 页
公众号：中学英语课堂
当 a 0时， f t t ，所以 f t 只有一个零点为0，不符合题意； 10分
当 a 0时， f t at 2 t a 0，所以 f t 无零点，不符合题意； 12分
at2 t a, t a
当 a 0时， f t 2 ， 13分
at t a, t a
因为 y at2
1
t a的图象的对称轴为 t ，所以 f t 在 (0,a)上递增，
2a
所以 f t 在 (0,a)上至多有1个零点；
又因为 y at2 t 1 a的图象对称轴为 t 0，所以 f t 在 (a, )上至多有 2个零点，
2a
问题等价于 f t 在 (0,a)有且仅有1个零点，在 (a, )上有且仅有 2个零点，
f 0 a 0

1 a
2a 0 2 a 1
则满足 3 ，即 2 ，解得0 a ，
f a a 0 2 1 4a2 0
f 1 0
2a
1
所以实数 a的取值范围为 0, . 17分
2
2025-2026 学年度高一上学期第三学程考试数学答案 第 7 页 共 7 页
公众号：中学英语课堂