第3讲 力与曲线运动
题型1
例1 B [解析] 设两边绳与竖直方向的夹角为θ,塔块沿竖直方向匀速下落的速度为v块,将v块沿绳方向和垂直绳方向分解,将v沿绳子方向和垂直绳方向分解,可得v块cos θ=vsin θ,解得v= ,由于塔块匀速下落时θ在减小,故可知v一直增大.故选B.
例2 D [解析] 两颗秧苗都做平抛运动,竖直方向做自由落体运动,由h=gt2,解得t=,因为h1>h2,所以ta>tb,秧苗水平方向都做匀速直线运动,x=v0t,由题意可知x相等,联立以上可得vah2,根据=2gh,解得vya>vyb,根据P=mgvy可知,落地时a的重力瞬时功率大于b的重力瞬时功率,故D正确.
例3 C [解析] 由题意可画出示意图,如图所示.设球网的高度为h,对于斜向下击出的网球,在水平方向有L=v0cos θ·t1,竖直方向有L-h=v0sin θ·t1+g.对于斜向上击出的网球,在水平方向有L=v0cos θ·t2,竖直方向有-h=-v0sin θ·t2+g,联立可得t1=t2,=2v0sin θ·t1,结合L=v0cos θ·t1,可得4sin θ=cos θ,解得tan θ=,C正确.
【整合进阶】
进阶1 (1) (2)
[解析] (1)根据题意,不计重力及粒子间相互作用,则竖直方向上,对两粒子,根据牛顿第二定律有qE=ma
a粒子运动到最高点时,由运动学公式有v0sin θ=at
联立解得a运动到最高点的时间t=
(2)方法一:根据题意可知,两个粒子均在水平方向上做匀速直线运动,且水平方向上的初速度大小均为v0cos θ,则两个粒子一直在同一竖直线上.
a粒子到达最高点时,竖直方向上运动的位移为x1==
此时b粒子竖直方向上运动的位移为
x2=v0sin θ·t+at2=
则a到达最高点时与b之间的距离
H=x1+x2=
方法二:两个粒子均受到相同电场力,以a粒子为参考系,b粒子以2v0sin θ的速度向下做匀速直线运动,则a到达最高点时,a、b间的距离H=2v0sin θ·t=
题型2
例4 D [解析] 因不计摩擦阻力,则小球无机械能损失,到达A点时速度为零,小球可回到A点,选项A错误;小球下滑在AB段时,若满足mgcos θ=m(θ为该位置与圆心连线与竖直方向的夹角)时,对细管的作用力为零,选项B错误;由上述分析,小球从A点运动到C点,在AB之间存在一个压力为零的位置,可知从A点运动到C点小球对细管的作用力先减小后增大,选项C错误,D正确.
例5 C [解析] 当圆盘速度较小时,两木块均由静摩擦力提供向心力,对a有Ffa=3mω2r,对b有Ffb=mω2·2r,则b受到的摩擦力较小,当角速度为ω1时,b所受摩擦力达最大值,则μmg=2mr,此时a所受摩擦力为Ff=3mr=μmg<3μmg,即仍未达最大值;此后随着圆盘角速度逐渐增大,b所受摩擦力保持不变,a所受摩擦力继续增大;当角速度为ω2时,a所受摩擦力达最大值,设绳子拉力为FT,对a、b分别有FT+3μmg=3mr,FT+μmg=2mr,继续增大圆盘角速度,绳子拉力继续变大,b所受摩擦力将逐渐减小至零后反向再增大,a所受摩擦力为最大值保持不变,故选C.
例6 D [解析] 设杆与竖直方向的夹角为α,小球距离O点的高度为h,根据牛顿第二定律得=mω2htan α,解得h=,两个小球的角速度ω相同,α越小,h越大,A、B错误;根据牛顿第二定律得=mω2r,解得r=,两个小球的角速度ω相同,α越小运动半径r越大,所以A球的运动半径比B球的运动半径大,C错误,D正确.
【整合进阶】
进阶2 BC [解析] 物品从无人机上释放后,做平抛运动,竖直方向有H=gt2,可得t=2 s,要使得物品落点在目标区域内,水平方向满足x==vt,最大角速度为ωmax=,联立可得ωmax= rad/s,故A错误,B正确;无人机从A点到B点的时间为t'== s,由于t'>t,可知无人机运动到B点时,在A点释放的物品已经落地,故C正确,D错误.第3讲 力与曲线运动
1.A [解析] 由于图甲中比图乙中小船在垂直于河岸方向的速度较大,所以图甲中比图乙中小船渡河的时间短,选项A正确;根据运动的合成法则,图甲中比图乙中小船渡河的合速度小,因图甲中合速度与河岸的夹角较大,则合位移也小,选项B、C错误;图甲和图乙中小船两个方向的分运动都是匀速运动,可知合运动是匀速运动,即两船均做匀速直线运动,选项D错误.
2.AC [解析] 对小球受力分析可知F向=mgtan 45°=mω2R,解得ω=5 rad/s,故A正确;线速度大小为v=ωR=2 m/s,故B错误;向心加速度大小为an=ω2R=10 m/s2,故C正确;所受支持力大小为FN== N,故D错误.
3.A [解析] 不计空气阻力,喷泉喷出的水在空中只受重力,加速度均为重力加速度,故A正确;根据对称性可知喷泉在空中运动的时间t总=2t=2,由于hb>ha,所以tb>ta,故D错误;设喷泉喷出的水沿竖直方向的分速度为vy,沿水平方向的分速度为vx,在最高点的速度等于沿水平方向的分速度,即v高=vx==x,而初速度v0==,由于沿水平方向的位移大小关系未知,所以无法判断在最高点的速度大小关系,也就无法判断初速度的大小关系,故B、C错误.
4.C [解析] 设细水管管口到桶右侧的水平距离为r时实现题中所述现象,示意图如图所示,水平抛运动到桶口过程,有h=gt2,r+=v0t,水落入A点过程,有2h=g,r+D=v0t1,联立解得r=,v0=,选项C正确.
5.BC [解析] 设线长为L,锥体母线与竖直方向的夹角为θ,当ω=0时,细线的张力FT=mgcos θ,当圆锥对小球的支持力为0时,ω'2=25(rad/s)2,此时FT'cos θ=mg、FT'sin θ=mLsin θ·ω'2,代入图中数据解得m=2 kg,L=0.5 m,故选B、C.
6.B [解析] 球B运动到最高点时,球B对杆恰好无作用力,即重力恰好提供向心力,则有mg=m,解得vB=,故A错误;由于A、B两球的角速度相等,由v=ωr,得球A的速度大小为vA=vB=,故B正确;设杆对A球的作用力为FT,则有FT-mg=m,FT=mg,B球到最高点时,对杆无弹力,所以水平转轴对杆的作用力为1.5mg,C、D错误.
7.C [解析] 乒乓球受重力和水平向西的风力,两力均为恒力,所以合力也为恒力,故乒乓球做匀变速曲线运动,故A错误;由牛顿第二定律可得,乒乓球的加速度大小为a== m/s2=10 m/s2,故B错误;乒乓球在向北的方向上不受力,该方向上的分运动为匀速直线运动,0.2 s向北运动的位移大小为x=v0t=15×0.2 m=3 m,故C正确;乒乓球竖直方向上做自由落体运动,0.2 s下落的高度为h=gt2=×10×0.22 m=0.2 m,故D错误.
8.BD [解析] 由题知弹簧原长为L,在B点相对于杆静止,OB=2L,根据胡克定律可得弹簧弹力F=k=kL=,小球相对杆静止,若ω=0,此时重力沿杆向下的分力为mgcos θ==F,则小球受到的摩擦力Ff=0,故A错误;当ω≠0时,小球有沿杆向下运动的趋势,摩擦力始终沿杆向上,故B正确;小球与杆刚要发生相对滑动时,对小球受力分析,水平方向有sin θ-FNcos θ=mω2L,竖直方向有cos θ+FNsin θ=mg,又有Ffm=μFN,联立解得Ffm=mg,ω=,故C错误,D正确.
9.(1)10 m/s2,方向沿x轴正方向 (2)1.4 N,与水平方向夹角为45° (3)0.47 J
[解析] (1)由题意可知,小球沿y轴方向做匀速直线运动有y=v0t
沿x轴方向做匀加速直线运动有x=at2
联立可得x=y2
对比小球运动的轨迹方程x=y2
可得a=10 m/s2,加速度方向沿x轴正方向
(2)小球做类平抛运动,小球受到的恒力竖直向上分力与重力平衡,水平向右的分力为合外力,则小球受恒力F=
解得F=mg= N=1.4 N
方向与x轴正方向夹角为θ,则tan θ==1
解得θ=45°,恒力与水平方向夹角θ=45°
(3)当OP与x轴正方向夹角为60°时,由几何关系可得
tan 30°===
tan β==
tan β=2tan 30°=
在P点速度v==v0
解得小球动能Ek=mv2=0.47 J
10.(1) (2)
[解析] (1)对转椅受力分析,转椅在水平面内受摩擦力Ff1、轻绳拉力FT1,两者合力提供其做圆周运动所需向心力,如图所示
设转椅的质量为m,则转椅所需的向心力Fn1=mr1
转椅受到的摩擦力Ff1=μmg
根据几何关系有tan α=
联立解得tan α=
(2)转椅在题图乙情况下所需的向心力
Fn2=mr2
转椅受到的摩擦力Ff2=μFN2
根据几何关系有tan β=
将轻绳拉力FT2沿水平方向和竖直方向分解,则竖直方向上由平衡条件有FT2cos θ=mg-FN2
水平面上根据几何关系有FT2sin θ=
联立解得ω2=第3讲 力与曲线运动
【关键能力】 理解曲线运动的条件及其轨迹分析方法,理清合运动与分运动的关系,掌握平抛运动、斜抛运动和圆周运动的动力学条件,注重将实际问题转化为物理模型,渗透用分解的方法实现化曲为直、化繁为简的科学思维,培养运用牛顿第二定律、能量观念解决曲线运动问题的综合分析能力.
题型1 运动的合成与分解 抛体运动
角度1 运动的合成与分解
例1 [2025·黑吉辽蒙卷] 如图所示,趣味运动会的“聚力建高塔”活动中,两长度相等的细绳一端系在同一塔块上,两名同学分别握住绳的另一端,保持手在同一水平面以相同速率v相向运动.为使塔块沿竖直方向匀速下落,则v ( )
A.一直减小 B.一直增大
C.先减小后增大 D.先增大后减小
[反思感悟]
角度2 抛体运动
1.解决抛体运动的思维过程
2.平抛运动的两个推论
(1)设做平抛运动的物体在任意时刻的速度方向与水平方向的夹角为θ,位移方向与水平方向的夹角为φ,则有tan θ=2tan φ,如图甲所示.
(2)做平抛运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点,如图乙所示.
例2 [2025·安徽六安一模] 水稻是皖西地区重要的农作物之一.如图甲所示,抛秧种水稻与插秧种水稻不同,它是直接将秧苗抛种在田里,比插秧更轻便省时,抛秧过程简化为如图乙所示.在同一竖直面内,两位村民将两颗质量相同的秧苗a、b(均可视为质点),分别从高度h1和h2(h1>h2)处以初速度va和vb沿水平方向同时抛出,均落到与两拋出点水平距离相等的P点.若不计空气阻力,则 ( )
A.a、b两秧苗的落地时间之比为
B.a、b两秧苗抛出的初速度va>vb
C.a、b两秧苗抛出时的高度之比为
D.落地时a的重力瞬时功率大于b的重力瞬时功率
[反思感悟]
例3 [2025·湖北卷] 某网球运动员两次击球时,击球点离网的水平距离均为L,离地高度分别为、L,网球离开球拍瞬间的速度大小相等,方向分别斜向上、斜向下,且与水平方向夹角均为θ.击球后网球均刚好直接掠过球网,运动轨迹平面与球网垂直,忽略空气阻力,tan θ的值为 ( )
A. B.
C. D.
[反思感悟]
已知速度方向,分解速度
垂直落在斜面上 无碰撞地进入圆弧形轨道
tan θ== tan θ==
已知位移方向,分解位移
求飞行时间、 位移等 落在斜面 上位移最小
tan θ== tan θ== (x-R)2+y2=R2
【整合进阶】
进阶1 (电场背景下的抛体运动)[2025·江苏卷] 如图所示,在电场强度为E,方向竖直向下的匀强电场中,两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出,速度方向与水平方向夹角均为θ.已知粒子的质量为m,电荷量为q,不计重力及粒子间相互作用.求:
(1) a运动到最高点的时间t;
(2) a到达最高点时,a、b间的距离H.
题型2 圆周运动动力学问题
例4 [2025·湖北武汉三模] 如图所示,在竖直平面内固定一刚性轻质的圆环形细管(管道内径极小),一质量为m的小球放置于管内顶端A点,其直径略小于管道内径.现给
小球一微小扰动,使之顺时针沿管道下滑.管内的B点与管道的圆心O等高,C点是管道的最低点,若不计一切摩擦,下列说法中正确的是 ( )
A.小球不可能回到A点
B.小球对细管的作用力不可能为零
C.从A点运动到C点,小球对细管的作用力一直增大
D.从A点运动到B点,小球对细管的作用力先减小后增大
[反思感悟]
例5 [2025·重庆北碚区模拟] 如图所示,小木块a和b(可视为质点)用轻绳连接置于水平圆盘上,开始时轻绳处于伸直状态但无拉力,a的质量为3m,b的质量为m.它们分居圆心两侧,与圆心的距离分别为r和2r,a、b与盘间的动摩擦因数相同(最大静摩擦力等于滑动摩擦力).圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动,木块和圆盘始终保持相对静止,a、b所受摩擦力大小Ff2、Ff1随ω2变化的图像正确的是 ( )
A
B
C
D
[反思感悟]
例6 [2025·江苏苏锡常镇二模] 竖直平面内有一“L”形光滑细杆,杆上套有相同的小球A、B.现让杆绕过底部O点所在的竖直轴匀速转动,两小球A、B在杆上稳定时,其相对位置关系可能正确的是 ( )
A
B
C
D
(1)水平面内的圆周运动
水平面内 动力学方程 临界情况示例
水平转盘上的物体 Ff=mω2r 恰好发生滑动
圆锥摆模型 mgtan θ= mrω2 恰好离开 接触面
(2)竖直面内的圆周运动
轻绳模型 最高点:FT+ mg=m 恰好通过最高点,绳的拉力恰好为0
轻杆模型 最高点:mg± F=m 恰好通过最高点,杆对小球的力大小等于小球的重力
【整合进阶】
进阶2 (平抛运动与圆周运动相结合)(多选)[2025·山东卷] 如图所示,在无人机的某次定点投放性能测试中,目标区域是水平地面上以O点为圆心、半径为R1=5 m的圆形区域,OO'垂直地面,无人机在离地面高度为H=20 m的空中绕O'点且平行地面做半径为R2=3 m的匀速圆周运动,A、B为圆周上的两点,∠AO'B=90°.若物品相对无人机无初速度地释放,为保证落点在目标区域内,无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax.当无人机以角速度ωmax沿圆周运动经过A点时,相对无人机无初速度地释放物品.不计空气对物品运动的影响,物品可视为质点且落地后即静止,重力加速度大小g取10 m/s2.下列说法正确的是 ( )
A.ωmax= rad/s
B.ωmax= rad/s
C.无人机运动到B点时,在A点释放的物品已经落地
D.无人机运动到B点时,在A点释放的物品尚未落地 第3讲 力与曲线运动
1.[2025·福建莆田三模] 一小船以两种方式渡河,如图甲所示,小船航行方向垂直于河岸;如图乙所示,小船航行方向与水流方向成锐角α.已知小船在静水中航行的速度大小为v1,河水流速大小为v2,则下列说法正确的是 ( )
A.图甲中比图乙中小船渡河的时间短
B.图甲中比图乙中小船渡河的合速度大
C.图甲中比图乙中小船渡河的合位移大
D.图甲和图乙中小船均做曲线运动
2.(多选)[2025·广东卷] 将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出,使小球在水平面内做匀速圆周运动,如图所示.已知圆周运动半径R为0.4 m,小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°,小球质量为0.1 kg,重力加速度g取10 m/s2.关于小球,下列说法正确的有 ( )
A.角速度为5 rad/s
B.线速度大小为4 m/s
C.向心加速度大小为10 m/s2
D.所受支持力大小为1 N
3.[2024·江苏卷] 喷泉a、b形成如图所示的形状,不计空气阻力,则喷泉a、b ( )
A.加速度相同
B.初速度相同
C.在最高点的速度相同
D.在空中的时间相同
4.[2024·浙江1月选考] 如图所示,小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍,在地面上平移水桶,水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A.已知桶高为h,直径为D,重力加速度为g,则水离开出水口的速度大小为 ( )
A. B.
C. D.(+1)D
5.(多选)[2025·广东深圳一模] 一根轻质细线一端系一可视为质点的小球,细线另一端固定在一光滑圆锥顶上,如图甲所示,设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω,线的张力FT随ω2变化的图像如图乙所示,g取10 m/s2.下列说法正确的是 ( )
A.细线的长度为1 m
B.细线的长度为0.5 m
C.小球的质量为2 kg
D.小球的质量为3 kg
6.[2025·江西景德镇三模] 如图所示,轻杆长3L,在杆两端分别固定质量均为m的球A和B,光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点,外界给系统一定能量后,杆和球在竖直平面内转动,球B运动到最高点时,杆对球B恰好无作用力.忽略空气阻力,重力加速度为g.则球B在最高点时 ( )
A.球B的速度为零
B.球A的速度大小为
C.水平转轴对杆的作用力为mg
D.水平转轴对杆的作用力为2mg
7.[2025·河北秦皇岛一模] 一个质量为m=2.7 g的乒乓球,以v0=15 m/s的初速度水平向北抛出,此时正好有风,风力水平向西,俯视图如图所示,已知重力加速度g取10 m/s2,乒乓球受到的水平风力大小恒为0.027 N.乒乓球在空中运动0.2 s过程中,不计其他阻力,下列说法正确的是 ( )
A.乒乓球做变加速曲线运动
B.乒乓球的加速度大小为10 m/s2
C.乒乓球向北运动的位移大小为3 m
D.乒乓球下落高度为0.4 m
8.(多选)[2025·河南八市联考模拟] 一根粗糙的轻杆OA上端固定在竖直转轴上,轻杆与竖直方向夹角始终为θ=30°,可以以某一角速度ω绕竖直轴匀速转动.轻杆上套有轻质弹簧,弹簧一端与轻杆端点O拴接,另一端与套在杆上的小球相连.弹簧原长为L,劲度系数k=,小球质量为m,在B点相对于杆静止,OB=2L.小球和杆之间的动摩擦因数μ=0.5,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g.下列说法正确的是 ( )
A.若ω=0,小球受到的摩擦力沿杆向上
B.无论角速度ω多大,小球受到的摩擦力不可能沿杆向下
C.小球刚要与杆发生相对滑动时,小球所受的摩擦力大小为(2-)mg
D.小球与杆发生相对滑动时的临界角速度为
9.[2025·辽宁葫芦岛一模] 如图所示,有一竖直平面内的平面直角坐标系xOy,t=0时刻将一质量为m=0.1 kg的小球,从坐标原点O处沿y轴以v0=2 m/s的初速度向下抛出,小球在运动过程中始终受除重力以外的恒力F作用,恒力F平行于平面直角坐标系xOy,小球运动的轨迹方程为x=y2,P为运动轨迹上一点(图中未标出),重力加速度g取10 m/s2.
(1)求小球运动过程中的加速度大小和方向;
(2)求恒力F的大小和方向;
(3)当OP与x轴正方向夹角为60°时,求小球在P点具有的动能.(保留2位有效数字)
10.[2024·江西卷] 雪地转椅是一种游乐项目,其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动.如图甲、乙所示,传动装置有一高度可调的水平圆盘,可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动.圆盘边缘A处固定连接一轻绳,轻绳另一端B连接转椅(视为质点).转椅运动稳定后,其角速度与圆盘角速度相等.转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,不计空气阻力.
(1)在图甲中,若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动,转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动.求AB与OB之间夹角α的正切值;
(2)将圆盘升高,如图乙所示.圆盘匀速转动,转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动,绳子与竖直方向的夹角为θ,绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β.求此时圆盘的角速度ω2.(共56张PPT)
第3讲 力与曲线运动
网络构建
题型1 运动的合成与分解 抛体运动
题型2 圆周运动动力学问题
备用习题
◆
听课手册
【关键能力】
理解曲线运动的条件及其轨迹分析
方法,理清合运动与分运动的关系,掌
握平抛运动、斜抛运动和圆周运动
的动力学条件,注重将实际问题转化
为物理模型,渗透用分解的方法实现
化曲为直、化繁为简的科学思维,培
养运用牛顿第二定律、能量观念解
决曲线运动问题的综合分析能力.
题型1 运动的合成与分解 抛体运动
角度1 运动的合成与分解
例1 [2025· 黑吉辽蒙卷] 如图所示，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长
度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在
同一水平面以相同速率相向运动.为使塔块沿竖直方向匀速下落，则 ( )
A.一直减小 B.一直增大 C.先减小后增大 D.先增大后减小
√
[解析] 设两边绳与竖直方向的夹角为 ，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为 ，
将沿绳方向和垂直绳方向分解，将 沿绳子方向和垂直绳方向分解，可得
,解得 ，由于塔块匀速下落时 在减小，故可知 一
直增大.故选B.
角度2 抛体运动
1.解决抛体运动的思维过程
2.平抛运动的两个推论
(1)设做平抛运动的物体在任意时刻的速度方向与水平方向的夹角为 ，位移方
向与水平方向的夹角为 ，则有 ，如图甲所示.
(2)做平抛运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移
的中点，如图乙所示.
例2 [2025·安徽六安一模] 水稻是皖西地区重要的农作物之一.如图甲所示，抛
秧种水稻与插秧种水稻不同，它是直接将秧苗抛种在田里，比插秧更轻便省时，
抛秧过程简化为如图乙所示.在同一竖直面内，两位村民将两颗质量相同的秧苗
、(均可视为质点)，分别从高度和处以初速度和 沿水平方
向同时抛出，均落到与两拋出点水平距离相等的 点.若不计空气阻力，则
( )
A.、两秧苗的落地时间之比为
B.、两秧苗抛出的初速度
C.、两秧苗抛出时的高度之比为
D.落地时的重力瞬时功率大于 的重力瞬时功率
√
[解析] 两颗秧苗都做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由 ，解得
，因为，所以 ，秧苗水平方向都做匀速直线运动，
，由题意可知相等，联立以上可得， ，故A、B错误；根
据，可知，故C错误；与的重力相等，因 ，根
据，解得，根据 可知，
落地时的重力瞬时功率大于 的重力瞬时功率，故D
正确.
例3 [2025·湖北卷] 某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为 ，
离地高度分别为、 ，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、
斜向下，且与水平方向夹角均为 .击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹
平面与球网垂直，忽略空气阻力， 的值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可画出示意图，如图所示.设球网的高度为 ，对于斜向下击出的
网球，在水平方向有，竖直方向有 .对
于斜向上击出的网球，在水平方向有 ,竖直方向有
,联立可得, ，结合
,可得 ，解得 ，
C正确.
【通法通则】
已知速度方向，分解速度 ______________________________________________ 垂直落在斜面上 _______________________________________________________
无碰撞地进入圆弧形轨道
已知位移方向，分解位移 ________________________________________________ 求飞行时间、位移等 ________________________________________________ 落在斜面上位移最小
续表
【整合进阶】
进阶1 (电场背景下的抛体运动)[2025·江苏卷] 如图所示，在电场强度为 ，方
向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子、同时从点以初速度
射出，速度方向与水平方向夹角均为 .已知粒子的质量为，电荷量为 ，不
计重力及粒子间相互作用.求：
(1) 运动到最高点的时间 ；
[答案]
[解析] 根据题意，不计重力及粒子间相互作用，则竖直方向上，对两粒子，根
据牛顿第二定律有
粒子运动到最高点时，由运动学公式有
联立解得 运动到最高点的时间
进阶1 (电场背景下的抛体运动)[2025·江苏卷] 如图所示，在电场强度为 ，方
向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子、同时从点以初速度
射出，速度方向与水平方向夹角均为 .已知粒子的质量为，电荷量为 ，不
计重力及粒子间相互作用.求：
(2) 到达最高点时，、间的距离 .
[答案]
[解析] 方法一：根据题意可知，两个粒子均在水平方向上做匀速直线运动，且
水平方向上的初速度大小均为 ，则两个粒子一直在同一竖直线上.
粒子到达最高点时，竖直方向上运动的位移为
此时 粒子竖直方向上运动的位移为
则到达最高点时与 之间的距离
方法二：两个粒子均受到相同电场力，以粒子为参考系，粒子以 的
速度向下做匀速直线运动，则到达最高点时，、 间的距离
题型2 圆周运动动力学问题
例4 [2025·湖北武汉三模] 如图所示，在竖直平面内固定一刚性轻质的圆环形细
管(管道内径极小)，一质量为的小球放置于管内顶端 点，其直径略小于管道
内径.现给小球一微小扰动，使之顺时针沿管道下滑.管内的点与管道的圆心
等高， 点是管道的最低点，若不计一切摩擦，下列说法中正确的是( )
A.小球不可能回到 点
B.小球对细管的作用力不可能为零
C.从点运动到 点，小球对细管的作用力一直增大
D.从点运动到 点，小球对细管的作用力先减小后增大
√
[解析] 因不计摩擦阻力，则小球无机械能损失，到达 点时速度为零，小球可
回到点，选项A错误；小球下滑在段时，若满足
为该位置与圆心连线与竖直方向的夹角 时，对细管的作用力为零，选项B错
误；由上述分析，小球从点运动到点，在 之间存在
一个压力为零的位置，可知从点运动到 点小球对细管
的作用力先减小后增大，选项C错误，D正确.
例5 [2025·重庆北碚区模拟] 如图所示，小木块和 (可视为质点)用轻绳连接置
于水平圆盘上，开始时轻绳处于伸直状态但无拉力，的质量为， 的质量为
.它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为和，、 与盘间的动摩擦因数
相同(最大静摩擦力等于滑动摩擦力).圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，
木块和圆盘始终保持相对静止，、所受摩擦力大小、随 变化的图像
正确的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当圆盘速度较小时，两木块均由静摩擦力提供向心力，对 有
，对有，则受到的摩擦力较小，当角速度为
时，所受摩擦力达最大值，则，此时 所受摩擦力为
，即仍未达最大值；此后随着圆盘角速度逐渐增
大，所受摩擦力保持不变，所受摩擦力继续增大；当角速度为时， 所受
摩擦力达最大值，设绳子拉力为，对、分别有 ，
，继续增大圆盘角速度，绳子拉力
继续变大， 所受摩擦力将逐渐减小至零后反向再增
大， 所受摩擦力为最大值保持不变,故选C.
例6 [2025·江苏苏锡常镇二模] 竖直平面内有一“ ”形光滑细杆，杆上套有相同
的小球、.现让杆绕过底部点所在的竖直轴匀速转动，两小球、 在杆上稳
定时，其相对位置关系可能正确的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设杆与竖直方向的夹角为 ，小球距离点的高度为 ，根据牛顿第二定
律得 ，解得，两个小球的角速度 相同， 越
小，越大，A、B错误；根据牛顿第二定律得，解得 ，
两个小球的角速度 相同， 越小运动半径越大，所以球的运动半径比 球
的运动半径大，C错误，D正确.
【通法通则】
(1)水平面内的圆周运动
水平面内 动力学方程 临界情况示例
水平转盘上的物体 __________________________________________ 恰好发生滑动
水平面内 动力学方程 临界情况示例
圆锥摆模型 _____________________________________ 恰好离开接触面
续表
(2)竖直面内的圆周运动
轻绳模型 ___________________________ 恰好通过最高点，绳
的拉力恰好为0
轻杆模型 _____________________________ 恰好通过最高点，杆
对小球的力大小等于
小球的重力
【整合进阶】
进阶2 (平抛运动与圆周运动相结合)(多选)[2025·山东卷] 如图所
示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面
上以点为圆心、半径为的圆形区域， 垂直地面，无
人机在离地面高度为的空中绕 点且平行地面做半径为
的匀速圆周运动，、为圆周上的两点， . 若物品相对
无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大
角速度应为.当无人机以角速度沿圆周运动经过 点时，相对无人机无
初速度地释放物品.不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静
止，重力加速度大小取 .下列说法正确的是( )
A.
B.
C.无人机运动到点时，在 点释放的物品已经落地
D.无人机运动到点时，在 点释放的物品尚未落地
√
√
[解析] 物品从无人机上释放后，做平抛运动，竖直方向有 ，可得
，要使得物品落点在目标区域内，水平方向满足 ，最
大角速度为，联立可得 ，故A错误，B正确；无人机从
点到点的时间为，由于 ，可知无
人机运动到点时，在 点释放的物品已经落地，故C正确，
D错误.
题型1 运动的合成与分解 抛体运动
1.如图所示，一根长为的直杆一端抵在墙角，另一端 点倚靠在物块的光滑竖
直侧壁上，物块向左以速度大小运动时，直杆绕 点做圆周运动且始终与物块
间有弹力.当直杆与水平方向的夹角为 时，下列说法正确的是( )
A.点速度大小也为
B.点速度大小与 有关
C.点速度方向与 无关
D.点速度方向与成 角
[解析] 直杆与物块接触点点的实际速度即合速度，其方向垂直于杆 指向
左下方，该速度沿水平方向上的速度分量等于，即 ，则 ，
故A、C、D错误，B正确.
√
2.如图所示，甲、乙两同学从河中点出发，分别沿直线游到点和 点后，立
即沿原路线返回到点，、分别与水流方向平行和垂直，且 .若水
流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间、 的大小关系为
( )
A. B. C. D.无法确定
√
[解析] 设游速为，水速为， ，则甲整个过程所用时间
，乙为了沿 运动，速度合成如图所示，则乙整个过
程所用时间 ，因为
，所以 ，故选项C正确.
3.[2024·湖北卷] 如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水
面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上.设低处
荷叶、、、和青蛙在同一竖直平面内，、
高度相同，、高度相同，、分别在、 正上
方.将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度
完成跳跃，则它应跳到( )
A.荷叶 B.荷叶 C.荷叶 D.荷叶
√
[解析] 青蛙做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动，
则有,，联立解得 ，由此可知，水平位移越小，竖直
高度越大，则初速度越小，因此青蛙将跳到荷叶 上面，故C正确.
4.某同学投掷篮球空心入筐，篮球的出手点与篮筐的距离为 ，篮球进入篮
筐时的速度方向恰好与出手时的速度方向垂直.不考虑空气阻力，重力加速度大
小取 ，则篮球从出手到入筐的时间为( )
A. B. C. D.
[解析] 解法一：如图甲所示，把篮球的运动分解为沿初
速度方向的匀减速运动和沿末速度方向(即垂直于初速度
方向)的匀加速运动，在沿初速度方向上，加速度
，位移 ，在与初速度垂直的
方向上,加速度 ，位移 ，合位
移，联立可得，解得 ，选项C正确.
√
解法二：如图乙所示，把运动看成从抛出点到最高点的斜抛运动和从最高点水
平抛出到落点的平抛运动两段运动的组合，水平方向上有 ，
，竖直方向上有， ，由勾股定理得
，联立可得，解得 ，选项C正确.
5.运动员某次发球时，将球从离台面高 处发出，球落
在点反弹后又落在点，两次擦边.、间距离为 ，
球经过最高点时离台面的高度为 ，重力加速
A. B.
C. D.
度为 .若忽略阻力、球的旋转、球与台面碰撞时能量的损失，则球离开球拍时
的速度大小为( )
√
[解析] 设球在运动过程中水平方向的分速度为 ，在发球点处竖直方向的分速
度为，在反弹点处竖直方向的分速度为，反弹后上升到最高点的时间为 ，
从发球点运动到反弹点的时间为，由平抛运动规律有， ，
解得，，从最高点运动到高为点的时间为 ，由
对称性可得 ，在竖直方向上，
根据速度与时间的关系可得 ，而
，联立解得 ，由此
可得发球速度 ，故B正确.
题型2 圆周运动动力学问题
1.如图所示，生产陶瓷的工作台匀速转动，台面上掉有陶屑，陶屑与台面间的
动摩擦因数处处相同(台面足够大)，则下列说法正确的是( )
A.离轴 越远的陶屑质量越大
B.离轴 越近的陶屑质量越大
C.只有平台边缘有陶屑
D.离轴最远的陶屑距离不超过某一值
√
[解析] 以其中一粒陶屑为研究对象，设工作台匀速转动的角速度为 ，陶屑的
质量为，转动半径为，陶屑与台面间的动摩擦因数为 ，陶屑随工作台一起
做匀速圆周运动，由台面的静摩擦力提供向心力，有，由于 一定，
所以对于同一陶屑来说，其离转轴越近，则所需要的摩擦力越小，只要该摩擦
力小于最大静摩擦力，陶屑就会与工作台一起转动而无相对滑动，当由最大静
摩擦力提供向心力时，其做圆周运动的半径最大，此时有 ，解得
，即陶屑离轴的最远距离为一个定值，它由动摩擦因数和
工作台转动的角速度确定，与陶屑的质量无关，故A、B、C错误，
D正确.
2.如图所示，半径为的光滑细圆环固定在竖直平面内，一个质量为 、中心有
小孔的小球(可视为质点)穿在圆环上，并在竖直平面内做圆周运动，以大小为
(为重力加速度)的速度经过圆环最高点 .下列说法正确的是( )
A.若要保证小球可以到达最高点，则 不可能等于0
B.若，则小球在 点时对圆环的压力大小为0
C.若，则小球在 点时对圆环产生方向竖直向下、大小为
的压力
D.若，则小球在 点时对圆环产生方向竖直向上、大小为
的拉力
√
[解析] 由于小球穿在圆环上，所以当小球到达最高点受到的支持力等于重力时，
小球的速度为0，因此若要保证小球可以到达最高点，则 可以等于0，故A错
误.假若小球在点时对圆环的压力大小为0，根据牛顿第二定律有 ，
解得，因此若，则小球在 点时对圆环的压力大小为0，故C错误；
若，则小球在 点时受到的重力大于向心力，所以小球对圆环有竖直
向下的压力，故B错误；若，则小球在 点时受到的重力不
足以提供向心力，所以圆环对小球有竖直向下的弹力，根据牛顿
第二定律有，解得 ，根据牛
顿第三定律可知，小球在 点时对圆环产生方向竖直向上、大小为
的拉力，故D正确.
3.如图所示，两个可视为质点的完全相同的木块甲和乙放在转盘上，两者用长为 的
不可伸长的细绳连接(细绳能够承受足够大的拉力)，两木块与转盘的最大静摩擦力均
为各自重力的倍，细绳过圆心，甲到圆心的距离为，乙到圆心的距离为 ，且
，.水平圆盘可绕过圆心的竖直轴 转动，两木块随圆盘一起以角速度
转动.当 从0开始缓慢增加时，甲、乙与转盘始终保持相对静止，重力加速度为
.下列说法错误的是( )
A.当 时，乙所受的静摩擦力恰为最大值
B. 取不同值时，甲、乙所受的静摩擦力都指向圆心
C. 取不同值时，乙所受的静摩擦力始终指向圆心，甲
所受的静摩擦力可能指向圆心，也可能背向圆心
D.如果 ，两木块将相对圆盘发生滑动
√
[解析] 根据摩擦力提供向心力有，可得 ，由于乙做圆周
运动的半径较大，所以乙先达到最大静摩擦力，当 时，乙所受的静摩
擦力恰为最大值，选项A正确；甲、乙随转盘一起做匀速圆周运动，由于乙做
圆周运动的半径较大，故乙需要的向心力较大，根据
，解得，所以当 时，
甲、乙所受静摩擦力都指向圆心，且静摩擦力都随角
速度增大而增大，之后角速度继续增大，绳子出现张 力，
对乙有 ，绳子的拉力随角速度增大而增大，对甲有
，联立可得 ，此过程甲所受的静摩
擦力随角速度增大再减小后反向增大，反向增大到最大值后，角速度再增大时，
甲、乙将与圆盘发生相对滑动，因此乙所受的静摩擦力方向始终指向圆心，甲
所受的静摩擦力方向先指向圆心，后背离圆心，选项B错误，C正确；设角速度
为 时，甲、乙刚好相对圆盘发生滑动，此时甲、乙由摩擦力和拉力提供向心
力有， ，，解
得，故如果 ，两木块将相对圆盘
发生滑动，选项D正确.
4.(多选)如图所示，倾角为 的斜面固定在水平地面上，在斜面上固定一个半圆管轨
道，圆管的内壁光滑，轨道半径为，其最低点、最高点的切线水平， 是半圆管
轨道的直径.现让质量为的小球(视为质点)从 点以一定的水平速度滑进圆管，圆管的内径
略大于小球的直径.重力加速度为，， 下列说法正确的是
( )
A.若小球到达 点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球
在点时速度大小为
B.小球离开点做平抛运动的时间为
C.若小球在点时加速度大小为，则小球在 点时受到沿斜面方向的
弹力大小为
D.若小球到达 点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球的落地点
与点间的距离为
√
√
√
[解析] 若小球到达 点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则由重力沿斜面方向
的分力提供向心力，有，解得，A错误；小球离开
点做平抛运动，竖直方向上有，解得 ，B正确；若小
球到达点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球的落地点与 点间的距离
为，D正确；若小球在点时加速度大小为 ，
则小球在点时根据牛顿第二定律有，小球由
点运动到 点过程，由动能定理有
，小球在点时根据牛顿第二定律有，解得 ，C正确.
5.如图甲所示，空间有一水平向右的匀强电场，一质量为、带电荷量为 的
小球用一长为的绝缘轻绳悬挂于 点，其静止时轻绳与竖直方向的夹角为
，重力加速度为 ，小球可视为质点，忽略空气阻力.
(1) 求电场强度的大小和小球静止时轻绳对其拉力 的大小；
[答案] ;
[解析] 小球静止时，由平衡条件得
解得，
5.如图甲所示，空间有一水平向右的匀强电场，一质量为、带电荷量为 的
小球用一长为的绝缘轻绳悬挂于 点，其静止时轻绳与竖直方向的夹角为
，重力加速度为 ，小球可视为质点，忽略空气阻力.
(2) 若将小球拉到最低点，给小球垂直于纸面向里的初速度 ，使小球恰好沿
一倾斜平面做匀速圆周运动，如图乙所示，求初速度 的大小.
[答案]
[解析] 小球沿一倾斜平面做匀速圆周运动，则运动平面与重力和电场力的合力
垂直，对小球受力分析如图所示，由几何关系可知
且
在垂直于运动平面方向上，由受力平衡得
在沿运动平面方向，根据牛顿第二定律可知
解得
