(共43张PPT)
第4讲 万有引力与天体运动
网络构建
题型1 天体运动 万有引力定律的应用
题型2 卫星变轨与双星模型
备用习题
◆
听课手册
【关键能力】
理解万有引力定律,理清万有引力与重
力的关系,掌握天体质量、密度的计
算、环绕天体的运动快慢分析和第一
宇宙速度的计算,注重将实际问题转化
为物理模型,建立天体运动、追及、变
轨等物理模型，联系生活实际,培养学
生的物理观念和科学思维
题型1 天体运动 万有引力定律的应用
例1 [2024·浙江6月选考] 与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星
乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，
地球的公转半径为，小行星甲的远日点到太阳的距离为 ，小行星乙的近日
点到太阳的距离为 ，则( )
A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C.小行星甲与乙的运行周期之比
D.甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比
√
[解析] 由开普勒第二定律知小行星甲在远日点的速度小于在近日点的速度，A
错误；小行星乙在远日点到太阳的距离与地球到太阳的距离相等，由
可知，小行星乙在远日点的加速度和地球公转加速度大小相等，B错
误；根据开普勒第三定律有，解得 ,C错误；甲、乙
两行星从远日点到近日点的时间之比 ，D正确.
例2 2030年中国计划实现载人登月，到时我国宇航员可以在月球上进行一系列
的物理实验.例如：在月球表面附近以初速度 竖直向上抛出一小球，测得其上
升的最大高度为，已知月球半径为，引力常量为 ，不考虑月球自转影响和
其他星体对其影响，忽略一切阻力，下列说法不正确的是( )
A.月球表面重力加速度的大小为
B.月球的质量为
C.在月球上发射卫星的最小发射速度为
D.若一颗卫星在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的周期为 ，则月球的密度
为
√
[解析] 根据,可得月球表面重力加速度的大小为 ,选项A正确，不
符合题意；根据,月球的质量为 ,选项B错误，符合题意；根
据，可得在月球上发射卫星的最小发射速度为 ,选项
C正确，不符合题意；若一颗卫星在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的周
期为，则根据，，可得月球的密度为 ,选项D正
确，不符合题意.
【通法通则】
天体质量和密度的计算
【整合进阶】
进阶1 (万有引力中的几何分析)[2025·重庆渝中区模拟] 8月20
日凌晨迎来天王星西方照，此时若俯瞰太阳系的平面，会看到
它们的位置关系如图所示，太阳、地球、天王星形成一个直角
三角形，地球位于直角的顶点，且此时太阳和天王星连线与地
A. B. C. D.
球和天王星连线夹角为 .大约3个月后，地球将来到太阳和天王星之间，此时
天王星、地球、太阳成一直线，即为天王星冲日.已知八大行星都是逆时针绕太
阳公转，则天王星与太阳的距离约是地日距离 的( )
√
[解析] 根据几何关系有，所以，3个月后地球转过 圆周，其位
置图如图所示，此时天王星转过 ，即、，则 ，
由开普勒第三定律知 ，所以
，故选C.
进阶2 (万有引力中的功能分析)[2025·河北卷] 随着我国航天事业飞速发展，人
们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器.从某星球表面发射的星际飞行器在飞行
过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，
半径为，表面重力加速度为.质量为的飞行器与星球中心距离为 时，引
力势能为.要使飞行器在距星球表面高度为 的轨道上做
匀速圆周运动，则发射初速度为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 飞行器的总机械能包括动能和势能，结合题中给出的引力势能公式可知，
在距星球表面高度为 的轨道上，飞行器的引力势能为
,在星球表面，飞行器的引力势能为0；根据万
有引力提供向心力，在距星球表面高度为的轨道上有 ，在星球
表面有，解得飞行器在轨道上的速度满足 ，则飞行器在轨
道上动能为 ，设在星球表面，飞行器的初动能为
,根据机械能守恒定律有 ，解得发射初速度为
，故选B.
题型2 卫星变轨与双星模型
角度1 卫星变轨与对接问题
两类变轨 离心运动 近心运动
示意图
变轨起因 速度突然增大为 速度突然减小为
轨迹变化 由圆变为外切椭圆，或由椭圆 变为外切圆 由圆变为内切椭圆，或由椭圆
变为内切圆
两类变轨 离心运动 近心运动
动力学观点 点火加速，速度增大为 ， ，卫星将做离心运 动 点火减速，速度减小为 ，
，卫星将做近心运动
速度与加速 度的变化 两个轨道切点的加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度
续表
例3 [2025·山东省实验中学二模] 我国近地小行星防御系统能够监测、预警和应对近地
天体的撞击，展现了从被动预警到主动防御的科技跨越.如图所示，近地圆轨道Ⅰ和椭
圆轨道Ⅱ相切于点，椭圆轨道Ⅱ和同步轨道Ⅲ相切于 点.现有防御卫星在轨道Ⅰ处做匀
速圆周运动，经变轨后运行到同步轨道Ⅲ的 点拦截小行星进行干预，已知地球自转
的角速度为 ，防御卫星在轨道Ⅰ和Ⅲ上运行的角速度为和 ，卫星在轨道Ⅰ、Ⅲ和
轨道Ⅱ上的点、点运行的线速度分别为、、、 .下列说法正确的是( )
A.
B.
C.卫星在轨道Ⅱ上从点运动到 点过程中，机械能增大
D.卫星在轨道 Ⅲ 上从点到 点的运动时间大于在轨道 Ⅱ
上从点运动到 点运动时间
√
[解析] 卫星绕地球做匀速圆周运动，由，解得 ，可知同
步轨道上的角速度小于近地轨道上的角速度，而地球自转的角速度 和同
步轨道上的角速度相同，综合可知 ，故A错误；卫星绕地球做
匀速圆周运动，由，解得 ，可知
，由于卫星在轨道Ⅰ的 点需要点火加速到轨道Ⅱ，
则有，同理在点有 ，综合可知
，故B错误；
卫星在轨道Ⅱ上从 点运动到 点过程中，机械能不变，故C错误；由题图可知卫星在轨道Ⅲ的轨道半径大于在轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三定律得卫星在轨道Ⅲ的运行周期大于在轨道Ⅱ的运行周期，故卫星在轨道Ⅲ上从点到点的运动时间大于在轨道Ⅱ上从点运动到 点的运动时间，故D正确.
角度2 双星模型
例4 (多选)[2025·福建厦门三模] 宇宙中广泛存在着一种特殊的天体系统——双
星系统.如图甲所示，某双星系统中的两颗恒星、绕 点做圆周运动，在双星
系统外且与系统在同一平面上的点观测双星运动，测得恒星、到 连线距
离与时间的关系图像如图乙所示，引力常量为 ，则( )
A.、的线速度之比为
B.、的线速度之比为
C.的质量为
D.的质量为
√
√
[解析] 由图像可知，该双星系统的周期为，与轨迹中心间的距离为, 与
轨迹中心间的距离为，可得，由线速度，可知、 的线
速度之比为，故A正确，B错误；由题意可知 ，
可得，对由万有引力提供向心力可知 ，又
，解得 ，故C正确，D错误.
【通法通则】
模型 特点
_____________________________ 两星彼此间的万有引力 提供向心力，即： (1)两星绕行方向、周期及角速度都相同，即
，
(2)两星的轨道半径与它们之间的距离关系为：
(3)两星做圆周运动的半径、 与星体质量成反比，即
(4)两星的运动周期
(5)两星的总质量
【整合进阶】
进阶3 (动量守恒在万有引力中的应用)[2025·山东卷] 轨
道舱与返回舱的组合体，绕质量为的行星做半径为 的
圆周运动，轨道舱与返回舱的质量比为 .如图所示，
轨道舱在 点沿运动方向向前弹射返回舱，分开瞬间返
A. B. C. D.
回舱相对行星的速度大小为， 为引力常量，此时
轨道舱相对行星的速度大小为( )
√
[解析] 轨道舱与返回舱的质量比为，设返回舱的质量为 ，则轨道舱的质量
为，总质量为 ；根据题意知组合体绕行星做圆周运动，根据万有引力定
律有，可得做圆周运动的线速度为 ，弹射返回舱的过程
中组合体动量守恒，有 ，由题意知
，代入数据解得 ，故选C.
题型1 天体运动 万有引力定律的应用
1.太阳系行星轨道(近圆轨道)的平均半径和绕日公转周期 的现代测量值如下表
所示，下列说法正确的是( )
行星 平均半径 绕日公转周期 年
水星 58 0.2
金星 108 0.6
地球 150 1.0
火星 228 1.9
木星 778 11.9
土星 1430 29.5
天王星 2870 84.0
海王星 4500 165.0
A.周期与半径 成正比
B.若已知引力常量，则可估算太阳的质量
C.地球公转的线速度小于火星公转的线速度
D.所有行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等
√
[解析] 由开普勒第三定律，周期的平方与半径 的立方成正比，故A错误；根
据万有引力提供向心力有，可得，若已知引力常量 ，
则取表中任一行星的与 值，代入即可求出太阳的质量，故B正确；根据万有
引力提供向心力有，可得 ，由于地球公转的平均半径小于
火星公转的平均半径，所以地球公转的线速度大于火星公转的线速度，故C错
误；同一行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，但不同行星与太阳
的连线在相等时间内扫过的面积不相等，故D错误.
2.[2024· 新课标卷] 天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其
运行，其中行星 的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周
期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的( )
A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1000倍
[解析] 设红矮星的质量为，行星的质量为，轨道半径为 ，运动
周期为；太阳的质量为，地球的质量为，日地距离为 ，地球运动的周
期为；根据万有引力定律提供向心力有 ，
，联立可得，由于行星 的轨道半径约
为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，可得 ，选项B正确.
√
3.2025年1月16日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，
此现象被称为“火星冲日”.火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀
速圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为 ，如图所示.根据以上信
息可以得出( )
A.当火星与地球相距最近时，两者的相对速度最大
B.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为
C.火星与地球绕太阳运动的速度大小之比约为
D.下一次“火星冲日”将出现在2026年1月16日之前
√
[解析] 火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，绕行方向相同，
当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者的相对速度
最大，故A错误；火星和地球均绕太阳运动，火星与地球的轨道半径之比约为
，根据开普勒第三定律有，可得 ，故B错误；
根据 万有引力提供向心力有，解得, 则 ，故C正确；火星和地球绕太阳匀速圆周运动，有，，根据 ，解得 ，所以下一次“火星冲日” 将出现在2026年1月16日之后，故D错误.
4.某兴趣小组想利用小孔成像实验估测太阳的密度.设计了如图所示
的装置，不透明的圆桶一端密封，中央有一小孔，另一端为半透明
纸.将圆桶轴线正对太阳方向，可观察到太阳的像的直径为 .已知圆
桶长为，地球绕太阳公转周期为，引力常量为 .估测太阳密度的
表达式为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设太阳的半径为，太阳到地球的距离为 ，由成像光路图，根据相似三
角形可得，解得，地球绕太阳做匀速圆周运动，设太阳质量为 ，
地球质量为，由万有引力提供向心力，有 ，太阳体积为
，太阳密度为，联立解得 ，故A正确.
5.一质量为的行星绕质量为 的恒星运动，如图所示.设在以恒星为球心的球
形大空间范围内均匀地分布着稀薄的宇宙尘埃，尘埃的密度 很小，略去行星
与尘埃之间的直接碰撞作用，行星绕行轨道为圆，半径为 .已知质量均匀分布
的球壳对壳内任一点的万有引力为零，引力常量为 .下列说法正确的是( )
A.行星绕行的轨道圆半径 越大，其所受的万有引力的合力越小
B.行星绕行的周期为
C.行星绕行的动能为
D.若行星的绕行轨道不是圆轨道，则其运动规律仍满足开普勒
三定律
√
[解析] 行星所受的引力为恒星引力和尘埃引力的合力，尘埃对行星的引力可看
成以 为半径的球形空间尘埃的引力，有
，行星绕行的轨道圆半径 大时，其所
受的万有引力的合力不一定小，A错误；由圆周运动万有引力提供向心力有
，解得 ，B错误；
由圆周运动万有引力提供向心力有 ，则行星绕行的动能为 ，C正确；若行星的轨道不是圆轨道，则行星与恒星之间的距离发生变化，能对行星产生引力的等效球形空间内的尘埃质量发生变化，相当于中心天体的质量发生变化，开普勒三定律不再适用，D错误.
题型2 卫星变轨与双星模型
1.[2024·湖北卷] 太空碎片会对航天器带来危害.设空间站在地球附近沿逆时针方
向做匀速圆周运动，如图中实线所示.为了避开碎片，空间站在 点向图中箭头
所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变
轨.变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径.则( )
A.空间站变轨前、后在 点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在 点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
√
[解析] 空间站在 点变轨前、后所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可
知，则空间站变轨前、后在 点的加速度相同，故A正确；空间站的
圆轨道运动可以看作特殊的椭圆轨道运动，因为变轨后其轨道半长轴大于原轨
道半径，根据开普勒第三定律可知 ，则空间站变轨后的运动周期比变轨
前的大，故B错误；变轨后在 点获得方向沿径向指向地球的
反冲速度，与原来做圆周运动的速度合成，合速度大于原来
的速度，故C错误；由于空间站变轨后在 点的速度比变轨前
的大，但变轨后在 点的速度比同一轨道上在近地点的速度小，
所以空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误.
2.如图所示为“神舟十七号”载人飞船与“天和”核心舱对接过
程示意图，“神舟十七号”载人飞船先在轨道Ⅰ上做周期为
的圆周运动，在点变轨后，沿椭圆轨道Ⅱ运动，在 点再
次变轨与“天和”核心舱对接，此后共同在圆轨道Ⅲ上运行.
下列说法正确的是( )
A.载人飞船沿轨道Ⅱ的运行周期小于沿轨道Ⅰ的运行周期
B.载人飞船在轨道Ⅱ上经过点时的加速度大于在轨道Ⅰ上经过 点时的加速度
C.载人飞船在轨道Ⅱ上经过点时的速度大于在轨道Ⅲ上经过 点时的速度
D.相等时间内，在轨道Ⅰ上载人飞船与地心连线扫过的面积小于在轨道Ⅲ上扫过
的面积
√
[解析] 轨道Ⅱ的半轴长大于轨道Ⅰ的半径，根据开普勒第三定律可知载人飞船沿
轨道Ⅱ的运行周期大于沿轨道Ⅰ的运行周期，故A错误；根据牛顿第二定律有
，可知载人飞船在轨道Ⅱ上经过点时的加速度等于在轨道Ⅰ上经过
点时的加速度，故B错误；根据变轨原理，载人飞船在轨道Ⅱ上经过 点时需加
速做离心运动进入轨道Ⅲ，所以飞船在轨道Ⅱ上经过 点时
的速度小于在轨道Ⅲ上经过 点时的速度，故C错误；根据
万有引力提供向心力有，可得 ，载人
飞船与地心连线扫过的面积为 ，
由于轨道Ⅲ的半径大于轨道Ⅰ的半径，故相等时间内，在轨道Ⅰ上载人飞船与地心
连线扫过的面积小于在轨道Ⅲ上扫过的面积，故D正确.
3.[2024·安徽卷] 2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射
升空.当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入
捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为 .后经多次轨道调整，
进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为，周期约为 .则鹊桥二号在
捕获轨道运行时( )
A.周期约为
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速
度
√
[解析] 冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得 ，
整理得 ，A错误；根据开普勒第二定律得，鹊桥二号在捕获
轨道运行时在近月点的速度大于在远月点的速度，B正确；在近月点从捕获轨
道到冻结轨道变轨时，鹊桥二号需要减速进行近月制动，故鹊桥二号在捕获轨
道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的
速度，C错误；在两轨道的近月点所受的万有引力
相同，根据牛顿第二定律可知，在捕获轨道运行
时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点
的加速度，D错误.
4.宇宙双星系统是由两颗相距较近的恒星组成的系统，它们在相互引力作用下，
围绕着共同的圆心运动.它们为天文学家研究恒星的演化提供了很好的素材.已知
某双星之间的距离为，相互绕行周期为，引力常量为 ，可以估算出( )
A.双星的质量之和 B.双星的质量之积
C.双星的速率之比 D.双星的加速度之比
√
[解析] 由万有引力提供向心力有， ，而
，联立可得，所以，其中 ，可
得 ，所以双星的质量之和可以估算出，双星的质量之积无法求
解，故A正确,B错误；由线速度与角速度的关系，可得 ,半径
之比未知，双星的速率之比无法求解，C错误；由加速度
与角速度的关系，可得 ，由于双星的轨道半
径之比未知，故双星的加速度之比无法求解，D错误.第4讲 万有引力与天体运动
题型1
例1 D [解析] 由开普勒第二定律知小行星甲在远日点的速度小于在近日点的速度,A错误;小行星乙在远日点到太阳的距离与地球到太阳的距离相等,由G=ma可知,小行星乙在远日点的加速度和地球公转加速度大小相等,B错误;根据开普勒第三定律有=,解得=,C错误;甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比==,D正确.
例2 B [解析] 根据=2gh,可得月球表面重力加速度的大小为 g=,选项A正确,不符合题意;根据G=mg,月球的质量为 M=,选项B错误,符合题意;根据G=mg=m,可得在月球上发射卫星的最小发射速度为 v=,选项C正确,不符合题意;若一颗卫星在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的周期为T,则根据G=mR,ρ=,可得月球的密度为 ρ=,选项D正确,不符合题意.
【整合进阶】
进阶1 C [解析] 根据几何关系有sin θ=,所以=,3个月后地球转过圆周,其位置图如图所示,此时天王星转过θ,即π=ω地t、θ=ω天t,则==,由开普勒第三定律知==,所以=,故选C.
进阶2 B [解析] 飞行器的总机械能包括动能和势能,结合题中给出的引力势能公式可知,在距星球表面高度为R0的轨道上,飞行器的引力势能为Ep=mg0=mg0R0,在星球表面,飞行器的引力势能为0;根据万有引力提供向心力,在距星球表面高度为R0的轨道上有=m,在星球表面有=mg0,解得飞行器在轨道上的速度满足v2=,则飞行器在轨道上动能为Ek=mv2=mg0R0,设在星球表面,飞行器的初动能为Ek0=m,根据机械能守恒定律有Ek0+0=Ek+Ep,解得发射初速度为v0=,故选B.
题型2
例3 D [解析] 卫星绕地球做匀速圆周运动,由=mω2r,解得ω=,可知同步轨道上的角速度ω3小于近地轨道上的角速度ω1,而地球自转的角速度ω和同步轨道上的角速度ω3相同,综合可知ω1>ω3=ω,故A错误;卫星绕地球做匀速圆周运动,由=m,解得v=,可知v1>v3,由于卫星在轨道Ⅰ的P点需要点火加速到轨道Ⅱ,则有vP>v1,同理在Q点有v3>vQ,综合可知vP>v1>v3>vQ,故B错误;卫星在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点过程中,机械能不变,故C错误;由题图可知卫星在轨道Ⅲ的轨道半径大于在轨道Ⅱ的半长轴,根据开普勒第三定律得卫星在轨道Ⅲ的运行周期大于在轨道Ⅱ的运行周期,故卫星在轨道Ⅲ上从Q点到M点的运动时间大于在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点的运动时间,故D正确.
例4 AC [解析] 由图像可知,该双星系统的周期为2t0,a与轨迹中心间的距离为3x0,b与轨迹中心间的距离为2x0,可得ra∶rb=3∶2,由线速度v=ωr,可知a、b的线速度之比为va∶vb=3∶2,故A正确,B错误;由题意可知maω2ra=mbω2rb,可得ma∶mb=2∶3,对b由万有引力提供向心力可知mbrb=G,又T=2t0,解得ma=,故C正确,D错误.
【整合进阶】
进阶3 C [解析] 轨道舱与返回舱的质量比为5∶1,设返回舱的质量为m,则轨道舱的质量为5m,总质量为6m;根据题意知组合体绕行星做圆周运动,根据万有引力定律有G=6m,可得做圆周运动的线速度为v=,弹射返回舱的过程中组合体动量守恒,有6mv=5mv1+mv2,由题意知v2=2,代入数据解得v1=,故选C.第4讲 万有引力与天体运动
1.B [解析] 根据万有引力提供向心力可知G=m,可得v=,则==,则v行=2v0,故选B.
2.A [解析] 由题意可知r甲v乙,ω甲>ω乙,a甲>a乙,A正确.
3.A [解析] 根据题意,卫星在同步轨道和小行星表面附近轨道运行时轨道半径分别为R+h、R,设小行星和卫星的质量分别为M、m,由开普勒第三定律有=,解得R=h,卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力有=mR,解得M=,对应结果可得a为T1,b为T0,c为T1.故选A.
4.BC [解析] 对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道,根据开普勒第三定律有=,可得r=+R,故A错误,B正确;对于环月圆轨道,根据万有引力提供向心力可得=mr,可得M=,故C正确,D错误.
5.C [解析] 根据万有引力提供向心力,则有=mr,解得M=,要计算地球的质量M,需要知道组合体的轨道半径和周期,故A、B错误;根据万有引力提供向心力,则有=m,解得M=,已知组合体的绕地线速度和绕地半径,可以计算地球的质量,故C正确;根据万有引力提供向心力,则有=mrω2,解得M=,由于轨道半径不知道,所以无法计算地球的质量,故D错误.
6.C [解析] 如图所示,P点在内转过的圆心角α=30°,卫星转过的圆心角β=60°,由几何关系可知,△POA为等腰三角形,则有OA=r=2Rcos 30°=R,根据牛顿第二定律可得G=mr,联立解得M=,故选C.
7.C [解析] 彗星通过近日点时做离心运动,故在该点速度大于该点处圆周轨道速度,该点处圆周轨道半径小于地球轨道半径,由=m得v=,可知该点处圆周轨道速度大于地球速度,故慧星在近日点的速度大于地球速度,A错误;从b运行到c的过程彗星一直远离太阳,万有引力一直做负功,故动能一直减小,B错误;根据开普勒第二定律可知,哈雷彗星绕太阳经过相同的时间扫过的面积相同,根据S1>S2可知从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间,C正确;万有引力提供向心力,由G=ma得a=∝,则==,D错误.
8.D [解析] 该卫星与月球同步绕地球运动,可知卫星绕地球运动周期等于月球公转周期,A错误;该卫星绕地球做匀速圆周运动,所受的合力为地球和月球对它引力的合力,这两个引力方向相同,合力不为零,处于非平衡状态,故B错误;由A选项可得卫星与月球的角速度相等,根据v=ωr,可知v卫:v月=∶d,故C错误;设地球的质量为M,月球的质量为m1,卫星的质量为m2,则对月球有G=m1ω2L,对卫星有G+G=m2ω2,其中M=km1,联立解得+=,故D正确.
9.B [解析] 海王星、地球都绕太阳做圆周运动,即太阳为中心天体,海王星冲日是地球、海王星、太阳在同一直线上,海王星和地球在太阳的同一侧,此时海王星离地球最近,是在地球上观察海王星的最佳时间,故A错误;海王星、地球绕太阳做匀速圆周运动,根据开普勒第三定律可知=,得T==T0≈164T0,即海王星绕太阳公转的周期约为164年,故B正确;如果两次海王星冲日时间间隔为t年,则地球多转动一周,有2π=t,解得t==年≈1.01年,上一次出现海王星冲日现象是在2023年9月的某一天,故C错误;根据开普勒第二定律可知,对同一行星而言,它与中心天体的连线在相等的时间内扫过的面积相等,故D错误.
10.D [解析] 设地球质量为M,空间站质量为m,在3号轨道,由万有引力提供向心力有=m,可得v3=,可知在3号轨道物体的运行速度与物体质量无关,即空间站与天舟八号完成对接之后,运动速度不变,故A错误;货运飞船从1号轨道进入2号转移轨道需要点火加速做离心运动,故B错误;由A选项分析可知,在轨道1上的飞船线速度v1=,故货运飞船在1、3两个轨道上稳定运行时线速度大小之比为=,故C错误;结合题意和以上分析,在1号轨道有v1==,由地球质量M=πR3ρ,联立以上解得地球密度ρ=,故D正确.
11.C [解析] 图甲中,根据万有引力提供向心力有=m月r,地球的半径为R,地球的体积为V=πR3,图甲中,地球密度为ρ==,故A错误;根据万有引力提供向心力有=m月r,解得图甲中月球绕地球运动的周期T1=2π,若地月系统是一个双星系统,设地月双星系统中O点到地心距离为r1,地月双星系统中O点到月球球心距离为r2,则=m月r2=m地r1,可得m月r2=m地r1,且r2+r1=r,解得r1=r、r2=r、T2=2π,则ω2==,可知图甲中月球绕地球运动的周期T1大于图乙中月球绕O点运动的周期T2,故B、D错误,C正确.第4讲 万有引力与天体运动
【关键能力】 理解万有引力定律,理清万有引力与重力的关系,掌握天体质量、密度的计算、环绕天体的运动快慢分析和第一宇宙速度的计算,注重将实际问题转化为物理模型,建立天体运动、追及、变轨等物理模型,联系生活实际,培养学生的物理观念和科学思维
题型1 天体运动 万有引力定律的应用
例1 [2024·浙江6月选考] 与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示,假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内,地球的公转半径为R,小行星甲的远日点到太阳的距离为R1,小行星乙的近日点到太阳的距离为 R2,则 ( )
A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C.小行星甲与乙的运行周期之比=
D.甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比=
例2 2030年中国计划实现载人登月,到时我国宇航员可以在月球上进行一系列的物理实验.例如:在月球表面附近以初速度v0竖直向上抛出一小球,测得其上升的最大高度为h,已知月球半径为R,引力常量为G,不考虑月球自转影响和其他星体对其影响,忽略一切阻力,下列说法不正确的是 ( )
A.月球表面重力加速度的大小为
B.月球的质量为
C.在月球上发射卫星的最小发射速度为
D.若一颗卫星在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的周期为T,则月球的密度为
天体质量和密度的计算
【整合进阶】
进阶1 (万有引力中的几何分析)[2025·重庆渝中区模拟] 8月20日凌晨迎来天王星西方照,此时若俯瞰太阳系的平面,会看到它们的位置关系如图所示,太阳、地球、天王星形成一个直角三角形,地球位于直角的顶点,且此时太阳和天王星连线与地球和天王星连线夹角为θ.大约3个月后,地球将来到太阳和天王星之间,此时天王星、地球、太阳成一直线,即为天王星冲日.已知八大行星都是逆时针绕太阳公转,则天王星与太阳的距离r约是地日距离R的 ( )
A.sin θ
B.
C.
D.
进阶2 (万有引力中的功能分析)[2025·河北卷] 随着我国航天事业飞速发展,人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器.从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力,不考虑自转,该星球可视为质量分布均匀的球体,半径为R0,表面重力加速度为g0.质量为m的飞行器与星球中心距离为r时,引力势能为mg0.要使飞行器在距星球表面高度为R0的轨道上做匀速圆周运动,则发射初速度为 ( )
A. B.
C. D.
题型2 卫星变轨与双星模型
角度1 卫星变轨与对接问题
两类变轨 离心运动 近心运动
示意图
变轨起因 速度v0突然增大为v 速度v0突然减小为v
轨迹变化 由圆变为外切椭圆,或由椭圆变为外切圆 由圆变为内切椭圆,或由椭圆变为内切圆
动力学观点 点火加速,速度增大为v,G,卫星将做近心运动
速度与加速度的变化 两个轨道切点的加速度相等,外轨道的速度大于内轨道的速度
例3 [2025·山东省实验中学二模] 我国近地小行星防御系统能够监测、预警和应对近地天体的撞击,展现了从被动预警到主动防御的科技跨越.如图所示,近地圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ相切于P点,椭圆轨道Ⅱ和同步轨道Ⅲ相切于Q点.现有防御卫星在轨道Ⅰ处做匀速圆周运动,经变轨后运行到同步轨道Ⅲ的M点拦截小行星进行干预,已知地球自转的角速度为ω,防御卫星在轨道Ⅰ和Ⅲ上运行的角速度为ω1和ω3,卫星在轨道Ⅰ、Ⅲ和轨道Ⅱ上的P点、Q点运行的线速度分别为v1、v3、vP、vQ.下列说法正确的是 ( )
A.ω=ω1>ω3
B.vP=v1>vQ=v3
C.卫星在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点过程中,机械能增大
D.卫星在轨道 Ⅲ 上从Q点到M点的运动时间大于在轨道 Ⅱ 上从P点运动到Q点运动时间
角度2 双星模型
例4 (多选)[2025·福建厦门三模] 宇宙中广泛存在着一种特殊的天体系统——双星系统.如图甲所示,某双星系统中的两颗恒星a、b绕O点做圆周运动,在双星系统外且与系统在同一平面上的A点观测双星运动,测得恒星a、b到OA连线距离x与时间t的关系图像如图乙所示,引力常量为G,则 ( )
A.a、b的线速度之比为3∶2
B.a、b的线速度之比为2∶3
C.a的质量为
D.a的质量为
模型 特点
两星彼此间的万有引力提供向心力,即: =m1r1 =m2r2 (1)两星绕行方向、周期及角速度都相同,即T1=T2,ω1=ω2
(2)两星的轨道半径与它们之间的距离关系为:r1+r2=L
(3)两星做圆周运动的半径r1、r2与星体质量成反比,即=
(4)两星的运动周期T=2π
(5)两星的总质量m=m1+m2=
【整合进阶】
进阶3 (动量守恒在万有引力中的应用)[2025·山东卷] 轨道舱与返回舱的组合体,绕质量为M的行星做半径为r的圆周运动,轨道舱与返回舱的质量比为5∶1.如图所示,轨道舱在P点沿运动方向向前弹射返回舱,分开瞬间返回舱相对行星的速度大小为2,G为引力常量,此时轨道舱相对行星的速度大小为 ( )
A.
B.
C.
D. 第4讲 万有引力与天体运动
1.[2025·河北石家庄二模] 某行星的质量为地球的8倍,半径为地球的2倍.若地球的第一宇宙速度为v0,则该行星的第一宇宙速度为 ( )
A.v0 B.2v0 C.2v0 D.4v0
2.[2025·湖北卷] 甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动,甲的轨道半径比乙的小.忽略两行星之间的万有引力作用,下列说法正确的是 ( )
A.甲运动的周期比乙的小
B.甲运动的线速度比乙的小
C.甲运动的角速度比乙的小
D.甲运动的向心加速度比乙的小
3.[2025·湖南卷] 我国研制的“天问二号”探测器,任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测.某同学提出探究方案,通过释放卫星绕小行星进行圆周运动,可测得小行星半径R和质量M.为探测某自转周期为T0的小行星,卫星先在其同步轨道上运行,测得距离小行星表面高度为h,接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动,测得周期为T1.已知引力常量为G,不考虑其他天体对卫星的引力,可根据以上物理量得到R=h,M=.下列选项正确的是 ( )
A.a为T1,b为T0,c为T1
B.a为T1,b为T0,c为T0
C.a为T0,b为T1,c为T1
D.a为T0,b为T1,c为T0
4.(多选)[2025·安徽卷] 2025年4月,我国已成功构建国际上首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座,DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点.若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道,该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b,卫星的运行周期为T;卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道,周期也为T.月球的质量为M,半径为R,引力常量为G.假设只考虑月球对甲、乙的引力,则 ( )
A.r= B.r=+R
C.M= D.M=
5.[2025·山东泰安模拟] 2025年4月25日,神舟二十号载人飞船成功实现了与天和核心舱对接,标志着我国航天事业又取得进一步突破.对接后的飞船与空间站形成一个新的组合体,将该组合体绕地球的运行视为匀速圆周运动.已知引力常量 G,根据下列物理量能计算出地球质量的是 ( )
A.组合体的质量和绕地半径
B.组合体的质量和绕地周期
C.组合体的绕地线速度和绕地半径
D.组合体的绕地角速度和绕地周期
6.[2025·安徽江南十校模拟] 近年来,我国空间科学创新发展驶入“快车道”.假设有一空间探测器着陆在某个类地星球表面进行观测时发现,该星球为规则球体,半径为R,自转周期为2T,其赤道上空有一颗沿圆形轨道运行的卫星,它的运行方向与类地星球的自转方向相同,公转周期为T.如图所示,某时刻,位于星球赤道上P点的探测器观测到卫星的仰角为30°,后,观测到卫星仰角变为90°.引力常量为G.根据以上信息,该类地星球的质量约为 ( )
A. B.
C. D.
7.[2025·浙江1月选考] 地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示,彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中,与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2,且S1>S2.彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍,则彗星 ( )
A.在近日点的速度小于地球的速度
B.从b运行到c的过程中动能先增大后减小
C.从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间
D.在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍
8.[2025·河北石家庄模拟] 1772年,法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》中指出:两个质量相差悬殊的天体(如地球和月亮)所在同一平面上有5个特殊点,如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示,人们称为拉格朗日点.若飞行器位于这些点上,会在地球与月球共同引力作用下,可以几乎不消耗燃料而保持与月球同步做圆周运动.若发射一颗卫星定位于拉格朗日L2点,跟地、月两个大天体保持相对静止.设地球质量是月球的k倍,地月间距为L,拉格朗日点L2与月球间距离为d.下列说法正确的是 ( )
A.该卫星绕地球运动周期大于月球公转周期
B.该卫星在L2点处于平衡状态
C.该卫星与月球绕地球运动的线速度之比为v卫∶v月=L∶
D.k、L、d的关系式为+=
9.[2025·山西咸阳模拟] 2024年9月21日发生海王星冲日现象,即海王星、地球、太阳三者处于同一直线,此时是观察海王星的最佳时间.已知地球到太阳距离为1个天文单位,海王星到太阳距离约为30个天文单位,则下列说法正确的是 ( )
A.发生海王星冲日时太阳位于地球和海王星之间的某一点
B.海王星绕太阳公转的周期约为164年
C.上一次出现海王星冲日现象是在2022年9月的某一天
D.在相同时间内,海王星、地球与太阳中心连线扫过的面积相等
10.[2025·安徽淮北一模] 2024年11月15日,搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭,在我国文昌航天发射场点火发射.天舟八号货运飞船A与空间站B交会对接的示意图如图所示,飞船顺利进入预定圆轨道1,并以周期T1稳定运行,之后飞船从1号轨道经2号转移轨道逐步接近在3号圆轨道运行的空间站,飞船与空间站组合体完成交会对接,并在3号轨道上以周期T2稳定运行.已知引力常量为G,地球半径为R,1号圆轨道距地面高度为h1,3号圆轨道距地面高度为h2,则 ( )
A.空间站与天舟八号完成对接之后,运动速度变慢
B.货运飞船从1号轨道进入2号转移轨道需要点火减速
C.货运飞船在1、3两个轨道上稳定运行时线速度大小之比为
D.根据题目条件可以求出地球密度的表达式为ρ=
11.[2025·天津九校联考] 近似计算地月系统时可以认为月球绕着地球做匀速圆周运动,如图甲所示,月球绕地球运动的周期为T1.为了更精准测量地月系统,认为地月系统是一个双星系统,如图乙所示,在相互之间的万有引力作用下,绕连线上的O点做匀速圆周运动,月球绕O点运动的周期为T2.若地球、月球质量分别为m地、m月,两球心相距为r,地球半径为R,引力常量为G,下列说法正确的是 ( )
A.图甲中,地球的密度可表示为
B.图甲中月球绕地球运动的周期T1等于图乙中月球绕O点运动的周期T2
C.图乙中地月双星系统中O点到地心距离为r
D.图乙中地月双星转动的角速度与地月质量之和成正比
