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第5讲 机械振动和机械波
网络构建
题型1 机械振动与机械波综合
题型2 波的叠加、干涉、衍射、多普勒效应
备用习题
◆
听课手册
【关键能力】
振动质点作为振源，掌握两种典型的简谐运动弹簧
振子与单摆；振动在介质中形成机械波.理解机械振
动与机械波，一定要掌握其运动学、动力学与能量
变化特点；同时掌握横波和纵波这两种波形成的本
质与传播特点，通常以“图像”作为载体,综合考查考
生对波的理解能力、推理能力和空间想象能力.其中
波的叠加和干涉是高频考点，而振动方程虽然考频
较低，但近些年高考卷中偶有出现,需要引起重视.
题型1 机械振动与机械波综合
角度1 简谐运动及图像
受力特征
运动特征
能量特征 振幅越大，能量越大.在运动过程中，系统的动能和势能相互转
化，机械能守恒
周期性特征
对称性特征
图像及应用
续表
例1 [2024·福建卷] 如图甲所示，装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一
小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动.取竖直向
上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图乙所示，则试管
( )
A.振幅为 B.振动频率为
C.在时速度为零 D.在 时加速度方向竖直向下
√
[解析] 由图乙可知该振动的振幅为、周期,根据 可得振动频
率为,故选项A错误，B正确； 时试管回到平衡位置，速度最大，
故选项C错误；在 时，试管处于向下最大位移处，回复力方向竖直向上，
加速度方向竖直向上，故选项D错误.
例2 [2025·四川卷] 如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂
在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内.将四个
小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放.释放后小球都做简谐运动.当
小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，同时小球
乙、丁恰好到达另一侧最高点.则( )
A.小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零
B.小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零
C.小球甲、乙的振动周期之比为
D.小球丙、丁的摆长之比为
√
[解析] 根据单摆周期公式，可知 ，设甲的周期为
，根据题意可得，可得， ，
，可得，，根据单摆周期公式 ，
结合，可得小球丙、丁的摆长之比 ，故C正确，D错
误；小球甲第一次回到释放位置时，即经过(即 )时间，小球丙到达另一侧
最高点，此时速度为零，位移最大，根据 可知此时加
速度最大，故A错误；根据上述分析可得 ，小球丁
第一次回到平衡位置时，小球乙振动的时间为(即 )可知
此时小球乙在平衡位置，速度最大，动能最大，故B错误.
【通法通则】
单摆模型及其拓展
支撑面“单摆” ________________________________________________________________________________________________
偏角很小时等效为单摆
等效单摆
续表
【整合进阶】
进阶1 (简谐运动对称性在万有引力中的应用)[2024·辽宁卷] 如图甲所示,将一弹簧振子竖
直悬挂,以小球的平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向，建立 轴. 若将小球从弹簧原
长处由静止释放,其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图乙所示 (不考虑自转影
响).设地球、该天体的平均密度分别为和,地球半径是该天体半径的倍， 的值为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设地球表面的重力加速度为，球状天体表面的重力加速度为 ，弹簧
的劲度系数为，根据简谐运动的对称性有 ，
，解得,设球状天体的半径为，则地球的半径为 ，
在地球表面有，在球状天体表面有 ，联立
解得 ，故C正确.
进阶2 (简谐运动对称性在动力学中的应用)(多选)[2025·河北卷] 如图，截面为
等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，两个相同的小物块通过不可伸长
的细绳跨过顶端的轻质定滑轮，静止在斜面体两侧，细绳与斜面平行.此外，两
物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连，且弹簧均处于原长.将左侧小物
块沿斜面缓慢拉下一小段距离，然后松开.弹簧始终在弹性限度内，斜面倾角为
，不计摩擦和空气阻力.在两物块运动过程中，下列说法正确的是( )
A.左侧小物块沿斜面做简谐运动
B.细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大
C.右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等
D.若 增大，则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长
√
√
[解析] 对左侧小物块，设它沿斜面向下的位移为 ，则有
,此时，对右侧小物块有 ,联立
可得,则左侧小物块受到的合外力 ，方向与位移方向相
反，故其做简谐运动，故A正确；根据以上分析，可得 ，可知
绳的拉力保持不变，故B错误；同理可知，右侧小物块也做简谐运动，根据对
称性，其在最高和最低位置的加速度大小相等，故C正确；弹簧振子振动周期
，与斜面夹角无关，故D错误.
角度2 振动图像和波动图像的综合应用
例3 (多选)[2025·山东卷] 均匀介质中分别沿 轴负向和正向传播的甲、乙两列
简谐横波，振幅均为，波速均为，、为介质中的质点. 时刻
的波形图如图所示，、的位移均为 .下列说法正确的是( )
A.甲波的周期为
B.乙波的波长为
C.时，向 轴正方向运动
D.时，向 轴负方向运动
√
√
[解析] 根据题图可知甲波的波长为，根据，可得 ，
A错误；设点左边在平衡位置的质点与质点平衡位置的距离为 ，根据题图
有，又，可得 ，
，B正确；时即经过，结合同侧法可知向 轴负方向
运动，C错误；同理根据 ，可得
，根据同侧法可知时向 轴负方
向运动，时即经过时间，仍向 轴负
方向运动，D正确.
角度3 振动与波的多解问题
例4 (多选)[2025· 陕青宁晋卷] 一列简谐横波在介质中沿直线
传播，其波长大于，、为介质中平衡位置相距 的两质
点，其振动图像如图所示.则 时的波形图可能为( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 根据振动图像可知当波的传播方向为从到 时，
，，解得或1，即 或 ，
当波的传播方向为从到时，， ，解得
或1，即 或 ，同时时，处于平衡位置， 处于波谷位置，
结合图像可知A、D正确.
【通法通则】
波的多解问题
题型2 波的叠加、干涉、衍射、多普勒效应
例5 [2025·广东清远二模] “稻花香里说丰年，听取蛙声一片.”图甲所示为青蛙通
过振动鸣囊产生水面波动，其周期性振动在水面形成机械波.某时刻波形可抽象
为沿轴传播的简谐横波(如图乙)，取青蛙位置为坐标原点， 为波阵面上某一
点.已知波速 ，则( )
A.该时刻 点的振动方向向上
B.该青蛙鼓囊鸣叫的频率为
C.水面上大小为 的小石头不能阻挡水波的继续传播
D.若水中再有一只青蛙鼓囊鸣叫，则两列水波一定会产生
干涉
√
[解析] 由于波沿轴正方向传播，所以该时刻 点向下振动，故A错误；根据波
速公式，则，故B错误;水面波的波长 ，
根据波发生明显衍射的条件是障碍物或孔的尺寸比波长小或相差不多，水面上
大小为 的小石头尺寸小于波长，能发生明显衍射，不会阻挡水波的继续传
播，故C正确；两列波产生干涉的条件是频率相同、相位差恒定、振动方向相
同,水中再有一只青蛙鼓囊鸣叫，不能保证两列水波满足干涉条件，所以不一定
会产生干涉，故D错误.
【通法通则】
波的衍射 产生明显衍射现象的条件是缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相
差不大或者小于波长
例6 [2025·北京海淀区质检] 蝙蝠在洞穴中飞来飞去时，它利用超声脉冲导航非
常有效，这种超声脉冲是持续或不到 的短促发射，且每秒重复发射几
次.假定蝙蝠的超声脉冲发射频率为 ，在一次正朝着表面平直的墙壁飞
扑的期间，则下列判断正确的是( )
A.墙壁接收到的超声脉冲频率等于
B.蝙蝠接收到从墙壁反射回来的超声脉冲频率等于墙壁接收的频率
C.蝙蝠接收到从墙壁反射回来的超声脉冲频率大于墙壁接收的频率
D.蝙蝠接收到从墙壁反射回来的超声脉冲频率等于
√
[解析] 蝙蝠在靠近墙运动，所以相当于波源在靠近接收器，故墙壁接收到的超
声脉冲频率大于 ，A错误；蝙蝠与其关于墙壁的像之间的靠近速度为
蝙蝠速度的2倍；故蝙蝠接收到从墙壁反射回来的超声脉冲频率大于墙壁接收的
频率，故B错误，C正确；蝙蝠接收到从墙壁反射回来的超声脉冲频率大于
，故D错误.
【通法通则】
多普勒 效应
【整合进阶】
进阶3 (波的干涉综合计算)(多选)[2025·浙江1月选考] 如图甲所示，两波源 和
分别位于与处，以 为边界，两侧为不同的均匀介质.
时两波源同时开始振动，其振动图像相同，如图乙所示. 时
与 两处的质点开始振动.不考虑反射波的影响，则( )
A. 时两列波开始相遇
B.在间波的波长为
C.两列波叠加稳定后， 处的质点振动减弱
D.两列波叠加稳定后，在 间共有7个加强点
√
√
[解析] 在波的传播过程中，当时，位于和 处的质点开
始振动，则在左侧，波的传播速度为，而在 右侧，波的
传播速度为.当波从右侧跨越后，其速度变为 ，则再经
两列波开始相遇,因此 ，A错误.根据波长公式
，可得间波的波长，B正确； 传播到
所需时间，此时 正从平衡位置向下运动，此后可等效
在和 处的两个波源(相位相反)在右介质中传播，
干涉稳定后，在两波源中点 处为振动减弱点.在两波源连线上，相邻两
减弱点距离为，故也为减弱点，C正确；时 正从
平衡位置向上运动，此后可等效为在和 处的两个波源(相位相同)
在左介质中传播，干涉稳定后，加强点满足到两等效波源距离差 ，
,1,2, 其中，，解得 ，故
有15个加强点，D错误.
题型1 机械振动与机械波综合
1.(多选)一列简谐横波沿轴正方向传播，图甲是 时刻的波形图，图乙和丙
分别是 轴上某两处质点的振动图像.这两质点平衡位置之间的距离可能是
( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 由题图甲可知，波的波长符合，解得 ，振幅
为，设题图乙为质点的振动图像，根据题图可知，点在 时在平衡位
置上方处，运动方向沿轴正方向，设题图丙为质点 的振动图像，
在 时处于平衡位置，向下振动，结合波形图找到两质点的对应点，如图
所示，四分之一波长为，若在 的左边，两平衡位置的距离为
，若在 的右边，两平衡位置的距离为
，若考虑周期性得或 ，
故选A、C.
2.[2023·湖北卷] 一列简谐横波沿轴正向传播，波长为，振幅为 .介
质中有和两个质点，其平衡位置分别位于和 处.某时
刻质点的位移为，且向轴正方向运动.从该时刻开始计时， 质点的
振动图像为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 、之间的距离为,此时质点的位移为 且
向轴正方向运动，令此时质点的相位为 ，则有 ,解得
或(舍去，向下振动),此波沿轴正方向传播，由、 之间
的位置关系可知,则，可知 质点此时
的位移为 ,且向下振动，故A正确.
3.(多选)一列简谐横波在均匀介质中沿轴传播， 时刻的波形如图甲所示，
其中位于横坐标处的一质点的振动图像如图乙所示， 是图甲中纵坐
标为 的另一质点.下列说法正确的是( )
A.该横波的传播速度大小为 B.该横波的传播方向为 轴负方向
C.点的横坐标为 D.时点的位移是
√
√
[解析] 该横波的传播速度大小为，选项A正确；因
时刻，质点沿轴正向运动，结合波形图“同侧法”可知该横波的传播方向为
轴正方向，选项B错误；由数学知识可知，点的平衡位置到 处的距离
为，即点的横坐标为，选项C正确； 时波沿
轴正向传播，此时处的质点在波峰位置，则 点的位移是
，选项D错误.
4.如图甲所示，均匀介质中存在垂直水平面(面)振动的两个波源和 ，波源
、的振动频率相同.其中的振幅为，、在轴上坐标为 ，
.开始振动后，以与相同的起振方向开始振动，记此时为
时刻.时两列波同时到达、连线上的点，点横坐标未知， 点的
振动图像如图乙所示.求：
(1) 、在介质中形成的机械波的周期和波速 ；
[答案] ;
[解析] 由题目所给点振动图像可知
先振动后开始振动，振动后两波同时到达点，设波速为 ，
则
解得
4.如图甲所示，均匀介质中存在垂直水平面(面)振动的两个波源和 ，波源
、的振动频率相同.其中的振幅为，、在轴上坐标为 ，
.开始振动后，以与相同的起振方向开始振动，记此时为
时刻.时两列波同时到达、连线上的点，点横坐标未知， 点的
振动图像如图乙所示.求：
(2) 从至，质点运动的路程 .
[答案]
[解析] 两列波的波长
，
由几何关系有，，，
从时开始振动，在内，
在点，，、波源振动反相，故 为振动加强点，由题
图乙可知，振动加强点振幅为
因、波源振动反相，则，故为加强点振幅为
在内，
从至，质点的路程为
题型2 波的叠加、干涉、衍射、多普勒效应
1.(多选)[2023·辽宁卷] “球鼻艏”是位于远洋轮船船头水面下方的装置，当轮船
以设计的标准速度航行时，球鼻艏推起的波与船首推起的波如图所示，两列波
的叠加可以大幅度减小水对轮船的阻力.下列现象的物理原理与之相同的是
( )
A.插入水中的筷子，看起来折断了
B.阳光下的肥皂膜，呈现彩色条纹
C.驶近站台的火车，汽笛音调变高
D.振动音叉的周围，声音忽高忽低
√
√
[解析] 题述现象的物理原理是波的叠加.插入水中的筷子看起来折断了是光的折
射造成的，与题述的物理原理不相同，A错误；阳光下的肥皂膜呈现彩色条纹，
是由于光在薄膜上下表面的反射光叠加造成的干涉现象，与题述的物理原理相
同，B正确；驶近站台的火车汽笛音调变高是多普勒现象造成的，与题述的物
理原理不相同，C错误；振动音叉的周围声音忽高忽低，是声音的叠加造成的
干涉现象，与题述的物理原理相同，D正确.
2.如图甲所示，在平面直角坐标系内，点坐标为， 点坐标为
，点坐标为，点和 点分别有振动情况相同的两个波源，
时刻开始振动，其振动图像如图乙所示，已知波的传播速度为 ，下列
说法正确的是( )
A.波长为
B. 点是振动减弱点
C.连线上(含、 两点)有6个振动加强点
D.时间内，质点振动的路程为
√
[解析] 由题图乙可知，振动周期，则波长 ，故A错误；
由几何关系得、两波源到的波程差 ，所以 点是振动加强
点，故B错误；、连线上(含、两点)共有满足 ， ， ， ，
0， ， 的7个振动加强点，故C错误；两波源的波到达 点的时间分别为
，，则在时间内， 质点振动的路程为
，在时间内， 质点振动的路程为
，在时间内质点振动的路程为 ，
故D正确.
3.[2024·安徽卷] 某仪器发射甲、乙两列横波，在
同一均匀介质中相向传播，波速 大小相等.某时刻
的波形图如图所示，则这两列横波( )
A.在处开始相遇 B.在 处开始相遇
C.波峰在处相遇 D.波峰在 处相遇
[解析] 由题意可知两列波的波速相同，所以相同时间内传播的距离相同，故两
列横波在处开始相遇，故A、B错误；甲波峰的坐标为 ，乙
波峰的坐标为 ，由于两列波的波速相同，所以波峰在
处相遇，故C正确，D错误.
√第5讲 机械振动和机械波
题型1
例1 B [解析] 由图乙可知该振动的振幅为1.0 cm、周期T=0.4 s,根据f=可得振动频率f为2.5 Hz,故选项A错误,B正确;t=0.1 s时试管回到平衡位置,速度最大,故选项C错误;在t=0.2 s时,试管处于向下最大位移处,回复力方向竖直向上,加速度方向竖直向上,故选项D错误.
例2 C [解析] 根据单摆周期公式T=2π,可知T丁>T丙>T乙>T甲,设甲的周期为T甲,根据题意可得2T甲==T丙=,可得T丙=2T甲,T乙=T甲,T丁=4T甲,可得T甲∶T乙=3∶4,T丙∶T丁=1∶2,根据单摆周期公式T=2π,结合T丙∶T丁=1∶2,可得小球丙、丁的摆长之比L丙∶L丁=1∶4,故C正确,D错误;小球甲第一次回到释放位置时,即经过T甲时间,小球丙到达另一侧最高点,此时速度为零,位移最大,根据a=-可知此时加速度最大,故A错误;根据上述分析可得T乙=T丁,小球丁第一次回到平衡位置时,小球乙振动的时间为可知此时小球乙在平衡位置,速度最大,动能最大,故B错误.
【整合进阶】
进阶1 C [解析] 设地球表面的重力加速度为g,球状天体表面的重力加速度为g',弹簧的劲度系数为k,根据简谐运动的对称性有k·4A-mg=mg,k·2A-mg'=mg',解得=2,设球状天体的半径为R,则地球的半径为nR,在地球表面有G=mg,在球状天体表面有G=mg',联立解得=,故C正确.
进阶2 AC [解析] 对左侧小物块,设它沿斜面向下的位移为x,则有FT+kx-mgsin θ=ma,此时,对右侧小物块有mgsin θ+kx-FT=ma,联立可得2kx=2ma,则左侧小物块受到的合外力F=ma=kx,方向与位移方向相反,故其做简谐运动,故A正确;根据以上分析,可得2FT=2mgsin θ,可知绳的拉力保持不变,故B错误;同理可知,右侧小物块也做简谐运动,根据对称性,其在最高和最低位置的加速度大小相等,故C正确;弹簧振子振动周期T=2π,与斜面夹角无关,故D错误.
例3 BD [解析] 根据题图可知甲波的波长为λ甲=4 m,根据λ甲=vT甲,可得T甲=4 s,A错误;设N点左边在平衡位置的质点与N质点平衡位置的距离为x,根据题图有1 cm=2sin ×(cm),又6 m-2 m-2x=,可得x=0.5 m,λ乙=6 m,B正确;t=6 s时即经过T甲+,结合同侧法可知M向y轴负方向运动,C错误;同理根据λ乙=vT乙,可得T乙=6 s,根据同侧法可知t=0时N向y轴负方向运动,t=6 s时即经过时间T乙,N仍向y轴负方向运动,D正确.
例4 AD [解析] 根据振动图像可知当波的传播方向为从a到b时,xab=λ+nλ,λ>1 m,解得n=0或1,即xab=λ或λ,当波的传播方向为从b到a时,xab=λ+nλ,λ>1 m,解得n=0或1,即xab=λ或λ,同时t=0时,a处于平衡位置,b处于波谷位置,结合图像可知A、D正确.
题型2
例5 C [解析] 由于波沿x轴正方向传播,所以该时刻P点向下振动,故A错误;根据波速公式v=λf,则f== Hz=50 Hz,故B错误;水面波的波长λ=8 cm,根据波发生明显衍射的条件是障碍物或孔的尺寸比波长小或相差不多,水面上大小为6 cm的小石头尺寸小于波长,能发生明显衍射,不会阻挡水波的继续传播,故C正确;两列波产生干涉的条件是频率相同、相位差恒定、振动方向相同,水中再有一只青蛙鼓囊鸣叫,不能保证两列水波满足干涉条件,所以不一定会产生干涉,故D错误.
例6 C [解析] 蝙蝠在靠近墙运动,所以相当于波源在靠近接收器,故墙壁接收到的超声脉冲频率大于39 000 Hz,A错误;蝙蝠与其关于墙壁的像之间的靠近速度为蝙蝠速度的2倍;故蝙蝠接收到从墙壁反射回来的超声脉冲频率大于墙壁接收的频率,故B错误,C正确;蝙蝠接收到从墙壁反射回来的超声脉冲频率大于39 000 Hz,故D错误.
【整合进阶】
进阶3 BC [解析] 在波的传播过程中,当t=0.1 s时,位于x=4 m和x=6 m处的质点开始振动,则在x=6 m左侧,波的传播速度为40 m/s,而在x=6 m右侧,波的传播速度为60 m/s.当波从右侧跨越x=6 m后,其速度变为40 m/s,则再经Δt= s两列波开始相遇,因此t=0.1 s+ s=0.125 s,A错误.根据波长公式λ=vT,可得6 m1.C [解析] 系统的固有频率只与系统本身有关,与驱动力频率无关,A错误;只有驱动力频率与系统固有频率相同时,共振才能发生,B错误;根据多普勒效应可知观察者与波源相互远离时,接收到的波的频率比波源的频率小,观察者与波源相互靠近时,接收到的波的频率比波源的频率大,所以应用多普勒效应可以测量车辆的速度,C正确,D错误.
2.B [解析] 根据“同侧法”可知,A点的起振方向为向上,由于A点的起振方向与手的起振方向相同,故手的起振方向向上,A错误;由于波的传播速度只与介质有关,故减小手的振动频率,绳波的传播速度不发生变化,B正确;λ=,波的传播速度只与介质有关,绳波的传播速度不发生变化,若增大手的振动频率,绳波的波长将减小,C错误;若停止手的振动,绳中波形会继续传播,不会立即消失,D错误.
3.C [解析] 根据题意P点位于其最大正位移处,故可知此时P点位于两列波的波峰与波峰相交处,B、D错误.根据干涉规律可知,相邻波峰与波峰交点、波谷与波谷交点连线上的点都是加强点,故A图像中的曲线ab上存在振动加强点,不符合题意.故选C.
4.AD [解析] 释放小球b后,当小球b向上运动挤压弹簧时,若弹簧的弹力大于小球a的重力,小球a会向上运动,A正确;当小球a向上运动时小球b不做简谐运动,所以小球b始终做简谐运动的临界条件是弹簧压缩时的最大弹力大小等于mg,此时弹簧的压缩量为x1=,小球b做简谐运动,在平衡位置时弹簧的伸长量为x2=,所以最大振幅为Amax=x1+x2=,即将小球b下拉l≤Amax=时,小球b才能始终做简谐运动,C错误,D正确;小球b做简谐运动时的振幅为A=l,B错误.
5.AC [解析] 由题图知,弹簧振子的周期为T=4 s,振幅为10 cm,A正确;由周期性知,t=17 s时振子相对平衡位置的位移与t=1 s时振子相对平衡位置的位移相同,均为0,B错误;若纸带运动的速度为2 cm/s,振动图线上t=1 s到t=3 s间的距离x=vt=2 cm/s×2 s=4 cm,C正确;x t图像的斜率表示速度,斜率的正负表示速度的方向,则2.5 s时振子的速度为负,正在向x轴负方向运动,D错误.
6.A [解析] 由题图乙可知t=1.0 s时刻质点Q正沿y轴负方向运动,所以此时质点Q应位于波形的上坡上,则该波沿x轴负方向传播,故A正确;该波的周期为T=2.0 s,所以从t=1.0 s到t=1.5 s时间内,质点P从波峰位置沿y轴负方向运动四分之一个周期,则t=1.5 s时,质点P运动至平衡位置,位移为零,故B错误;从t=1.0 s到t=1.5 s时间内,质点Q从平衡位置沿y轴负方向运动四分之一个周期,则t=1.5 s时,质点Q位于波谷处,回复力方向沿y轴正方向,故C错误;该波的周期为T=2.0 s,波长为λ=8 m,所以波速为v==4 m/s,故D错误.
7.AD [解析] 由图像可知两列简谐横波在x轴上的-2 m到2 m间叠加,波长均为4 m,波源P产生的简谐横波的振幅为6 m,波源Q产生的简谐横波的振幅为2 m,在同一介质中波速相同,由于两列简谐横波的波长也相同,故两列简谐横波的频率相同,故A正确,B错误;平衡位置x=0处的质点与两波源之间的波程差为0,该点为振动加强点,平衡位置x=1 m处的质点波程差为Δx=2 m=×1,该点为振动减弱点,故C错误,D正确.
8.AD [解析] 两横波的波长均为λ==4 m,故A正确;两列波传到C处所需时间分别为t1= s=0.3 s,t2= s=0.5 s,T==0.4 s,故t=0.4 s时,A处波已传到C处且振动了T,故C处质点处于正向或负向最大位移处,加速度最大,速度为零,故B、C错误;分析可知t=0.6 s时两列波都已传播到C处,C处质点到两波源的距离差为Δx=5 m-3 m=2 m=λ,故C处为振动减弱点,由于两列波振幅相同,故C处位移始终为零,速度为零,故D正确.
9.AD [解析] 已知两波源的振动传播到P点的时间差为6 s,则有Δt=,Δx=BP-AP=3 m,解得波速为v=0.5 m/s,由图乙可知周期为T=4 s,则波长为λ=vT=0.5×4 m=2 m,故A正确;由Δx=3 m=3×λ,可知P点为振动减弱点,所以当两波源的振动均传到P点后,P点的振幅为A'=A1-A2=0.1 m,故B错误;以B波源传到P点时为计时起点,此时A、B两列波已相遇,相遇时两列波相位差为π,相遇时P点开始从平衡位置向下振动,经1 s,偏离平衡位置的位移为-0.1 m,故C错误;以A波源传到P点时为计时起点,前6 s质点P仅受A波源产生的波的影响,走过的路程为s1=×4A1=6A1=6×0.2 m=1.2 m,后2 s两波相遇,振幅为0.1 m,走过的路程为s2=2A'=2×0.1 m=0.2 m,则再过8 s,P点走过的路程为s=s1+s2=1.4 m,故D正确.
10.CD [解析] 根据图丙可知,t=0时刻,质点P沿y轴正方向振动,根据同侧法可知该波沿x轴正方向传播,故A错误;因为P点比Q点先振动,所以Q点在P点右侧,根据题意可知nλ+λ=1.05 m(n=0,1,2,…),整理得λ= m(n=0,1,2,…),又因为该波波长在0.5 m至1 m之间,所以λ=0.6 m,该波的传播速度为v== m/s=0.75 m/s,故B错误;ω==rad/s= rad/s,因此Q的振动方程为y=0.2sin m,故C正确;根据明显衍射的条件可知,当障碍物的尺寸小于波长或与波长接近时,该波将发生明显衍射,故D正确.
11.(1)(20n+15) m/s(n=0,1,2,3,…) (2)0.8 s (3)沿y轴负方向
[解析] (1)由图知,该波的波长为λ=4 m
波沿x轴负方向传播时,传播的距离为Δx=λ=4n+3(m)(n=0,1,2,3,…)
传播的速度为v==(20n+15) m/s(n=0,1,2,3,…)
(2)波沿x轴正方向传播,传播的时间与周期关系为
Δt=(n+)T(n=0,1,2,3,…)
解得T== s(n=0,1,2,3,…)
当n=0时周期最大,即最大周期为0.8 s
(3)波在0.2 s内传播的距离为Δx=vΔt=25×0.2 m=5 m
传播的波长数n==,可认为波形图平移了λ的距离.可知波沿x轴正方向传播.所以P点在t=0时刻沿y轴负方向运动第5讲 机械振动和机械波
【关键能力】 振动质点作为振源,掌握两种典型的简谐运动弹簧振子与单摆;振动在介质中形成机械波.理解机械振动与机械波,一定要掌握其运动学、动力学与能量变化特点;同时掌握横波和纵波这两种波形成的本质与传播特点,通常以“图像”作为载体,综合考查考生对波的理解能力、推理能力和空间想象能力.其中波的叠加和干涉是高频考点,而振动方程虽然考频较低,但近些年高考卷中偶有出现,需要引起重视.
题型1 机械振动与机械波综合
角度1 简谐运动及图像
受力特征 回复力F=-kx,F或a的大小与x的大小成正比,方向相反
运动特征 衡位置时,a、F、x都减小,v增大;远离平衡位置时,a、F、x都增大,v减小
能量特征 振幅越大,能量越大.在运动过程中,系统的动能和势能相互转化,机械能守恒
周期性 特征 质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化,变化周期就是简谐运动的周期T;动能和势能也随时间做周期性变化,其变化周期为
对称 性特征 关于平衡位置O对称的两点,速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相等;由对称点到平衡位置O用时相等
图像及 应用
例1 [2024·福建卷] 如图甲所示,装有砂粒的试管竖直静浮于水中,将其提起一小段距离后释放,一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动.取竖直向上为正方向,以某时刻作为计时起点,试管振动图像如图乙所示,则试管 ( )
A.振幅为2.0 cm
B.振动频率为2.5 Hz
C.在t=0.1 s时速度为零
D.在t=0.2 s时加速度方向竖直向下
例2 [2025·四川卷] 如图所示,甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上,从左至右摆长依次增加,小球静止在纸面所示竖直平面内.将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度,由静止同时释放.释放后小球都做简谐运动.当小球甲完成2个周期的振动时,小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点,同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点.则 ( )
A.小球甲第一次回到释放位置时,小球丙加速度为零
B.小球丁第一次回到平衡位置时,小球乙动能为零
C.小球甲、乙的振动周期之比为3∶4
D.小球丙、丁的摆长之比为1∶2
[反思感悟]
单摆模型及其拓展
支撑面 “单摆” 偏角很小时等效为单摆
等效 单摆 g0=g± g0=gsin θ 等效摆长l=l1sin θ
【整合进阶】
进阶1 (简谐运动对称性在万有引力中的应用)[2024·辽宁卷] 如图甲所示,将一弹簧振子竖直悬挂,以小球的平衡位置为坐标原点O,竖直向上为正方向,建立x轴.若将小球从弹簧原长处由静止释放,其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图乙所示(不考虑自转影响).设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2,地球半径是该天体半径的n倍,的值为 ( )
A.2n B. C. D.
进阶2 (简谐运动对称性在动力学中的应用)(多选)[2025·河北卷] 如图,截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上,两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮,静止在斜面体两侧,细绳与斜面平行.此外,两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连,且弹簧均处于原长.将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离,然后松开.弹簧始终在弹性限度内,斜面倾角为θ,不计摩擦和空气阻力.在两物块运动过程中,下列说法正确的是 ( )
A.左侧小物块沿斜面做简谐运动
B.细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大
C.右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等
D.若θ增大,则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长
角度2 振动图像和波动图像的综合应用
例3 (多选)[2025·山东卷] 均匀介质中分别沿x轴负向和正向传播的甲、乙两列简谐横波,振幅均为2 cm,波速均为1 m/s,M、N为介质中的质点.t=0时刻的波形图如图所示,M、N的位移均为1 cm.下列说法正确的是 ( )
A.甲波的周期为6 s
B.乙波的波长为6 m
C.t=6 s时,M向y轴正方向运动
D.t=6 s时,N向y轴负方向运动
角度3 振动与波的多解问题
例4 (多选)[2025·陕青宁晋卷] 一列简谐横波在介质中沿直线传播,其波长大于1 m,a、b为介质中平衡位置相距2 m的两质点,其振动图像如图所示.则t=0时的波形图可能为 ( )
A
B
C
D
波的多解问题
题型2 波的叠加、干涉、衍射、多普勒效应
例5 [2025·广东清远二模] “稻花香里说丰年,听取蛙声一片.”图甲所示为青蛙通过振动鸣囊产生水面波动,其周期性振动在水面形成机械波.某时刻波形可抽象为沿x轴传播的简谐横波(如图乙),取青蛙位置为坐标原点O,P为波阵面上某一点.已知波速v=4 m/s,则 ( )
A.该时刻P点的振动方向向上
B.该青蛙鼓囊鸣叫的频率为0.5 Hz
C.水面上大小为6 cm的小石头不能阻挡水波的继续传播
D.若水中再有一只青蛙鼓囊鸣叫,则两列水波一定会产生干涉
波的干涉 (波程差 Δr) (1)当两波源振动步调一致时 若Δr=nλ(n=0,1,2,…),则振动加强 若Δr=(2n+1)(n=0,1,2,…),则振动减弱 (2)当两波源振动步调相反时 若Δr=(2n+1)(n=0,1,2,…),则振动加强 若Δr=nλ(n=0,1,2,…),则振动减弱
波的衍射 产生明显衍射现象的条件是缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不大或者小于波长
例6 [2025·北京海淀区质检] 蝙蝠在洞穴中飞来飞去时,它利用超声脉冲导航非常有效,这种超声脉冲是持续1 ms或不到1 ms的短促发射,且每秒重复发射几次.假定蝙蝠的超声脉冲发射频率为39 000 Hz,在一次正朝着表面平直的墙壁飞扑的期间,则下列判断正确的是 ( )
A.墙壁接收到的超声脉冲频率等于39 000 Hz
B.蝙蝠接收到从墙壁反射回来的超声脉冲频率等于墙壁接收的频率
C.蝙蝠接收到从墙壁反射回来的超声脉冲频率大于墙壁接收的频率
D.蝙蝠接收到从墙壁反射回来的超声脉冲频率等于39 000 Hz
多普勒 效应 (1)接收频率:观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完整波的个数.当波以速度v通过观察者时,时间t内通过的完整波的个数为N=,因而单位时间内通过观察者的完整波的个数即接收频率 (2)当波源与观察者相互靠近时,观察者接收到的频率变大,当波源与观察者相互远离时,观察者接收到的频率变小
【整合进阶】
进阶3 (波的干涉综合计算)(多选)[2025·浙江1月选考] 如图甲所示,两波源S1和S2分别位于x=0与x=12 m处,以x=6 m为边界,两侧为不同的均匀介质.t=0时两波源同时开始振动,其振动图像相同,如图乙所示.t=0.1 s时x=4 m与x=6 m两处的质点开始振动.不考虑反射波的影响,则 ( )
A.t=0.15 s时两列波开始相遇
B.在6 mC.两列波叠加稳定后,x=8.4 m处的质点振动减弱
D.两列波叠加稳定后,在01.[2025·广东卷] 关于受迫振动和多普勒效应,下列说法正确的是 ( )
A.系统的固有频率与驱动力频率有关
B.只要驱动力足够大,共振就能发生
C.应用多普勒效应可以测量车辆的速度
D.观察者与波源相互远离时,接收到的波的频率比波源的频率大
2.[2025·江苏南京模拟] 将较长的绳一端固定在墙上,另一端用手捏住以恒定振幅上下持续振动,产生的绳波沿绳自左向右传播,图示时刻波形刚好传播到A点.下列判断正确的是 ( )
A.手的起振方向向下
B.若减小手的振动频率,绳波的传播速度不发生变化
C.若增大手的振动频率,绳波的波长将增大
D.若停止手的振动,绳中波形立即消失
3.[2025·黑吉辽蒙卷] 平衡位置在同一水平面上的两个振动完全相同的点波源,在均匀介质中产生两列波.若波峰用实线表示,波谷用虚线表示,P点位于其最大正位移处,曲线ab上的所有点均为振动减弱点,则下列图中可能满足以上描述的是 ( )
A
B
C
D
4.(多选)[2025·湖北卷] 质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接,小球a由不可伸长的细线悬挂在O点,系统处于静止状态,如图所示.将小球b竖直下拉长度l后静止释放.重力加速度大小为g,忽略空气阻力,弹簧始终在弹性限度内.释放小球b后 ( )
A.小球a可能会运动
B.若小球b做简谐运动,则其振幅为
C.当且仅当l≤时,小球b才能始终做简谐运动
D.当且仅当l≤时,小球b才能始终做简谐运动
5.(多选)[2025·湖南四校质检] 简谐运动的振动图线可用下述方法画出:如图甲所示,在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P,让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动,笔P在纸带上画出的就是小球的振动图像.取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向,纸带运动的距离代表时间,得到的振动图线如图乙所示.则下列说法正确的是 ( )
A.弹簧振子的周期为4 s
B.t=17 s时振子相对平衡位置的位移是10 cm
C.若纸带运动的速度为2 cm/s,振动图线上t=1 s到t=3 s间的距离是4 cm
D.2.5 s时振子正在向x轴正方向运动
6.[2025·北京东城区质检] 图甲为一列简谐横波在t=1.0 s时的波形图,P是平衡位置为x=2 m处的质点,Q是平衡位置为x=4 m处的质点,图乙为质点Q的振动图像.下列判断正确的是 ( )
A.该波沿x轴负方向传播
B.t=1.5 s时,质点P的位移达到负向最大
C.t=1.5 s时,质点Q的回复力方向沿y轴负方向
D.这列简谐波的波速为8 m/s
7.(多选)[2025·河北示范性高中三模] 波源P、Q分别位于x轴上x=-6 m和x=6 m处,同时起振产生的两列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴相向传播,某时刻形成如图所示的波形.下列说法正确的是 ( )
A.两列简谐横波的频率相同,波长均为4 m
B.波源P产生的简谐横波的振幅为6 m,波源Q产生的简谐横波的振幅为4 m
C.平衡位置在x=0处的质点为振动减弱点
D.平衡位置在x=1 m处的质点为振动减弱点
8.(多选)[2025·湖南卷] 如图,A、B、C在xOy平面内,两波源分别置于A、B两点.t=0时,两波源从平衡位置起振,起振方向相同且垂直于xOy平面.频率均为2.5 Hz.两波源持续产生振幅相同的简谐横波,波分别沿AC、BC方向传播,波速均为10 m/s.下列说法正确的是 ( )
A.两横波的波长均为4 m
B.t=0.4 s时,C处质点加速度为0
C.t=0.4 s时,C处质点速度不为0
D.t=0.6 s时,C处质点速度为0
9.(多选)[2025·湖北武汉模拟] 如图甲所示,同种均匀介质中存在能产生简谐横波的A、B两个波源,A、B间距为5 m且同时起振,质点P在两波源的连线上,AP=1 m,两波源的振动图像如图乙中的实线和虚线所示.已知两波源的振动传播到P点的时间差为6 s.则 ( )
A.波源A形成的简谐横波在介质中的波长为2 m
B.当两波源的振动均传到P点后,P点的振幅为0.3 m
C.以B波源传到P点时为计时起点,再过1 s,P点偏离平衡位置的位移为0.1 m
D.以A波源传到P点时为计时起点,再过8 s,P点走过的路程为1.4 m
10.(多选)[2025·四川成都二模] 图甲为中国京剧中的水袖舞表演,若水袖的波浪可视为简谐横波,图乙为该简谐横波在t=0时刻的波形图,P、Q为该波上平衡位置相距1.05 m的两个质点,此时质点P位于平衡位置,质点Q位于波峰(未画出),且质点P比质点Q先振动.图丙为图乙中P点的振动图像.已知该波的波长在0.5 m至1 m之间,袖子足够长,则下列说法正确的是 ( )
A.该波沿x轴负方向传播
B.该波的传播速度为1 m/s
C.质点Q的振动方程为y=0.2sin (t+)m
D.若该波遇到一障碍物能发生明显的衍射现象,则该障碍物的尺寸可能为60 cm
11.[2025·辽宁沈阳质检] 如图所示是在竖直方向上振动并沿水平方向传播的简谐横波,实线是t=0时刻的波形图,虚线是t=0.2 s时刻的波形图.
(1)若波沿x轴负方向传播,求它传播的速度.
(2)若波沿x轴正方向传播,求它的最大周期.
(3)若波速是25 m/s,求t=0时刻P点的运动方向.
