(共65张PPT)
第6讲 功与能
网络构建
题型1 功、功率的分析和计算
题型2 动能定理及应用
题型3 机械能守恒和功能关系的应用
备用习题
◆
听课手册
【关键能力】
新高考中更注重科学思维的培养,试题一般选取一个实际的应用问题,需要通过建立模型,理清过程中能量传输的路径.由于是实际问题,涉及能量传输的效率,隐含着其他能量向内能的转化,所以把实际过程当作理想化过程往往是错的,需要有针对性地审
题.
题型1 功、功率的分析和计算
1.功的计算
(1)定义式： .
(2)变力做功通常应用动能定理、微元法、转换法、平均力法、图像法求解,或者
利用恒定功率求功公式 计算.
2.功率的计算
明确是求瞬时功率还是平均功率. 一般用于平均功率的计算,
为和速度的夹角 一般用于瞬时功率的计算.
例1 [2025·广东清远一模] 如图所示，两个完全相同的小球、 ，在同一高度
处以相同大小的初速度 分别水平抛出和竖直向上抛出，则( )
A.两小球落地时的速度相同
B.两小球落地时，重力的瞬时功率相同
C.从开始运动至落地，重力对两小球做功相同
D.从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相同
√
[解析] 由于两个球完全相同，并且都是只受重力的作用，所以两个球的机械能
守恒，那么在落地的时候，两个球的速度的大小都是相同的，但是方向不同，
A错误；根据机械能守恒可知，落地时两个球的速度的大小是相同的，但是它
们的速度的方向是不同的，竖直上抛的小球落地时速度的方向是竖直向下的，
但是平抛的小球落地时的速度与水平方向有一定的夹角，所以在两小球落地时，
重力的瞬时功率 是不同的，B错误；重力做功的大小只与小球的
初末位置有关，两个球从同一个地方抛出，最后又都落到了地面
上，它们的高度差是相同的，所以重力对两小球做功相同，C正
确；重力对两个球做的功的大小相同，但是它们运动的时间不同，
所以重力的平均功率 不同，D错误.
例2 (多选)[2025·陕西汉中联考] 一辆机车在水平路面上从静止开始做直线运动，
其加速度随时间变化的图像如图甲所示，机车牵引力和车速倒数 的关系图像
如图乙所示，机车前进过程中所受阻力大小恒定， 时刻机车达到额定功率，
之后保持该功率不变，下列说法正确的是( )
A.所受恒定阻力大小为 B.机车运动的额定功率为
C.机车匀加速运动的时间为 D.机车的质量为
√
√
[解析] 由图乙可知，机车在 段为恒定功率，当速度最大时，机车匀速行驶，
机车所受恒定阻力大小等于机车牵引力的大小，则有 ，A
正确；机车运动的额定功率 ，B错误；
机车匀加速的末速度， 段机车以恒定加速度加
速启动，由甲图可知机车的加速度为 ，机车匀加速运动的时间
，C错误；根据牛顿第二定律，结合图甲可得 ，解得
，故D正确.
【通法通则】
机车 启动 两个基本关系式
恒定功率启动
恒定加速度启动
【整合进阶】
进阶1 (平抛运动中的功率计算)[2024·安徽卷] 在某地区
的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，
简化模型如图所示.水井中的水面距离水平地面的高度
为.出水口距水平地面的高度为 ，与落地点的水平距
A. B.
C. D.
离约为.假设抽水过程中保持不变，水泵输出能量的 倍转化为水被抽到出水
口处增加的机械能.已知水的密度为 ，水管内径的横截面积为 ，重力加速度
大小为 ，不计空气阻力.则水泵的输出功率约为( )
√
[解析] 设水从出水口射出的初速度为，取 时间内的水为研究对象，该部分水
的质量为 ，根据平抛运动规律可得， ，解得
，根据功能关系得
，联立解得水泵
的输出功率为 ，
故选B.
题型2 动能定理及应用
1.应用动能定理解题的步骤图
2.应用动能定理的注意点
(1)动能定理表达式是一个标量式,在某个方向上应用动能定理是没有依据的.
(2)多过程往复运动问题一般应用动能定理求解.
例3 [2025·湖北松滋模拟] 如图甲所示，一物块以一定初速度沿倾角为 的固
定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小恒定，物块动能与运动路程 的关系如
图乙所示.重力加速度大小取，物块质量和所受摩擦力大小 分别为
( )
A., B.,
C., D.,
√
[解析] 内物块上滑，由动能定理得 ，
整理得，结合 内的图像得，斜率的绝对
值， 内物块下滑，由动能定理得
，整理得
，结合 内的图像得，斜
率，联立解得、 ，故选A.
例4 [2025·福建卷] 如图甲，在竖直面内，有一长度大于的水平轨道 与光
滑半圆形轨道平滑衔接在点，轨道固定在水平面上，可视为质点的、
两个小物块靠在一起，并静止在水平轨道的左端，现给物块 施加一个水平向
右的推力，使、向右运动，表示物块相对初始位置运动的位移，推力
与位移的关系图如图乙所示，已知两物块质量均为，与水平轨道 间
动摩擦因数为，与水平轨道间无摩擦，重力加速度取 .
(1) 求物块离开初始位置向右运动的过程中，推力 做的功；
[答案]
[解析] 物块离开初始位置向右运动的过程中， 做的功
例4 [2025·福建卷] 如图甲，在竖直面内，有一长度大于的水平轨道 与光
滑半圆形轨道平滑衔接在点，轨道固定在水平面上，可视为质点的、
两个小物块靠在一起，并静止在水平轨道的左端，现给物块 施加一个水平向
右的推力，使、向右运动，表示物块相对初始位置运动的位移，推力
与位移的关系图如图乙所示，已知两物块质量均为，与水平轨道 间
动摩擦因数为，与水平轨道间无摩擦，重力加速度取 .
(2) 求物块位移时，与 之间的弹力大小；
[答案]
[解析] 对、整体，根据牛顿第二定律有
其中
对，根据牛顿第二定律有
联立解得
例4 [2025·福建卷] 如图甲，在竖直面内，有一长度大于的水平轨道 与光
滑半圆形轨道平滑衔接在点，轨道固定在水平面上，可视为质点的、
两个小物块靠在一起，并静止在水平轨道的左端，现给物块 施加一个水平向
右的推力，使、向右运动，表示物块相对初始位置运动的位移，推力
与位移的关系图如图乙所示，已知两物块质量均为，与水平轨道 间
动摩擦因数为，与水平轨道间无摩擦，重力加速度取 .
(3) 要使物块能到达 点，求半圆形轨道的半径应满足的条件.
[答案] 半径不大于
[解析] 当、之间的弹力为零时，、 分离，根据(2)分析可知此时
由题图乙可知此时
从开始到、分离的过程中，对、根据动能定理有
根据题图乙可得
从点到点，对根据动能定理有
能到达点时的最小速度应满足
联立可得
即半圆形轨道的半径应满足的条件为
【通法通则】
【整合进阶】
进阶2 (动能定理解决电场中动能问题)[2025· 黑吉辽蒙
卷] 如图，光滑绝缘水平面 与竖直面内光滑绝缘半
圆形轨道在点相切，轨道半径为，圆心为， 、
间距离为.原长为的轻质绝缘弹簧一端固定于 点，
A. B.
C. D.
另一端连接一带正电的物块.空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力
与重力大小相等.物块在点左侧释放后，依次经过、、 三点时的动能分别
为、、 ，则( )
√
[解析] 由题意可得点弹簧伸长量为，点和点弹簧压缩量为 ，即三个位置
弹簧弹性势能相等，则由从到 弹簧弹力做功为零，电场力做正功，可知动能
增加，,同理从到 弹簧弹力和电场力做功都为零，重力做负功，则
动能减小，,因为, ，则
由到全过程则有，因此 ，故
选C.
题型3 机械能守恒和功能关系的应用
1.机械能守恒定律的表达式
2.常见的功能关系
能量 功能关系 表达式
势能 重力做功等于重力势能减少量
弹力做功等于弹性势能减少量 静电力做功等于电势能减少量 分子间作用力做功等于分子势能减少量 动能 合外力做功等于物体动能变化量
能量 功能关系 表达式
机械能 除重力和弹力之外的其他力做功等于机械 能变化量
摩擦产生 的内能 一对相互作用的摩擦力做功代数和的绝对 值等于产生的内能
电能 克服安培力做功等于电能增加量
续表
例5 [2025·山东济南二模] 如图所示，竖直圆形光滑轨道固定在水平地面上，右
侧为管状结构，左侧为单层，外圆半径为.将质量为 的小球置于轨道最高点，
给小球一个轻微的扰动，让小球从右侧由静止滑下.已知管的内径略大于小球直
径，且远小于外圆半径，重力加速度为 .关于小球的运动，下列说法正确的是
( )
A.小球一定能够回到轨道最高点
B.小球运动过程中对轨道的最大压力为
C.小球脱离轨道时的速度大小为
D.小球脱离轨道时离地面的高度为
√
[解析] 小球从最高点滑下，由于轨道光滑，机械能守恒；当小球滑到最低点时，
重力势能完全转化为动能，再从最低点上升时，动能逐渐转化为重力势能，由
机械能守恒定律可知若小球最后能回到最高点则速度减为零，但是小球在左侧
单层轨道上运动时，会在中途脱离轨道导致无法回到最高点，故A错误；小球
在最低点时速度最大，对轨道的压力也最大，根据机械能
守恒定律，从最高点到最低点的过程满足 ，
解得 ，在最低点，小球受到的向心力由轨道的支
持力和重力提供，有 ，解得
，由牛顿第三定律可知小球对轨道的最大压力为
，故B错误；小球在左侧单层轨道上运动时，当重力不足以提供向心力时，
小球会脱离轨道，设小球脱离轨道时，小球与圆形轨道外圆圆心连线与竖直方
向的夹角为 ，此时小球的速度为，满足 ，从最高点到脱离点，
根据机械能守恒定律有 ，解得
，故C错误；小球脱离轨道时，小球与圆形轨道外
圆圆心连线与竖直方向的夹角 满足 ，此时小球
离地面的高度为 ，故D正确.
例6 [2025·四川卷] 如图所示，倾角为 的光滑斜面
固定在水平地面上，安装在其顶端的电动机通过不可
伸长轻绳与小车相连，小车上静置一物块.小车与物块
质量均为，两者之间动摩擦因数为 .电动机以恒定
A.物块的位移大小为 B.物块机械能增量为
C.小车的位移大小为 D.小车机械能增量为
功率 拉动小车由静止开始沿斜面向上运动.经过一段时间，小车与物块的速度
刚好相同，大小为 .运动过程中轻绳与斜面始终平行，小车和斜面均足够长，
重力加速度大小为 ，忽略其他摩擦.则这段时间内( )
√
[解析] 对物块根据牛顿第二定律有 ，解得
，根据运动学公式有，解得物块的位移大小为 ，故A
错误；物块机械能增量为 ，故B错误；对
小车根据动能定理有，其中 ，联立解得 ，故C正确；小车机械能增量为 ，故D错误.
例7 (多选)[2025·浙江绍兴模拟] 如图所示，劲度系数为的弹性绳一端系于 点，
绕过处的光滑小滑轮，另一端与质量为、套在光滑竖直固定杆 处的圆环
(视为质点)相连，、、三点等高，弹性绳的原长恰好等于、 间的距离，
、间的距离为.将圆环从点由静止释放，重力加速度大小为 ，弹性绳始终
处于弹性限度内，弹性绳的弹性势能，其中 为弹性绳的伸长量，下
列说法正确的是( )
A.圆环向下运动过程中，绳的弹性势能一直减小
B.圆环向下运动的最大距离为
C.圆环的最大动能为
D.圆环运动过程中的最大加速度为
√
√
[解析] 圆环向下运动过程中，绳的形变量一直增大，绳的弹性势能一直增大，
故A错误；根据机械能守恒定律得， ，解得
，故B正确；当圆环所受合力为零时，速度最大，动能最大，根据平衡
条件得，， ，根据机械能守恒定律得
，解得圆环的最大动能为
，故C正确；
对圆环进行分析，开始释放时的加速度为重力加速度 ，随后加速度先减小，后增大，增大的过程中根据牛顿第二定律有， ，
化简有，可见最大时有最大值，根据B选项，圆环向下运动的最大距离为，解得 ，故D错误.
【通法通则】
连接体的机械能守恒问题
共速率模型 ___________________________________________________________________________
分清两物体位移大小与高度变化关系
共角速度模型 _____________________________________________________________________________
两物体角速度相同，线速度与半径成正比
续表
关联速度模型 _____________________________________________________________
此类问题注意速度的分解，找出两物体速度关系，当某物体位
移最大时，速度可能为0
续表
轻弹簧模型 ①同一根弹簧弹性势能大小取决于弹簧形变量的大小，在弹簧
弹性限度内，形变量相等，弹性势能相等
_____________________________________________________
②由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量
最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然
长度时，弹簧弹性势能最小(为零)
续表
题型1 功、功率的分析和计算
1.[2024·海南卷] 神舟十七号载人飞船返回舱于2024年4月30日在东风着陆场成
功着陆.在飞船返回至离地面十几公里时打开主伞，飞船快速减速，返回舱速度
大大减小.在减速过程中( )
A.返回舱处于超重状态 B.返回舱处于失重状态
C.主伞的拉力不做功 D.重力对返回舱做负功
[解析] 返回舱在减速过程中，加速度竖直向上，处于超重状态，故A正确，B错
误；主伞的拉力与返回舱运动方向相反，对返回舱做负功，故C错误；返回舱
的重力与返回舱运动方向相同，重力对返回舱做正功，故D错误.
√
2.[2024·江西卷] “飞流直下三千尺，疑是银河落九天”是李
白对庐山瀑布的浪漫主义描写.设瀑布的水流量约为
，水位落差约为 若利用瀑布水位落差发电，
发电效率为 ，则发电功率大致为( )
A. B. C. D.
[解析] 设时间内水流做功为，水流的质量为 ，水流的
体积为，水位落差为，则有， ，水
流量，发电功率，联立可得，
取时，代入数据解得 ，B正确.
√
3.如图所示，汽车定速巡航(即速率不变)通过路面，时刻经过， 时刻
经过，时刻经过 若汽车行驶过程中所受的空气阻力和摩擦阻力大小不变，
则该过程中汽车的功率随时间 变化的图像是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设汽车行驶过程中所受的空气阻力和摩擦阻力的合力为，、 斜面
的倾角为 ，根据题意可知，汽车运动速率不变，根据平衡条件可知，在 段
有，在段有，在段有 ，可知
，且、、保持不变，由公式 可知，汽车的功率
，且、、 保持不变，故B正确.
4.(多选)[2023·湖北卷] 如图所示，原长为 的轻质弹簧，一端固定
在点，另一端与一质量为 的小球相连.小球套在竖直固定的粗
糙杆上，与杆之间的动摩擦因数为0.5.杆上、两点与 点的距
离均为，点到点的距离为，与杆垂直.当小球置于杆上
点时恰好能保持静止.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速
度大小为小球以某一初速度从点向下运动到 点，在此过程中，
弹簧始终在弹性限度内.下列说法正确的是( )
A.弹簧的劲度系数为
B.小球在点下方处的加速度大小为
C.从点到 点的运动过程中，小球受到的摩擦力先变小再变大
D.从点到点和从点到 点的运动过程中，小球受到的摩擦力做功相同
√
√
[解析] 小球在点受力平衡，则有，， ，联立解
得，A正确；在之间任取一点，令与 之间的夹
角为 ，则此时弹簧的弹力为 ，小球受到的摩擦
力为 ，化简得， 在
到过程中增大，在到 过程变小，即摩擦力先变大后变小，C
错误；
根据对称性可知，在上关于 点对称的两点摩擦力大小相等，因此从到和从到 过程，小球受到的摩擦力做功相等，D正确；小球运动到点下方时，弹簧与竖直杆的夹角为 ，此时弹簧弹力，摩擦力大小为，由牛顿第二定律有，联立解得 ，B错误.
题型2 动能定理及应用
1.[2024·安徽卷] 某同学参加户外拓展活动，遵照安全规范，坐在滑板上，从高
为的粗糙斜坡顶端由静止下滑，至底端时速度为已知人与滑板的总质量为 ，
可视为质点.重力加速度大小为 ，不计空气阻力，则此过程中人与滑板克服摩
擦力做的功为( )
A. B. C. D.
[解析] 人和滑板在下滑的过程中，由动能定理得 ，可得
此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为，故选
√
2.如图甲所示，固定斜面的倾角为 ，一个物体(可视为质点)在沿斜面向
上的恒定拉力 作用下，从斜面底端由静止开始沿斜面向上滑动，经过与斜面
底端距离为处的点时撤去拉力该物体的动能与它到斜面底端的距离 的
部分关系图像如图乙所示.已知该物体的质量为，该物体两次经过 点
时的动能之比为，该物体与斜面间的动摩擦因数处处相同， ，
，重力加速度取，不计空气阻力，则拉力 的大小为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设物体在运动过程中受到的滑动摩擦力大小为 ，物体重力沿斜面方向
的分力大小为 ，当物体沿斜面向上运动到A点时，根据动
能定理有 ，当物体沿斜面向上运动到最高点时，根据
动能定理有 ，当物体沿斜面向下运动到A点时，根据动
能定理有，联立解得 ，故D正确.
3.(多选)[2023·湖南卷] 如图所示，固定在竖直面内的光滑轨道由直线段
和圆弧段组成，两段相切于点，段与水平面夹角为 ，段圆心为 ，
最高点为，与的高度差等于圆弧轨道的直径小球从点以初速度 冲上
轨道，能沿轨道运动恰好到达点，重力加速度为 ，下列说法正确的是
( )
A.小球从到 的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B.小球从到 的过程中，重力的功率始终保持不变
C.小球的初速度
D.若小球初速度增大，小球有可能从 点脱离轨道
√
√
[解析] 由题知，小球能沿轨道运动恰好到达C点，则小球在C点的速度为 ，
则小球从C到B的过程中，有， ，
联立有，则从C到B的过程中 由0增大到 ，则 逐
渐减小，故 逐渐减小，则小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大，A
正确；由于A到C的过程中小球的速度逐渐减小，则A到B的过程中重力的功率
为 ，则A到B的过程中小球重力的功率始终
减小，则B错误；
从A到C的过程中有，解得 ，C错误；小
球在B点恰好脱离轨道有，则 ，若小球初速度增大，小球在B点的速度有可能大于 ，故小球有可能从B点脱离轨道，D正确.
题型3 机械能守恒和功能关系的应用
1.如图所示，质量为的物体(可视为质点)以某一速度从点冲上倾角为 的
固定斜面，其运动的加速度大小为( 为重力加速度)，此物体在斜面上上升的
最大高度为 ，则在这个过程中物体( )
A.重力势能增加了 B.机械能减小了
C.动能损失了 D.系统产生热量为
√
[解析] 物体在斜面上上升的最大高度为，克服重力做功为 ，所以重力势
能增加了 ，故A错误；由动能定理可知，动能变化量等于合外力做的功，
物体通过的位移为，由牛顿第二定律有合外力 ，
位移方向与合外力方向相反，则合外力做负功，动能减小量为
，故C错误；根据能量守恒定律可知系统产生的热量即为机
械能的减小量，有 ，故B错误，D正确.
2.[2024·北京卷] 如图所示，光滑水平轨道与竖直面内的光滑半圆形轨道
在点平滑连接.一小物体将轻弹簧压缩至 点后由静止释放，物体脱离弹簧后进
入半圆形轨道，恰好能够到达最高点 下列说法正确的是( )
A.物体在 点所受合力为零
B.物体在 点的速度为零
C.物体在 点的向心加速度等于重力加速度
D.物体在点时弹簧的弹性势能等于物体在 点的
动能
√
[解析] 物体恰好能到达最高点C，则物体在最高点只受重力，且重力全部用来
提供向心力，设半圆轨道的半径为，由牛顿第二定律得 ，解得物体
在C点的速度，A、B错误；由牛顿第二定律得 ，解得物体在C
点的向心加速度 ，C正确；由能量守恒定律知，物体在A点时弹簧的弹性
势能等于物体在C点时的动能和重力势能之和，D错误.
3.如图所示，竖直轨道与四分之一圆轨道 平滑对接且在同
一竖直面内，圆弧轨道圆心为，连线竖直， 连线与竖直
方向的夹角为 ，紧靠 的一轻质弹簧下端固定在水平
面上，弹簧上放有一个质量为 的小球.现用外力将小球向
下缓慢压至点后无初速度释放，小球恰能运动到点.已知 段
的高度为，圆弧轨道半径为 ，不计轨道摩擦和空气阻
力，小球的半径远小于圆弧轨道的半径，弹簧与小球不拴接，重
力加速度取，， 下列说法正确的是( )
A.小球离开弹簧时速度最大
B.刚释放小球时，弹簧的弹性势能为
C.若小球质量改为，仍从 点无初速度释放小球，小球能沿
轨道返回 点
D.若小球质量改为，仍从 点无初速度释放小球，小球将从
点离开圆弧轨道
√
[解析] 当小球上升到弹簧弹力大小等于重力大小时，小球的速度最大，故A错
误；小球恰能运动到C点，则在C点时由牛顿第二定律有 ，解得
，根据机械能守恒定律可知，刚释放小球
时，弹簧的弹性势能为 ，故B错
误；此小球在 点到C点过程中由能量守恒定律有
，小球质量为 ，小
球重力势能加加量变大，而动能减小，故小球到不了C点，小球
在点时弹簧的弹性势能 ，
则小球到达A 点时还有速度，即小球能进入圆弧轨道，小球将在圆弧轨道A、
C之间某点离开圆弧轨道做斜上抛运动，不能沿轨道返回点，故C错误；设小
球质量为 时恰好从B点离开，则在B点时根据牛顿第二定律有
，解得 ，根据机械能守恒定律
有，解得 ，故D正
确.
4.(多选)如图所示，表面光滑的斜面固定在水平地面上，顶端安装有定滑轮，小
物块、 通过绕过定滑轮的绝缘轻绳连接，轻绳平行于斜面，空间有平行于斜
面向下的匀强电场.开始时，带正电的小物块 在斜面底端，在外力作用下静
止，离地面一定高度，撤去外力，竖直向下运动 不带电，不计滑轮摩擦.从
和开始运动到 着地的过程中( )
A. 的电势能增加
B.和 组成的系统机械能守恒
C.和组成的系统减少的重力势能等于 增加
的电势能
D.轻绳拉力对做的功大于 的电势能增量和动
能增量之和
√
√
[解析] 小物块竖直向下运动的过程中，小物块沿斜面向上运动，即 逆着电
场线运动，由于小物块带正电，所以电场力做负功， 的电势能增大，A正确；
对于和组成的系统来说，只有重力和电场力做功，因为电场力对做负功，
的电势能增加，所以系统机械能减小，B错误；根据能量守恒定律可知，和
组成的系统减少的重力势能一部分转化成了系统的动能，另一部分转化成A增
加的电势能，所以系统减少的重力势能大于增加的电势能，C错误；对 ，由
能量守恒定律可知，轻绳拉力对 做的功等于A
的电势能增加量和动能增加量以及重力势能的
增加量之和，所以轻绳拉力对 做的功大于A的
电势能增量和动能增量之和，D正确.
5.如图所示，质量均为的物体、通过轻绳连接， 穿在固定的竖直光滑杆
上，放在固定的光滑斜面上，斜面倾角 ，轻弹簧一端固定在斜面底端
的挡板上，另一端连接物体初始时，位于 点，轻弹簧处于原长状态，轻绳
绷直(段水平).现将由静止释放，当运动到点时的速度为设为 运动的
最低点，运动过程中不会碰到轻质滑轮，弹簧始终在弹性限度内， ，
，重力加速度为 ，不计一切阻力.下列说法正确的是( )
A.从点运动到点的过程中，绳的拉力对
做的功为
B.从点运动到点的过程中， 减少的机械
能等于 增加的机械能
C.运动到点时，的速度为
D.运动到 点时，弹簧增加的弹性势能为
√
[解析] A从点运动到点的过程中，根据动能定理有 ，解
得绳的拉力对A做的功为，故A错误；A从点运动到 点
的过程中，A、B和弹簧组成的系统机械能守恒，A减少的机械能等于B增加的
机械能和弹簧增加的弹性势能之和，则A减少的机械能大于B增加的机械能，故
B错误；A运动到点时，设与竖直方向的夹角为 ，由几何关系得
，解得 ，由于绳
连接的两物体沿绳方向的速度大小相等，故此时
B的速度为 ，故C错误；
A运动 到点时，，根据系统机械能守恒可得，解得弹簧增加的弹性势能为 ，故D正确.第6讲 功与能
题型1
例1 C [解析] 由于两个球完全相同,并且都是只受重力的作用,所以两个球的机械能守恒,那么在落地的时候,两个球的速度的大小都是相同的,但是方向不同,A错误;根据机械能守恒可知,落地时两个球的速度的大小是相同的,但是它们的速度的方向是不同的,竖直上抛的小球落地时速度的方向是竖直向下的,但是平抛的小球落地时的速度与水平方向有一定的夹角,所以在两小球落地时,重力的瞬时功率P=mgvcos θ是不同的,B错误;重力做功的大小只与小球的初末位置有关,两个球从同一个地方抛出,最后又都落到了地面上,它们的高度差是相同的,所以重力对两小球做功相同,C正确;重力对两个球做的功的大小相同,但是它们运动的时间不同,所以重力的平均功率P=不同,D错误.
例2 AD [解析] 由图乙可知,机车在BC段为恒定功率,当速度最大时,机车匀速行驶,机车所受恒定阻力大小等于机车牵引力的大小,则有Ff=F=1.5×105 N,A正确;机车运动的额定功率P=Fvm=1.5×105×60 W=9×106 W,B错误;机车匀加速的末速度v== m/s=20 m/s,AB段机车以恒定加速度加速启动,由甲图可知机车的加速度为a=0.5 m/s2,机车匀加速运动的时间t0==40 s,C错误;根据牛顿第二定律,结合图甲可得F'-Ff=Ma,解得M=6×105 kg,故D正确.
【整合进阶】
进阶1 B [解析] 设水从出水口射出的初速度为v0,取t时间内的水为研究对象,该部分水的质量为m=v0tSρ,根据平抛运动规律可得l=v0t',h=gt'2,解得v0=l,根据功能关系得Ptη=m+mg,联立解得水泵的输出功率为P=,故选B.
题型2
例3 A [解析] 0~10 m内物块上滑,由动能定理得-·s-Ffs=Ek-Ek0,整理得Ek=Ek0-(mgsin 30°+Ff)s,结合0~10 m内的图像得,斜率的绝对值|k|=mg+Ff= N=4 N,10~20 m内物块下滑,由动能定理得(s-s1)=Ek,整理得Ek=s-s1,结合10~20 m内的图像得,斜率k'=mg-Ff= N=3 N,联立解得Ff=0.5 N、m=0.7 kg,故选A.
例4 (1)1.5 J (2)0.5 N (3)半径不大于0.2 m
[解析] (1)物块A离开初始位置向右运动1 m的过程中,F做的功W=Fx=1.5×1 J=1.5 J
(2)对A、B整体,根据牛顿第二定律有F-Ff=2ma
其中Ff=μmg
对B,根据牛顿第二定律有FAB=ma
联立解得FAB=0.5 N
(3)当A、B之间的弹力为零时,A、B分离,根据(2)分析可知此时F=Ff=0.5 N
由题图乙可知此时x=3 m
从开始到A、B分离的过程中,对A、B根据动能定理有WF-μmgx=×2mv2
根据题图乙可得WF=1.5 J+×2 J=3.5 J
从P点到M点,对B根据动能定理有-mg·2rmax=m-mv2
B能到达M点时的最小速度应满足mg=m
联立可得rmax=0.2 m
即半圆形轨道的半径应满足的条件为r≤0.2 m
【整合进阶】
进阶2 C [解析] 由题意可得A点弹簧伸长量为r,B点和C点弹簧压缩量为r,即三个位置弹簧弹性势能相等,则由从A到B弹簧弹力做功为零,电场力做正功,可知动能增加,EkB>EkA,同理从B到C弹簧弹力和电场力做功都为零,重力做负功,则动能减小,EkB>EkC,因为qE=mg,lAB==2r>lBC=2r,则由A到C全过程则有qElAB-mglBC=EkC-EkA>0,因此EkB>EkC>EkA,故选C.
题型3
例5 D [解析] 小球从最高点滑下,由于轨道光滑,机械能守恒;当小球滑到最低点时,重力势能完全转化为动能,再从最低点上升时,动能逐渐转化为重力势能,由机械能守恒定律可知若小球最后能回到最高点则速度减为零,但是小球在左侧单层轨道上运动时,会在中途脱离轨道导致无法回到最高点,故A错误;小球在最低点时速度最大,对轨道的压力也最大,根据机械能守恒定律,从最高点到最低点的过程满足mg(2R)=mv2,解得v=,在最低点,小球受到的向心力由轨道的支持力FN和重力mg提供,有FN-mg=m,解得FN=5mg,由牛顿第三定律可知小球对轨道的最大压力为5mg,故B错误;小球在左侧单层轨道上运动时,当重力不足以提供向心力时,小球会脱离轨道,设小球脱离轨道时,小球与圆形轨道外圆圆心连线与竖直方向的夹角为θ,此时小球的速度为v,满足mgcos θ=m,从最高点到脱离点,根据机械能守恒定律有mgR(1-cos θ)=mv2,解得v=,故C错误;小球脱离轨道时,小球与圆形轨道外圆圆心连线与竖直方向的夹角θ满足cos θ=,此时小球离地面的高度为h=R(1+cos θ)=R,故D正确.
例6 C [解析] 对物块根据牛顿第二定律有μmgcos 30°-mgsin 30°=ma,解得a=g,根据运动学公式有=2ax1,解得物块的位移大小为x1=,故A错误;物块机械能增量为ΔE=m+mgx1·sin 30°=m,故B错误;对小车根据动能定理有Pt-(μmgcos 30°+mgsin 30°)x2=m,其中t=,联立解得x2=-,故C正确;小车机械能增量为ΔE'=m+mgx2sin 30°=+,故D错误.
例7 BC [解析] 圆环向下运动过程中,绳的形变量一直增大,绳的弹性势能一直增大,故A错误;根据机械能守恒定律得kL2=-mgh+kx2,x=,解得h=,故B正确;当圆环所受合力为零时,速度最大,动能最大,根据平衡条件得kx1cos θ=mg,cos θ=,=+L2,根据机械能守恒定律得kL2=-mgh1+k+Ekm,解得圆环的最大动能为Ekm=,故C正确;对圆环进行分析,开始释放时的加速度为重力加速度g,随后加速度先减小,后增大,增大的过程中根据牛顿第二定律有kxcos α-mg=ma,cos α=,化简有a=,可见h最大时a有最大值,根据B选项,圆环向下运动的最大距离为h=,解得a=g,故D错误.第6讲 功与能
1.D [解析] 糠秕和米粒在竖直方向均做自由落体运动,下落的高度相同,根据h=gt2,可知从释放到落地的过程中,糠秕的运动时间等于米粒的运动时间,故A错误;落地时,米粒的竖直速度等于糠秕的竖直速度,根据P=mgvy及米粒的重力大于糠秕的重力知,米粒重力的瞬时功率大于糠秕重力的瞬时功率,故B错误;根据WG=mgh,因米粒和糠秕质量不同,则从释放到落地的过程中,米粒和糠秕重力做功不相同,故C错误;从释放到落地的过程中,因米粒质量较大,则加速度较小,落地时水平位移较小,故水平方向上位移较大的是糠秕,故D正确.
2.A [解析] 根据题意知小车匀速运动,则有F=Ff=kv,小车的机械功率P机=Fv=kv2,由于电动机的效率为50%,则有P电===2kv2,光伏电池的光电转换效率为η,即η=,可得P阳==,故选A.
3.CD [解析] 运动员重力做功W1=mgLsin 60°=mgL,故A错误;因为ma=mgsin 60°-Ff,求得摩擦阻力Ff=mg,则克服摩擦力做功W2=mgL,故B错误;合力做功为W合=ma·L=mgL,故C正确;设下滑L时的瞬时速度为v, 此时重力的瞬时功率P1=mgvsin 60°,合力的瞬时功率P=mav,可得P1∶P=3∶1,故D正确.
4.C [解析] 当B运动至P点时,位置如图所示,沿绳方向速度相等有vB=vAcos 30°,A、B组成的系统机械能守恒,有mgRcos 30°=m+m,解得R=,故选C.
5.AD [解析] A车追上B车时恰好结束匀加速直线运动,设此时A车的速度为v,匀加速时间为t,由于两车位移相等,则有t=vBt,可得v=2vB,故A正确;0~t1时间内,A车做匀加速直线运动,其合力提供加速度,A车的速度为v=2vB时,刚好达到额定功率P,则匀加速运动的牵引力F==,设阻力恒为Ff,当A车达到最大速度vA时,牵引力F=Ff,则阻力Ff=,可知A车所受合力为F合=F-Ff=-,B车做匀速直线运动,合外力为0,故A车所受合力大于B车所受合力,故B、C错误;由图像可知,A车匀加速运动的加速度a=,匀加速运动的时间t===2t1,则0~t2时间内,在0~t时间内A车做匀加速直线运动,在t~t2时间内做恒功率运动,故A车所受牵引力做的功为W=F×at2+P(t2-t)=P(t2-t1),故D正确.
6.C [解析] 物块从A点由静止开始运动,到达D点时速度为0,所以AD过程物块增加的机械能为ΔE=mgLsin θ=100×10×5×0.8 J=4×103 J,故A错误;AD过程因摩擦产生的内能为Q=μmgcos θ·L=0.5×100×10×0.6×5 J=1.5×103 J,故B错误;CD过程中关闭电动机,物块做匀减速直线运动,则a=,v2=2axCD,解得xCD= m,所以,AC过程电动机输出的总能量为E=mv2+mg(L-xCD)sin θ+μmgcos θ·(L-xCD)=5.5×103 J,故C正确;AC过程电动机的输出功率为P=(mgsin θ+μmgcos θ)v=2.2×103 W,故D错误.
7.BCD [解析] 设P、O间的距离为L,过程Ⅰ,根据动能定理有-mgsin θ·L-μmgcos θ·L=0-m,设M、O间的距离为L1,过程Ⅱ中,当Q速度最大时,根据平衡条件得kL1=mgsin θ+μmgcos θ,P、M两点之间的距离L2=L-L1,联立可得L2=,故A错误;根据功能关系,可知过程Ⅱ中,Q在从P点单向运动到O点的过程中损失的机械能ΔE=μmgcos θ·L,结合-mgsin θ·L-μmgcos θ·L=0-m,可得ΔE=m,故B正确;设过程Ⅱ中,Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为x,根据能量守恒定律得·L-mgsin θ·x-μmgcos θ·x-(x-L)=0,结合-mgsin θ·L-μmgcos θ·L=0-m,解得x=,故C正确;无论Q从何处释放,Q在斜面上运动过程中,弹簧初始时的弹性势能变为摩擦热和Q的重力势能,当在M点时,满足kL1=mgsin θ+μmgcos θ,当在O点时,满足mgsin θ=μmgcos θ,所以在O、M(含O、M点)之间速度为零时,Q将静止,故D正确.
8.(1)4 m/s (2)0.768 m (3)86.4 N
[解析] (1)从A到B由动能定理得mgR(1-cos 37°)=m-m
解得vB=4 m/s
(2)从B到C有t=
解得t=0.24 s
d=vBcos 37°·t
解得d=0.768 m
(3)从A至青少年与圆心连线与竖直方向夹角为α,有
mgR(1-cos α)=m-mv2
FN-mgcos α=m
解得FN=3mgcos α
Ff=FNsin α=3mgsin αcos α=mgsin 2α
由数学知识知当α=37°时,Ff有最大值,Ffmax=86.4 N
9.(1) (2)0 (3)
[解析] (1)小物块恰好能到达轨道最高点,有
mg=m
解得vD=
(2) 小物块从C到D,由机械能守恒定律得m=m+mgR(1+cos 60°)
从B到C做平抛运动,有vB=vCcos 60°
从B到D,由机械能守恒定律得
mghBD=m-m
联立解得vB= ,hBD=0
(3)小物块从A到B,根据动能定理得
-μmg·2πR=m-m
解得vA=第6讲 功与能
【关键能力】 新高考中更注重科学思维的培养,试题一般选取一个实际的应用问题,需要通过建立模型,理清过程中能量传输的路径.由于是实际问题,涉及能量传输的效率,隐含着其他能量向内能的转化,所以把实际过程当作理想化过程往往是错的,需要有针对性地审题.
题型1 功、功率的分析和计算
1.功的计算
(1)定义式:W=Flcos α.
(2)变力做功通常应用动能定理、微元法、转换法、平均力法、图像法求解,或者利用恒定功率求功公式W=Pt计算.
2.功率的计算
明确是求瞬时功率还是平均功率.P=一般用于平均功率的计算,P=Fvcos α(α为F和速度v的夹角)一般用于瞬时功率的计算.
例1 [2025·广东清远一模] 如图所示,两个完全相同的小球A、B,在同一高度处以相同大小的初速度v0分别水平抛出和竖直向上抛出,则 ( )
A.两小球落地时的速度相同
B.两小球落地时,重力的瞬时功率相同
C.从开始运动至落地,重力对两小球做功相同
D.从开始运动至落地,重力对两小球做功的平均功率相同
例2 (多选)[2025·陕西汉中联考] 一辆机车在水平路面上从静止开始做直线运动,其加速度随时间变化的图像如图甲所示,机车牵引力F和车速倒数的关系图像如图乙所示,机车前进过程中所受阻力大小恒定,t=t0时刻机车达到额定功率,之后保持该功率不变,下列说法正确的是 ( )
A.所受恒定阻力大小为1.5×105 N
B.机车运动的额定功率为6×106 W
C.机车匀加速运动的时间为30 s
D.机车的质量为6×105 kg
[反思感悟]
机车 启动 两个基本 关系式 P=Fv,F-F阻=ma
恒定功率 启动 P不变,v↑,a↓ 以vm做匀速运动,Pt-F阻x=m
恒定加 速度启动 a不变,F不变,v↑,P↑ P额,v↑,F↓,a↓ 以vm做匀速运动
最大 速度vm 无论哪种启动方式,最大速度都等于匀速直线运动时的速度,即vm=
【整合进阶】
进阶1 (平抛运动中的功率计算)[2024·安徽卷] 在某地区的干旱季节,人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田,简化模型如图所示.水井中的水面距离水平地面的高度为H.出水口距水平地面的高度为h,与落地点的水平距离约为l.假设抽水过程中H保持不变,水泵输出能量的η倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能.已知水的密度为ρ,水管内径的横截面积为S,重力加速度大小为g,不计空气阻力.则水泵的输出功率约为 ( )
A.
B.
C.
D.
题型2 动能定理及应用
1.应用动能定理解题的步骤图
2.应用动能定理的注意点
(1)动能定理表达式是一个标量式,在某个方向上应用动能定理是没有依据的.
(2)多过程往复运动问题一般应用动能定理求解.
例3 [2025·湖北松滋模拟] 如图甲所示,一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑,运动过程中摩擦力大小Ff恒定,物块动能Ek与运动路程s的关系如图乙所示.重力加速度大小取10 m/s2,物块质量m和所受摩擦力大小Ff分别为 ( )
A.m=0.7 kg,Ff=0.5 N
B.m=0.7 kg,Ff=1.0 N
C.m=0.8 kg,Ff=0.5 N
D.m=0.8 kg,Ff=1.0 N
[反思感悟]
例4 [2025·福建卷] 如图甲,在竖直面内,有一长度大于4 m的水平轨道OP与光滑半圆形轨道PNM平滑衔接在P点,轨道固定在水平面上,可视为质点的A、B两个小物块靠在一起,并静止在水平轨道的左端,现给物块A施加一个水平向右的推力F,使A、B向右运动,x表示物块A相对初始位置运动的位移,推力F与位移x的关系图如图乙所示,已知两物块质量均为0.2 kg,A与水平轨道OP间动摩擦因数为0.25,B与水平轨道OP间无摩擦,重力加速度g取10 m/s2.
(1)求物块A离开初始位置向右运动1 m的过程中,推力F做的功;
(2)求物块A位移x=1 m时,A与B之间的弹力大小;
(3)要使物块B能到达M点,求半圆形轨道的半径应满足的条件.
【整合进阶】
进阶2 (动能定理解决电场中动能问题)[2025·黑吉辽蒙卷] 如图,光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切,轨道半径为r,圆心为O,O、A间距离为3r.原长为2r的轻质绝缘弹簧一端固定于O点,另一端连接一带正电的物块.空间存在水平向右的匀强电场,物块所受的电场力与重力大小相等.物块在A点左侧释放后,依次经过A、B、C三点时的动能分别为EkA、EkB、EkC,则 ( )
A.EkAB.EkBC.EkAD.EkC[反思感悟]
题型3 机械能守恒和功能关系的应用
1.机械能守恒定律的表达式
2.常见的功能关系
能量 功能关系 表达式
势能 重力做功等于重力势能减少量 W=Ep1-Ep2=-ΔEp
弹力做功等于弹性势能减少量
静电力做功等于电势能减少量
分子间作用力做功等于分子势能减少量
动能 合外力做功等于物体动能变化量 W=Ek2-Ek1=mv2- m
机械能 除重力和弹力之外的其他力做功等于机械能变化量 W其他=E2-E1=ΔE机
摩擦 产生的 内能 一对相互作用的摩擦力做功代数和的绝对值等于产生的内能 Q=Ff·l相对,l相对为相对路程
电能 克服安培力做功等于电能增加量 W克安=E2-E1=ΔE
例5 [2025·山东济南二模] 如图所示,竖直圆形光滑轨道固定在水平地面上,右侧为管状结构,左侧为单层,外圆半径为R.将质量为m的小球置于轨道最高点,给小球一个轻微的扰动,让小球从右侧由静止滑下.已知管的内径略大于小球直径,且远小于外圆半径,重力加速度为g.关于小球的运动,下列说法正确的是 ( )
A.小球一定能够回到轨道最高点
B.小球运动过程中对轨道的最大压力为6mg
C.小球脱离轨道时的速度大小为
D.小球脱离轨道时离地面的高度为R
例6 [2025·四川卷] 如图所示,倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上,安装在其顶端的电动机通过不可伸长轻绳与小车相连,小车上静置一物块.小车与物块质量均为m,两者之间动摩擦因数为.电动机以恒定功率P拉动小车由静止开始沿斜面向上运动.经过一段时间,小车与物块的速度刚好相同,大小为v0.运动过程中轻绳与斜面始终平行,小车和斜面均足够长,重力加速度大小为g,忽略其他摩擦.则这段时间内 ( )
A.物块的位移大小为
B.物块机械能增量为
C.小车的位移大小为-
D.小车机械能增量为+
例7 (多选)[2025·浙江绍兴模拟] 如图所示,劲度系数为k的弹性绳一端系于P点,绕过Q处的光滑小滑轮,另一端与质量为m、套在光滑竖直固定杆A处的圆环(视为质点)相连,P、Q、A三点等高,弹性绳的原长恰好等于P、Q间的距离,A、Q间的距离为L.将圆环从A点由静止释放,重力加速度大小为g,弹性绳始终处于弹性限度内,弹性绳的弹性势能Ep=kx2,其中x为弹性绳的伸长量,下列说法正确的是 ( )
A.圆环向下运动过程中,绳的弹性势能一直减小
B.圆环向下运动的最大距离为
C.圆环的最大动能为
D.圆环运动过程中的最大加速度为
连接体的机械能守恒问题
共速率 模型 分清两物体位移大小与高度变化关系
共角速度 模型 两物体角速度相同,线速度与半径成正比
关联速度 模型 此类问题注意速度的分解,找出两物体速度关系,当某物体位移最大时,速度可能为0
轻弹簧 模型 ①同一根弹簧弹性势能大小取决于弹簧形变量的大小,在弹簧弹性限度内,形变量相等,弹性势能相等 ②由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统,当弹簧形变量最大时,弹簧两端连接的物体具有相同的速度;弹簧处于自然长度时,弹簧弹性势能最小(为零)第6讲 功与能
1.如图所示是古代人民“簸扬糠秕”的劳动场景,在恒定水平风力作用下,从同一高度由静止落下质量不同的米粒和糠秕(米粒的质量大于糠秕的质量)落到地面不同位置而达到分离米粒和糠秕的目的.若不计空气阻力,下列说法正确的是 ( )
A.糠秕在空中运动的时间大于米粒的运动时间
B.落地时,米粒和糠秕重力的瞬时功率相等
C.从释放到落地的过程中,重力对米粒和糠秕做的功相同
D.从释放到落地的过程中,水平方向上位移较大的是糠秕
2.[2025·山东卷] 一辆电动小车上的光伏电池,将太阳能转换成的电能全部给电动机供电,刚好维持小车以速度v匀速运动,此时电动机的效率为50%.已知小车的质量为m,运动过程中受到的阻力Ff=kv(k为常量),该光伏电池的光电转换效率为η,则光伏电池单位时间内获得的太阳能为 ( )
A. B.
C. D.
3.(多选)[2025·河北保定模拟] 质量为m的 滑雪运动员沿着倾角为60°的一段斜坡从静止开始自由滑下,下滑过程中运动员加速度大小为g,g为重力加速度;运动员沿斜坡下滑L的过程中,下列说法正确的是 ( )
A.运动员重力做功为mgL
B.克服摩擦阻力做功为mgL
C.合力做功为mgL
D.下滑L时重力与合力瞬时功率之比为3∶1
4.[2025·安徽宿州一模] 如图所示,竖直固定轨道由水平杆和半圆形轨道连接而成,半圆形轨道两端点与圆心等高,现将光滑的小圆环A、B分别套在水平杆与圆轨道上,A、B用一不可伸长的轻质细绳相连,A、B质量相等,且可看作质点,细绳长为半圆轨道半径的倍,开始时细绳水平伸直,A、B静止.由静止释放B后,已知当B通过半圆轨道上P点时,圆环B下滑的速度大小为v,已知P点和圆心连线OP与竖直方向的夹角为30°,重力加速度为g,则半圆轨道的半径为 ( )
A.
B.
C.
D.
5.(多选)[2025·天津河西区二模] A车在平直公路上以恒定加速度启动,A车启动的同时B车从其旁边沿相同的运动方向匀速驶过.A车追上B车时恰好结束匀加速直线运动,如图所示为两车的v t图像.已知A车的额定功率为P,且A车在运动过程中所受阻力恒定,则下列说法正确的是 ( )
A.A车追上B车时,A车的速度大小为2vB
B.0~t1时间内,A车所受合力小于B车所受合力
C.0~t1时间内,A车所受牵引力的大小为
D.0~t2时间内,A车所受牵引力做的功为P
6.[2025·山东德州一模] 如图所示,一个质量为m=100 kg的物块(可视为质点)在输出功率恒定的电动机作用下,从斜面底端A点由静止开始加速运动至B点时达到最大速度v=2 m/s,之后物块匀速运动至C点,此时关闭电动机,物块从C点运动到D点时速度为0.物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.5,斜面倾角θ=53°,AD间距离L=5 m,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,g取10 m/s2,下列说法中正确的是 ( )
A.AD过程物块增加的机械能为5×103 J
B.AD过程因摩擦产生的内能为2.5×103 J
C.AC过程电动机输出的总能量为5.5×103 J
D.AC过程电动机的输出功率为1.6 kW
7.(多选)[2025·云南卷] 如图所示,倾角为θ的固定斜面,其顶端固定一劲度系数为k的轻质弹簧,弹簧处于原长时下端位于O点.质量为m的滑块Q(视为质点)与斜面间的动摩擦因数μ=tan θ.过程Ⅰ:Q以速度v0从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点;过程Ⅱ:将Q连接在弹簧的下端并拉至P点由静止释放,Q通过M点(图中未画出)时速度最大,过O点后能继续上滑.弹簧始终在弹性限度内,假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,忽略空气阻力,重力加速度为g.则 ( )
A.P、M两点之间的距离为
B.过程Ⅱ中,Q在从P点单向运动到O点的过程中损失的机械能为m
C.过程Ⅱ中,Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为
D.连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放,最终一定静止在OM(含O、M点)之间
8.[2025·安徽合肥模拟] 滑板是一项青少年酷爱的运动.将一青少年在一次训练中的运动简化为如图所示的模型,圆心角θ=37°的光滑圆弧凹槽轨道置于粗糙水平面上,圆弧半径R=1 m.青少年以v0=2 m/s的速度从A点水平进入圆弧轨道,从B点离开圆弧轨道后恰好沿水平方向滑上固定平台上的C点.已知青少年(视为质点)的质量m=6 kg,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,不计空气阻力,若圆弧轨道与地面不发生相对滑动,求:
(1)青少年从B点离开圆弧轨道时的速度大小;
(2)平台C点离圆弧轨道B点的水平距离d;
(3)圆弧轨道与地面间摩擦力的最大值.
9.[2023·湖北卷] 如图为某游戏装置原理示意图.水平桌面上固定一半圆形竖直挡板,其半径为2R、内表面光滑,挡板的两端A、B在桌面边缘,B与半径为R的固定光滑圆弧轨道CDE在同一竖直平面内,过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°.小物块以某一水平初速度由A端沿切线方向进入挡板内侧,从B点飞出桌面后,在C点沿圆弧切线方向进入轨道CDE内侧,并恰好能到达轨道的最高点D.小物块与桌面之间的动摩擦因数为,重力加速度大小为g,忽略空气阻力,小物块可视为质点.求:
(1)小物块到达D点的速度大小;
(2)B和D两点的高度差.
(3)小物块在A点的初速度大小.
