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第8讲 静电场
网络构建
题型1 电场的性质
题型2 电场中的图像问题
题型3 带电粒子在电场中的运动
备用习题
◆
听课手册
【关键能力】
从物质的观念和运动与相互作用的
观念研究电场中抽象的概念和点电
荷的场强、电容器、带电粒子运动,
从能量观念理解电势和电势能.会用
矢量运算法则对电场叠加和计算,会
处理静电力作用下的平衡问题.了解
生产生活中关于静电的利用与防护.
能分析带电粒子在电场中的运动情
况,能解释相关的物理现象.
题型1 电场的性质
1.电场中的各个物理量的形成及相互转化关系
2.电势高低的比较:(1)根据电场线方向,沿着电场线方向,电势越来越低;(2)根据电
势差,若,则,反之则 .
3.电势能变化的判断:(1)根据静电力做功判断, .若静电力对电荷做正功,
则电势能减少;反之则增加.(2)根据能量守恒定律判断,静电力做功的过程是电势
能和其他形式的能相互转化的过程.
例1 [2025·湖南卷] 如图，两带电小球的质量均为，小球 用一端固定在墙上
的绝缘轻绳连接，小球用固定的绝缘轻杆连接. 球静止时，轻绳与竖直方向的
夹角为 ，两球连线与轻绳的夹角为 ，整个系统在同一竖直平面内，重
力加速度大小为 .下列说法正确的是( )
A.球静止时，轻绳上拉力为
B.球静止时，球与球间的库仑力为
C.若将轻绳剪断，则剪断瞬间球加速度大小为
D.若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对 球的作用力变小
√
[解析] 根据题意，球静止时，对 球受力分析，如图所示，由平行四边形定则
及几何关系可知，轻绳上拉力为，球与 球间的库仑力
，故A、B错误；若将轻绳剪断，则剪断瞬间 球受到
轻绳的拉力消失，其他两力保持不变，根据三力平衡知识，此时 球的合外力
大小为，则加速度大小为 ，故C正确；若将轻绳剪断，
则剪断瞬间 球受到的库仑力、重力不变，小球仍然处在静
止状态，则轻杆对 球的作用力不变，故D错误.
例2 [2025·浙江1月选考] 三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中的、
与、 两点间的距离相等，则( )
A.点电势高于 点电势
B.、 两点的电场强度相同
C.、间电势差为、 间电势差的两倍
D.从到与从到 ，电场力对电子做功相等
√
[解析] 点所在的等势线相比点所在的等势线更靠近正电荷，故 ，A
错误；电场强度是矢量，、 两点电场方向不同，则电场强度不同，B错误；
从电场强度逐渐减小，间距相等，结合可知 ，
则，C错误；点与点在同一等势线上，、两点和、 两点的电
势差相等，根据电场力做功可知，从到与从 到
电场力对电子做功相等，D正确.
例3 (多选)[2025·山东卷] 球心为、半径为 的半球形光滑绝缘碗固定于水平地
面上，带电荷量分别为和的小球甲、乙刚好静止于碗内壁、 两点，过
、、的截面如图所示，、均为圆弧上的点， 沿竖直方向，
，，、两点间距离为，、为、 连线的三等
分点.下列说法正确的是( )
A.甲的质量小于乙的质量
B.点电势高于 点电势
C.、 两点电场强度大小相等，方向相同
D.沿直线从点到 点，电势先升高后降低
√
√
[解析] 对甲、乙两小球受力分析如图所示，甲、乙两小球分别受到重力、支持
力、库仑力作用而保持平衡.设与线段交点为 点，由几何关系有
，解得 ，因此有 ，
，根据正弦定理，对甲有，对乙有 ，
因为 ，与是一对相互作用力，可得 ，A错误；
根据点电荷场强公式 ，由场强叠加知识，
可知点到 点之间的圆弧上各点场强方向都向
右下方，若有一正试探电荷从点运动到 点的
过程中，电场力做正功，电势能减小，故可判断
点电势高于 点电势，B正确；
两带电小球连线上的电场分布可以等效成一对等量异种点电荷的电场和在 点
带电荷量为 的正点电荷的电场相互叠加的电场分布，在等量异种点电荷的电
场中、两点电场强度大小相等、方向相同，但是点带电荷量为 的正点电
荷在、两点的电场强度不同，则、 两点电场强度大小不同，C错误；电势
是标量，在连线上，与 线段的交点距离两带电小球最近，所以该点电
势最大，那么沿直线从点到 点，电势先升高
后降低，D正确.
【整合进阶】
进阶1 (电势公式 的拓展应用)[2024·全国甲卷] 在电
荷量为 的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定
为零时，距离该点电荷处的电势为，其中 为静电力常
量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电
荷单独存在时该点的电势的代数和.电荷量分别为和 的两个点电荷产生的电
场的等势线如图中曲线所示 (图中数字的单位是伏特)，则( )
A.， B.，
C.， D.，
√
[解析] 根据两点电荷周围的等势线分布可知， ；对于电势为0的等
势线上各点,有,、 为该点到两点电荷的距离，取图中两点电荷
连线上的点(或连线延长线上的点)计算，其距离关系为或 ，联立解
得 ，故B正确.
进阶2 (电场中的动量功能分析) [2025·陕青宁晋卷] 如图所示，有两个电性相
同且质量分别为、的粒子、，初始时刻相距，粒子以速度 沿两粒
子连线向速度为0的粒子运动，此时、两粒子系统的电势能等于 .经
时间粒子到达点，此时两粒子速度相同，同时开始给粒子 施加一恒力，
方向与速度方向相同.当粒子的速度为时，粒子恰好运动至 点且速度为
0，、粒子间距离恢复为 ，这时撤去恒力.已知任意两带电粒子系统的电势
能与其距离成反比，忽略两粒子所受重力.求：、、、均为已知量
(1) 粒子到达点时的速度大小 ；
[答案]
[解析] 根据动量守恒定律得
解得
进阶2 (电场中的动量功能分析) [2025·陕青宁晋卷] 如图所示，有两个电性相
同且质量分别为、的粒子、，初始时刻相距，粒子以速度 沿两粒
子连线向速度为0的粒子运动，此时、两粒子系统的电势能等于 .经
时间粒子到达点，此时两粒子速度相同，同时开始给粒子 施加一恒力，
方向与速度方向相同.当粒子的速度为时，粒子恰好运动至 点且速度为
0，、粒子间距离恢复为 ，这时撤去恒力.已知任意两带电粒子系统的电势
能与其距离成反比，忽略两粒子所受重力.求：、、、均为已知量
(2) 时间内粒子的位移大小 ；
[答案]
[解析] 两者共速时设间距为 ，根据能量守恒定律可知，此时电势能为
根据题意电荷间的电势能与它们之间的距离成反比，则
两者共速前的过程系统始终动量守恒，则有
即
根据位移关系可知
联立解得
进阶2 (电场中的动量功能分析) [2025·陕青宁晋卷] 如图所示，有两个电性相
同且质量分别为、的粒子、，初始时刻相距，粒子以速度 沿两粒
子连线向速度为0的粒子运动，此时、两粒子系统的电势能等于 .经
时间粒子到达点，此时两粒子速度相同，同时开始给粒子 施加一恒力，
方向与速度方向相同.当粒子的速度为时，粒子恰好运动至 点且速度为
0，、粒子间距离恢复为 ，这时撤去恒力.已知任意两带电粒子系统的电势
能与其距离成反比，忽略两粒子所受重力.求：、、、均为已知量
(3) 恒力作用的时间 .
[答案]
[解析] 全过程中对系统根据动能定理得
全过程中对系统根据动量定理得
联立解得
题型2 电场中的图像问题
例4 [2025· 黑吉辽蒙卷] 如图，某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结
构是模仿犰狳设计的，逐渐增大施加于两极板压力的过程中， 较小时弹性结
构易被压缩，极板间距容易减小；较大时弹性结构闭合， 难以减小.将该电
容器充电后断开电源，极板间电势差与 的关系曲线可能正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 根据公式和电容的决定式，可得 ，根据题意
较小时易被压缩，较大时难被压缩，随着的增大， 在减小，且减小得越来
越慢，电容器与电源断开后不变，故此时极板间的电势差 在减小，且减小得
越来越慢；当增大到一定程度时，再增大，基本不变，故此时 基本保持不
变，结合图像，最符合情境的是D选项.
例5 [2025·湖南长郡中学模拟] 两个电荷量相同的负点电荷固
定在水平面上的、两点， 点是两个点电荷连线的中点，
、 两点分别位于点电荷的连线以及中垂线上，如图所示.在
点由静止释放一带负电的试探电荷1，在 点由静止释放一带正电的试探电荷2，
二者仅在、电荷电场力的作用下运动，是各试探电荷发生的位移， 是电
荷1的速度，是电荷2的加速度，是电荷1所经过处的电势， 是电荷2的电
势能.设无穷远处的电势为零，则下面关于电荷1、2运动过程的图像可能正确的
是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 点处的负电荷会做往复的周期运动，在 点处速度最大，场强为0，故
加速度应当也为0， 尽管并非图，但速度峰值处同样斜率应为 错误；
在连线上电势分布点最高，两侧变低，但点电势并不为0，C错误； 点处的
电荷同样会做关于点对称的往复运动，因中垂线上 点两侧均存在一个场强最
大的位置，则根据其初始点的位置有两种可能性：到点前场强不断变小，到
点前场强先变大后变小，图像的斜率等于 ，
则D选项对应的是第二种情况；无论是哪一种，其
运动过程一定是完全对称的，所以图像B错误，D
正确.
例6 [2025·河北邯郸二模] 电荷量为和的两个点电荷分别固定于 轴上的
、两点，规定无穷远处电势为零，轴上各点电势随 的变化图像如图所示.
其中在段中，点处电势最高，质量为，电荷量的绝对值为 的带电粒子从
点处由静止释放，仅在电场力作用下沿轴运动，经过点处时的速度大小为 ，
则( )
A.
B.间的电场强度方向与 间的电场强度方向相反
C.粒子从点处运动到 点处的过程中电势能先增大后减小
D.点处电势为
√
[解析] 由题意可知点处电场强度为0，则有，所以 ，
故A错误；由题图可知，从点沿轴到点电势始终降低，所以与 连线上电
场强度方向始终沿轴正方向，即间与间的电场强度方向相同，均为 轴
正方向，故B错误；由点到 点电场方向向左，带电粒子从静止开始向右运动，
可知所受电场力向右，粒子带负电，从 点处运动
到点 处电势先增大后减小，可知带电粒子的电势
能先减小后增大，故C错误；从点处到 点处，根
据动能定理得 ，解得
，又 ，所以 ，故D正确.
【整合进阶】
进阶3 (电场中的非常规图像)[2025·安徽黄山二模] 如图甲所示，真空中 轴原
点处固定一点电荷，其电荷量未知，另一试探点电荷，其电荷量为 ，以
初动能自位置沿轴负方向做直线运动，该过程点电荷的 图像如图
乙所示,已知，静电力常量为.设无穷远处电势为0，距点电荷距离 处的电势
， 仅受电场力作用.下列说法正确的是( )
A.、两处电场强度之比等于
B.沿 轴正方向电势逐渐升高
C.电荷量
D.如仅将的电荷量变为，点电荷速度减为0时的位置坐标是
√
[解析] 、两处电场强度之比为 ，故A错误；由图可知，点电荷
由运动到 的过程中，动能减小，电势能增大，但由于电性未知，所以不能
确定电势的变化，故B错误；根据能量守恒定律可得
，所以，故C错误；如仅将 的电荷量
变为，点电荷速度减为0时，
有 ，
解得 ，故D正确.
题型3 带电粒子在电场中的运动
例7 [2025·安徽合肥二模] 如图所示为某静电除尘装置的简
化原理图，两块间距为 的平行金属板间为除尘区域，两
板与恒定的高压直流电源相连.大量均匀分布的带负电粉尘
均以速度 平行于板射入除尘区域，粉尘碰到下板后其所
A. B. C. D.
带电荷被中和，同时被收集.通过调整可以改变除尘率 (相同时间内被收集粉
尘的数量与进入除尘区域粉尘的数量的百分比).不计空气阻力、粉尘的重力及粉
尘间的相互作用，忽略边缘效应.已知时， 为，若要使 为 ，
则应将 调整为( )
√
[解析] 设两极板间的电压为，极板长度为，当时，除尘率 为 ，
即距离下极板为 的粉尘做类平抛运动刚好打在右下端，有
，，，解得，若要使 为 ，
即，，，联立解得 ，故选C.
例8 [2025·重庆卷] 某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图
所示的矩形区域内分布有平行于的匀强电场，为 的中点.模拟动画
显示，带电粒子、分别从点和点垂直于 同时进入电场，沿图中所示轨
迹同时到达、点， 为轨迹交点.忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则
可推断、 ( )
A.具有不同比荷
B.电势能均随时间逐渐增大
C.到达、 的速度大小相等
D.到达所用时间之比为
√
[解析] 根据题意可知，带电粒子在电场中做类平抛运动，带电粒子、 分别从
点和点同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达、 点，可知，运动时间
相等，由图可知，沿初速度方向位移之比为，则初速度之比为 ，沿电场
方向的位移大小相等，由 可知，粒子运动的加速度大小相等，由牛顿
第二定律有，可得 ，可知带电粒子
具有相同的比荷，故A错误；带电粒子运动过程中，
电场力均做正功，电势能均随时间逐渐减小，故B
错误；
沿电场方向，由公式 可知，带电粒子、到达、 点的竖直分速度大小相等，由于初速度之比为，则到达、点的速度大小不相等，故C错误；由图可知，带电粒子、到达的水平位移相等，由于带电粒子、初速度之比为，则所用时间之比为 ，故D正确.
【通法通则】
对于带电粒子在匀强电场中的偏转运动，要做好两个方向的分析：在垂直于电
场方向上做匀速直线运动，一般通过这个方向求运动时间等相关物理量；沿电
场方向上做匀加速直线运动，在这个方向上找出偏转加速度、偏转位移、偏转
速度等相关物理量.在垂直于电场方向上有，沿电场方向上有 ，
, ，联立方程可求解.
【整合进阶】
1.带电体在“等效重力场”中的圆周运动问题
2.交变电场中常见的运动类型及分析思路
(1)在交变电场中做直线运动时，一般是几段变速运动组合，可画出 图像，
分析速度、位移变化.
(2)在交变电场中的偏转若是几段类平抛运动的组合，可分解后画出沿电场方向
分运动的 图像，分析速度变化，或是分析偏转位移与偏转电压的关系式.
进阶4 (等效重力场问题)(多选)[2025·河南名校联考] 如图所示，
竖直平面内有一光滑的圆形玻璃管道，管道圆心为 ，半径为
，管道半径远远大于玻璃管道内径.空间存在水平向右的匀
强电场，电场强度大小为 .将小球置于玻璃管道最低
A.小球运动的最小速率为 B.小球具有的电势能最小为
C.小球具有的机械能最小为 D.小球对轨道的压力最小为0
点并给小球一个初速度，使小球刚好能在玻璃管道内做完整的圆周运动.小球的
质量为，电荷量为.取管道圆心处的电势为0，圆心 所在水
平面为重力势能的零势能面，重力加速度取， ，
,则下列说法正确的是( )
√
√
[解析] 小球所受电场力为，重力为 ，两个力的合力为
，方向沿左下方与水平方向夹角为 ，当小球运动到等效最高点时
速度最小，因细管对小球有支持力，可知到达 “最高点”时小球运动的最小速率
为零，选项A错误；小球运动到与圆心等高的左侧位置时电势能最小，则具有
的电势能最小为
，
选项B错误；
小球运动到与圆心等高的右侧位置时电势能最大，此时小球的机械能最小，
小球从“最高点”到该点由能量关系得 ，
解得 ，因该点的重力势能为零，则小球在该点具有的机械能
为 ，选项C正确；小球对外侧轨道有压力时，对内侧轨道的压力为零，
小球对内侧轨道有压力时，对外侧轨道的压力为零，
则小球对轨道的压力最小为0，选项D正确.
进阶5 (交变电场问题)[2025·甘肃卷] 离子注入机是研究材料辐照效应的重要设
备，其工作原理如图甲所示.从离子源释放的正离子(初速度视为零)经电压为
的电场加速后，沿方向射入电压为的电场为平行于两极板的中轴线 .
极板长度为、间距为，关系如图乙所示.长度为的样品垂直放置在距
极板处，样品中心位于点.假设单个离子在通过 区域的极短时间内，电压
可视为不变，当 时.离子恰好从两极板的边缘射出.不计重力及离子
之间的相互作用.下列说法正确的是( )
A.的最大值
B.当且 时，离子恰好能打到样品边缘
C.若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大
D.在和时刻射入的离子，有可能分别打在和 点
√
[解析] 离子在加速电场中被加速时有 ，在偏转电场中做类平抛运动，
则，，解得，选项A错误；当 时离子
从板的边缘射出，恰能打到样品边缘时，则，解得 ，选项B正
确；根据 ，若其他条件不变，要增加样品的辐照范围，则
需减小，选项C错误；由图可知时刻所加的向上电场电压小于 时刻所加的
向下的电场的电压，则时刻射入
的离子打到样品时的竖直位移小于
时刻射入的离子打到样品时的竖
直位移，选项D错误.
题型1 电场的性质
1.(多选)[2024·甘肃卷] 某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线
是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹，、 分别是运动轨迹与等势面
、 的交点，下列说法正确的是( )
A.粒子带负电荷
B.点的电场强度比 点的小
C.粒子在运动轨迹上存在动能最小的点
D.粒子在点的电势能大于在 点的电势
能
√
√
√
[解析] 根据粒子所受电场力指向曲线轨迹的凹侧可知，带电粒子带正电荷，故
A错误；等差等势面越密集的地方场强越大，故点的电场强度比 点的小，故
B正确；粒子带正电，因为点的电势大于点的电势，故粒子在 点的电势能
大于在 点的电势能，故D正确；由于带电粒子仅在电场作用下运动，电势能与
动能总和不变，故可知当电势能最大时动能最小，故粒子在运动轨迹上到达最
大电势处时动能最小，故C正确.
2.[2024·河北卷] 如图所示，真空中有两个电荷量均为 的点电荷，分别
固定在正三角形的顶点、为三角形的中心，沿 的中垂线对称
放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为.已知正三角形 的边长
为,点的电场强度为0，静电力常量为.顶点 处的电场强度大小为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 如图所示,、两处点电荷在 处产生的电场强度大小
，由于点的电场强度为0，故带电细杆在 点产生的电
故细杆在处产生的电场强度大小 ,方向向上，
因此点的电场强度大小 ,D正确.
场强度大小,、 两处点
电荷在处产生的电场强度大小 ,合场强
,方向向上，由于 点与
点关于带电细杆对称，
3.(多选)如图所示，绝缘球壳的上、下半球壳分别均匀分布着等量异种电荷，
点为球心，、为过球心的水平截面圆在同一水平直径上的两个点，、 为
过球心的竖直截面圆在竖直直径上的两个点，、、、到球心 的距离均
相等.已知均匀带电球壳内部的场强处处为零.下列说法正确的是( )
A.、、、 四点的场强方向均相同
B.、两点的场强方向相同，、 两点的场强方向相反
C.、、、 四点的电势相等
D.将电子沿直线从点移动至 点，电子的电势能一直增加
√
√
[解析] 由于均匀带电球壳内部场强处处为零，故均匀带正电的半球壳在、 、
、四点产生的场强方向均竖直向下，均匀带负电的半球壳在、、、 四点
产生的场强方向也竖直向下，故、、、 四点的场强方向均竖直向下，故A
正确，B错误；根据各点的场强方向和各点位置的对称性可知
,故C错误；将电子沿直线从点移动至 过程中，静电
力做负功，则电子的电势能一直增加，故D正确.
4.[2024·甘肃卷] 一平行板电容器充放电电路如图所示.开关接1，电源 给电容
器充电；开关接2，电容器对电阻 放电.下列说法正确的是( )
A.充电过程中，电容器两极板间电势差增加，充电电
流增加
B.充电过程中，电容器的上极板带正电荷、流过电阻
的电流由点流向 点
C.放电过程中，电容器两极板间电势差减小，放电电
流减小
D.放电过程中，电容器的上极板带负电荷，流过电阻
的电流由点流向 点
√
[解析] 充电过程中，随着电容器带电荷量的增加，电容器两极板间电势差增加，
充电电流在减小，故A错误；根据电路图可知，充电过程中，电容器的上极板
带正电荷，流过电阻的电流由点流向 点，故B错误；放电过程中，随着电
容器带电荷量的减小，电容器两极板间电势差减小，
放电电流在减小，故C正确；根据电路图可知，放
电过程中，电容器的上极板带正电荷，流过电阻
的电流由点流向 点，故D错误.
题型2 电场中的图像问题
1.[2024·湖南卷] 真空中有电荷量为和的两个点电荷，分别固定在 轴上
和0处.设无限远处电势为0，正半轴上各点电势 随 变化的图像正确的是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 轴上和0处的两个点电荷各自产生的电场在轴正半轴上坐标为 处
对应的电场强度分别为和，方向分别沿轴正方向和 轴负
方向，该处的电场强度，其方向取决于与 的大小关系，令
，解得，则当时，，该处的电场强度沿 轴负方
向指向处的负电荷，当时，，该处的电场强度沿 轴正方向
指向无限远处，根据沿电场强度方向电势降低可知，从处到 处电势
升高，而从 处到无限远处电势降低，又知靠近负电荷处电势趋于负无穷，
无限远处电势为0，所以处的电势应大于零，即轴正半轴上从 处到
无限远处，电势从负无穷增大到大于0的某一值，然后从该值减小到趋于0，故
D正确.
2.如图甲所示，在真空中固定的两个相同点电荷、关于轴对称， 轴上的
图像如图乙所示(规定轴正方向为电场强度的正方向).若在坐标原点 处
由静止释放一个正点电荷，它将沿 轴正方向运动，不计重力，则( )
A.、 带等量正电荷
B.点电荷在 处电势能最大
C.点电荷在 处动能最大
D.点电荷沿轴正方向运动的最远距离为
√
[解析] 由图像可知，轴上的点对应点，在 点的左侧，电场强度为正
值，沿轴正方向，在点的右侧，电场强度为负值，沿轴负方向，可知、
带等量负电荷，A错误；正点电荷从点到 点，电场力做正功，电势能减小，
动能增加，从点沿 轴正方向运动，电场力做负功，电势能增加，动能减小，
因此点电荷在点处电势能最大，在 处动能最大，B、C错误；由对称性可知，
点电荷沿轴正方向最远能到达点关于点的对称点点位置，故点电荷沿
轴正方向运动的最远距离为 ，D正确.
3.如图所示为不等量同种点电荷、连线上各点电势随位置坐标变化的
图像，图线垂直穿过 轴，交点处的纵坐标为，、为轴上关于原点 对
称的两个点.取无穷远处的电势为零，质子质量为，电荷量为 .下列说法正确
的是( )
A.、 均带负电
B.两点电荷的电荷量之比
C.将一质子从点由静止释放，到达 点时速度为0
D.将一质子从点由静止释放，若质子经过 点时速
度为，则点电势为
√
[解析] 由图像可知轴上的和 之间的电势都大于零，故两个点电荷一定
都是正电荷，故A错误；在处 图像切线的斜率为零，则该点处的电场
强度为零，有，解得，故B错误；因点电势大于 点
电势，故质子从点由静止释放到达 点，电场力做
功大于零，因此到达 点时速度大于0，故C错误；
将质子从点由静止释放，质子经过 点时，由动能
定理可得，解得 ，
故D正确.
题型3 带电粒子在电场中的运动
1.(多选)电子光学中，一种静电透镜的简化模型如图所示.以 为球心的球形边界
外部各处的电势均为，内部各处的电势均为， .一束离轴很近且关
于轴对称的电子束以速度 沿平行于轴的方向运动，在越过球形边界“壳层”的
过程中，电子运动速度将发生变化.不计电子重力及其之间的相互作用力，则下
列说法正确的是( )
A.电子束按图甲“会聚” B.电子束按图乙“发散”
C.电子束在球内的速度 D.电子束在球内的速度
√
√
[解析] 因为球形边界外部电势为，球形边界内部电势为，且 ，又
因为电场线由高电势指向低电势，在球形边界处应存在一微小电场，电场方向
指向球心，又因为粒子为电子，受力方向应与电场线方向相反，所以在进入球
形边界时受到背离球心的电场力，此时在电场力的作用下使电子偏离球心，电
子束按图乙“发散”，电子运动过程中电场力做负功，则速度减小，即 ，
故B、D正确.
2.(多选)[2023·湖北卷] 一带正电微粒从静止开始经电压 加速后，射入水平放
置的平行板电容器，极板间电压为 .微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与
极板夹角为 ，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为
和，到两极板距离均为 ,如图所示.忽略边缘效应，不计重力.下列说法正确的
是( )
A.
B.
C.微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D.仅改变微粒的质量或者电荷量，微粒在电容器中
的运动轨迹不变
√
√
[解析] 微粒在电容器中水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速直线运动，
由，，得.设微粒射入电容器时的速度为 ，水平方
向和竖直方向的分速度， ，从射入
至运动到最高点由运动学公式得，微粒经电压 加速过程，由动能定
理可得，联立解得 ,B正确；
微粒从射入至运动到最高点由运动学公式可得
，,联立可得 ,A错误；
微粒从最高点到穿出电容器过程有 ，
,从射入电容器至运动到最高点过程有,解得 ,设微粒穿
出电容器时速度方向与水平方向的夹角为 ，则 ,设微粒射入电
容器时速度方向和水平方向的夹角为 ，，则 ,C错误；
设微粒从射入电容器至射出的过程水平方向的位移大小为 ，竖直方向的
位移大小为,联立解得 ,
，轨迹方程与电荷量和质量无关，即仅
改变微粒的质量或者电荷量，轨迹不会变化，D正
确.
3.如图甲所示，一带电粒子沿平行板电容器中线以速度 平行于极板进入
(记为 时刻)，同时在两板上加一按如图乙所示变化的电压.已知粒子比荷为
，带电粒子只受静电力的作用且不与极板发生碰撞，经过一段时间，粒子以平
行于极板方向的速度射出.下列说法中正确的是( )
A.粒子在极板间运动的时间可能为
B.粒子射出极板时的速度大小为
C.极板长度满足
D.极板间最小距离为
√
[解析] 粒子进入电容器后，在平行于极板方向做匀速直线运动，在垂直于极板
方向运动的 图像如图所示，因为粒子平行于极板射出，可知粒子射出极板
时在垂直于极板方向的分速度为0，所以射出时刻可能为、、、 ，
满足，粒子射出时的速度大小必定为 ，极板长度
，故A、B、C错误；因为粒子不跟极板碰撞，则应满
足，， ，联
立解得 ，故D正确.
4.如图所示，在水平向右且场强大小为 的匀强电场中，两个半径相同、质量均
为的小球、静止放置在光滑的水平面上，且、所在直线与电场线平行.
带电荷量为，不带电，、之间的距离为时刻开始， 在电
场力的作用下开始沿直线运动，并与发生弹性碰撞.碰撞过程中、 之间没有
电荷量转移，仅碰撞时才考虑、 之间的相互作用，下列说法正确的是( )
A.两球从发生第一次碰撞到发生第二次碰撞的时间间隔为
B.两球从发生第次碰撞到发生第次碰撞的时间间隔为
C.两球连续发生两次碰撞的时间间隔均为
D.两球连续发生两次碰撞的时间间隔均为
√
[解析] 两球第一次碰撞前，对球由动能定理得 ，解得两球第一
次碰撞前球的速度大小 ，两球第一次发生弹性碰撞过程，根据动
量守恒定律得 ，根据机械能守恒定律得
，解得两球第一次碰撞后、 的速度分别为
， ，即碰后两球交换速度，
两球从发生第一次碰撞到发生第二次碰撞过程，由位
移关系得 ，解得两次碰撞的时间间
隔为，A错误；
两球发生第二次碰撞前、 两球的速度大小分别为，
，两球第二次发生弹性碰撞过程，根据动量守恒定律
得 ，根据机械能守恒定律得
，解得两球第二次碰撞后、 的
速度分别为， ，同理，两小
球第次碰撞前速度与第 次碰撞后速度的关系为
，
，两小球每次碰撞后，两小球交换速度，即，，归纳为,, , ，两球连续发生两次碰撞之间的过程 (即第次碰撞后到第次碰撞前)满足，解得两球发生连续两次碰撞的时间间隔均为 ，B、C错误，D正确.第8讲 静电场
题型1
例1 C [解析] 根据题意,A球静止时,对A球受力分析,如图所示,由平行四边形定则及几何关系可知,轻绳上拉力为FT=mg,A球与B球间的库仑力F=2mgcos 30°=mg,故A、B错误;若将轻绳剪断,则剪断瞬间A球受到轻绳的拉力消失,其他两力保持不变,根据三力平衡知识,此时A球的合外力大小为mg,则加速度大小为g,故C正确;若将轻绳剪断,则剪断瞬间B球受到的库仑力、重力不变,小球仍然处在静止状态,则轻杆对B球的作用力不变,故D错误.
例2 D [解析] b点所在的等势线相比a点所在的等势线更靠近正电荷,故φa<φb,A错误;电场强度是矢量,a、c两点电场方向不同,则电场强度不同,B错误;从d→e→f电场强度逐渐减小,间距相等,结合U=Ed可知0例3 BD [解析] 对甲、乙两小球受力分析如图所示,甲、乙两小球分别受到重力、支持力、库仑力作用而保持平衡.设OC与AB线段交点为G点,由几何关系有2Rcos ∠OAB=R,解得∠OAB=∠OBA=30°,因此有∠OGA=105°,∠OGB=75°,根据正弦定理,对甲有=,对乙有=,因为sin 45°m乙,A错误;根据点电荷场强公式E=,由场强叠加知识,可知C点到D点之间的圆弧上各点场强方向都向右下方,若有一正试探电荷从C点运动到D点的过程中,电场力做正功,电势能减小,故可判断C点电势高于D点电势,B正确;两带电小球连线上的电场分布可以等效成一对等量异种点电荷的电场和在A点带电荷量为3q的正点电荷的电场相互叠加的电场分布,在等量异种点电荷的电场中E、F两点电场强度大小相等、方向相同,但是A点带电荷量为3q的正点电荷在E、F两点的电场强度不同,则E、F两点电场强度大小不同,C错误;电势是标量,在OD连线上,OD与AB线段的交点距离两带电小球最近,所以该点电势最大,那么沿直线从O点到D点,电势先升高后降低,D正确.
【整合进阶】
进阶1 B [解析] 根据两点电荷周围的等势线分布可知Q1>0,Q2<0;对于电势为0的等势线上各点,有k+k=0,r1、r2为该点到两点电荷的距离,取图中两点电荷连线上的点(或连线延长线上的点)计算,其距离关系为=(或=),联立解得=-2,故B正确.
进阶2 (1)v0 (2)-l0 (3)
[解析] (1)根据动量守恒定律得mv0=(m+4m)v1
解得v1=v0
(2)两者共速时设间距为l',根据能量守恒定律可知,此时电势能为Ep'=m+m-×5m=m
根据题意电荷间的电势能与它们之间的距离成反比,则l'=l0=l0
即mv0t1=mxA+4mxB
根据位移关系可知xB+l0=xA+l'
联立解得xB=-l0
(3)全过程中对系统根据动能定理得Fl0=×4m-m
全过程中对系统根据动量定理得Ft2=4mv0-mv0
联立解得t2=
题型2
例4 D [解析] 根据公式Q=CU和电容的决定式C=,可得U=·d,根据题意F较小时易被压缩,F较大时难被压缩,随着F的增大,d在减小,且减小得越来越慢,电容器与电源断开后Q不变,故此时极板间的电势差U在减小,且减小得越来越慢;当F增大到一定程度时,再增大F,d基本不变,故此时U基本保持不变,结合图像,最符合情境的是D选项.
例5 D [解析] C点处的负电荷会做往复的周期运动,在O点处速度最大,场强为0,故加速度应当也为0,(尽管并非v t图,但速度峰值处同样斜率应为0)A错误;在连线上电势分布O点最高,两侧变低,但O点电势并不为0,C错误;D点处的电荷同样会做关于O点对称的往复运动,因中垂线上O点两侧均存在一个场强最大的位置,则根据其初始点的位置有两种可能性:到O点前场强不断变小,到O点前场强先变大后变小,Ep x图像的斜率等于Eq,则D选项对应的是第二种情况;无论是哪一种,其运动过程一定是完全对称的,所以图像B错误,D正确.
例6 D [解析] 由题意可知E点处电场强度为0,则有=,所以=,故A错误;由题图可知,从P点沿x轴到O点电势始终降低,所以P与O连线上电场强度方向始终沿x轴正方向,即PB间与BO间的电场强度方向相同,均为x轴正方向,故B错误;由C点到E点电场方向向左,带电粒子从静止开始向右运动,可知所受电场力向右,粒子带负电,从C点处运动到点F处电势先增大后减小,可知带电粒子的电势能先减小后增大,故C错误;从C点处到F点处,根据动能定理得-qUCF=mv2-0,解得UCF=-,又UCF=φC-φF=0-φF,所以φF=,故D正确.
【整合进阶】
进阶3 D [解析] x1、x2两处电场强度之比为==,故A错误;由图可知,点电荷b由x2运动到x1的过程中,动能减小,电势能增大,但由于电性未知,所以不能确定电势的变化,故B错误;根据能量守恒定律可得Ek0=Ep1-Ep2=-,所以Q=,故C错误;如仅将a的电荷量变为2Q,点电荷b速度减为0时,有Ek0=Ep-Ep2=-,解得x=,故D正确.
题型3
例7 C [解析] 设两极板间的电压为U,极板长度为L,当d=d0时,除尘率η为36%,即距离下极板为y=d0的粉尘做类平抛运动刚好打在右下端,有d0=at2,a=,L=v0t,解得18m=25qUL2,若要使η为64%,即d=at2,a=,L=v0t,联立解得d=d0,故选C.
例8 D [解析] 根据题意可知,带电粒子在电场中做类平抛运动,带电粒子a、b分别从Q点和O点同时进入电场,沿图中所示轨迹同时到达M、N点,可知,运动时间相等,由图可知,沿初速度方向位移之比为2∶1,则初速度之比为2∶1,沿电场方向的位移大小相等,由y=at2可知,粒子运动的加速度大小相等,由牛顿第二定律有qE=ma,可得=,可知带电粒子具有相同的比荷,故A错误;带电粒子运动过程中,电场力均做正功,电势能均随时间逐渐减小,故B错误;沿电场方向,由公式vy=at可知,带电粒子a、b到达M、N点的竖直分速度大小相等,由于初速度之比为2∶1,则到达M、N点的速度大小不相等,故C错误;由图可知,带电粒子a、b到达K的水平位移相等,由于带电粒子a、b初速度之比为2∶1,则所用时间之比为1∶2,故D正确.
【整合进阶】
进阶4 CD [解析] 小球所受电场力为F电=0.4 N,重力为G=0.3 N,两个力的合力为F=0.5 N,方向沿左下方与水平方向夹角为37°,当小球运动到等效最高点时速度最小,因细管对小球有支持力,可知到达 “最高点”时小球运动的最小速率为零,选项A错误;小球运动到与圆心等高的左侧位置时电势能最小,则具有的电势能最小为Epmin=Erq=× J=-0.6 J,选项B错误;小球运动到与圆心等高的右侧位置时电势能最大,此时小球的机械能最小,小球从“最高点”到该点由能量关系得mv2=mgrsin 37°-qEr(1-cos 37°),解得mv2=0.15 J,因该点的重力势能为零,则小球在该点具有的机械能为0.15 J,选项C正确;小球对外侧轨道有压力时,对内侧轨道的压力为零,小球对内侧轨道有压力时,对外侧轨道的压力为零,则小球对轨道的压力最小为0,选项D正确.
进阶5 B [解析] 离子在加速电场中被加速时有U1q=m,在偏转电场中做类平抛运动,则l=v0t,=·t2,解得Um=U1,选项A错误;当U2=±Um时离子从板的边缘射出,恰能打到样品边缘时,则=,解得L=,选项B正确;根据y=·t2=,若其他条件不变,要增加样品的辐照范围,则需减小U1,选项C错误;由图可知t1时刻所加的向上电场电压小于t2时刻所加的向下的电场的电压,则t1时刻射入的离子打到样品时的竖直位移小于t2时刻射入的离子打到样品时的竖直位移,选项D错误.第8讲 静电场
1.D [解析] 等高线越密集,坡面越陡,根据牛顿第二定律有a=gsin θ(θ为坡面与水平面夹角),MB对应的等高线更密集,坡面更陡,小球沿着MB运动时加速度比沿着MA运动时加速度大,A错误;A、B在同一等高线,小球下落高度相同,根据机械能守恒,运动到A、B点时速度大小相同,B错误;等势线越密集,电场强度越大,B处等势线更密集,A点电场强度比B点小,C错误;等势线越密集,电势降落越快,右侧等势线更密集,右侧电势比左侧降落得快,D正确.
2.A [解析] 根据题意可知,电容器与电源保持连接,电容器两端电压不变,现将电容器两极板间距增大至原来的2倍,由公式E=可知,极板间电场强度变为原来的,则由W=Eqd可知,再把电荷由a移至b,则电场力做功变为原来的,即电场力做功为,故选A.
3.AD [解析] C先跟A接触后,两者电荷量均变为q1=,C再跟B接触后,两者电荷量均变为q2==,此时A、B之间的静电力大小仍为F=,则有F==,解得=1或=-5,则Q∶q的绝对值可能是1或者5,故选A、D.
4.C [解析] 由题分析可知两个正电荷在F点产生的电场强度相互抵消,两个负电荷在F点产生的电场强度方向相同,都由F指向O,故A错误;根据电场强度的叠加原理,可知D、E两点的电场强度大小相等,方向不相同,故B错误;取无限远处电势为0,由于D、E两点关于O点对称,且四个点电荷分布具有对称性,根据电势的叠加原理,D、E两点的电势相等,故C正确;对O处的点电荷进行受力分析,可知受到A处+Q的库仑力方向沿OA方向,受到B处-Q的库仑力方向沿BO方向,受到C处+Q的库仑力方向沿OC方向,根据电场强度叠加原理,三个力的合力方向指向OF方向,大小不为0,故D错误.
5.C [解析] 由E x图像可知从N点到P点电场强度先增大后减小,根据E==可知,电势φ随位置x变化的图像的斜率表示电场强度,可知φ x图像的斜率从N点到P点先变大后变小,O点电场强度最大,则φ x图像在O点的斜率最大,只有C选项的图像符合此规律.
6.C [解析] 粒子从D点射入后从M点射出,射出时速度大小与D点相等,根据动能定理有-qUDM=-q(φD-φM)=0-0,则有φD=φM,可知DM为等势线,由于D点电势为0,B点电势为10 V,电场方向由高电势点指向低电势点,则左侧电势低,UAC为负,过B再作一条等势线,如图所示,根据几何关系可知,两等势线将对角线AC三等分,匀强电场中平行相等间距的两条线段之间的电势差相等,所以A、C两点间电势差为D、B的三倍,则有UAC=-30 V,故选C.
7.B [解析] 小球所受库仑力F=k,由于re>rb,则小球在e点所受库仑力小于在b点所受库仑力,故A错误;因Q>0,所以距离O越远,电势越低,b、c、d为等势面,根据Ep=φq可知小球从c点到e点,电势能先不变后减小,故B正确;f点距O点相比d点距O点更远,故φd>φf,根据Ep=φq知Epd>Epf,又由能量守恒知,小球过f点的动能大于过d点的动能,故C错误;又φa<φb,即EpaEkb即,va>vb,故D错误.
8.AD [解析] 根据题意可知O点、A点和B点的电势分别为φO=,φA=-,φB=,故OA中点的电势为φM==0,故A正确;如图,设N点为AB的三等分点,同理易知N点电势为0,连接MN为一条等势线,过A点作MN的垂线,可知电场线沿该垂线方向,指向右下方,由AM=AN可知∠NMA=45°,故电场的方向与x轴正方向成45°角,故B错误;电场强度的大小为E==,故C错误,D正确.
9.C [解析] a点场强方向垂直ab连线,则正方形薄板与c点的点电荷带异种电荷,故A错误; a点场强大小为E,方向垂直ab连线,则c点点电荷在a点产生的场强大小为E1==E,薄板上电荷在b点产生的场强大小为E2=E1sin 30°=E,故B错误;根据点电荷电场强度公式有E=k,解得q=,故C正确;由对称性可知a、b两点的场强大小及电势均相等,故D错误.
10.BD [解析] φ x图像中图线的斜率绝对值表示电场强度大小,由题图可知,x1点的场强不为零,故A错误;沿电场方向电势降低,由题图可知,在011.D [解析] 由题意可知,所有粒子在区域Ⅰ、Ⅱ电场中的运动对称,所以所有粒子离开区域Ⅱ时速度方向都沿x轴正方向,故A错误;由区域Ⅰ电场最高点进入电场的粒子经过O点时的偏角最大,在两电场中运动的时间最长,对该粒子经过O点时,由tan 45°=可得vy=v0,在区域Ⅰ电场中运动时有4L=vyt0,x=v0t0,解得x=8L,所以该粒子在电场运动的时间t=2t0==,故B错误;当粒子沿y=4L直线射入电场时有4L=a=×,解得E=,故C错误;对进入区域Ⅰ电场的任意粒子有y=a,x=v0t1,联立可解得y=,故D正确.第8讲 静电场
【关键能力】 从物质的观念和运动与相互作用的观念研究电场中抽象的概念和点电荷的场强、电容器、带电粒子运动,从能量观念理解电势和电势能.会用矢量运算法则对电场叠加和计算,会处理静电力作用下的平衡问题.了解生产生活中关于静电的利用与防护.能分析带电粒子在电场中的运动情况,能解释相关的物理现象.
题型1 电场的性质
1.电场中的各个物理量的形成及相互转化关系
2.电势高低的比较:(1)根据电场线方向,沿着电场线方向,电势越来越低;(2)根据电势差UAB=φA-φB,若UAB>0,则φA>φB,反之则φA<φB.
3.电势能变化的判断:(1)根据静电力做功判断,W=-ΔEp.若静电力对电荷做正功,则电势能减少;反之则增加.(2)根据能量守恒定律判断,静电力做功的过程是电势能和其他形式的能相互转化的过程.
例1 [2025·湖南卷] 如图,两带电小球的质量均为m,小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接,小球B用固定的绝缘轻杆连接.A球静止时,轻绳与竖直方向的夹角为60°,两球连线与轻绳的夹角为30°,整个系统在同一竖直平面内,重力加速度大小为g.下列说法正确的是 ( )
A.A球静止时,轻绳上拉力为2mg
B.A球静止时,A球与B球间的库仑力为2mg
C.若将轻绳剪断,则剪断瞬间A球加速度大小为g
D.若将轻绳剪断,则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小
[反思感悟]
例2 [2025·浙江1月选考] 三个点电荷的电场线和等势线如图所示,其中的d、e与e、f两点间的距离相等,则 ( )
A.a点电势高于b点电势
B.a、c两点的电场强度相同
C.d、f间电势差为d、e间电势差的两倍
D.从a到 b与从f到b,电场力对电子做功相等
例3 (多选)[2025·山东卷] 球心为O、半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上,带电荷量分别为+2q和+q的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点,过O、A、B的截面如图所示,C、D均为圆弧上的点,OC沿竖直方向,∠AOC=45°,OD⊥AB,A、B两点间距离为R,E、F为A、B连线的三等分点.下列说法正确的是 ( )
A.甲的质量小于乙的质量
B.C点电势高于D点电势
C.E、F两点电场强度大小相等,方向相同
D.沿直线从O点到D点,电势先升高后降低
【整合进阶】
进阶1 (电势公式φ=k的拓展应用)[2024·全国甲卷] 在电荷量为Q的点电荷产生的电场中,将无限远处的电势规定为零时,距离该点电荷r处的电势为k,其中k为静电力常量,多个点电荷产生的电场中某点的电势,等于每个点电荷单独存在时该点的电势的代数和.电荷量分别为Q1和Q2的两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示(图中数字的单位是伏特),则 ( )
A.Q1<0,=-2 B.Q1>0,=-2
C.Q1<0,=-3 D.Q1>0,=-3
进阶2 (电场中的动量功能分析)[2025·陕青宁晋卷] 如图所示,有两个电性相同且质量分别为m、4m的粒子A、B,初始时刻相距l0,粒子A以速度v0沿两粒子连线向速度为0的粒子B运动,此时A、B两粒子系统的电势能等于m.经时间t1粒子B到达P点,此时两粒子速度相同,同时开始给粒子B施加一恒力,方向与速度方向相同.当粒子B的速度为v0时,粒子A恰好运动至P点且速度为0,A、B粒子间距离恢复为l0,这时撤去恒力.已知任意两带电粒子系统的电势能与其距离成反比,忽略两粒子所受重力.求:(m、l0、v0、t1均为已知量)
(1)粒子B到达P点时的速度大小v1;
(2)t1时间内粒子B的位移大小xB;
(3)恒力作用的时间t2.
题型2 电场中的图像问题
例4 [2025·黑吉辽蒙卷] 如图,某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结构是模仿犰狳设计的,逐渐增大施加于两极板压力F的过程中,F较小时弹性结构易被压缩,极板间距d容易减小;F较大时弹性结构闭合,d难以减小.将该电容器充电后断开电源,极板间电势差U与F的关系曲线可能正确的是 ( )
A
B
C
D
例5 [2025·湖南长郡中学模拟] 两个电荷量相同的负点电荷固定在水平面上的A、B两点,O点是两个点电荷连线的中点,C、D两点分别位于点电荷的连线以及中垂线上,如图所示.在C点由静止释放一带负电的试探电荷1,在D点由静止释放一带正电的试探电荷2,二者仅在A、B电荷电场力的作用下运动,x是各试探电荷发生的位移,v1是电荷1的速度,a2是电荷2的加速度,φ1是电荷1所经过处的电势,Ep2是电荷2的电势能.设无穷远处的电势为零,则下面关于电荷1、2运动过程的图像可能正确的是 ( )
A
B
C
D
[反思感悟]
例6 [2025·河北邯郸二模] 电荷量为Q1和Q2的两个点电荷分别固定于x轴上的P、O两点,规定无穷远处电势为零,x轴上各点电势随x的变化图像如图所示.其中在CF段中,E点处电势最高,质量为m,电荷量的绝对值为q的带电粒子从C点处由静止释放,仅在电场力作用下沿x轴运动,经过F点处时的速度大小为v,则 ( )
A.=
B.PB间的电场强度方向与BO间的电场强度方向相反
C.粒子从C点处运动到F点处的过程中电势能先增大后减小
D.F点处电势为
[反思感悟]
【整合进阶】
进阶3 (电场中的非常规图像)[2025·安徽黄山二模] 如图甲所示,真空中x轴原点O处固定一点电荷a,其电荷量Q未知,另一试探点电荷b,其电荷量为q,以初动能Ek0自x2位置沿x轴负方向做直线运动,该过程点电荷b的Ek 图像如图乙所示,x1已知,静电力常量为k.设无穷远处电势为0,距点电荷a距离r处的电势φ=,b仅受电场力作用.下列说法正确的是 ( )
A.x1、x2两处电场强度之比等于x1∶x2
B.沿x轴正方向电势逐渐升高
C.电荷量Q=
D.如仅将a的电荷量变为2Q,点电荷b速度减为0时的位置坐标是
题型3 带电粒子在电场中的运动
例7 [2025·安徽合肥二模] 如图所示为某静电除尘装置的简化原理图,两块间距为d的平行金属板间为除尘区域,两板与恒定的高压直流电源相连.大量均匀分布的带负电粉尘均以速度v0平行于板射入除尘区域,粉尘碰到下板后其所带电荷被中和,同时被收集.通过调整d可以改变除尘率η(相同时间内被收集粉尘的数量与进入除尘区域粉尘的数量的百分比).不计空气阻力、粉尘的重力及粉尘间的相互作用,忽略边缘效应.已知d=d0时,η为36%,若要使η为64%,则应将d调整为 ( )
A.d0 B.d0 C.d0 D.d0
例8 [2025·重庆卷] 某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动,如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场,N为QP的中点.模拟动画显示,带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场,沿图中所示轨迹同时到达M、N点,K为轨迹交点.忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用,则可推断a、b ( )
A.具有不同比荷
B.电势能均随时间逐渐增大
C.到达M、N的速度大小相等
D.到达K所用时间之比为1∶2
对于带电粒子在匀强电场中的偏转运动,要做好两个方向的分析:在垂直于电场方向上做匀速直线运动,一般通过这个方向求运动时间等相关物理量;沿电场方向上做匀加速直线运动,在这个方向上找出偏转加速度、偏转位移、偏转速度等相关物理量.在垂直于电场方向上有t=,沿电场方向上有y=at2,vy=at,a=,联立方程可求解.
【整合进阶】
1.带电体在“等效重力场”中的圆周运动问题
2.交变电场中常见的运动类型及分析思路
(1)在交变电场中做直线运动时,一般是几段变速运动组合,可画出v t图像,分析速度、位移变化.
(2)在交变电场中的偏转若是几段类平抛运动的组合,可分解后画出沿电场方向分运动的v t图像,分析速度变化,或是分析偏转位移与偏转电压的关系式.
进阶4 (等效重力场问题)(多选)[2025·河南名校联考] 如图所示,竖直平面内有一光滑的圆形玻璃管道,管道圆心为O,半径为1.5 m,管道半径远远大于玻璃管道内径.空间存在水平向右的匀强电场,电场强度大小为4×106 N/C.将小球置于玻璃管道最低点并给小球一个初速度,使小球刚好能在玻璃管道内做完整的圆周运动.小球的质量为0.03 kg,电荷量为-1×10-7 C.取管道圆心O处的电势为0,圆心O所在水平面为重力势能的零势能面,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则下列说法正确的是 ( )
A.小球运动的最小速率为5 m/s
B.小球具有的电势能最小为0.6 J
C.小球具有的机械能最小为0.15 J
D.小球对轨道的压力最小为0
进阶5 (交变电场问题)[2025·甘肃卷] 离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备,其工作原理如图甲所示.从离子源S释放的正离子(初速度视为零)经电压为U1的电场加速后,沿OO'方向射入电压为U2的电场(OO'为平行于两极板的中轴线).极板长度为l、间距为d,U2 t关系如图乙所示.长度为a的样品垂直放置在距U2极板L处,样品中心位于O'点.假设单个离子在通过U2区域的极短时间内,电压U2可视为不变,当U2=±Um时.离子恰好从两极板的边缘射出.不计重力及离子之间的相互作用.下列说法正确的是 ( )
A.U2的最大值Um=U1
B.当U2=±Um且L=时,离子恰好能打到样品边缘
C.若其他条件不变,要增大样品的辐照范围,需增大U1
D.在t1和t2时刻射入U2的离子,有可能分别打在A和B点第8讲 静电场
1.[2025·北京卷] 某小山坡的等高线如图所示,M表示山顶,A、B是同一等高线上两点,MA、MB分别是沿左、右坡面的直滑道.山顶的小球沿滑道从静止滑下,不考虑阻力,则 ( )
A.小球沿MA运动的加速度比沿MB的大
B.小球分别运动到A、B点时速度大小不同
C.若把等高线看成某静电场的等势线,则A点电场强度比B点大
D.若把等高线看成某静电场的等势线,则右侧电势比左侧降落得快
2.[2025·江苏卷] 如图所示,平行金属板与电源连接.一点电荷由a点移动到b点的过程中,电场力做功为W.现将上、下两板分别向上、向下移动,使两板间距离增大为原来的2倍,再将该电荷由a移动到b的过程中,电场力做功为 ( )
A. B.W C.2W D.4W
3.(多选)[2025·河北卷] 如图,真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B,带有等量同种电荷,电荷量为q,两者间距远大于小球直径,两者之间的静电力大小为F.用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触,再跟B接触,移走C后,A和B之间的静电力大小仍为F,则Q∶q的绝对值可能是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.5
4.[2025·湖北武汉联考] 如图所示,O为等边三角形ABC的中心,D、E、F分别为三边的中点,在A、B、C、O四点固定四个点电荷(电性和电荷量已在图中标出).取无限远处电势为0,下列说法正确的是 ( )
A.F点的电场强度方向沿OF斜向右上
B.D、E两点的电场强度相同
C.D、E两点的电势相等
D.O处电荷受到库仑力的合力为0
5.[2025·山东枣庄三模] 预计2025年底,济宁光伏装机总量可达700万千瓦左右,光伏电站的核心部件由半导体材料制成.一半导体材料内部电场的电场强度E与位置x的关系如图所示,取O点的电势为零,则该电场中N点到P点的电势φ随位置x变化的图像可能为 ( )
A
B
C
D
6.[2025·河北石家庄联考] 正方形ABCD区域内,存在平行于纸面方向的匀强电场,M点为AB边中点.一带负电的粒子,以某一初速度从D点射入后从M点射出,射出时速度大小与D点相等.已知D点电势为0,B点电势为10 V,不计重力,则A、C两点间的电势差UAC为 ( )
A.-10 V B.-20 V
C.-30 V D.40 V
7.[2025·四川卷] 如图所示,由长为R的直管ab和半径为R的半圆形弯管bcd、def组成的绝缘光滑管道固定于水平面内,管道间平滑连接.bcd圆心O点处固定一电荷量为Q(Q>0)的带电小球.另一个电荷量为q(q>0且q Q)的带电小球以一定初速度从a点进入管道,沿管道运动后从f点离开.忽略空气阻力.则 ( )
A.小球在e点所受库仑力大于在b点所受库仑力
B.小球从c点到e点电势能先不变后减小
C.小球过f点的动能等于过d点的动能
D.小球过b点的速度大于过a点的速度
8.(多选)[2025·湖南卷] 一匀强电场的方向平行于xOy平面,平面内A点和B点的位置如图所示.电荷量为+q、-q和+2q的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时,电势能均为Ep.下列说法正确的是 ( )
A.OA中点的电势为零
B.电场的方向与x轴正方向成60°角
C.电场强度的大小为
D.电场强度的大小为
9.[2025·安徽合肥名校联考] 如图所示,a、b所在水平直线垂直于均匀带电正方形薄板所在平面,且通过板的几何中心O,a、b两点关于薄板对称,到薄板中心O的距离都是d,Oc垂直于ab连线且abc构成等边三角形.在c点固定一点电荷,a点场强大小为E,方向垂直于ab连线,已知静电力常量为k,则下列说法正确的是 ( )
A.正方形薄板与c处的点电荷带同种电荷
B.薄板上的电荷在b点产生的场强大小为E
C.c处点电荷的电荷量绝对值为
D.a、b两点的场强相等但电势不相等
10.(多选)[2025·陕西西安模拟] 某空间相距2L固定放置两个点电荷A、B.如果以A电荷所在位置为原点,A、B连线为x轴建立坐标系,如图甲所示,则x轴上各点电势φ随坐标x的变化的φ x图像如图乙所示.如果取无穷远处为零电势点,则点电荷的电势公式为φ=,其中k为静电力常量、Q为场源点电荷的电荷量、r为某点距场源点电荷的距离.则下列说法正确的是 ( )
A.x1点的场强为零
B.x2与x4点场强方向相反
C.B的电荷量是A的电荷量的8倍
D.x3∶x1=5∶4
11.[2025·河北唐山联考] 如图所示,平面直角坐标系xOy的第二、四象限虚线与y轴之间的区域Ⅰ、Ⅱ内分别存在电场强度大小相等,方向相反的匀强电场,粒子从第二象限0≤y≤4L的范围内沿x轴正向以相同的速度v0进入区域Ⅰ,它们都经过O点进入区域Ⅱ.已知带电粒子的质量为m,电荷量为q,带电粒子经过O点时的速度方向的最大偏角为45°,不计粒子的重力及粒子间的相互作用力.下列说法正确的是 ( )
A.所有粒子离开区域Ⅱ时的速度方向不同
B.粒子在两电场中运动的最长时间为
C.两区域中电场的电场强度大小为
D.第二象限中的曲线方程为y=
