微专题5 带电粒子在叠加场中的运动
1.AC [解析] 带电液滴受竖直向下的重力G、沿电场线方向的电场力F、垂直于速度方向的洛伦兹力F洛,若合力不为零,则洛伦兹力变化,不能沿直线运动,因此这三个力的合力一定为零,带电液滴做匀速直线运动,不可能做匀变速直线运动,故A正确,D错误;当带电液滴带正电,且电场线方向斜向上时,带电液滴受竖直向下的重力G、沿电场线向上的电场力F、垂直于速度方向斜向左上方的洛伦兹力F洛作用,这三个力的合力可能为零,带电液滴沿虚线L做匀速直线运动,如果带电液滴带负电、电场线方向斜向上或斜向下时,带电液滴所受合力不为零,不可能沿直线运动,故B错误,C正确.
2.A [解析] 开始时,粒子所受的合力大小F合=qE-qv0B=,方向竖直向下,则最初粒子的运动轨迹向下弯曲,取qE=qv1B,解得v1=>v0,则粒子实际的运动可看作以速度v1=且向右的匀速直线运动和从O点出发的以速度v2=v1-v0=的逆时针方向的匀速圆周运动的合运动,由运动的合成和周期性知,粒子运动轨迹为周期性的摆线形状,故A正确,B、C、D错误.
3.C [解析] 根据左手定则可知正离子向下偏,负离子向上偏,故N点电势比M点高,故A正确;设管道半径为r,稳定时,离子受到的洛伦兹力与电场力平衡,有q=qvB,同时有Q=Sv=πr2v,联立解得U0=,故U0正比于流量Q,流量Q一定时,管道半径越小,U0越大,故B正确,C错误;若直径MN与磁场方向不垂直,根据U0=可知此时式中磁感应强度为实际磁感应强度的一个分量,即此时代入的磁感应强度偏大,故测得的流量Q偏小,故D正确.
4.D [解析] 设样品每平方米载流子(电子)数为n,电子定向移动的平均速率为v,则时间t内通过样品的电荷量q=nevtb,根据电流的定义式得I==nevb,当电子稳定通过样品时,其所受静电力与洛伦兹力平衡,则有e=evB,联立解得U=B,则U B图像的斜率k=,由题图乙可知k= V/T,解得n≈2.3×1016,D正确.
5.C [解析] 由题意可知带电小球从P点到Q点在竖直方向做匀减速直线运动,则加速度方向向上,小球受到的电场力方向向上,与场强方向相反,所以小球带负电,故A错误;带电小球从P点到Q点过程,竖直方向有a==g,0=v0sin 30°-at,水平方向有x=v0cos 30°·t,联立解得P、Q两点的水平距离大小为x=,故C正确;小球经过Q点之后小球开始做匀速直线运动,根据平衡条件可知,洛伦兹力竖直向下,由左手定则可知,匀强磁场的方向垂直于纸面向里,又qv0cos 30°·B+mg=qE,解得匀强磁场的磁感应强度大小为B=,故B、D错误.
6.ABD [解析] 粒子从y轴进入第一象限且距离O点最远时,该处与A点连线为直径,由几何关系知2R=,则R=5L,又qvB=m,则匀强磁场的磁感应强度为B=,故A正确;当圆弧轨迹与y轴相切时,切点为O点最下方的点,此切点距O点的距离为x==2L,则y轴有粒子到达的区域长度为(8+2)L,故B正确;粒子从y轴最上端进入电磁场时,速度方向与y轴夹角为α=53°,在y轴方向由动量定理有F洛yt-qEt=0-mvcos 53°,又F洛yt=∑qvxBt=qB·3L,解得t=,故C错误,D正确.
7.AD [解析] 对M粒子在加速电场中有qU=mM,在速度选择器中运动时有qv0MB1=qE,解得M粒子的质量mM=,故A正确;进入速度选择器后因N粒子向下偏转,可知qv0NB1>qE,即v0N>v0M,故B错误;设M粒子在偏转磁场中运动半径为r1,则qv0MB2=mM,解得r1==,设N粒子在磁场中运动的半径为r2,则2r1-2r2cos θ=d,解得r2=,其中qvNB2=mN,可得vN=,由动能定理可知N粒子在选择器中运动时有-qEd=mN-mN,在加速电场中有qU=mN,解得mN=,v0N=,则要想使得粒子N沿轴线OO'通过选择器,设N粒子此时需满足qv0NB1'=qE',联立解得=v0N=,故C错误;若N粒子沿直线通过选择器,则在磁场中运动的半径为r3,在磁场中由牛顿第二定律有qv0NB2=mN,可知N粒子在偏转磁场中运动半径为r3=,又在加速电场中有qU=mN,则联立可得r3=,同理可得r1=,结合A、B项分析可知,mN8.(1)v0B (2)v0,速度与z轴正方向夹角为θ=45° (3)
[解析] (1)离子做匀速直线运动,有qv0B=qE
解得E=v0B
(2)撤去磁场后,离子做类平抛运动,电场力方向上有d=at2
初速度v0方向上,有2d=v0t
电场力方向上的速度分量vy=at
离子在Q点的速度大小为v=
解得v=v0
由tan θ==1得速度与z轴正方向夹角为θ=45°
(3)当离子进入y<0的磁场后,在z方向做匀速直线运动,在xOy平面做匀速圆周运动,当圆周运动转过的圆心角为90°时,速度第一次垂直y轴
在电场中qE=ma
在磁场中,xOy平面上有qv0B=m
又d=at2,2d=v0t
解得R=2d
又T=
转过90°圆心角的时间为t=T
z=v0t
可得此时离子坐标为微专题5 带电粒子在叠加场中的运动
1.(多选)[2025·河北石家庄模拟] 如图所示,实线表示竖直平面内的电场线,电场线与水平方向成α角,水平方向的匀强磁场与电场正交,有一带电液滴沿斜向上的虚线L斜向上做直线运动,L与水平方向成β角,且α>β,则下列说法中正确的是 ( )
A.液滴一定做匀速直线运动
B.液滴一定带负电
C.电场线方向一定斜向上
D.液滴有可能做匀变速直线运动
2.[2025·江西南昌二模] 在竖直平面内有xOy坐标系,空间存在垂直xOy平面向里的匀强磁场和竖直向下匀强电场,磁感应强度为B,电场强度为E,一电荷量为q的带正电粒子(重力忽略不计)从坐标原点以速度v0=沿x轴正方向开始运动,其轨迹可能为下列图像中的 ( )
A
B
C
D
3.[2025·北京卷] 电磁流量计可以测量导电液体的流量Q——单位时间内流过管道横截面的液体体积.如图所示,内壁光滑的薄圆管由非磁性导电材料制成,空间有垂直管道轴线的匀强磁场,磁感应强度为B.液体充满管道并以速度v沿轴线方向流动,圆管壁上的M、N两点连线为直径,且垂直于磁场方向,M、N两点的电势差为U0.下列说法错误的是 ( )
A.N点电势比M点高
B.U0正比于流量Q
C.在流量Q一定时,管道半径越小,U0越小
D.若直径MN与磁场方向不垂直,测得的流量Q偏小
4.[2024·江西卷] 石墨烯是一种由碳原子组成的单层二维蜂窝状晶格结构新材料,具有丰富的电学性能.现设计一电路测量某二维石墨烯样品的载流子(电子)浓度.如图甲所示,在长为a、宽为b的石墨烯表面加一垂直向里的匀强磁场,磁感应强度为B,电极1、3间通以恒定电流I,电极2、4间将产生电压U.当I=1.00×10-3 A时,测得U B关系图线如图乙所示,元电荷e=1.60×10-19 C,则此样品每平方米载流子数最接近 ( )
A.1.7×1019 B.1.7×1015
C.2.3×1020 D.2.3×1016
5.[2025·辽宁名校模拟] 如图所示,空间中存在竖直向下的匀强电场,虚线边界MN的右侧还存在垂直于纸面的匀强磁场(图中未画出).一带电小球从P点沿着与水平方向成30°角开始运动,运动到虚线边界MN上的Q点时速度方向恰好水平向右,之后小球开始做匀速直线运动.已知小球的初速度大小为v0、质量为m、电荷量大小为q,重力加速度为g,匀强电场的电场强度E=,下列说法正确的是 ( )
A.小球带正电
B.匀强磁场的方向垂直于纸面向外
C.P、Q两点的水平距离大小为
D.匀强磁场的磁感应强度大小为
6.(多选)[2025·湖北四校联考] 如图所示,在平面直角坐标系xOy中,二、三象限内存在垂直纸面向内的匀强磁场,在第一象限的y轴与虚线之间同时分布有与第二、三象限相同的匀强磁场和沿y轴负方向且场强大小为E的匀强电场,且虚线与y轴的距离为3L,在x轴负方向上距坐标原点x=6L的A处有一粒子发射源,在平面内向任意方向发射速度大小均为v的粒子,粒子带负电,质量大小均为m、电荷量大小均为q.粒子从y轴进入第一象限时离O点的最远距离为8L,已知从该处进入第一象限的粒子在电场中运动时间t穿出电场,其速度此时恰好第一次与x轴平行,不计粒子的重力,则 ( )
A.匀强磁场的磁感应强度为B=
B.从A处发射的粒子第一次经过y轴的区域长度为(8+2)L
C.t=
D.t=
7.(多选)[2025·广西卷] 如图所示,带等量正电荷q的M、N两种粒子,以几乎为0的初速度从S飘入电势差为U的加速电场,经加速后从O点沿水平方向进入速度选择器(简称选择器).选择器中有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场.当选择器的电场强度大小为E,磁感应强度大小为B1,右端开口宽度为2d时,M粒子沿轴线OO'穿过选择器后,沿水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场(偏转磁场),并最终打在探测器上;N粒子以与水平方向夹角为θ的速度从开口的下边缘进入偏转磁场,并与M粒子打在同一位置,忽略粒子重力和粒子间的相互作用及边界效应,则 ( )
A.M粒子质量为
B.刚进入选择器时,N粒子的速度小于M粒子的速度
C.调节选择器,使N粒子沿轴线OO'穿过选择器,此时选择器的电场强度与磁感应强度大小之比为
D.调节选择器,使N粒子沿轴线OO'进入偏转磁场,打在探测器上的位置与调节前M粒子打在探测器上的位置间距为+
8.[2025·广东汕头一模] 如图所示,三维坐标系O xyz中,在y>0的空间同时存在沿y轴正方向的匀强电场和沿x轴负方向的匀强磁场,在y<0的空间存在沿z轴正方向的匀强磁场.带负电的离子从P点以速度v0在yOz平面内沿z轴正方向发射,恰好做匀速直线运动.两处磁场磁感应强度大小均为B,不计离子重力.
(1)求匀强电场的电场强度大小E;
(2)撤去y>0空间内的匀强磁场,离子仍从P点以相同速度发射,且经Q点进入y<0的磁场空间,求离子在Q点的速度;
(3)在(2)条件下,离子在y<0的磁场空间中速度第一次垂直y轴时,求离子的坐标.(共58张PPT)
微专题5 带电粒子在叠加场中的运动
角度1 电场、磁场、重力场叠加场问题
角度2 叠加场中的空间立体问题
角度3 “配速法”在科技模型中的应用
备用习题
◆
听课手册
1.三种场力对带电粒子的作用特点
(1)重力和电场力可以(不是一定)对带电粒子做功，而洛伦兹力永不做功.
(2)在重力、电场力和洛伦兹力中的两者或三者共同作用下，带电粒子可能静止，
也可能做匀速(匀变速)直线运动或类平抛运动，还可能做匀速圆周运动.
①若只有两个场，合力为零，则粒子做匀速直线运动或处于静止状态.例如电场
与磁场叠加满足时、重力场与磁场叠加满足 时、重力场与
电场叠加满足 时.
②若三场共存，则合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力
的方向与速度 垂直.
③若三场共存，则粒子做匀速圆周运动时，有 ，粒子在洛伦兹力作用
下做匀速圆周运动，即 .
④在重力、电场力和洛伦兹力三者共同作用下的直线运动，只能做匀速直线运
动，不能做变速直线运动.
2.当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理
或能量守恒定律求解.
角度1 电场、磁场、重力场叠加场问题
例1 (多选)[2025·福建卷] 空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场与水平向右的匀
强电场，一带正电的粒子在复合场内恰能沿着做匀速直线运动， 与水平
方向成 角，水平向右.粒子电荷量为，速度为，质量为 ，重力加速度
为，当粒子运动到时，撤去磁场，一段时间后粒子经过 点，则( )
A.电场强度大小为
B.磁感应强度大小为
C.、两点的电势差为
D.粒子从运动到的过程中，距离的最远距离为
√
√
[解析] 带正电粒子在复合场中能沿着 做匀速直线运动，可知粒子受力情况
如图甲所示，由受力平衡可知， ，解得电场强度大小为
，磁感应强度大小为，故A错误，B正确；在 点撤去磁场后，
粒子受力方向与运动方向垂直，做类平抛运动，如图乙所示，且加速度大小为
，粒子到达点时，位移偏转角为 ，故在 点，速度偏转角的
正切值 ，
甲
乙
所以粒子在点的速度，到 过程，由动能定理，有
，解得、两点间的电势差为 ，C正确；将粒子
在 点的速度沿水平方向和竖直方向进行分解，可知粒子在竖直方向做竖直上
抛运动，且 ，故粒子能向上运动的最大距离为
，D错误.
甲
乙
例2 (多选)[2024·安徽卷] 空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的
匀强磁场，电场强度大小为，磁感应强度大小为.一质量为的带电油滴 ，
在纸面内做半径为的圆周运动，轨迹如图所示.当运动到最低点 时，瞬间分
成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电荷量、质量均相同在点时与 的速度方向相同，
并做半径为的圆周运动，轨迹如图所示 的轨迹未画出.已知重力加速度大
小为 ，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则( )
A.油滴带负电，所带电荷量的大小为
B.油滴做圆周运动的速度大小为
C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为
D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
√
√
√
[解析] 油滴做圆周运动，故重力与电场力平衡，可知带负电，有 ，
解得，故A正确；根据洛伦兹力提供向心力有，得 ，
解得油滴做圆周运动的速度大小为 ，故B正确；设小油滴Ⅰ的速度大小
为，得，解得 ，周期为
，故C错误；带电油滴 分离前后动量守恒，
设分离后小油滴Ⅱ的速度为，取油滴 分离前瞬间的速度
方向为正方向，得，解得 ，由
于分离后的小油滴受到的电场力和重力仍然平衡，分离后小油滴Ⅱ的速度方向与
正方向相反，根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，故D正确.
角度2 叠加场中的空间立体问题
例3 [2025·湖南长沙模拟] 如图所示，以棱长为的正方体顶点 为原点建立三
维坐标系，其中正方体的顶点落在轴上，顶点落在轴上.一质量为 、
电荷量为的带电粒子(重力不计)由点沿轴正方向以初速度 射入正方体，
第一次只加沿轴负方向磁感应强度大小为的匀强磁场，该粒子恰好能通过
的中点；第二次只加沿轴负方向电场强度大小为 的匀强电场，该粒子恰好能
通过 的中点；第三次同时加上与前两次等大的磁场和电
场，其中磁场方向不变，将电场方向调整为与平面平
行、与轴正方向成 角、与 轴正方向成 角.则( )
A.第一次和第二次该粒子在正方体内运动的时间相等
B.电场强度和磁感应强度的大小满足
C.第三次该粒子的运动为匀变速曲线运动
D.第三次该粒子离开正方体时的位置坐标为
√
[解析] 第一次粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径为 ，可知
，运动时间 ；第二次粒子在电场中做类平抛运动，运动时
间，故，A错误.第二次运动中，粒子在 轴方向上做匀变速直线
运动，有，解得，故有 ，
B错误.第三次运动过程中，带电粒子所受电场力 ，
洛伦兹力，在平面内，如图所示，沿 轴方
向有，
电场力沿 轴的分量 让粒子在轴正向加速，故粒子的运动为从点以速度沿轴正向做匀速直线运动以及沿轴正向做匀加速直线运动的合运动，即匀变速曲线运动，C正确.粒子在方向上有，解得，方向上位移，方向上的坐标为，故出射点坐标为 ，D错误.
角度3 “配速法”在科技模型中的应用
(1)若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会
随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，轨迹常为摆线.我们可
以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力
(或静电力，或重力和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒
子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运
动，这种方法叫配速法.
(2)配速法适用条件：①在叠加场中；②合力不为零.
(3)规律：把速度分解成两个速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力
(或静电力、或重力和静电力的合力)平衡，使粒子在这个方向上做匀速直线运动.
①初速度为零时，速度分解为两个等大、反向的速度；
②初速度不为零时，按矢量分解法则分解.
例4 [2024·甘肃卷] 质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示 为粒
子加速器，加速电压为；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为 ，方
向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为 ，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏
转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里.从 点释放初
速度为零的带电粒子(不计重力)，加速后进入速度选择器做直线运动，再由 点
进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的 点处，运动
轨迹如图中虚线所示.
(1) 粒子带正电还是负电？求粒子的比荷.
[答案] 正电;
[解析] 由于粒子在偏转分离器Ⅲ中向上偏转，根据左手定则可知粒子带正电；设粒子的质量为，电荷量为，粒子进入速度选择器Ⅱ时的速度为 ，在速度
选择器中粒子做匀速直线运动，由平衡条件有
在粒子加速器Ⅰ中，由动能定理有
联立解得粒子的比荷为
例4 [2024·甘肃卷] 质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示 为粒
子加速器，加速电压为；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为 ，方
向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为 ，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏
转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里.从 点释放初
(2) 求点到 点的距离.
[答案]
速度为零的带电粒子(不计重力)，加速后进入速度选择器
做直线运动，再由 点进入分离器做圆周运动，最后打到
照相底片的 点处，运动轨迹如图中虚线所示.
[解析] 在偏转分离器Ⅲ中，洛伦兹力提供向心力，有
可得点到 点的距离为
例4 [2024·甘肃卷] 质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示 为粒
子加速器，加速电压为；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为 ，方
向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为 ，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏
转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为 ，方
向垂直纸面向里.从 点释放初速度为零的带电粒子
(不计重力)，加速后进入速度选择器做直线运动，
再由 点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底
片的 点处，运动轨迹如图中虚线所示.
(3) 若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为略大于 ，方向不变，
粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的点上.求粒子打在 点的速度大小.
[答案]
[解析] 粒子进入速度选择器Ⅱ瞬间，粒子受到向上的洛伦兹力
向下的电场力
由于，且
所以通过配速法，如图所示
其中满足
则粒子在速度选择器中水平向右以速度 做匀速运动
的同时，在竖直面内以速度 做匀速圆周运动，当速度转
向到水平向右时，满足垂直打在速度选择器右挡板的 点
的要求，故此时粒子打在 点的速度大小为
【通法通则】
常见的“配速法”的应用
常见情况 处理方法
常见情况 处理方法
续表
常见情况 处理方法
续表
常见情况 处理方法
续表
角度1 电场、磁场、重力场叠加场问题
1.(多选)在中国古代，人们利用磁体在地磁场中受力的特点制作司南用以辨别方
向，如今在科学研究中，科学家常用电场和磁场控制带电粒子的运动.如图甲所
示，某一竖直方向存在上、下宽度分别为和 的匀强电场与匀强磁场，匀强电
场方向竖直向下，匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度大小为 .现有一质量
为、电荷量为的带正电粒子(不计重力)从电场内紧贴上边界的 点由静止释放，
运动到磁场下边界的 点(图甲中未画出)时粒子的运动轨迹正好与下边界相切.若
以上电场和磁场同时存在于一足够大的区域，如图乙所示，重新让粒子从 点
由静止释放，经过时间粒子第一次到达最低点 .下列说法正确的是 ( )
A.图甲中粒子从点运动到点的时间为
B.图乙中粒子经过点时速度大小为
C.图乙中、两点的竖直距离为
D.图乙中、两点的水平距离为
√
√
[解析] 设图甲中粒子在磁场中做匀速圆周运动的速率为，运动的半径为 ，在
电场中做加速运动，由动能定理得 ，在磁场中做匀速圆周运动,由
洛伦兹力提供向心力，有，由几何关系可得 ，联立解得
，，粒子从点运动到 点过程，在电场中运动的时间为
，在磁场中运动的时间为，所以粒子从点运动到 点
的时间为 ，故A错误；
将图乙中粒子从点运动到 点的过程中某时刻的速度分解为向右和向下的分量
、 ，再把粒子受到的洛伦兹力分别沿水平方向和竖直方向分解，两个洛伦
兹力的分量分别为，，设粒子在最低点 时的速度大小为
，、两点的竖直距离为 ，水平方向上由动量定理可得
，即，由动能定理可得 ，联立解得
，，故B正确，C错误；粒子从到 竖直方向上由动量定理可
得，其中，
解得、 两点的水平距离为
，故D正确.
角度2 叠加场中的空间立体问题
1.如图所示，以长方体的边中点为坐标原点、方向为 轴
正方向、方向为轴正方向、方向为轴正方向建立 坐标系，已知
.长方体中存在沿轴负方向的匀强磁场，现有质量为 、电
荷量为的带正电粒子(不计重力)，从点沿轴正方向以初速度 射入磁场中，
恰好从 点射出磁场.
(1) 求磁场的磁感应强度 的大小；
[答案]
[解析] 粒子在 平面内做匀速圆周运动，轨迹如图中轨迹1所示
由洛伦兹力提供向心力可得
由几何关系可得
解得
1.如图所示，以长方体的边中点为坐标原点、方向为 轴
正方向、方向为轴正方向、方向为轴正方向建立 坐标系，已知
.长方体中存在沿轴负方向的匀强磁场，现有质量为 、电
荷量为的带正电粒子(不计重力)，从点沿轴正方向以初速度 射入磁场中，
恰好从 点射出磁场.
(2) 若在长方体中加上沿轴负方向的匀强电场，让粒子仍从点沿 轴正方向以
[答案]
初速度射入磁场中，为使粒子能从 点射出磁场，求
电场强度 的大小；
[解析] 粒子在长方体中运动的时间为
在轴方向上做初速度为零的匀加速直线运动，则有
又
解得
1.如图所示，以长方体的边中点为坐标原点、方向为 轴
正方向、方向为轴正方向、方向为轴正方向建立 坐标系，已知
.长方体中存在沿轴负方向的匀强磁场，现有质量为 、电
荷量为的带正电粒子(不计重力)，从点沿轴正方向以初速度 射入磁场中，
恰好从 点射出磁场.
(3) 若在长方体中加上电场强度大小为、
方向沿 轴负方向的匀强电场，该粒子仍从点沿轴正
方向以初速度射入磁场中，求粒子射出磁场时与 点的距离 .
[答案]
[解析] 将初速度分解为、，使 对应的洛伦兹力恰好与电场力平衡，即
其中
解得，
易知与轴正方向的夹角为
若粒子仅在 对应的洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即
则轨道半径
解得
该分运动的情况如图中轨迹2所示，粒子在磁场中运动的时
间为
由于粒子也参与速度大小为、方向沿轴正方向的匀速运动，粒子射出磁场时与点的距离
解得
2.托卡马克装置是利用磁约束来实现受控核聚变的环形容器 (如图甲所示)，简
化的模拟磁场如图乙所示.已知半径为 的足够长水平圆柱
形区域内分布着水平向右的匀强磁场 Ⅰ，磁感应强度大小
为；圆柱形磁场区域 Ⅰ 外侧分布有厚度为 (长度未知)的
环形磁场 Ⅱ，其磁感应强度大小处处相等且也为 ，其横
截面图与纵截面图分别如图丙和图丁所示.某时刻氘原子核
(质量为，电荷量为)从磁场 Ⅰ 最低点以大小为 的
速度竖直向下射入磁场 Ⅱ，不计粒子的重力和空气阻力，
不考虑相对论效应.
(1) 要使氘核不射出磁场 Ⅱ 区域边界，求 Ⅱ 区域厚度 的最小值；
[答案]
轨迹与下边界相切时，Ⅱ区域厚度最小，由洛伦兹力提供向
心力得
解得
由几何关系可得最小厚度为
[解析] 依题意作出氘核在磁场Ⅱ中做匀速圆周运动的轨迹如图甲所示
2.托卡马克装置是利用磁约束来实现受控核聚变的环形容器 (如图甲所示)，简
(2) 求该氘核从出发到第二次回到磁场 Ⅰ 最低点需要的时
间；
化的模拟磁场如图乙所示.已知半径为 的足够长水平圆柱
形区域内分布着水平向右的匀强磁场 Ⅰ，磁感应强度大小
为；圆柱形磁场区域 Ⅰ 外侧分布有厚度为 (长度未知)的
环形磁场 Ⅱ，其磁感应强度大小处处相等且也为 ，其横
截面图与纵截面图分别如图丙和图丁所示.某时刻氘原子核
(质量为，电荷量为)从磁场 Ⅰ 最低点以大小为 的
速度竖直向下射入磁场 Ⅱ，不计粒子的重力和空气阻力，
不考虑相对论效应.
[答案]
氘核在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动，满足
解得
氘核在两个磁场中往复运动的轨迹如图乙所示
氘核在磁场Ⅱ中每运动半个周期后离开，随后垂直射入磁场Ⅰ，
每运动四分之一个周期后再垂直射入磁场Ⅱ，氘核在两个磁场
中运动的周期均为
则氘核从出发到第二次回到磁场Ⅰ最低点需要的时间为
2.托卡马克装置是利用磁约束来实现受控核聚变的环形容器 (如图甲所示)，简
化的模拟磁场如图乙所示.已知半径为 的足够长水平圆柱
形区域内分布着水平向右的匀强磁场 Ⅰ，磁感应强度大小
为；圆柱形磁场区域 Ⅰ 外侧分布有厚度为 (长度未知)的
环形磁场 Ⅱ，其磁感应强度大小处处相等且也为 ，其横
截面图与纵截面图分别如图丙和图丁所示.某时刻氘原子核
(质量为，电荷量为)从磁场 Ⅰ 最低点以大小为 的
速度竖直向下射入磁场 Ⅱ，不计粒子的重力和空气阻力，
不考虑相对论效应.
(3) 若氘核从磁场 Ⅰ 最低点以大小为、与水平方向夹角为 的速度射
[答案]
氘核以 的速度射入磁场Ⅱ时，有
解得
由几何关系可知，氘核每次在磁场Ⅱ中的水平位移为
入磁场 Ⅱ (如图戊所示)，则从出发到第二次回到磁场 Ⅰ 最
低点的水平位移是多少？
氘核进入磁场Ⅰ后做等距螺旋运动，将速度分解为与磁场Ⅰ垂直的分速度 和与磁
场Ⅰ平行的分速度 ，如图丙所示
由几何关系可知，，
氘核以速度 在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动的轨迹如图丁所示
由洛伦兹力提供向心力，有
解得
由几何关系得
解得
氘核每次在磁场Ⅰ中运动的时间为
氘核每次在磁场Ⅰ中的水平位移为
根据运动的重复性，从出发到第二次回到磁场Ⅰ最低点的水平位移
为
角度3 “配速法”在科技模型中的应用
1.如图甲所示，在水平地面上方分布有相互垂直的匀强电场与匀强磁场，电场
方向竖直向上，场强大小为，磁场方向垂直于纸面向里.在离地高为的 点处
建立一直角坐标系，轴竖直向上.一个带正电小球从点以速率沿 轴负
方向射出，恰好可以垂直打到地面.已知重力加速度大小为， 受到的电场力大
小恰好等于重力，运动过程中带电荷量不变，忽略空气阻力.
(1) 求匀强磁场的磁感应强度大小 .
[答案]
[解析] 由于小球所受电场力大小等于重力，即 ，可知电场力与重力平
衡，小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有
根据几何关系有
解得
1.如图甲所示，在水平地面上方分布有相互垂直的匀强电场与匀强磁场，电场
方向竖直向上，场强大小为，磁场方向垂直于纸面向里.在离地高为的 点处
建立一直角坐标系，轴竖直向上.一个带正电小球从点以速率沿 轴负
方向射出，恰好可以垂直打到地面.已知重力加速度大小为， 受到的电场力大
小恰好等于重力，运动过程中带电荷量不变，忽略空气阻力.
(2) 若大量与相同的小球从点以速率在 平面内沿各个方向先后射出，
小球间的相互作用均不计，落地后均不反弹，求小球落地点区间的长度.
[答案]
[解析] 当小球沿第二象限中某一方向射出时，可运动到左侧最远落地点，此时
落地点与 点连线为轨迹的直径，由几何关系可知，其水平位移
当小球沿 轴负方向射出时，可运动到右侧最远落地点，此时轨迹与地面相切，
由几何关系可知，其水平位移
则落地点区间的长度为
联立解得
1.如图甲所示，在水平地面上方分布有相互垂直的匀强电场与匀强磁场，电场
方向竖直向上，场强大小为，磁场方向垂直于纸面向里.在离地高为的 点处
建立一直角坐标系，轴竖直向上.一个带正电小球从点以速率沿 轴负
方向射出，恰好可以垂直打到地面.已知重力加速度大小为， 受到的电场力大
小恰好等于重力，运动过程中带电荷量不变，忽略空气阻力.
(3) 若撤去电场，小球从点以某一速率沿 轴正方向射出，恰好不会打到地面.
① 求小球从点射出时的速率 ；
[答案]
[解析] 利用配速法，将小球在点的速度分解为沿轴正方向的速度 和另一
速度，使，则小球的运动可分解为以速度 做匀速圆周运动与以速
度 做匀速直线运动，如图所示
则匀速直线运动对应的速度
匀速圆周运动对应的速度
匀速圆周运动的轨迹半径
根据几何关系有
其中
联立解得
1.如图甲所示，在水平地面上方分布有相互垂直的匀强电场与匀强磁场，电场
方向竖直向上，场强大小为，磁场方向垂直于纸面向里.在离地高为的 点处
建立一直角坐标系，轴竖直向上.一个带正电小球从点以速率沿 轴负
方向射出，恰好可以垂直打到地面.已知重力加速度大小为， 受到的电场力大
小恰好等于重力，运动过程中带电荷量不变，忽略空气阻力.
(3) 若撤去电场，小球从点以某一速率沿 轴正方向射出，恰好不会打到地面.
② 已知小球的速率与时间 的关系如图乙所示，求小球速率达到最小时两个位
置之间的距离.
[答案]
[解析] 小球速率达到最小时的两个位置之间的距离
其中周期
解得微专题5 带电粒子在叠加场中的运动
例1 BC [解析] 带正电粒子在复合场中能沿着MN做匀速直线运动,可知粒子受力情况如图甲所示,由受力平衡可知mg=qE,qvB=mg,解得电场强度大小为E=,磁感应强度大小为B=,故A错误,B正确;在N点撤去磁场后,粒子受力方向与运动方向垂直,做类平抛运动,如图乙所示,且加速度大小为a==g,粒子到达P点时,位移偏转角为45°,故在P点,速度偏转角的正切值tan θ=2tan 45°=2,所以粒子在P点的速度vP==v,N到P过程,由动能定理,有qU=m-mv2,解得N、P两点间的电势差为U=,C正确;将粒子在N点的速度沿水平方向和竖直方向进行分解,可知粒子在竖直方向做竖直上抛运动,且vNy=vsin 45°=v,故粒子能向上运动的最大距离为h==,D错误.
甲
乙
例2 ABD [解析] 油滴a做圆周运动,故重力与电场力平衡,可知带负电,有mg=Eq,解得q=,故A正确;根据洛伦兹力提供向心力有Bqv=m,得R=,解得油滴a做圆周运动的速度大小为v=,故B正确;设小油滴Ⅰ的速度大小为v1,得3R=,解得v1==,周期为T==,故C错误;带电油滴a分离前后动量守恒,设分离后小油滴Ⅱ的速度为v2,取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向,得mv=v1+v2,解得v2=-,由于分离后的小油滴受到的电场力和重力仍然平衡,分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反,根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动,故D正确.
例3 C [解析] 第一次粒子在磁场中做匀速圆周运动,半径为r=L=,可知B=,运动时间t1==;第二次粒子在电场中做类平抛运动,运动时间t2=,故t1>t2,A错误.第二次运动中,粒子在y轴方向上做匀变速直线运动,有L=·,解得E=,故有E=2v0B,B错误.第三次运动过程中,带电粒子所受电场力Eq=,洛伦兹力qv0B=,在yOz平面内,如图所示,沿y轴方向有Eqsin θ=Eqsin 30°=qv0B,电场力沿z轴的分量Eqcos θ让粒子在z轴正向加速,故粒子的运动为从Q点以速度v0沿x轴正向做匀速直线运动以及沿z轴正向做匀加速直线运动的合运动,即匀变速曲线运动,C正确.粒子在z方向上有L=t2,解得t=,x方向上位移x=v0t=L,y方向上的坐标为L,故出射点坐标为,D错误.
例4 (1)正电 (2) (3)
[解析] (1)由于粒子在偏转分离器Ⅲ中向上偏转,根据左手定则可知粒子带正电;设粒子的质量为m,电荷量为q,粒子进入速度选择器Ⅱ时的速度为v0,在速度选择器中粒子做匀速直线运动,由平衡条件有qv0B1=qE1
在粒子加速器Ⅰ中,由动能定理有qU=m
联立解得粒子的比荷为=
(2)在偏转分离器Ⅲ中,洛伦兹力提供向心力,有qv0B2=m
可得O点到P点的距离为OP=2r=
(3)粒子进入速度选择器Ⅱ瞬间,粒子受到向上的洛伦兹力F洛=qv0B1
向下的电场力F=qE2
由于E2>E1,且qv0B1=qE1
所以通过配速法,如图所示
其中满足qE2=q(v0+v1)B1
则粒子在速度选择器中水平向右以速度v0+v1做匀速运动的同时,在竖直面内以速度v1做匀速圆周运动,当速度转向到水平向右时,满足垂直打在速度选择器右挡板的O'点的要求,故此时粒子打在O'点的速度大小为
v'=v0+v1+v1=1.三种场力对带电粒子的作用特点
(1)重力和电场力可以(不是一定)对带电粒子做功,而洛伦兹力永不做功.
(2)在重力、电场力和洛伦兹力中的两者或三者共同作用下,带电粒子可能静止,也可能做匀速(匀变速)直线运动或类平抛运动,还可能做匀速圆周运动.
①若只有两个场,合力为零,则粒子做匀速直线运动或处于静止状态.例如电场与磁场叠加满足qE=qvB时、重力场与磁场叠加满足mg=qvB时、重力场与电场叠加满足mg=qE时.
②若三场共存,则合力为零时,粒子做匀速直线运动,其中洛伦兹力F=qvB的方向与速度v垂直.
③若三场共存,则粒子做匀速圆周运动时,有mg=qE,粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,即qvB=m.
④在重力、电场力和洛伦兹力三者共同作用下的直线运动,只能做匀速直线运动,不能做变速直线运动.
2.当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时,一般用动能定理或能量守恒定律求解.
角度1 电场、磁场、重力场叠加场问题
例1 (多选)[2025·福建卷] 空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场与水平向右的匀强电场,一带正电的粒子在复合场内恰能沿着MN做匀速直线运动,MN与水平方向成45°角,NP水平向右.粒子电荷量为q,速度为v,质量为m,重力加速度为g,当粒子运动到N时,撤去磁场,一段时间后粒子经过P点,则 ( )
A.电场强度大小为E=
B.磁感应强度大小为B=
C.N、P两点的电势差为U=
D.粒子从N运动到P的过程中,距离NP的最远距离为
例2 (多选)[2024·安徽卷] 空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场,电场强度大小为E,磁感应强度大小为B.一质量为m的带电油滴a,在纸面内做半径为R的圆周运动,轨迹如图所示.当a运动到最低点P时,瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ,二者带电荷量、质量均相同.Ⅰ在P点时与a的速度方向相同,并做半径为3R的圆周运动,轨迹如图所示.Ⅱ的轨迹未画出.已知重力加速度大小为g,不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用,则 ( )
A.油滴a带负电,所带电荷量的大小为
B.油滴a做圆周运动的速度大小为
C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为,周期为
D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
角度2 叠加场中的空间立体问题
例3 [2025·湖南长沙模拟] 如图所示,以棱长为L的正方体顶点O为原点建立三维坐标系Oxyz,其中正方体的顶点P落在x轴上,顶点Q落在y轴上.一质量为m、电荷量为+q的带电粒子(重力不计)由Q点沿x轴正方向以初速度v0射入正方体,第一次只加沿z轴负方向磁感应强度大小为B的匀强磁场,该粒子恰好能通过OQ的中点;第二次只加沿y轴负方向电场强度大小为E的匀强电场,该粒子恰好能通过OP的中点;第三次同时加上与前两次等大的磁场和电场,其中磁场方向不变,将电场方向调整为与yOz平面平行、与z轴正方向成30°角、与y轴正方向成60°角.则 ( )
A.第一次和第二次该粒子在正方体内运动的时间相等
B.电场强度和磁感应强度的大小满足E=v0B
C.第三次该粒子的运动为匀变速曲线运动
D.第三次该粒子离开正方体时的位置坐标为(L,L,L)
[反思感悟]
角度3 “配速法”在科技模型中的应用
(1)若带电粒子在磁场中所受合力不为零,则粒子的速度会改变,洛伦兹力也会随着变化,合力也会跟着变化,则粒子做一般曲线运动,轨迹常为摆线.我们可以把初速度分解成两个分速度,使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力,或重力和静电力的合力)平衡,另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动,这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动,这种方法叫配速法.
(2)配速法适用条件:①在叠加场中;②合力不为零.
(3)规律:把速度分解成两个速度,使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力、或重力和静电力的合力)平衡,使粒子在这个方向上做匀速直线运动.
①初速度为零时,速度分解为两个等大、反向的速度;
②初速度不为零时,按矢量分解法则分解.
例4 [2024·甘肃卷] 质谱仪是科学研究中的重要仪器,其原理如图所示.Ⅰ为粒子加速器,加速电压为U;Ⅱ为速度选择器,匀强电场的电场强度大小为E1,方向沿纸面向下,匀强磁场的磁感应强度大小为B1,方向垂直纸面向里;Ⅲ为偏转分离器,匀强磁场的磁感应强度大小为B2,方向垂直纸面向里.从S点释放初速度为零的带电粒子(不计重力),加速后进入速度选择器做直线运动,再由O点进入分离器做圆周运动,最后打到照相底片的P点处,运动轨迹如图中虚线所示.
(1)粒子带正电还是负电 求粒子的比荷.
(2)求O点到P点的距离.
(3)若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为E2(E2略大于E1),方向不变,粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的O'点上.求粒子打在O'点的速度大小.
常见的“配速法”的应用
常见情况 处理方法
BG摆线:初速度为0,有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1.
BE摆线:初速度为0,不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1.
BEG摆线:初速度为0,有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1.
BGv摆线:初速度为v0,有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2.
