小题满分练2
(满分73分 建议用时40分钟)
一、单选题：每小题5分，共40分．
1．已知集合P＝{(x，y)|y＝x2}，Q＝{(x，y)|y＝}，则P∩Q＝( )
A． B．
C． D．
2．已知复数z满足(z－i)(1＋i)＝4，则z＝( )
A．2＋i B．2－i C．－2－i D．2＋3i
3．已知数列{an}，满足a3＝6， m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an成立，Sn为数列{an}的前n项和，则S10＝( )
A．55 B．60 C．100 D．110
4．某科技公司研发部有40名员工，市场部有60名员工．统计两个部门员工参与机器人项目开发的周平均时长(单位：小时)，得到研发部样本数据的平均数为30小时，方差为18，市场部样本数据的平均数为25小时，方差为12．则该科技公司参与机器人项目研发的周平均时长和方差s2的值分别为( )
A．＝27.5，s2＝15 B．＝27，s2＝15
C．＝27，s2＝20.4 D．＝9.5，s2＝30
5．已知函数f(x)＝(2x＋a)是奇函数，则实数a的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
6．已知m，n，l是同一个平面内的三个向量，则“m·(n·l)＝(m·n)·l”是“m∥l”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为( )
A．48π B．36π C．24π D．12π
8．已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)，斜率为的直线l与双曲线E交于A，B两点，直线
l与x轴、y轴分别交于C，D两点，且＝2，＝，则双曲线E的离心率为( )
A．4 B． C．2 D．
二、多选题：每小题6分，共18分．
9．设样本空间Ω＝{a，b，c，d}含有等可能的样本点，且A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}．则下列结论正确的有( )
A．P(AB)＝P(A)P(B)
B．P(AC)＝P(A)P(C)
C．P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)
D．P(BC)＝P(B)P(C)
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3n＋r，下列说法正确的是( )
A．当r＝3时，数列{an}是递增数列
B．若数列{an}是等比数列，则r＝－1
C．数列{a2n－1}一定是等比数列
D．数列{a2n}一定是等比数列
11．函数y＝tan x与y＝cos x，x∈[0，4π]有n个交点，坐标分别为(x1，y1)，…，(xn，yn)(x1
A．sin x1＝ B．n＝4
C．xi＝8π D．(xi＋yi)＝6π
三、填空题：每小题5分，共15分．
12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点关于其准线的对称点坐标为(－3，0)，则p的值为________．
13．已知随机变量ξ～N(2，4)，a，b是正实数，满足P(ξ≥a)＋P(ξ>2b)＝1，则的最小值为________．
14．已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝2B，a＋b＝3，则边c的取值范围是________．
小题满分练2
1．D [由题意集合P＝{(x，y)|y＝x2}，Q＝{(x，y)|y＝}表示点集，
解方程组故P∩Q＝{(0，0)，(1，1)}．故选D．]
2．B [因为(z－i)(1＋i)＝4，
所以z＝＋i＝2－i．故选B．]
3．D [当m＝1时，得到an+1＝a1＋an，所以{an}是以a1为首项，以a1为公差的等差数列，
所以an＝na1，因为a3＝6，所以a1＝2，所以S10＝110．故选D．]
4．C [平均数×25＝27，
方差s2＝[18＋(30－27)2]＋[12＋(25－27)2]＝20.4．故选C．]
5．A [函数的定义域为(－1，1)，因为f(x)＝(2x＋a)是奇函数，
所以f(－x)＝(－2x＋a)＝－(2x－a)＝－(2x＋a)·＝－f(x)恒成立，所以a＝－a，解得a＝0．故选A．]
6．C [当n＝0时，m，l可以是任意向量，因此是不充分条件；
当m∥l时，若l＝0，显然m·(n·l)＝(m·n)·l成立；
当l≠0时，因为m∥l，所以m＝kl，
因此m·(n·l)＝kl·(n·l)＝k(n·l)·l，(m·n)·l＝(kl·n)·l＝k(l·n)·l，又n·l＝l·n，
因此m·(n·l)＝(m·n)·l成立．
故“m·(n·l)＝(m·n)·l”是“m∥l”的必要条件．故选C．]
7．A [作出示意图如图所示，根据题意可得圆锥的内切球和外接球球心重合且在高线SH上，H为底面圆的圆心，记球心为O，则∠OSA＝∠OAS＝∠OAH＝30°，
所以外接球半径R＝OA＝OS＝2OH，
因为，所以R＝2．
因此圆锥外接球的表面积为48π．
故选A．]
8．D [如图所示，
设l：y＝x＋m，
∴C(－2m，0)，D(0，m)，
由题意得
B，
A(2m，2m)，
∴
∴，∴，
∴e2＝1＋，∴e＝．]
9．ABD [由题意得P(A)＝P(B)＝P(C)＝，
P(AB)＝P(AC)＝P(BC)＝P(ABC)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)，
P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)．故选ABD．]
10．BD [因为Sn＝3n＋r，
所以an＝
当r＝3时，a1＝a2＝6，所以数列{an}不是递增数列；
若数列{an}是等比数列，则3＋r＝2，所以r＝－1；
因为a2n＝2·32n-1，所以数列{a2n}一定是等比数列；
当r≠－1时，数列{a2n-1}不是等比数列．故选BD．]
11．ABD [因为tan x1＝cos x1，所以sin x1＝cos2x1＝1－sin2x1，解得sin x1＝，故A选项正确；
作出函数y＝tan x与y＝cos x的图象，
通过图象可以得到这两个函数有4个交点，故B选项正确；
又4个交点关于点两两对称，
所以＝6π，
(xi＋yi)＝6π＋0＝6π，因此D选项正确，C选项错误．故选ABD．]
12.2 [由题意得焦点坐标，准线方程x＝－，因此－＝－3，所以p＝2．]
13.2＋ [由随机变量ξ~N(2，4)，得正态曲线关于直线x＝2对称，P(ξ≥a)＋P(ξ>2b)＝1，因为1－P(ξ≥a)＝P(ξ2b)＝P(ξ0，b>0，
则(a＋2b)
＝≥2＋，
当且仅当，即a＝2－2，b＝3－时取等号，
所以的最小值为2＋．]
14．(3－3，3－3) [因为A＝2B，
则sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B，所以a＝2bcos B．
由a＋b＝3得，b＝，
又sin C＝sin(π－A－B)＝sin(π－3B)＝sin 3B＝sin Bcos 2B＋cos Bsin 2B
＝sin B(1－2sin2B)＋2sin B(1－sin2B)＝3sin B－4sin3B，
所以c＝，化简得c＝6cos B－3，
由锐角△ABC，得
可得，
因此边c的取值范围是(3－3，3－3)．]
1/2(共25张PPT)
小题满分练2
题号
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14
√
(满分73分 建议用时40分钟)
一、单选题：每小题5分，共40分．
1．已知集合P＝{(x，y)|y＝x2}，Q＝{(x，y)|y＝}，则P∩Q＝( )
A． B．
C． D．
题号
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D [由题意集合P＝{(x，y)|y＝x2}，Q＝{(x，y)|y＝}表示点集，
解方程组得 或故P∩Q＝{(0，0)，(1，1)}．
故选D．]
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2．已知复数z满足(z－i)(1＋i)＝4，则z＝( )
A．2＋i B．2－i C．－2－i D．2＋3i
√
B [因为(z－i)(1＋i)＝4，
所以z＝＋i＝＋i＝＋i＝2－i．故选B．]
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3．已知数列{an}，满足a3＝6， m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an成立，Sn为数列{an}的前n项和，则S10＝( )
A．55 B．60 C．100 D．110
√
D [当m＝1时，得到an＋1＝a1＋an，所以{an}是以a1为首项，以a1为公差的等差数列，
所以an＝na1，因为a3＝6，所以a1＝2，所以S10＝110．故选D．]
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4．某科技公司研发部有40名员工，市场部有60名员工．统计两个部门员工参与机器人项目开发的周平均时长(单位：小时)，得到研发部样本数据的平均数为30小时，方差为18，市场部样本数据的平均数为25小时，方差为12．则该科技公司参与机器人项目研发的周平均时长和方差s2的值分别为( )
A．＝27.5，s2＝15 B．＝27，s2＝15
C．＝27，s2＝20.4 D．＝9.5，s2＝30
√
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C [平均数＝×30＋×25＝27，
方差s2＝[18＋(30－27)2]＋[12＋(25－27)2]＝20.4．
故选C．]
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√
5．已知函数f (x)＝(2x＋a)是奇函数，则实数a的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
A [函数的定义域为(－1，1)，因为f (x)＝(2x＋a)是奇函数，所以f (－x)＝(－2x＋a)＝－(2x－a)＝－(2x＋a)＝－f (x)恒成立，所以a＝－a，解得a＝0．
故选A．]
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√
6．已知m，n，l是同一个平面内的三个向量，则“m·(n·l)＝(m·n)·l”是“m∥l”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
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C [当n＝0时，m，l可以是任意向量，因此是不充分条件；
当m∥l时，若l＝0，显然m·(n·l)＝(m·n)·l成立；
当l≠0时，因为m∥l，所以m＝kl，
因此m·(n·l)＝kl·(n·l)＝k(n·l)·l，(m·n)·l＝(kl·n)·l＝k(l·n)·l，又n·l＝l·n，
因此m·(n·l)＝(m·n)·l成立．
故“m·(n·l)＝(m·n)·l”是“m∥l”的必要条件．故选C．]
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7．已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为( )
A．48π B．36π C．24π D．12π
√
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A [作出示意图如图所示，根据题意可得圆锥的内切球和外接球球心重合且在高线SH上，H为底面圆的圆心，记球心为O，则∠OSA＝∠OAS＝∠OAH＝30°，
所以外接球半径R＝OA＝OS＝2OH，
因为R＝SH＝3，所以R＝2．
因此圆锥外接球的表面积为48π．故选A．]
题号
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√
8．已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)，斜率为的直线l与双曲线E交于A，B两点，直线l与x轴、y轴分别交于C，D两点，且＝2＝，则双曲线E的离心率为( )
A．4 B． C．2 D．
题号
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D [如图所示，
设l：y＝x＋m，∴C(－2m，0)，D(0，m)，
由题意得B，A(2m，2m)，
∴∴＝，
∴＝，∴e2＝1＋＝，∴e＝．]
题号
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√
二、多选题：每小题6分，共18分．
9．设样本空间Ω＝{a，b，c，d}含有等可能的样本点，且A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}．则下列结论正确的有( )
A．P(AB)＝P(A)P(B)
B．P(AC)＝P(A)P(C)
C．P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)
D．P(BC)＝P(B)P(C)
√
√
题号
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ABD [由题意得P(A)＝P(B)＝P(C)＝＝，
P(AB)＝P(AC)＝P(BC)＝P(ABC)＝，
所以P(AB)＝P(A)P(B)，
P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)，
P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)．故选ABD．]
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√
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3n＋r，下列说法正确的是
( )
A．当r＝3时，数列{an}是递增数列
B．若数列{an}是等比数列，则r＝－1
C．数列{a2n－1}一定是等比数列
D．数列{a2n}一定是等比数列
√
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BD [因为Sn＝3n＋r，
所以an＝
当r＝3时，a1＝a2＝6，所以数列{an}不是递增数列；
若数列{an}是等比数列，则3＋r＝2，所以r＝－1；
因为a2n＝2·32n-1，所以数列{a2n}一定是等比数列；
当r≠－1时，数列{a2n－1}不是等比数列．故选BD．]
题号
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√
11．函数y＝tan x与y＝cos x，x∈[0，4π]有n个交点，坐标分别为(x1，y1)，…，(xn，yn)(x1A．sin x1＝ B．n＝4
C．xi＝8π D．(xi＋yi)＝6π
√
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题号
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ABD [因为tan x1＝cos x1，所以sin x1＝cos2x1＝1－sin2x1，解得sinx1＝，故A选项正确；
作出函数y＝tan x与y＝cos x的图象，
通过图象可以得到这两个函数有4个交点，故B选项正确；
又4个交点关于点两两对称，
所以xi＝2×＋2×＝6π，(xi＋yi)＝6π＋0＝6π，因此D选项正确，C选项错误．
故选ABD．]
题号
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三、填空题：每小题5分，共15分．
12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点关于其准线的对称点坐标为
(－3，0)，则p的值为________．
2 [由题意得焦点坐标，准线方程x＝－，焦点关于准线方程对称点的坐标为，因此－＝－3，所以p＝2．]
2
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13．已知随机变量ξ～N(2，4)，a，b是正实数，满足P(ξ≥a)＋P(ξ>2b)＝1，则的最小值为________．
2＋ [由随机变量ξ～N(2，4)，得正态曲线关于直线x＝2对称，P(ξ≥a)＋P(ξ>2b)＝1，因为1－P(ξ≥a)＝P(ξ＜a)，所以P(ξ＞2b)＝P(ξ＜a)，所以＝2，得a＋2b＝4，又a>0，b>0，则＝(a＋2b)＝≥2＋，当且仅当＝，即a＝2－2，b＝3－时取等号，所以的最小值为2＋．]
2＋
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14．已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝2B，a＋b＝3，则边c的取值范围是_________________．
(3－3，3－3) [因为A＝2B，
则sin A＝sin 2B＝2sin B cos B，所以a＝2b cos B．
由a＋b＝3得，b＝，又sin C＝sin (π－A－B)＝sin (π－3B)＝sin 3B＝sin B cos 2B＋cos B sin 2B
＝sin B(1－2sin2B)＋2sinB(1－sin2B)＝3sinB－4sin3B，
(3－3，3－3)
题号
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所以c＝＝＝，化简得c＝6cos B－3，
由锐角△ABC，得
可得因此边c的取值范围是(3－3，3－3)．]
谢 谢！
