小题满分练5
(满分73分 建议用时40分钟)
一、单选题：每小题5分，共40分．
1．已知集合M＝{x＜2}，N＝{－2，－1，0，1，2}，则M∩N＝( )
A．{0，1} B．{1，2}
C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}
2．复数z满足z(1＋i)＝2i，其中i为虚数单位，则|z|＝( )
A．2 B．2 C．1 D．
3．已知向量a＝(－1，1)，b＝(1，3)，若a⊥(a＋λb)，则λ＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
4．已知＝3，则＝( )
A． B． C．2 D．3
5．已知函数f(x)的周期为2，且在(0，1)内单调递增，则f(x)可以是( )
A．f(x)＝sin πx B．f(x)＝
C．f(x)＝cos 2πx D．f(x)＝tan πx
6．已知双曲线E的中心为原点，焦点在x轴上，两条渐近线的夹角为60°，且点(1，1)在E上，则E的离心率为( )
A． B． C．2 D．或2
7．已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，其母线长为2，被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为的圆锥，则所得圆台的体积为( )
A． B． C． D．
8．已知曲线y＝ex-1与曲线y＝a ln x＋a(a＞0)只有一个公共点，则a＝( )
A． B．1 C．e D．e2
二、多选题：每小题6分，共18分．
9．在研究某种产品的零售价x(单位：元)与销售量y(单位：万件)之间的关系时，根据所得数据得到如下所示的对应表：
x 12 14 16 18 20
y 17 16 14 13 11
利用最小二乘法计算数据，得到的经验回归方程为y＝bx＋26.2，则下列说法中正确的是( )
A．x与y的样本相关系数r>0
B．经验回归直线必过点
C．b<0
D．若该产品的零售价定为22元，则可预测销售量是9.7万件
10．已知函数f(x)＝，x∈[－π，π]，则下列说法正确的是( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)有3个零点
C．f(x)的最大值为1 D．f(x)的最小值为－1
11．已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P到F1的距离和它到直线l：x＝－4的距离的比是常数，记P点的轨迹为曲线C．直线y＝2x与曲线C交于A，B两点，则下列结论正确的是( )
A．曲线C的方程为＝1
B．曲线C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°
C．|AB|＝
D．若P为曲线C上不同于A，B的一点，且直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝－
三、填空题：每小题5分，共15分．
12．的展开式中，常数项是________(用数字作答)．
13．在等比数列{an}中，已知a1a3＝9，a2＋a4＝9，则a4＝________．
14．过抛物线y2＝4x上一动点P作圆C：(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)的两条切线，切点分别为A，B，若|AB|·|PC|的最小值是12，则r＝________．
小题满分练5
1．C [∵<2，∴0≤x<4，
∴M＝{x|0≤x<4}，又N＝{－2，－1，0，1，2}，∴M∩N＝{0，1，2}．故选C．]
2．D [因为z(1＋i)＝2i，所以z＝＝1＋i，所以|z|＝．
故选D．]
3．B [由于a＋λb＝(－1＋λ，1＋3λ)，a⊥(a＋λb)，则a·(a＋λb)＝1－λ＋1＋3λ＝0，
则λ＝－1．故选B．]
4．C [由于sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
那么sin αcos β＋cos αsin β＝3sin αcos β－3cos αsin β，
所以4cos αsin β＝2sin αcos β，则＝2．
故选C．]
5．B [对于A，T＝＝2，因为f，f，
所以函数f(x)＝sin πx在(0，1)内不单调递增，故A错误；
对于B，f(x＋2)＝＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为2，
当0＝sinx，因为0<，
函数y＝sin x在内单调递增，
所以函数f(x)＝在(0，1)内单调递增，故B正确；
对于C，因为f＝0，f＝cos π＝－1，
所以函数f(x)＝cos 2πx在(0，1)内不单调递增，故C错误；
对于D，当x∈(0，1)时，πx∈(0，π)，又πx≠，所以函数f(x)＝tan πx不满足题意，故D错误．
故选B．]
6．C [设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，则把点(1，1)的坐标代入方程，得＝1 ①．
因为渐近线的方程为y＝±x，且双曲线的两条渐近线的夹角为60°，所以渐近线y＝x的倾斜角为30°或60°．
若倾斜角为30°，则，a＝b ②，
把②代入①，得－＝1，无解；
若倾斜角为60°，则，b＝a ③，
把③代入①，得＝1，所以a2＝，所以b2＝3a2＝2，所以离心率e＝＝2．故选C．]
7．C [设圆锥底面半径为r，由题意可得2πr＝2π，
解得r＝，
如图，作出图形的轴截面，其中E，B分别为圆台的上、下底面圆的圆心，
则CB＝＝3，，可得CE＝1，BE＝2，
V＝× ×2＝．故选C．]
8．B [法一：由曲线y＝ex-1与曲线y＝aln x＋a(a>0)只有一个公共点，
得方程ex-1＝a(ln x＋1)只有一个实数解，而a>0，则只考虑x>，即a＝，令f(x)＝，则f'(x)＝，
而u(x)＝1＋ln x－上单调递增，且u(1)＝0，
所以当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
而x→时，f(x)→＋∞；x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以a＝f(1)＝1．
法二：由曲线y＝ex-1与曲线y＝aln x＋a(a>0)只有一个公共点，
则曲线y＝ex-1与曲线y＝aln x＋a(a>0)只有一个公切点，设其坐标为(x0，y0)，
所以
即＝aln x0＋a，所以＝ln x0＋1，
设h(x)＝－ln x－1，则h(x)在(0，＋∞)上单调递减，而h(1)＝0，
所以x0＝1，所以a＝1．
法三：由于函数y＝ex-1的反函数为y＝ln x＋1，两函数关于y＝x对称，
由于y'＝ex-1，令ex-1＝1，则x＝1，即函数y＝ex-1与函数y＝x相切于点(1，1)，
同理，y'＝＝1，x＝1，即函数y＝ln x＋1 与函数y＝x也相切于点(1，1)，
于是函数y＝ex-1与函数y＝ln x＋1相切于点(1，1)，由选项可知，a＝1．
故选B．]
9．BCD [由题表中的数据可知
＝16，
＝14.2．
对于A，
由r＝，
知样本相关系数的正负取决于分子，又
(xi－)(yi－)＝(－4)×2.8＋＝－30<0，故A错误；
由变量x与y的平均值，得样本点中心为，故B正确；
将x＋26.2中，
得14.2＝×16＋26.2，解得＝－0.75，
所以＝－0.75<0，故C正确；
因为＝－0.75，所以经验回归方程为＝－0.75x＋26.2，当x＝22时，＝－0.75×22＋26.2＝9.7，所以若该产品的零售价定为22元，则可预测销售量是9.7万件，故D正确．故选BCD．]
10．AC [∵f(－x)＝＝f(x)，且定义域关于原点对称，∴f(x)是偶函数，故A正确；
由f(x)＝0，得cos x＝0，x＝±，
∴f(x)有2个零点，故B错误；
∵－1≤cos x≤1，0<≤1，∴－1≤－≤1，
即－1≤f(x)≤1，函数f(x)的最大值出现在分子cos x取最大值1且分母x2＋1取最小值1时，即x＝0．此时f(0)＝1．
当x＝－π时，cos x＝－1，x2＋1＝1不能同时成立，取不到－1，得－1故选AC．]
11．AD [对于A选项，设P(x，y)，由动点P到F1的距离和它到直线l：x＝－4的距离的比是常数，化简得曲线C的方程为＝1，故A正确；
对于B选项，假设存在∠F1PF2＝90°，
则|PO|＝|F1F2|＝1，
因为PO的最小值为b＝>1，与假设矛盾，所以假设不成立，
即不存在点P，使得∠F1PF2＝90°，故B错误；
对于C选项，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得方程组
消去y并化简得，19x2－12＝0，由根与系数的关系可得，x1＋x2＝0，x1·x2＝－，所以|AB|＝·，故C错误；
对于D选项，由题知A，B关于原点对称，
设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，
设P(x0，y0)(x0≠±x1)，
因为点A(x1，y1)，P(x0，y0)是曲线C上的点，
所以，
由k1＝，k2＝，
得k1·k2＝
＝
＝－，故D正确．
故选AD．]
12.240 [的展开式的通项Tk+1＝(2x)6-kx6-3k，
令6－3k＝0，得k＝2，故常数项为T3＝24＝240．]
13.6 [设等比数列{an}的公比为q，由于a1a3＝＝9，则a2＝±3，
若a2＝－3，则a4＝12＝a2q2＝－3q2，q2＝－4<0矛盾，
则a2＝3，此时a4＝6，q2＝＝2符合．
所以a4＝6．]
14． [设P(x0，y0)，则＝4x0，圆C的圆心C(4，0)，半径为r，
由PA，PB切圆C于点A，B，得PC⊥AB，PA⊥AC，PB⊥BC，
则|AB|·|PC|＝2S四边形PACB＝4S△PAC＝2|PA|·|AC|＝2r
＝2r
＝2r
＝2r，
当且仅当x0＝2时，等号成立，
可知|AB|·|PC|的最小值为2r·＝12，
整理可得r4－12r2＋36＝0，解得r2＝6，
又r>0，所以r＝．]
1/2(共33张PPT)
小题满分练5
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
(满分73分 建议用时40分钟)
一、单选题：每小题5分，共40分．
1．已知集合M＝{x＜2}，N＝{－2，－1，0，1，2}，则M∩N＝( )
A．{0，1} B．{1，2}
C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
C [∵＜2，∴0≤x＜4，
∴M＝{x|0≤x＜4}，又N＝{－2，－1，0，1，2}，
∴M∩N＝{0，1，2}．
故选C．]
题号
1
3
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2．复数z满足z(1＋i)＝2i，其中i为虚数单位，则|z|＝( )
A．2 B．2 C．1 D．
√
D [因为z(1＋i)＝2i，所以z＝＝1＋i，
所以|z|＝．
故选D．]
题号
1
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13
14
3．已知向量a＝(－1，1)，b＝(1，3)，若a⊥(a＋λb)，则λ＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
√
B [由于a＋λb＝(－1＋λ，1＋3λ)，a⊥(a＋λb)，
则a·(a＋λb)＝1－λ＋1＋3λ＝0，
则λ＝－1．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
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13
14
4．已知＝3，则＝( )
A． B． C．2 D．3
√
C [由于sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，那么sin αcos β＋cos αsin β＝3sin αcos β－3cos α·sin β，
所以4cos αsin β＝2sin αcos β，则＝2．
故选C．]
题号
1
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12
13
14
√
5．已知函数f (x)的周期为2，且在(0，1)内单调递增，则f (x)可以是( )
A．f (x)＝sin πx B．f (x)＝
C．f (x)＝cos 2πx D．f (x)＝tan πx
题号
1
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13
14
B [对于A，T＝＝2，因为f ＝sin ＝sin ，所以函数f (x)＝sin πx在(0，1)内不单调递增，故A错误；
对于B，f (x＋2)＝＝f (x)，
所以函数f (x)的周期为2，
当0＜x＜1时，f (x)＝＝sin x，因为0＜x＜，
函数y＝sin x在内单调递增，
所以函数f (x)＝在(0，1)内单调递增，故B正确；
对于C，因为f ＝cos ＝cos π＝－1，
所以函数f (x)＝cos 2πx在(0，1)内不单调递增，故C错误；
对于D，当x∈(0，1)时，πx∈(0，π)，又πx≠，
所以函数f (x)＝tan πx不满足题意，故D错误．
故选B．]
题号
1
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题号
1
3
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4
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12
13
14
√
6．已知双曲线E的中心为原点，焦点在x轴上，两条渐近线的夹角为60°，且点(1，1)在E上，则E的离心率为( )
A． B． C．2 D．或2
题号
1
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2
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13
14
C [设双曲线的方程为＝1(a＞0，b＞0)，则把点(1，1)的坐标代入方程，得＝1 ①．
因为渐近线的方程为y＝±x，且双曲线的两条渐近线的夹角为60°，所以渐近线y＝x的倾斜角为30°或60°．
若倾斜角为30°，则＝tan 30°＝b ②，
把②代入①，得－＝1，无解；
若倾斜角为60°，则＝tan 60°＝a ③，
把③代入①，得＝1，所以a2＝，所以b2＝3a2＝2，所以离心率e＝＝2．故选C．]
题号
1
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题号
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14
7．已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，其母线长为2，被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为的圆锥，则所得圆台的体积为( )
A． B． C． D．
√
题号
1
3
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C [设圆锥底面半径为r，由题意可得2πr＝
解得r＝，
如图，作出图形的轴截面，其中E，B分别为圆台的上、下底面圆的圆心，
则CB＝，
可得CE＝1，BE＝2，
V＝．故选C．]
题号
1
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12
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14
√
8．已知曲线y＝ex-1与曲线y＝a ln x＋a(a＞0)只有一个公共点，则a＝( )
A． B．1 C．e D．e2
题号
1
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B [法一：由曲线y＝ex-1与曲线y＝a ln x＋a(a＞0)只有一个公共点，得方程ex-1＝a(ln x＋1)只有一个实数解，而a＞0，则只考虑x＞，即a＝，令f (x)＝，则f ′(x)＝，
而u(x)＝1＋ln x－在上单调递增，且u(1)＝0，
所以当x∈时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
而x→时，f (x)→＋∞；x→＋∞时，f (x)→＋∞，
所以a＝f (1)＝1．
法二：由曲线y＝ex-1与曲线y＝a ln x＋a(a＞0)只有一个公共点，
则曲线y＝ex-1与曲线y＝a ln x＋a(a＞0)只有一个公切点，设其坐标为(x0，y0)，
所以
即＝a ln x0＋a，所以＝ln x0＋1，
设h(x)＝－ln x－1，则h(x)在(0，＋∞)上单调递减，而h(1)＝0，
所以x0＝1，所以a＝1．
题号
1
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法三：由于函数y＝ex-1的反函数为y＝ln x＋1，两函数关于y＝x对称，由于y′＝ex-1，令ex-1＝1，则x＝1，即函数y＝ex-1与函数y＝x相切于点(1，1)，
同理，y′＝，令＝1，x＝1，即函数y＝ln x＋1 与函数y＝x也相切于点(1，1)，
于是函数y＝ex-1与函数y＝ln x＋1相切于点(1，1)，由选项可知，a＝1．
故选B．]
题号
1
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题号
1
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13
14
二、多选题：每小题6分，共18分．
9．在研究某种产品的零售价x(单位：元)与销售量y(单位：万件)之间的关系时，根据所得数据得到如下所示的对应表：
x 12 14 16 18 20
y 17 16 14 13 11
利用最小二乘法计算数据，得到的经验回归方程为＝x＋26.2，则下列说法中正确的是( )
A．x与y的样本相关系数r>0
B．经验回归直线必过点
C．<0
D．若该产品的零售价定为22元，则可预测销售量是9.7万件
√
√
√
题号
1
3
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4
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题号
1
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12
13
14
BCD [由题表中的数据可知＝16，
＝14.2．对于A，由r＝，
知样本相关系数的正负取决于分子，又＝
(－4)×2.8＋×1.8＋0×＝
－30<0，故A错误；
由变量x与y的平均值，得样本点中心为，经验回归直线必过样本中心点，故B正确；
将代入＝x＋26.2中，得14.2＝×16＋26.2，
解得＝－0.75，
所以＝－0.75<0，故C正确；
因为＝－0.75，所以经验回归方程为＝－0.75x＋26.2，当x＝22时，＝－0.75×22＋26.2＝9.7，所以若该产品的零售价定为22元，则可预测销售量是9.7万件，故D正确．故选BCD．]
题号
1
3
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题号
1
3
5
2
4
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8
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9
10
11
12
13
14
√
10．已知函数f (x)＝，x∈[－π，π]，则下列说法正确的是( )
A．f (x)是偶函数
B．f (x)有3个零点
C．f (x)的最大值为1
D．f (x)的最小值为－1
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
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11
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13
14
AC [∵f (－x)＝＝f (x)，且定义域关于原点对称，∴f (x)是偶函数，故A正确；
由f (x)＝0，得cos x＝0，x＝±，∴f (x)有2个零点，故B错误；
∵－1≤cos x≤1，0＜≤1，∴－1≤－≤1，
即－1≤f (x)≤1，函数f (x)的最大值出现在分子cos x取最大值1且分母x2＋1取最小值1时，即x＝0．此时f (0)＝1．
当x＝－π时，cos x＝－1，x2＋1＝1不能同时成立，取不到－1，得－1＜
f (x)≤1，故C正确，D错误．
故选AC．]
题号
1
3
5
2
4
6
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11
12
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√
11．已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P到F1的距离和它到直线l：x＝－4的距离的比是常数，记P点的轨迹为曲线C．直线y＝2x与曲线C交于A，B两点，则下列结论正确的是( )
A．曲线C的方程为＝1
B．曲线C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°
C．|AB|＝
D．若P为曲线C上不同于A，B的一点，且直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝－
√
题号
1
3
5
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4
6
8
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10
11
12
13
14
AD [对于A选项，设P(x，y)，由动点P到F1的距离和它到直线l：x＝－4的距离的比是常数，得，化简得曲线C的方程为＝1，故A正确；
对于B选项，假设存在∠F1PF2＝90°，则|PO|＝＝1，
因为PO的最小值为b＝＞1，与假设矛盾，所以假设不成立，
即不存在点P，使得∠F1PF2＝90°，故B错误；
对于C选项，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得方程组
消去y并化简得，19x2－12＝0，由根与系数的关系可得，x1＋x2＝0，x1·x2＝－，
所以|AB|＝≠，故C错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
对于D选项，由题知A，B关于原点对称，
设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，设P(x0，y0)(x0≠±x1)，
因为点A(x1，y1)，P(x0，y0)是曲线C上的点，
所以，由k1＝，
得k1·k2＝，故D正确．
故选AD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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12
13
14
三、填空题：每小题5分，共15分．
12．的展开式中，常数项是________(用数字作答)．
240 [的展开式的通项Tk＋1＝(2x)6-k
令6－3k＝0，得k＝2，故常数项为T3＝＝240．]
240
题号
1
3
5
2
4
6
8
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12
13
14
13．在等比数列{an}中，已知a1a3＝9，a2＋a4＝9，则a4＝_______．
6 [设等比数列{an}的公比为q，由于a1a3＝＝9，则a2＝±3，
若a2＝－3，则a4＝12＝a2q2＝－3q2，q2＝－4＜0矛盾，
则a2＝3，此时a4＝6，q2＝＝2符合．
所以a4＝6．]
6
题号
1
3
5
2
4
6
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13
14
14．过抛物线y2＝4x上一动点P作圆C：(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)的两条切线，切点分别为A，B，若|AB|·|PC|的最小值是12，则r＝_____．
[设P(x0，y0)，则＝4x0，圆C的圆心C(4，0)，半径为r，
由PA，PB切圆C于点A，B，得PC⊥AB，PA⊥AC，PB⊥BC，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
则|AB|·|PC|＝2S四边形PACB＝4S△PAC＝2|PA|·|AC|＝2r，
当且仅当x0＝2时，等号成立，
可知＝12，
整理可得r4－12r2＋36＝0，解得r2＝6，
又r＞0，所以r＝．]
谢 谢！
