小题满分练6
(满分73分 建议用时40分钟)
一、单选题：每小题5分，共40分．
1．已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x|3x2－8x－3＜0}，则A∩B＝( )
A．{－2，－1，0} B．{－2，－1，0，1}
C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}
2．若复数z＝，则＝( )
A．2 B．4 C．5 D．
3．已知角α的终边在直线2x－y＝0上，则tan 2α＝( )
A．－ B． C．－ D．
4．某市教育局准备了9个关于双休的相关问题(含问题A)到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记X表示抽到问题A的教师人数，则E(X)＝( )
A． B．4 C． D．2
5．已知向量a，b满足a·b＝＝，则b在a上的投影向量为( )
A．－ B． C．－2a D．2a
6．已知椭圆的两个焦点为，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
7．已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为( )
A．36 B．36 C．108 D．108
8．已知a＝log32，b＝log54，c＝log98，则( )
A．c＜b＜a B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．a＜b＜c
二、多选题：每小题6分，共18分．
9．某校高三年级第一次联考后，为分析该年级1 200名学生的物理学习情况，通过分层随机抽样的方法对该年级200名学生的物理成绩进行统计，整理得到如图所示的频率分布直方图．则( )
A．a＝0.05
B．估计该年级学生物理成绩的均值为72
C．估计该年级学生物理成绩的中位数为72.5
D．估计该年级物理成绩在80分及以上的学生人数为240
10．已知函数f(x)＝sin x cos 2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)既是奇函数，又是周期函数
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)的最大值为
D．f(x)在内单调递增
11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋y2＝1，圆O：x2＋y2＝5，P为圆O上任意一点，Q为椭圆C上任意一点．过P作椭圆C的两条切线l1，l2，当l1，l2与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为k1，k2，则( )
A．椭圆C的离心率为
B．|PQ|的最小值为1
C．
≥3
三、填空题：每小题5分，共15分．
12．已知函数f(x)＝
则f(f(2))＝________．
13．在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在正方体内(包含边界)运动．若直线A1P与DC所成的角为，则动点P所围成的图形的面积是________．
14．(2025·温州模拟)若数列a1，a2，a3，a4满足a1＋a4＝a2＋a3，则称此数列为“准等差数列”．现从1，2，…，9，10这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成“准等差数列”的概率是________．
小题满分练6
1．C [因为A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x|3x2－8x－3<0}，
所以A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝，故A∩B＝{0，1，2}．故选C．]
2．A [∵z＝＝2－i，
∴＝2＋i，|z－|＝|－2i|＝2．
故选A．]
3．A [依题意，可得tan α＝2，所以tan 2α＝．故选A．]
4．D [∵每名教师抽到问题A的概率为，
由题意可知X~B，∴E(X)＝6×＝2．故选D．]
5．B [由题意得|b|cos〈a，b〉＝＝2>0，∴b在a上的投影向量为|b|cos〈a，b〉·a＝a．故选B．]
6．A [由题意，设F1(0，－)，F2(0，)，P(－1，)，
则|F1F2|＝2c＝2，
|PF1|＝＝3，
|PF2|＝＝1，
则2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，则e＝．
故选A．]
7．A [如图，在正四棱锥P-ABCD中，PO为四棱锥的高，PE为侧面的高，
因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，
所以S侧＝4××6PE＝2S底＝72，解得PE＝6，PO＝，
所以VP-ABCD＝S底·PO＝．
故选A．]
8．D [法一：由题意可知，0
则<1，所以a则<1，所以b所以a故选D．
法二：a＝，b＝，c＝，易知a9．BCD [A选项，10×(3a＋5a＋8a＋3a＋a)＝1，解得a＝0.005，故A错误；
B选项，由频率分布直方图可知，估计该年级学生物理成绩的均值为
0.005×10×(3×55＋5×65＋8×75＋3×85＋1×95)＝72，故B正确；
C选项，∵成绩在[50，70)的频率为10×(3＋5)×0.005＝0.4<0.5，
成绩在[50，80)的频率为10×(3＋5＋8)×0.005＝0.8>0.5，
∴估计该年级学生物理成绩的中位数为70＋×10＝72.5，故C正确；
D选项，估计该年级物理成绩在80分及以上的学生人数为0.005×10×(3＋1)×1 200＝240，故D正确．故选BCD．]
10．AB [对于A，因为函数f(x)＝sin xcos 2x的定义域为R，又f(－x)＝sin(－x)cos(－2x)＝－sin xcos 2x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
又因为f(2π＋x)＝sin(2π＋x)cos(4π＋2x)＝sin xcos 2x＝f(x)，所以函数f(x)为周期函数，故选项A正确；
对于B，若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(π－x)＝f(x)成立，
因为f(π－x)＝sin(π－x)cos(2π－2x)＝sin xcos 2x＝f(x)，所以f(π－x)＝f(x)，故选项B正确；
对于C，因为函数f(x)＝sin xcos 2x＝sin x－2sin3x，令sin x＝t(－1≤t≤1)，则函数可化为y＝g(t)＝t－2t3，g'(t)＝1－6t2，令g'(t)>0，解得－，
所以y＝g(t)在和上单调递减，在内单调递增，又因为g(－1)＝1，g<1，所以函数f(x)的最大值为1，故选项C错误；
对于D，因为f'(x)＝cos xcos 2x－2sin xsin 2x，若函数f(x)在内单调递增，则f'(x)≥0在内恒成立，取x＝，则f'<0，故选项D错误．
故选AB．]
11．AC [对于A，根据题意，a＝2，b＝1，则c＝，故e＝，故A正确；对于B，C，设Q(x，y)，－2≤x≤2，则＋y2＝1，而圆O：x2＋y2＝5的圆心O(0，0)，半径r＝，则|OQ|＝，因为－2≤x≤2，所以0≤x2≤4，则1≤x2＋1≤4，所以1≤≤2，即1≤|OQ|≤2，所以|PQ|的最小值为r－2＝－2，最大值为r＋2＝＋2，故B错误，C正确；对于D，设P(x0，y0)，＝5，过点P的直线方程为y－y0＝k(x－x0)，联立消去y并整理得(1＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－4＝0，根据直线与椭圆相切，则Δ＝[8k(y0－kx0)]2－4(1＋4k2)[4(y0－kx0)2－4]＝0，化简可得，(－4)k2－(2x0y0)k＋－1＝0，可知k1，k2是方程的两个根，所以k1k2＝＝－1，所以≥2|k1k2|＝2，当且仅当|k1|＝|k2|时取等号，故D错误．故选AC．]
12.0 [∵f(2)＝lo2＝－1，∴f(f(2))＝f(－1)＝0．]
13． [如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DC∥A1B1，直线A1P与DC所成的角为，
即直线A1P与直线A1B1所成的角为，故动点P所围成的图形是高为，底面半径为1，母线长为2的圆锥侧面的四分之一．即动点P所围成的图形的面积为×π×1×2＝．]
14． [和为5有2种组合，和为6有2种组合，和为7有3种组合，和为8有3种组合，和为9有4种组合，和为10有4种组合，和为11有5种组合，和为12有4种组合，和为13有4种组合，和为14有3种组合，和为15有3种组合，和为16有2种组合，和为17有2种组合，所以P＝．]
1/3(共31张PPT)
小题满分练6
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
(满分73分 建议用时40分钟)
一、单选题：每小题5分，共40分．
1．已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x|3x2－8x－3＜0}，则A∩B＝( )
A．{－2，－1，0} B．{－2，－1，0，1}
C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}
题号
1
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C [因为A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x|3x2－8x－3＜0}，
所以A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝，故A∩B＝{0，1，2}．故选C．]
题号
1
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2．若复数z＝，则＝( )
A．2 B．4 C．5 D．
√
A [∵z＝＝2－i，
∴＝2＋i，＝|－2i|＝2．故选A．]
题号
1
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3．已知角α的终边在直线2x－y＝0上，则tan 2α＝( )
A．－ B． C．－ D．
√
A [依题意，可得tan α＝2，所以tan 2α＝．
故选A．]
题号
1
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4．某市教育局准备了9个关于双休的相关问题(含问题A)到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记X表示抽到问题A的教师人数，则E(X)＝( )
A． B．4 C． D．2
√
题号
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D [∵每名教师抽到问题A的概率为，
由题意可知X～B，∴E(X)＝6×＝2．故选D．]
题号
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√
5．已知向量a，b满足a·b＝＝，则b在a上的投影向量为( )
A．－ B．
C．－2a D．2a
题号
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B [由题意得|b|cos〈a，b〉＝＝2＞0，
∴b在a上的投影向量为．故选B．]
题号
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√
6．已知椭圆的两个焦点为，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
题号
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A [由题意，设F1，F2，P，
则|F1F2|＝2c＝2，|PF1|＝＝3，
|PF2|＝＝1，
则2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，则e＝，
所以椭圆的离心率为．故选A．]
题号
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7．已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为( )
A．36 B．36
C．108 D．108
√
题号
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A [如图，在正四棱锥P-ABCD中，PO为四棱锥的高，PE为侧面的高，
因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，
所以S侧＝4××6PE＝2S底＝72，解得PE＝6，
PO＝，
所以VP-ABCD＝S底·PO＝．故选A．]
题号
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√
8．已知a＝log32，b＝log54，c＝log98，则( )
A．c＜b＜a B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．a＜b＜c
题号
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D [法一：由题意可知，0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1．
则＜1，所以a＜b．
则＜1，所以b＜c．
所以a＜b＜c．故选D．
法二：a＝，易知a＜b＜c．]
题号
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√
二、多选题：每小题6分，共18分．
9．某校高三年级第一次联考后，为分析该年级1 200名学生的物理学习情况，通过分层随机抽样的方法对该年级200名学生的物理成绩进行统计，整理得到如图所示的频率分布直方图．则( )
A．a＝0.05
B．估计该年级学生物理成绩的均值为72
C．估计该年级学生物理成绩的中位数为72.5
D．估计该年级物理成绩在80分及以上的学生人数为240
√
√
题号
1
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BCD [A选项，10×(3a＋5a＋8a＋3a＋a)＝1，解得a＝0.005，故A错误；
B选项，由频率分布直方图可知，估计该年级学生物理成绩的均值为0.005×10×(3×55＋5×65＋8×75＋3×85＋1×95)＝72，故B正确；
C选项，∵成绩在[50，70)的频率为10×(3＋5)×0.005＝0.4＜0.5，
成绩在[50，80)的频率为10×(3＋5＋8)×0.005＝0.8＞0.5，
∴估计该年级学生物理成绩的中位数为70＋×10＝72.5，故C正确；
D选项，估计该年级物理成绩在80分及以上的学生人数为0.005×10×(3＋1)×1 200＝240，故D正确．
故选BCD．]
题号
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√
10．已知函数f (x)＝sin x cos 2x，则下列结论正确的是( )
A．f (x)既是奇函数，又是周期函数
B．f (x)的图象关于直线x＝对称
C．f (x)的最大值为
D．f (x)在内单调递增
√
题号
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AB [对于A，因为函数f (x)＝sin x cos 2x的定义域为R，
又f (－x)＝sin (－x)cos (－2x)＝－sin x cos 2x＝－f (x)，所以函数f (x)为奇函数．
又因为f (2π＋x)＝sin (2π＋x)cos (4π＋2x)＝sin x cos 2x＝f (x)，所以函数f (x)为周期函数，故选项A正确；
对于B，若函数f (x)的图象关于直线x＝对称，则f (π－x)＝f (x)成立，因为f (π－x)＝sin (π－x)cos (2π－2x)＝sin x cos 2x＝f (x)，所以
f (π－x)＝f (x)，故选项B正确；
对于C，因为函数f (x)＝sin x cos 2x＝sin x－2sin3x，令sinx＝
t(－1≤t≤1)，则函数可化为y＝g(t)＝t－2t3，g′(t)＝1－6t2，令g′(t)＞0，解得－＜t＜，所以y＝g(t)在和上单调递减，在内单调递增，又因为g(－1)＝1，g＜1，所以函数f (x)的最大值为1，故选项C错误；
题号
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对于D，因为f ′(x)＝cos x cos 2x－2sin x sin 2x，若函数f (x)在内单调递增，则f ′(x)≥0在内恒成立，取x＝，则f ′＜0，故选项D错误．
故选AB．]
题号
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14
√
11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋y2＝1，圆O：x2＋y2＝5，P为圆O上任意一点，Q为椭圆C上任意一点．过P作椭圆C的两条切线l1，l2，当l1，l2与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为k1，k2，则( )
A．椭圆C的离心率为
B．|PQ|的最小值为1
C．＋2
D．≥3
√
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AC [对于A，根据题意，a＝2，b＝1，则c＝，故e＝，故A正确；对于B，C，设Q(x，y)，－2≤x≤2，则＋y2＝1，而圆O：x2＋y2＝5的圆心O(0，0)，半径r＝＝，因为－2≤x≤2，所以0≤x2≤4，则1≤x2＋1≤4，所以1≤≤2，即1≤|OQ|≤2，所以|PQ|的最小值为r－2＝－2，最大值为r＋2＝＋2，故B错误，C正确；
对于D，设＝5，过点P的直线方程为y－y0＝k(x－x0)，联立消去y并整理得(1＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－4＝0，根据直线与椭圆相切，则Δ＝[8k(y0－kx0)]2－4(1＋4k2)·[4(y0－kx0)2－4]＝0，化简可得k2－(2x0y0)k＋－1＝0，可知k1，k2是方程的两个根，所以k1k2＝＝－1，所以≥2|k1k2|＝2，当且仅当|k1|＝|k2|时取等号，故D错误．故选AC．]
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三、填空题：每小题5分，共15分．
12．已知函数f (x)＝则f (f (2))＝________．
0 [∵f (2)＝＝－1，∴f (f (2))＝f (－1)＝0．]
0
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13．在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在正方体内(包含边界)运动．若直线A1P与DC所成的角为，则动点P所围成的图形的面积是________．
[如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DC∥A1B1，直线A1P与DC所成的角为，
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即直线A1P与直线A1B1所成的角为，故动点P所围成的图形是高为，底面半径为1，母线长为2的圆锥侧面的四分之一．即动点P所围成的图形的面积为×π×1×2＝．]
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14．(2025·温州模拟)若数列a1，a2，a3，a4满足a1＋a4＝a2＋a3，则称此数列为“准等差数列”．现从1，2，…，9，10这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成“准等差数列”的概率是________．
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[和为5有2种组合，和为6有2种组合，和为7有3种组合，和为8有3种组合，和为9有4种组合，和为10有4种组合，和为11有5种组合，和为12有4种组合，和为13有4种组合，和为14有3种组合，和为15有3种组合，和为16有2种组合，和为17有2种组合，
所以P＝．]
谢 谢！
