小题满分练9
(满分73分 建议用时40分钟)
一、单选题：每小题5分，共40分．
1．已知i为虚数单位，复数z＝(1＋i)(2＋i)，则z的虚部为( )
A．1 B．3 C．i D．3i
2．已知全集U＝{－1，0，1，2}，A＝{x|x2＝x}，则 UA＝( )
A．{－1，1，2} B．{－1，0，2}
C．{－1，2} D．{0，1}
3．已知双曲线＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，虚轴长为6，则其渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
4．已知函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则＝( )
A．1 B．
C．3 D．3
5．若函数y＝f(x)－1是定义在R上的奇函数，则f(－2)＋f(0)＋f(2)＝( )
A．3 B．2 C．－2 D．－3
6．若向量＝(1，1)，＝(－3，－2)分别表示两个力，则|F1＋＝( )
A． B．2 C． D．
7．若与y轴相切的圆C与直线l：y＝x也相切，且圆C经过点P，则圆C的直径为( )
A．2 B．2或 C． D．或
8．已知a＝log32，b＝log1510，c＝sin ，则( )
A．b>c>a B．a>c>b
C．a>b>c D．b>a>c
二、多选题：每小题6分，共18分．
9．下列命题正确的是( )
A．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直
B．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行
C．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直
D．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行
10．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，则( )
A．c＝4
B．△ABC的周长为7＋
C．sin C＝
D．△ABC外接圆的面积为
11．已知抛物线E：y2＝8x的焦点为F，点F与点C关于原点对称，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点(点A和点C在点B的两侧)，则下列命题正确的是( )
A．|BF|<4
B．若BF为△ACF的中线，则|AF|＝
C．存在直线l，使得|AC|＝
D．对于任意直线l，都有|AF|＋|BF|>2|CF|
三、填空题：每小题5分，共15分．
12．在等比数列{an}中，若a1＋a2＝－6，a3＋a4＝－24，则a5＋a6＝________．
13．若n为一组从小到大排列的数1，2，3，5，7，8，11的上四分位数，则二项式的展开式的常数项是________．
14．已知函数f(x)＝＋ln x，过点(0，m)有两条直线与曲线y＝f(x)相切，则实数m的取值范围是________．
小题满分练9
1．B [由题意可得，z＝(1＋i)(2＋i)＝2＋i＋2i＋i2＝1＋3i，
所以复数z的虚部为3．故选B．]
2．C [因为A＝{x|x2＝x}＝{0，1}，全集U＝{－1，0，1，2}，
故 UA＝{－1，2}．故选C．]
3．B [由题知双曲线＝1(a>0，b>0)中，2a＝4，2b＝6，
所以a＝2，b＝3，双曲线焦点在x轴上，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选B．]
4．C [由题图知，解得ω＝2，又由题图知
由Atan＝0，得φ＝－＋kπ，k∈Z，又|φ|<，所以k＝1，φ＝，
由Atan＝1，得A＝，
所以f(x)＝，
所以f
＝＝3．
故选C．]
5．A [根据题意，设F(x)＝f(x)－1，
由于函数y＝f(x)－1是定义在R上的奇函数，则F(x)＋F(－x)＝0，即f(x)－1＋f(－x)－1＝0，所以f(x)＋f(－x)＝2，则有f(2)＋f(－2)＝2．
又由F(0)＝f(0)－1＝0，所以f(0)＝1，
故f(－2)＋f(0)＋f(2)＝2＋1＝3．故选A．]
6．C [由题意，向量＝(1，1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，
可得F1＋F2＝＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，
所以|F1＋F2|＝．故选C．]
7．B [因为直线l：y＝x的倾斜角为30°，所以圆心在两切线所成角的角平分线y＝x上，
设圆心C(a，a)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，将点P(2，)代入圆的方程，得(2－a)2＋(a)2＝a2，
整理得3a2－10a＋7＝0，解得a＝1或a＝，
所以圆C的直径为2或．故选B．]
8．D [∵a＝log32＝，b＝log1510＝，
∴b－a＝
＝>0，∴b>a，
∵a＝log32>log3，c＝sin，∴a>c，∴b>a>c．故选D．]
9．AC [对于A，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，有且只有一条，故A正确；
对于B，过平面外一点可以作一个平面与已知平面平行，在这个平行平面内的经过已知点作直线，它就和已知平面平行，
故过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，故B错误；
对于C，由直线与平面垂直的性质，得
过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直，故C正确；
对于D，由线面平行判定定理，得
过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故D错误．故选AC．]
10．ABD [因为a＝，b＝3，A＝，
所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝9＋c2－2×3ccos＝13，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)，
所以△ABC的周长为7＋，故A正确，B正确；
由正弦定理，解得sin C＝，故C错误；
设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得＝2R，
所以R＝，△ABC外接圆的面积为πR2＝，故D正确．故选ABD．]
11．AD [易知F(2，0)，C(－2，0)，设直线l的方程为x＝ky－2，A(x1，y1)(x1>0，y1>0)，B(x2，y2)(x2>0，y2>0)，
联立消去x并整理得y2－8ky＋16＝0，
此时Δ＝64(k2－1)>0，所以k2>1，此时k>1，所以直线l的斜率为，
此时0<<1，
由根与系数的关系得y1＋y2＝8k，y1y2＝16，
所以x1＋x2＝k(y1＋y2)－4＝8k2－4，x1x2＝k2y1y2－2k(y1＋y2)＋4＝4，
当BF⊥x轴时，此时B(2，4)，所以直线BC的斜率为＝1，要使直线l与抛物线有两个交点，
此时x2<2，则|BF|＝x2＋2<4，故选项A正确；
对于选项B，若BF为△ACF的中线，
此时y2＝，因为y1y2＝16，解得y1＝4，
所以x1＝4，即A(4，4)，则B(1，2)，
所以|AF|＝6，|BF|＝3，故选项B错误；
对于选项C，若|AC|＝|AF|，过A作准线的垂线，垂足为D，
此时|AC|＝|AD|，则△ACD为等腰直角三角形，
此时|CD|＝|AD|，即A(y1－2，y1)，
因为点A在抛物线上，所以－8y1＋16＝0，解得y1＝4，所以y2＝4，
则A，B两点重合，不符合条件，故选项C错误；
对于选项D，过B作准线的垂线，垂足为E，则|AF|＋|BF|＝|AD|＋|BE|＝x1＋x2＋4＝8k2，
因为2|CF|＝8，又k2>1，所以8k2>8，
即|AF|＋|BF|>2|CF|恒成立，故选项D正确．故选AD．]
12．－96 [根据题意，设等比数列{an}的公比为q，若a1＋a2＝－6，则有a3＋a4＝q2(a1＋a2)＝－24，变形可得q2＝4，则a5＋a6＝q4(a1＋a2)＝－96．]
13.7 [若n为一组从小到大排列的数1，2，3，5，7，8，11的上四分位数，
因为7×75%＝＝5.25，
所以1，2，3，5，7，8，11的上四分位数是8，即n＝8，
则Tk+1＝)8-k·，
由－k＝0，解得k＝2，
所以常数项为T3＝＝7．]
14．(ln 2，＋∞) [由f(x)＝＋ln x，得f'(x)＝，设切点为 ，则切线方程为y－＝(x－x0)．因为过点(0，m)有两条直线与曲线y＝f(x)相切，所以m－＝(0－x0)有两根，则m＝－1＋ln x0有两根．令g(x)＝－1＋ln x(x>0)，则g'(x)＝，令g'(x)>0，即>0，解得x>2；令g'(x)<0，即<0，解得01/3(共30张PPT)
小题满分练9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
(满分73分 建议用时40分钟)
一、单选题：每小题5分，共40分．
1．已知i为虚数单位，复数z＝(1＋i)(2＋i)，则z的虚部为( )
A．1 B．3 C．i D．3i
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
B [由题意可得，z＝(1＋i)(2＋i)＝2＋i＋2i＋i2＝1＋3i，
所以复数z的虚部为3．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．已知全集U＝{－1，0，1，2}，A＝{x|x2＝x}，则 UA＝( )
A．{－1，1，2} B．{－1，0，2}
C．{－1，2} D．{0，1}
√
C [因为A＝{x|x2＝x}＝{0，1}，全集U＝{－1，0，1，2}，
故 UA＝{－1，2}．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
3．已知双曲线＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，虚轴长为6，则其渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
B [由题知双曲线＝1(a>0，b>0)中，2a＝4，2b＝6，
所以a＝2，b＝3，双曲线焦点在x轴上，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
4．已知函数f (x)＝A tan (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝( )
A．1 B．
C．3 D．3
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
C [由题图知＝＝，解得ω＝2，
又由题图知
由A tan ＝0，得φ＝－＋kπ，k∈Z，
又|φ|<，所以k＝1，φ＝，由A tan ＝1，得A＝，
所以f (x)＝tan ，
所以f ＝tan ＝tan ＝3．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
5．若函数y＝f (x)－1是定义在R上的奇函数，则f (－2)＋f (0)＋f (2)＝( )
A．3 B．2 C．－2 D．－3
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
A [根据题意，设f (x)＝f (x)－1，
由于函数y＝f (x)－1是定义在R上的奇函数，则f (x)＋f (－x)＝0，
即f (x)－1＋f (－x)－1＝0，所以f (x)＋f (－x)＝2，
则有f (2)＋f (－2)＝2．
又由f (0)＝f (0)－1＝0，所以f (0)＝1，
故f (－2)＋f (0)＋f (2)＝2＋1＝3．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
6．若向量＝(1，1)，＝(－3，－2)分别表示两个力，则|＝( )
A． B．2 C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
C [由题意，向量＝(1，1)，＝(－3，－2)分别表示两个力，
可得＝＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，
所以|＝＝．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
7．若与y轴相切的圆C与直线l：y＝x也相切，且圆C经过点P(2，)，则圆C的直径为( )
A．2 B．2或
C． D．或
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
B [因为直线l：y＝x的倾斜角为30°，所以圆心在两切线所成角的角平分线y＝x上，
设圆心C(a，a)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，
将点P(2，)代入圆的方程，得(2－a)2＋(a)2＝a2，
整理得3a2－10a＋7＝0，解得a＝1或a＝，
所以圆C的直径为2或．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
8．已知a＝log32，b＝log1510，c＝sin ，则( )
A．b>c>a B．a>c>b
C．a>b>c D．b>a>c
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
D [∵a＝log32＝，b＝log1510＝＝，
∴b－a＝＝>0，∴b>a，
∵a＝log32>log3＝，c＝sin c，
∴b>a>c．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
二、多选题：每小题6分，共18分．
9．下列命题正确的是( )
A．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直
B．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行
C．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直
D．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
AC [对于A，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，有且只有一条，故A正确；
对于B，过平面外一点可以作一个平面与已知平面平行，在这个平行平面内的经过已知点作直线，它就和已知平面平行，
故过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，故B错误；
对于C，由直线与平面垂直的性质，得
过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直，故C正确；
对于D，由线面平行判定定理，得
过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故D错误．
故选AC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
10．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，A＝，则( )
A．c＝4
B．△ABC的周长为7＋
C．sin C＝
D．△ABC外接圆的面积为
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
ABD [因为a＝，b＝3，A＝，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝9＋c2－2×3c cos ＝13，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)，所以△ABC的周长为7＋，故A正确，B正确；
由正弦定理＝，得＝，解得sin C＝，故C错误；
设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得＝＝2R，
所以R＝＝，△ABC外接圆的面积为πR2＝，故D正确．
故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
11．已知抛物线E：y2＝8x的焦点为F，点F与点C关于原点对称，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点(点A和点C在点B的两侧)，则下列命题正确的是( )
A．|BF|<4
B．若BF为△ACF的中线，则|AF|＝|BF|
C．存在直线l，使得|AC|＝|AF|
D．对于任意直线l，都有|AF|＋|BF|>2|CF|
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
AD [易知f (2，0)，C(－2，0)，
设直线l的方程为x＝ky－2，A(x1，y1)(x1>0，y1>0)，B(x2，y2)(x2>0，y2>0)，
联立消去x并整理得y2－8ky＋16＝0，
此时Δ＝64(k2－1)>0，所以k2>1，此时k>1，所以直线l的斜率为，
此时0<<1，由根与系数的关系得y1＋y2＝8k，y1y2＝16，
所以x1＋x2＝k(y1＋y2)－4＝8k2－4，x1x2＝k2y1y2－2k(y1＋y2)＋4＝4，
当BF⊥x轴时，此时B(2，4)，所以直线BC的斜率为＝1，要使直线l与抛物线有两个交点，
此时x2<2，则|BF|＝x2＋2<4，故选项A正确；
对于选项B，若BF为△ACF的中线，
此时y2＝，因为y1y2＝16，解得y1＝4，
所以x1＝4，即A(4，4)，
则B(1，2)，
所以|AF|＝6，|BF|＝3，故选项B错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
对于选项C，若|AC|＝|AF|，过A作准线的垂线，垂足为D，
此时|AC|＝|AD|，则△ACD为等腰直角三角形，
此时|CD|＝|AD|，即A(y1－2，y1)，
因为点A在抛物线上，所以－8y1＋16＝0，解得y1＝4，所以y2＝4，则A，B两点重合，不符合条件，故选项C错误；
对于选项D，过B作准线的垂线，垂足为E，则|AF|＋|BF|＝|AD|＋|BE|＝x1＋x2＋4＝8k2，
因为2|CF|＝8，又k2>1，所以8k2>8，
即|AF|＋|BF|>2|CF|恒成立，故选项D正确．故选AD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
三、填空题：每小题5分，共15分．
12．在等比数列{an}中，若a1＋a2＝－6，a3＋a4＝－24，则a5＋a6＝________．
－96 [根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若a1＋a2＝－6，则有a3＋a4＝q2(a1＋a2)＝－24，变形可得q2＝4，
则a5＋a6＝q4(a1＋a2)＝－96．]
－96
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
13．若n为一组从小到大排列的数1，2，3，5，7，8，11的上四分位数，则二项式的展开式的常数项是________．
7
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
7 [若n为一组从小到大排列的数1，2，3，5，7，8，11的上四分位数，
因为7×75%＝＝5.25，
所以1，2，3，5，7，8，11的上四分位数是8，即n＝8，
则Tk＋1＝)8-k·＝，
由－k＝0，解得k＝2，所以常数项为T3＝＝7．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
14．已知函数f (x)＝＋ln x，过点(0，m)有两条直线与曲线y＝f (x)相切，则实数m的取值范围是____________．
(ln 2，＋∞) [由f (x)＝＋ln x，得f ′(x)＝，设切点为，则切线方程为y－＝(x－x0)．因为过点(0，m)有两条直线与曲线y＝f (x)相切，所以m－＝
(ln 2，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
(0－x0)有两根，则m＝－1＋ln x0有两根．令g(x)＝－1＋
ln x(x＞0)，则g′(x)＝，令g′(x)＞0，即＞0，解得x＞2；令g′(x)＜0，即＜0，解得0＜x＜2，所以g(x)在(0，2)内单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．当x＝2时，g(x)取得极小值也为g(x)的最小值，所以g(x)min＝g(2)＝－1＋ln 2＝ln 2，又x→0，g(x)→＋∞，x→＋∞，g(x)→＋∞，故实数m的取值范围是(ln 2，＋∞)．]
谢 谢！
