小题满分练10
(满分73分 建议用时40分钟)
一、单选题：每小题5分，共40分．
1．已知集合A＝{x∈N|x3<27}，则A的子集的个数是( )
A．4 B．8 C．16 D．32
2．已知－1＋i是关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0的一个复数根，则m＋n＝( )
A．－5 B．－1 C．1 D．5
3．已知tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则3sin2(α＋β)－cos2(α＋β)＝( )
A．－1 B．1 C．2 D．－2
4．已知向量b在向量a上的投影向量为－2a，若|a|＝3，则a·(a＋b)＝( )
A．－9 B．－3 C．3 D．9
5．已知f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则a的取值范围是( )
A．(0，1) B．(0，＋∞)
C．(1，2) D．[2，＋∞)
6．若正四棱柱A1B1C1D1-ABCD的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成的角为60°，则点A1到直线AC的距离为( )
A． B．1 C． D．
7．同时投掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记“甲骰子正面向上的点数为奇数”为事件A，“乙骰子正面向上的点数为偶数”为事件B，“甲、乙两骰子至少出现一个正面向上的点数为偶数”为事件C，则下列判断错误的是( )
A．A，B互为独立事件 B．A，B为互斥事件
C．P(B|C)＝ D．P(C)＝
8．在△ABC中，AC＝AB，D为边BC上一点，满足BD＝2DC，以A，D为焦点作一个椭圆G，若G经过B，C两点，则G的离心率为( )
A． B． C． D．
二、多选题：每小题6分，共18分．
9．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下四个命题中，正确的是( )
A．BM∥ED
B．EF∥CD
C．CN与BM为异面直线
D．DM⊥BN
10．已知a＝log210，b＝log3，则( )
A．ab＜0 B．4a·9b＝1
C．＞1 D．log56＝
11．已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx交C于A，B两点，则( )
A．
B．||AF1|－|BF1||＝2
C．的最小值为－3
D．F2到l的距离的最大值为
三、填空题：每小题5分，共15分．
12．若抛物线的准线与直线y＝1之间的距离是2，满足条件的抛物线的标准方程为________．
13．已知P(A)＝0.9，P＝0.6，P＝0.5，则P＝________．
14．已知A，B，C，D四点都在球O的球面上，且A，B，C三点所在平面经过球心，AB＝4，∠ACB＝，则点D到平面ABC的距离的最大值为________，球O的体积为________．
小题满分练10
1．B [因为x3<27，所以x<3，
所以A＝{x∈N|x<3}＝{0，1，2}，
所以A的子集有23＝8个．
故选B．]
2．D [因为－1＋i是关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0的一个复数根，根据复数根的共轭性，
所以－1－i是关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0的另一个复数根，
由根与系数的关系得
解得所以m＋n＝5．故选D．]
3．B [因为tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，
由根与系数的关系知
又tan(α＋β)＝，
∴tan(α＋β)＝＝1．
∴3sin2(α＋β)－cos2(α＋β)
＝
＝＝1．
故选B．]
4．A [因为向量b在向量a上的投影向量为－2a，|a|＝3，
则|b|cos〈a，b〉·＝|b|cos〈a，b〉·＝－2a，∴|b|cos〈a，b〉＝－6，
故a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a|·|b|cos〈a，b〉＝9＋3×(－6)＝－9．
故选A．]
5．C [∵f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，底数a始终大于0且不等于1，
函数u(x)＝2－ax单调递减，
∴解得1
6．D [∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，
∴A1A⊥平面ABCD，
∴A1A为点A1到直线AC的距离．
∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成的角为60°，∴A1A＝．故选D．]
7．B [由题意得，P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，P(AB)＝P(A)P(B)，
从而A，B 互为独立事件，A正确；
A，B 可以同时发生，B错误；
P(B|C)＝，C正确；
P(C)＝1－P()＝1－，D正确．
故选B．]
8．C [设该椭圆长半轴长为a，|DC|＝m，|AC|＝n，|BD|＝2|DC|，则|BD|＝2m，
|AC|＝|AB|，可得|AB|＝n，以AD所在直线为x轴，中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
由椭圆的定义可知
∴|BD|＝a，|DC|＝a，|AC|＝a，|AB|＝a，
在△ABC中，显然有∠ADC＝π－∠ADB，
∴cos∠ADC＝－cos∠ADB，
设|AD|＝x，由余弦定理可知
＝－，
即，
解得x＝a，
因此椭圆的焦距2c＝|AD|＝a，
∴椭圆的离心率e＝．故选C．]
9．BCD [作出正方体的直观图，如图，由直观图可知BM与DE为互相垂直的异面直线，故A错误；EF∥AB∥CD，故B正确； CN与BM为异面直线，故C正确；
由正方体性质易证DM⊥平面BCN，又BN 平面BCN，故DM⊥BN，故D正确．
故选BCD．
]
10．ABD [对于A，a＝log210>log21＝0，b＝log3故A正确；
对于B，因为a＝log210，b＝log3，
所以4a·9b＝·＝(·)2＝＝1，故B正确；
对于C，因为a＝log210，b＝log3，
所以＝lg 2－(－lg 3)＝lg 6对于D，因为a＝log210，b＝log3，
所以＝log56，故D正确．故选ABD．]
11．AC [对于选项A，易知双曲线的渐近线方程为y＝±x，
要使直线y＝kx与双曲线交于点A，B，
需满足|k|<，故选项A正确；
对于选项B，因为||AF1|－|AF2||＝2a＝2，
又点A，B关于原点对称，
所以四边形AF1BF2为平行四边形，
此时|BF1|＝|AF2|，
所以||AF1|－|BF1||＝||AF1|－|AF2||＝2，故选项B错误；
对于选项C，设A(m，n)，
因为点A在双曲线上，
所以＝1(m≤－或m≥)，
解得n2＝m2－3，又F1(－3，0)，F2(3，0)，
所以＝(－3－m，－n)，＝(3－m，－n)，·×()2－12＝－3，故选项C正确；
对于选项D，因为F2(3，0)，
当k＝0时，直线l的方程为y＝0，
此时点F2到直线l的距离为0；
当k≠0时，点F2到直线y＝kx即kx－y＝0的距离d＝，因为－且k≠0，
所以>2，
此时d＝，
则F2到直线l的距离小于，故选项D错误．
故选AC．]
12．x2＝4y或x2＝－12y [抛物线的准线与直线y＝1之间的距离是2，
可知抛物线的准线与直线y＝1平行，且距离为2，
故抛物线的准线方程为y＝－1或y＝3．
当抛物线的准线方程为y＝－1时，抛物线的焦点在y轴的正半轴上，且＝1，p＝2，故抛物线方程为x2＝4y；
当抛物线的准线方程为y＝3时，抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且＝3，p＝6，故抛物线方程为x2＝－12y．
综上可知，满足条件的抛物线的标准方程为x2＝－12y或x2＝4y．]
13． [因为P(A)＝0.9，P(|A)＝0.6，P()＝0.5，
所以P()＝P(A)P(|A)＋P()P()＝0.9×0.6＋0.1×0.5＝0.59，
P(A|)＝．]
14.4 π [在△ABC中，AB＝4，∠ACB＝．
根据正弦定理＝2r(r为△ABC外接圆半径)，
这里c＝AB＝4，C＝∠ACB＝，所以2r＝＝8，解得r＝4．
因为A，B，C三点所在平面经过球心O，所以球O的半径R＝r＝4．
当OD垂直于平面ABC时，点D到平面ABC的距离最大，这个最大值就是球的半径R，
所以点D到平面ABC的距离的最大值为4，球的体积V＝πR3＝π．]
1/3(共34张PPT)
小题满分练10
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
(满分73分 建议用时40分钟)
一、单选题：每小题5分，共40分．
1．已知集合A＝{x∈N|x3<27}，则A的子集的个数是( )
A．4 B．8 C．16 D．32
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
B [因为x3<27，所以x<3，
所以A＝{x∈N|x<3}＝{0，1，2}，
所以A的子集有23＝8个．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
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14
2．已知－1＋i是关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0的一个复数根，则m＋n＝( )
A．－5 B．－1 C．1 D．5
√
题号
1
3
5
2
4
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7
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13
14
D [因为－1＋i是关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0的一个复数根，根据复数根的共轭性，
所以－1－i是关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0的另一个复数根，
由根与系数的关系得
解得所以m＋n＝5．故选D．]
题号
1
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3．已知tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则3sin2(α＋β)－cos2(α＋β)＝( )
A．－1 B．1 C．2 D．－2
√
题号
1
3
5
2
4
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8
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13
14
B [因为tanα，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，
由根与系数的关系知
又tan (α＋β)＝，∴tan (α＋β)＝＝1．
∴3sin2(α＋β)－cos2(α＋β)＝＝
＝＝1．故选B．]
题号
1
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13
14
4．已知向量b在向量a上的投影向量为－2a，若|a|＝3，则a·(a＋b)＝( )
A．－9 B．－3 C．3 D．9
√
题号
1
3
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2
4
6
8
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11
12
13
14
A [因为向量b在向量a上的投影向量为－2a，|a|＝3，
则|b|cos〈a，b〉·＝|b|cos 〈a，b〉·＝－2a，
∴|b|cos 〈a，b〉＝－6，
故a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a|·|b|cos 〈a，b〉＝9＋3×(－6)＝
－9．
故选A．]
题号
1
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14
√
5．已知f (x)＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则a的取值范围是( )
A．(0，1) B．(0，＋∞)
C．(1，2) D．[2，＋∞)
C [∵f (x)＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，
底数a始终大于0且不等于1，函数u(x)＝2－ax单调递减，
∴解得1题号
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13
14
6．若正四棱柱A1B1C1D1-ABCD的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成的角为60°，则点A1到直线AC的距离为( )
A． B．1 C． D．
√
D [∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，
∴A1A⊥平面ABCD，
∴A1A为点A1到直线AC的距离．
∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，
AB1与底面ABCD所成的角为60°，
∴A1A＝．故选D．]
题号
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题号
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13
14
√
7．同时投掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记“甲骰子正面向上的点数为奇数”为事件A，“乙骰子正面向上的点数为偶数”为事件B，“甲、乙两骰子至少出现一个正面向上的点数为偶数”为事件C，则下列判断错误的是( )
A．A，B互为独立事件
B．A，B为互斥事件
C．P(B|C)＝
D．P(C)＝
B [由题意得，P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝＝，P(AB)＝P(A)P(B)，
从而A，B 互为独立事件，A正确；
A，B 可以同时发生，B错误；
P(B|C)＝＝＝，C正确；
P(C)＝1－P()＝1－＝，D正确．
故选B．]
题号
1
3
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题号
1
3
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13
14
8．在△ABC中，AC＝AB，D为边BC上一点，满足BD＝2DC，以A，D为焦点作一个椭圆G，若G经过B，C两点，则G的离心率为( )
A． B． C． D．
√
C [设该椭圆长半轴长为a，|DC|＝m，|AC|＝n，|BD|＝2|DC|，则|BD|＝2m，
|AC|＝|AB|，可得|AB|＝n，以AD所在直线为x轴，中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
由椭圆的定义可知
解得
题号
1
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∴|BD|＝a，|DC|＝a，|AC|＝a，|AB|＝a，
在△ABC中，显然有∠ADC＝π－∠ADB，
∴cos ∠ADC＝－cos ∠ADB，
设|AD|＝x，由余弦定理可知
＝－，
题号
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即＝－，解得x＝a，
因此椭圆的焦距2c＝|AD|＝a，
∴椭圆的离心率e＝＝＝．故选C．]
题号
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题号
1
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13
14
√
二、多选题：每小题6分，共18分．
9．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下四个命题中，正确的是( )
A．BM∥ED
B．EF∥CD
C．CN与BM为异面直线
D．DM⊥BN
√
√
BCD [作出正方体的直观图，如图，由直观图可知BM与DE为互相垂直的异面直线，故A错误；EF∥AB∥CD，故B正确；CN与BM为异面直线，故C正确；
由正方体性质易证DM⊥平面BCN，
又BN 平面BCN，故DM⊥BN，故D正确．
故选BCD．]
题号
1
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题号
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12
13
14
√
√
√
10．已知a＝log210，b＝log3，则( )
A．ab＜0 B．4a·9b＝1
C．＞1 D．log56＝
ABD [对于A，a＝log210＞log21＝0，b＝log3＜log31＝0，所以ab＜0，故A正确；
对于B，因为a＝log210，b＝log3，
所以4a·9b＝＝)2＝＝1，故B正确；
题号
1
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14
对于C，因为a＝log210，b＝log3，
所以＝lg 2－(－lg 3)＝lg 6＜lg 10＝1，故C错误；
对于D，因为a＝log210，b＝log3，
所以＝＝＝＝log56，故D正确．故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
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题号
1
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13
14
√
11．已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx交C于A，B两点，则( )
A．|k|＜
B．||AF1|－|BF1||＝2
C．·的最小值为－3
D．F2到l的距离的最大值为
√
AC [对于选项A，易知双曲线的渐近线方程为y＝±x，
要使直线y＝kx与双曲线交于点A，B，
需满足|k|＜，故选项A正确；
对于选项B，因为||AF1|－|AF2||＝2a＝2，
又点A，B关于原点对称，
所以四边形AF1BF2为平行四边形，
此时|BF1|＝|AF2|，
所以||AF1|－|BF1||＝||AF1|－|AF2||＝2，故选项B错误；
题号
1
3
5
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13
14
对于选项C，设A(m，n)，因为点A在双曲线上，
所以＝1(m≤－或m≥)，
解得n2＝m2－3，
又F1(－3，0)，F2(3，0)，
所以＝(－3－m，－n)，＝(3－m，－n)，
·＝m2－9＋n2＝m2－9＋m2－3＝m2－12≥×()2－12＝－3，故选项C正确；
题号
1
3
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2
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14
对于选项D，因为F2(3，0)，当k＝0时，直线l的方程为y＝0，
此时点F2到直线l的距离为0；
当k≠0时，点F2到直线y＝kx即kx－y＝0的距离d＝＝＝，因为－＜k＜且k≠0，所以＞2，
此时d＝＜＝，则F2到直线l的距离小于，
故选项D错误．
故选AC．]
题号
1
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题号
1
3
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2
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13
14
三、填空题：每小题5分，共15分．
12．若抛物线的准线与直线y＝1之间的距离是2，满足条件的抛物线的标准方程为_________________．
x2＝4y或x2＝－12y [抛物线的准线与直线y＝1之间的距离是2，
可知抛物线的准线与直线y＝1平行，且距离为2，
故抛物线的准线方程为y＝－1或y＝3．
x2＝4y或x2＝－12y
当抛物线的准线方程为y＝－1时，抛物线的焦点在y轴的正半轴上，且＝1，p＝2，故抛物线方程为x2＝4y；
当抛物线的准线方程为y＝3时，抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且＝3，p＝6，故抛物线方程为x2＝－12y．
综上可知，满足条件的抛物线的标准方程为x2＝－12y或x2＝4y．]
题号
1
3
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2
4
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8
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题号
1
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14
13．已知P(A)＝0.9，P(|A)＝0.6，P(|)＝0.5，则P(A|)＝_____．
[因为P(A)＝0.9，P()＝0.5，
所以P()＝0.9×0.6＋0.1×0.5＝0.59，
P(A|)＝＝＝＝．]
题号
1
3
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2
4
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13
14
14．已知A，B，C，D四点都在球O的球面上，且A，B，C三点所在平面经过球心，AB＝4，∠ACB＝，则点D到平面ABC的距离的最大值为________，球O的体积为________．
4
π
题号
1
3
5
2
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11
12
13
14
4 π [在△ABC中，AB＝4，∠ACB＝．
根据正弦定理＝＝＝2r(r为△ABC外接圆半径)，
题号
1
3
5
2
4
6
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12
13
14
这里c＝AB＝4，C＝∠ACB＝，所以2r＝＝＝8，解得r＝4．
因为A，B，C三点所在平面经过球心O，所以球O的半径R＝r＝4．
当OD垂直于平面ABC时，点D到平面ABC的距离最大，这个最大值就是球的半径R，
所以点D到平面ABC的距离的最大值为4，球的体积V＝πR3＝π．]
谢 谢！
