大题保分练3 概率统计、三角函数、解析几何、立体几何
(满分60分 建议用时60分钟)
解答题：本题共4小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(13分)某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价x(单位：元)与销量y(单位：百件)的对应数据，如下表所示：
x/元 12 12.5 13 13.5 14
y/百件 14 13 11 9 8
(1)求该纪念品定价的平均数和销量的平均数；
(2)计算x与y的样本相关系数；
(3)由(2)的计算结果，判断能否用一元线性回归模型拟合y与x的关系，并说明理由．
参考数据：＝1＝－8，≈0.992．
参考公式：样本相关系数
r＝．
2．(15分)已知函数f(x)＝2sin2x＋2sinx cos x－，x∈R．
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝0，A>，且a sin B sin C＝sin A，求△ABC面积的最小值．
3．(15分)已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线Γ：y2＝2px的焦点为F(1，0)，A，B是抛物线Γ上两个不同的点．
(1)求抛物线Γ的方程；
(2)若直线AB的斜率为1，且过点F，求线段AB的长度；
(3)设直线OA，OB的斜率分别为kOA，kOB，若kOA·kOB＝－2，证明：直线AB过定点，并求该定点的坐标．
4．(17分)如图，直角梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，BC＝8，AD＝9，AB＝2，点E为线段BC上不在端点上的一点，过点E作AB的平行线交AD于点F，将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直，得到六面体ABCDEF．
(1)若CF⊥BD，求BE的长；
(2)求异面直线BC与AD所成角的余弦值的最小值．
大题保分练3
1．解：(1)由题可知(12＋12.5＋13＋13.5＋14)＝13，(14＋13＋11＋9＋8)＝11．
(2)计算得(xi－)2＝2.5，(yi－)2＝26，
故r＝
＝－≈－0.992．
(3)由(2)可知，y与x的样本相关系数的绝对值近似为0.992，非常接近1，
说明y与x的线性相关程度很强，从而可以用一元线性回归模型拟合y与x之间的关系．
2．解：(1)f(x)＝2
＝sin 2x－，
故最小正周期T＝＝π，
令2kπ＋≤2kπ＋，k∈Z，
故＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z．
故f(x)的单调递减区间为，k∈Z．
(2)由f(A)＝0，则2sin＝0，
所以2A－＝kπ，k∈Z，
由A是三角形内角，且A>，故A＝，
由正弦定理和asin Bsin C＝sin A，得a×(R为△ABC外接圆半径)，
则bc＝2＝2a，
由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc≥3bc，
即a≥6，当且仅当b＝c＝2时取等号，
此时△ABC的面积取最小值为
S＝．
3．解：(1)抛物线Γ：y2＝2px的焦点为F(1，0)，则＝1，即p＝2，所以抛物线Γ的方程为y2＝4x．
(2)由题意得直线AB的方程为l：y＝x－1，联立抛物线Γ和直线l的方程
得x2－6x＋1＝0，Δ＝32>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系得x1＋x2＝6，
故|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．
(3)证明：由题意可知AB所在直线的斜率不为0，设AB所在直线的方程为x＝my＋n．
联立抛物线Γ和直线AB的方程
化简可得y2－4my－4n＝0，
则Δ＝16m2＋16n>0．由根与系数的关系可得y1y2＝－4n，
又由已知kOA·kOB＝·＝－2，则n＝2．
此时直线AB：x＝my＋2恒过点(2，0)．
4．解：(1)连接DE，平面ABEF⊥平面ECDF，交线为EF，
由BE⊥EF，有BE⊥平面ECDF，又CF 平面ECDF，所以BE⊥CF，
因为CF⊥BD，BE∩BD＝B，BE，BD 平面BDE，所以CF⊥平面BDE，
又DE 平面BDE，所以CF⊥DE，
此时△FEC与△DFE相似，故DF·EC＝EF2，
设BE＝t(0(2)过点C作EF的平行线交DF于点G，连接AG，
由CG∥EF∥BA，且CG＝EF＝BA，
得四边形CGAB是平行四边形，故BC∥AG，
所以∠DAG即为异面直线BC与AD所成的角，设BE＝t(0tan∠DAG＝tan(∠DAF－∠GAF)＝
＝
≤，
所以锐角∠DAG正切值的最大值为，
所以异面直线BC与AD所成角的余弦值的最小值为．
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大题保分练3 概率统计、三角函数、解析几何、立体几何
题号
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(满分60分 建议用时60分钟)
解答题：本题共4小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(13分)某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价x(单位：元)与销量y(单位：百件)的对应数据，如下表所示：
x/元 12 12.5 13 13.5 14
y/百件 14 13 11 9 8
(1)求该纪念品定价的平均数和销量的平均数；
(2)计算x与y的样本相关系数；
(3)由(2)的计算结果，判断能否用一元线性回归模型拟合y与x的关系，并说明理由．
参考数据：＝－8，≈0.992．
参考公式：样本相关系数r＝．
题号
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[解] (1)由题可知＝(14＋13＋11＋9＋8)＝11．
(2)计算得(xi－)2＝26，
故r＝＝－≈－0.992．
题号
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(3)由(2)可知，y与x的样本相关系数的绝对值近似为0.992，非常接近1，
说明y与x的线性相关程度很强，从而可以用一元线性回归模型拟合y与x之间的关系．
题号
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2．(15分)已知函数f (x)＝2sin2x＋2sinx cos x－，x∈R．
(1)求函数f (x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f (A)＝0，A>，且a sin B sin C＝sin A，求△ABC面积的最小值．
题号
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[解] (1)f (x)＝2sin2x＋2sinx cos x－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin ，
故最小正周期T＝＝π，
令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
故＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z．
故f (x)的单调递减区间为，k∈Z．
题号
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(2)由f (A)＝0，则2sin ＝0，所以2A－＝kπ，k∈Z，
由A是三角形内角，且A>，故A＝，
由正弦定理和a sin B sin C＝sin A，得a×＝(R为△ABC外接圆半径)，则bc＝2R＝＝＝2a，
由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2＋bc≥3bc，
即a≥6，当且仅当b＝c＝2时取等号，
此时△ABC的面积取最小值为S＝bc sin A＝3．
题号
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3．(15分)已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线Γ：y2＝2px的焦点为f (1，0)，A，B是抛物线Γ上两个不同的点．
(1)求抛物线Γ的方程；
(2)若直线AB的斜率为1，且过点F，求线段AB的长度；
(3)设直线OA，OB的斜率分别为kOA，kOB，若kOA·kOB＝－2，证明：直线AB过定点，并求该定点的坐标．
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[解] (1)抛物线Γ：y2＝2px的焦点为f (1，0)，
则＝1，即p＝2，所以抛物线Γ的方程为y2＝4x．
(2)由题意得直线AB的方程为l：y＝x－1，联立抛物线Γ和直线l的方程
得x2－6x＋1＝0，Δ＝32>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系得x1＋x2＝6，
故|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．
题号
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(3)证明：由题意可知AB所在直线的斜率不为0，设AB所在直线的方程为x＝my＋n．
联立抛物线Γ和直线AB的方程化简可得y2－4my－4n＝0，则Δ＝16m2＋16n>0．由根与系数的关系可得y1y2＝－4n，
又由已知kOA·kOB＝·＝＝＝＝－2，则n＝2．
此时直线AB：x＝my＋2恒过点(2，0)．
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4．(17分)如图，直角梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，BC＝8，AD＝9，AB＝2，点E为线段BC上不在端点上的一点，过点E作AB的平行线交AD于点F，将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直，得到六面体ABCDEF．
(1)若CF⊥BD，求BE的长；
(2)求异面直线BC与AD所成角的余弦值的最小值．
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[解] (1)连接DE，平面ABEF⊥平面ECDF，交线为EF，
由BE⊥EF，有BE⊥平面ECDF，又CF 平面ECDF，所以BE⊥CF，
因为CF⊥BD，BE∩BD＝B，BE，BD 平面BDE，所以CF⊥平面BDE，
又DE 平面BDE，所以CF⊥DE，
此时△FEC与△DFE相似，故DF·EC＝EF2，
设BE＝t(0题号
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(2)过点C作EF的平行线交DF于点G，连接AG，
由CG∥EF∥BA，且CG＝EF＝BA，
得四边形CGAB是平行四边形，故BC∥AG，
所以∠DAG即为异面直线BC与AD所成的角，
设BE＝t(0＝＝＝＝，
所以锐角∠DAG正切值的最大值为，此时余弦值有最小值，
所以异面直线BC与AD所成角的余弦值的最小值为．
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