简单考点自主练2 复数、平面向量
一、单选题
1．[教材母题改编]设a∈R，若为实数，则a＝( )
A．－2 B．－ C． D．2
2．(2025·河南九校联盟)已知复数z1，z2在复平面内所对应的点分别为(1，－3)，(－2，5)，则＝( )
A． B．1 C． D．2
3．(2025·浙江嘉兴三模)在△OAB所在平面内，点C满足，记＝b，则＝( )
A． B．
C．－ D．
4．[高考真题改编]已知向量a，b满足|a|＝＝1，a与b的夹角为，且a⊥(a－λb)，则λ的值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
5．若复数z满足2＋i·z＝4＋5i，则z在复平面中对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．(2025·山东青岛一模)已知向量＝(－3，1)，＝(1，－2)，＝(x－6，x＋5)，若点A，B，C不能构成三角形，则x的值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
7．(2025·山东泰安一模)已知向量|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b－2c＝0，则cos 〈a，c〉＝( )
A．－ B．－ C． D．
8．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，P为半圆弧BC上的动点(含端点)，则的取值范围为( )
A．
二、多选题
9．[教材母题改编]已知e1，e2是夹角为的单位向量，a＝e1－2e2，b＝e1＋e2，则下列结论正确的是( )
A．|a|＝
B．a·b＝－
C．〈a，b〉＝
D．a在b上的投影向量为－
10．下列说法正确的是( )
A．z·＝|z|2，z∈C
B．i2 026＝1
C．若|z|＝1，z∈C，则|z－2|的最小值为1
D．若－4＋3i是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的根，则p＝8
11．设O为△ABC所在平面内的一点，则下列说法正确的是( )
A．若＝0，则点O为△ABC的重心
B．若，则点O为△ABC的垂心
C．若＝，则△ABC的形状为等腰直角三角形
D．若，则△ABC和△AOB的面积之比为5∶2
三、填空题
12．(2025·上海高考)已知复数z满足z2＝(z) 2 ，≤1，则|z－2－3i|的最小值是________．
13．[教材母题改编]在 ABCD中，，CE与BF交于点O．设＝b，则＝________(用a，b表示)；若＝λa＋μb，则λ＋μ＝________．
14．(2025·河北邢台模拟)已知四边形ABCD是边长为4的正方形，点E满足，P为平面ABCD内一点，则·的最小值为________．
简单考点自主练2
1．A [因为
＝ 为实数，可得a＝－2．
故选A．]
2．A [由复数的几何意义，得z1＝1－3i，z2＝－2＋5i，
所以
＝．故选A．]
3．C [由向量的线性运算可知)＝－a＋b．故选C．]
4．A [由a⊥(a－λb)，得a·(a－λb)＝0，
∴a2－λa·b＝0，
∴()2－λ×＝0，即2＋λ＝0，∴λ＝－2．故选A．]
5．D [设z＝a＋bi，a，b∈R．
则由2＋i·z＝4＋5i得2(a－bi)＋i·(a＋bi)＝4＋5i，
整理得2a－b＋(a－2b)i＝4＋5i，
所以所以z＝1－2i在复平面中对应的点为(1，－2)，在第四象限．故选D．]
6．B [由题意可得＝(4，－3)，＝(x－7，x＋7)，
若点A，B，C三点共线，则点A，B，C不能构成三角形，
即－3(x－7)－4(x＋7)＝0，解得x＝－1，
所以x的值为－1．故选B．]
7．D [因为a＋b－2c＝0，所以a＋b＝2c，两边平方可得a2＋2a·b＋b2＝4c2，
又|a|＝|b|＝1，|c|＝，所以1＋2a·b＋1＝3 a·b＝，
所以cos〈a，c〉＝
＝．故选D．]
8．C [··(||cos ∠PAB)，由投影的定义知||cos ∠PAB即为AP在直线AB上的投影，结合题图得，当过P的直线与半圆弧BC相切于P点且平行于BC时，||cos ∠PAB最大为3，此时··(||cos ∠PAB)＝2×3＝6．
当P与C或B点重合时，cos ∠PAB最小为2，
此时··(||cos ∠PAB)＝2×2＝4，
∴·．故选C．]
9．ACD [对于A，e1，e2是夹角为的单位向量，则|a|＝，
故A正确；
对于B，a·b＝(e1－2e2)·(e1＋e2)＝－e1·e2－2，
故B错误；
对于C，|b|＝，
所以cos〈a，b〉＝，
又0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝，故C正确；
对于D，a在b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·b，故D正确．故选ACD．]
10．ACD [对于A，z∈C，设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，|z|＝，
故z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝|z|2，A正确；
对于B，由于i2＝－1，i4＝1，故i2 026 ＝ ＝－1，B错误；
对于C，z∈C，设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由于|z|＝1，则＝1，∴x2＋y2＝1，
故|z－2|＝
＝，
由x2＋y2＝1，得－1≤x≤1，则－4x＋5≥1，
故当x＝1时，|z－2|的最小值为1，C正确；
对于D，因为－4＋3i是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的根，
故(－4＋3i)2＋p(－4＋3i)＋q＝0(p，q∈R)，即7－4p＋q＋(3p－24)i＝0，
故D正确．故选ACD．]
11．ABD [对于A，如图，取边AB中点D，连接AB边上的中线CD，则，
又＝0，所以，
即|OC|＝2|OD|，
所以点O为△ABC的重心，故A正确；
对于B，由···()＝·＝0，即OB⊥CA，
同理，可得OC⊥AB，OA⊥BC，即点O为△ABC的3条高的交点，所以点O为△ABC的垂心，故B正确；
对于C，由||，则||，
所以||，即||2，化简得·＝0，
即AB⊥AC，所以△ABC为直角三角形，故C错误；
对于D，因为，所以△ABC与△AOB边AB上的高之比为5∶2，
所以△ABC与△AOB的面积之比为5∶2，故D正确．
故选ABD．]
12.2 [设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由z2＝，可得(a＋bi)2＝(a－bi)2，即a2－b2＋2abi＝a2－b2－2abi，故ab＝0．由|z|≤1可得≤1，即a2＋b2≤1．
法一：当a＝0时，－1≤b≤1，|z－2－3i|＝|－2＋(b－3)i|＝，此时|z－2－3i|min＝．当b＝0时，－1≤a≤1，|z－2－3i|＝|a－2－3i|＝，此时|z－2－3i|min＝．当a＝0，b＝0时，|z－2－3i|＝|－2－3i|＝．综上，|z－2－3i|的最小值为2．
法二：设复数z在复平面内对应的点的坐标为(x，y)，其中x＝0(－1≤y≤1)或y＝0(－1≤x≤1)，表示两条相交线段．|z－2－3i|表示z在复平面内对应的点到点(2，3)的距离，作出图形如图，结合图知，当z在复平面内对应的点为(0，1)时，|z－2－3i|取到最小值，为．]
13．b－a [b－a．
如图，B，O，F三点共线，
设，则x＋y＝1，
所以＝xa＋b，
C，O，E三点共线，
设，则m＋n＝1，
所以a＋nb，
所以
所以＝λa＋μb，即得λ＋μ＝．]
14．－ [建立如图所示的平面直角坐标系，
设P(x，y)，M是AD的中点，
则A(0，0)，
B(4，0)，C(4，4)，D(0，4)，M(0，2)，
由(4，0)＋(4，4)＝(4，3)，故E(4，3)，
所以()··＝2(－x，2－y)·(4－x，3－y)＝2[－x(4－x)＋(2－y)(3－y)]＝2(x－2)2＋y－2－，
故当x＝2，y＝时，取到最小值－．]
1/2(共33张PPT)
简单考点自主练2 复数、平面向量
题号
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√
一、单选题
1．[教材母题改编]设a∈R，若为实数，则a＝( )
A．－2 B．－ C． D．2
A [因为＝ ＝ 为实数，可得a＝－2．故选A．]
题号
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2．(2025·河南九校联盟)已知复数z1，z2在复平面内所对应的点分别为(1，－3)，(－2，5)，则＝( )
A． B．1 C． D．2
√
A [由复数的几何意义，得z1＝1－3i，z2＝－2＋5i，
所以．故选A．]
题号
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3．(2025·浙江嘉兴三模)在△OAB所在平面内，点C满足，记＝b，则＝( )
A． B．
C．－ D．
√
题号
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C [由向量的线性运算可知＝－．故选C．]
题号
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4．[高考真题改编]已知向量a，b满足|a|＝＝1，a与b的夹角为，且a⊥(a－λb)，则λ的值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
√
题号
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A [由a⊥(a－λb)，得a·(a－λb)＝0，
∴a2－λa·b＝0，
∴2－λ××1×cos ＝0，即2＋λ＝0，
∴λ＝－2．故选A．]
题号
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√
5．若复数z满足2＋i·z＝4＋5i，则z在复平面中对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题号
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D [设z＝a＋bi，a，b∈R．
则由2＋i·z＝4＋5i得2(a－bi)＋i·(a＋bi)＝4＋5i，
整理得2a－b＋(a－2b)i＝4＋5i，
所以 解得
所以z＝1－2i在复平面中对应的点为(1，－2)，在第四象限．故选D．]
题号
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6．(2025·山东青岛一模)已知向量 ＝(－3，1)，＝(1，－2)，＝(x－6，x＋5)，若点A，B，C不能构成三角形，则x的值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
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B [由题意可得＝(4，－3)，＝(x－7，x＋7)，
若点A，B，C三点共线，则点A，B，C不能构成三角形，
即－3(x－7)－4(x＋7)＝0，解得x＝－1，
所以x的值为－1．故选B．]
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7．(2025·山东泰安一模)已知向量|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b－2c＝0，则cos 〈a，c〉＝( )
A．－ B．－ C． D．
√
题号
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D [因为a＋b－2c＝0，所以a＋b＝2c，两边平方可得a2＋2a·b＋b2＝4c2，
又|a|＝|b|＝1，|c|＝，所以1＋2a·b＋1＝3 a·b＝，
所以cos 〈a，c〉＝
＝．故选D．]
题号
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√
8．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，P为半圆弧BC上的动点(含端点)，则的取值范围为( )
A．[2，6] B．[2，3]
C．[4，6] D．[4，8]
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C [，由投影的定义知
cos ∠PAB即为AP在直线AB上的投影，结合题图得，当过P的直线与半圆弧BC相切于P点且平行于BC时，cos ∠PAB最大为3，此时·＝2×3＝6．
当P与C或B点重合时，cos ∠PAB最小为2，
此时＝2×2＝4，
∴∈ [4，6] ．故选C．]
题号
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√
二、多选题
9．[教材母题改编]已知e1，e2是夹角为的单位向量，a＝e1－2e2，b＝e1＋e2，则下列结论正确的是( )
A．|a|＝ B．a·b＝－
C．〈a，b〉＝ D．a在b上的投影向量为－
√
√
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ACD [对于A，e1，e2是夹角为的单位向量，
则|a|＝
＝，故A正确；
对于B，a·b＝(e1－2e2)·(e1＋e2)＝，
故B错误；
对于C，|b|＝＝，
所以cos 〈a，b〉＝，
又0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝，故C正确；
对于D，a在b上的投影向量为，故D正确．故选ACD．]
题号
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√
10．下列说法正确的是( )
A．z·＝|z|2，z∈C
B．i2 026＝1
C．若|z|＝1，z∈C，则|z－2|的最小值为1
D．若－4＋3i是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的根，则p＝8
√
√
ACD [对于A，z∈C，设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，|z|＝，
故z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝|z|2，A正确；
对于B，由于i2＝－1，i4＝1，故i2 026＝i2 024+2＝－1，B错误；
对于C，z∈C，设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由于|z|＝1，则＝1，∴x2＋y2＝1，
故|z－2|＝，
由x2＋y2＝1，得－1≤x≤1，则－4x＋5≥1，
故当x＝1时，|z－2|的最小值为1，C正确；
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对于D，因为－4＋3i是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的根，
故(－4＋3i)2＋p(－4＋3i)＋q＝0(p，q∈R)，即7－4p＋q＋(3p－24)i＝0，
故∴D正确．故选ACD．]
题号
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√
11．设O为△ABC所在平面内的一点，则下列说法正确的是( )
A．若＝0，则点O为△ABC的重心
B．若，则点O为△ABC的垂心
C．若＝，则△ABC的形状为等腰直角三角形
D．若，则△ABC和△AOB的面积之比为5∶2
√
√
题号
1
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ABD [对于A，如图，取边AB中点D，连接AB边上的中线CD，则，又＝0，所以，
即|OC|＝2|OD|，
所以点O为△ABC的重心，故A正确；
对于B，由，可得·＝＝0，即OB⊥CA，
同理，可得OC⊥AB，OA⊥BC，即点O为△ABC的3条高的交点，所以点O为△ABC的垂心，故B正确；
对于C，由＝，
则＝，所以＝2＝＝0，
即AB⊥AC，所以△ABC为直角三角形，故C错误；
对于D，因为，所以△ABC与△AOB边AB上的高之比为5∶2，
所以△ABC与△AOB的面积之比为5∶2，故D正确．
故选ABD．]
题号
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三、填空题
12．(2025·上海高考)已知复数z满足z2＝≤1，则|z－2－3i|的最小值是________．
2 [设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由z2＝，可得(a＋bi)2＝(a－bi)2，即a2－b2＋2abi＝a2－b2－2abi，故ab＝0．由|z|≤1可得≤1，即a2＋b2≤1．
2
题号
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法一：当a＝0时，－1≤b≤1，|z－2－3i|＝|－2＋(b－3)i|＝min＝．当b＝0时，－1≤a≤1，|z－2－3i|＝|a－2－3i|＝min＝．当a＝0，b＝0时，|z－2－3i|＝|－2－3i|＝．综上，．
法二：设复数z在复平面内对应的点的坐标为(x，y)，其中x＝
0(－1≤y≤1)或y＝0(－1≤x≤1)，表示两条相交线段．表示z在复平面内对应的点到点(2，3)的距离，作出图形如图，结合图知，当z在复平面内对应的点为 (0，1)时，．]
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13．[教材母题改编]在 ABCD中，，CE与BF交于点O．设＝b，则＝________(用a，b表示)；若＝λa＋μb，则λ＋μ＝________．
－a
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－a [－a．
如图，B，O，F三点共线，
设，则x＋y＝1，
所以，
C，O，E三点共线，设，则m＋n＝1，
所以＋nb，
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所以解得
所以，又＝λa＋μb，即得λ＋μ＝．]
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14．(2025·河北邢台模拟)已知四边形ABCD是边长为4的正方形，点E满足，P为平面ABCD内一点，则·的最小值为________．
－
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－ [建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，M是AD的中点，则A(0，0)，B(4，0)，C(4，4)，D(0，4)，M(0，2)，
由可得
(4，0)＋(4，4)＝(4，3)，故E(4，3)，
所以·＝2(－x，2－y)·(4－x，3－y)＝2[－x(4－x)＋(2－y)(3－y)]＝2－，
故当x＝2，y＝时，取到最小值－．]
谢 谢！
