专题三 概率与统计
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2025·山东青岛二模)某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为2∶3∶4．现采用分层随机抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300人，则从核心区抽取的人数为( )
A．90人 B．120人 C．180人 D．200人
2．(2025·辽宁省实验中学模拟)某市移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛．若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的( )
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．极差
3．(2025·广东大湾区二模)一组数据由小到大排列为2，4，5，x，11，14，15，39，41，50，已知该组数据的40%分位数是9.5，则x的值是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
4．(2025·重庆沙坪坝模拟)已知随机变量X的分布列如下：
X 2 3 5
P a b 2b－a
若E(X)＝4，则a＝( )
A． B． C． D．
5．(2025·河北石家庄模拟)已知X～N(3，4)且P(X＞4)＝P(X＜a)，则的展开式中，常数项为( )
A．－24 B．－1 C．1 D．24
6．(2025·天津高考)已知r为样本相关系数，则下列说法中错误的是( )
A．若X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)
B．若X～N(1，22)，Y～N(2，22)，则P(X<1)
C．|r|越接近1，线性相关程度越强
D．|r|越接近0，线性相关程度越弱
7．(2025·江苏常州模拟)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件A：两次的点数之和为偶数，B：两次的点数之积为奇数，C：第一次的点数小于5，则( )
A．P(B)＝ B．P(C)＝
C．A与C相互独立 D．A与B互斥
8．[教材母题改编]在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为DD，Dd，dd(其中D为显性基因，d为隐性基因，生物学中将Dd和dD统一记为Dd)，且这三种基因型的比为1∶2∶1． 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因型为DD的概率为( )
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．(2025·江苏盐城三模)下列说法正确的是( )
A．经验回归直线y＝bx＋a经过点()
B．对于独立性检验，随机变量χ2的值越大，判定“两个变量有关系”犯错误的概率就越小
C．在一元线性回归模型中，若决定系数R2＝1，则残差的平方和为0
D．x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4的方差分别为和，若xi＋yi＝10且xi10．(2025·江苏南京模拟)对于随机事件A，B，若P(A)＝，P(B)＝，P(B|A)＝，则( )
A．P(AB)＝ B．P(A|B)＝
C．P(A＋B)＝ D．P(B)＝
11．(2025·河北秦皇岛三模)设随机变量X～N(1，0.25)，令f(x)＝P(X≥x)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)是减函数
B．f(1)＝
C．f(x)是偶函数
D．f(x)的图象关于点对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．[教材母题改编]如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动六次，在质点第一秒末位于－1的位置的条件下，该质点共经过两次1的位置的概率为________．
13．某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215．则在这次测试中全班学生的平均成绩和方差分别为________分，________．
14．(2025·天津高考)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6．若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记达标周数为X，则期望E(X)＝________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2025·全国一卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表：
单位：人
组别 超声波检查结果 合计
正常 不正常
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1 000
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；
(2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关．
附：χ2＝．
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
16．(15分)(2025·上海高考)2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌，以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列．
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
(1)求这组数据的极差与中位数；
(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
(3)若比赛成绩y关于年份x的经验回归方程为y＝－0.311x＋b，年份x的平均数为2 006，预测2028年冠军队的成绩(精确到0.01秒)．
17．(15分)(2025·广东中山一模)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
(2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
18．(17分)(2025·福建宁德三模)某地组织全市高中学生开展青少年劳动技能知识竞赛，竞赛分为笔试和操作两部分，随机抽取了100名高中学生的笔试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计笔试成绩的样本平均数和第一四分位数；
(2)用频率估计概率，笔试成绩在80分(含)以上记为良好．经统计，学生笔试等级为良好的情况下操作等级为良好的概率为0.8，学生笔试等级非良好的情况下操作等级为良好的概率为0.6．从全市所有高中学生中选取5人，记操作等级为良好的人数为X，求X的数学期望与方差．
19．(17分)(2025·湖北十一校模拟)某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入6个小球，其中4个黑球，2个红球．模型一为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入2个红球；模型二为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中．
(1)分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率．
(2)在模型二的前提下：
①求在第n(n≥2)次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率(结果用n表示)；
②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球10次，第10次抽球结束后无论盒中是否还有红球均停止抽球，记抽球的次数为X，求X的数学期望．
专题三
1．D [设从核心区抽取的人数为n人，
因为各区的人口比例为2∶3∶4，且从开发区抽取的人数为300人，可得，解得n＝200，即从核心区抽取的人数为200人．故选D．]
2．C [因为19位同学的积分的中位数是第10名，所以知道中位数即可判断是否在前10．故选C．]
3．C [因为10×40%＝4，所以该组数据的40%分位数是第4、第5位数的平均数，所以＝9.5，解得x＝8．故选C．]
4．C [由分布列可得a＋b＋2b－a＝1，解得b＝，由期望可得E(X)＝2a＋3×－3a＝4，解得a＝．故选C．]
5．D [因为X~N(3，4)，所以P(X>4)＝P(X>3＋1)＝P(X<3－1)＝P(X所以×(－2)2＝6×4＝24．故选D．]
6．B [对于A，由正态分布的性质可知，若X~N(μ，σ2)，则P(X≤μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)，故A正确；
对于B，由正态分布的性质可知，若X~N(1，22)，Y~N(2，22)，则P(X<1)＝P(Y<2)＝，故B错误；
对于C，D，由样本相关系数的性质可知，当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱，故C，D正确．故选B．]
7．C [抛掷2次，两次的点数之和为偶数，则两次点数都为奇数或偶数，所以P(A)＝，
两次的点数之积为奇数，则两次点数都为奇数，
所以P(B)＝，故A错误；
第一次的点数小于5的情况有4种，
所以P(C)＝，故B错误；
第一次的点数小于5且为奇数有2种情况，第二次为奇数的情况有3种，
同理第一次的点数小于5且为偶数有2种情况，第二次为偶数的情况有3种，
所以P(AC)＝＝P(A)P(C)，所以A与C相互独立，故C正确；
事件A与事件B能同时发生，所以不互斥，故D错误．
故选C．]
8．D [记事件B：子三代中基因型为DD，记事件A1：选择的是Dd，Dd，记事件A2：选择的是DD，DD，记事件A3：选择的是DD，Dd，
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝2×．
在子二代中任取2颗豌豆作为父本母本杂交，分以下三种情况讨论：
①若选择的是Dd，Dd，则子三代中基因型为DD的概率为P(B|A1)＝；
②若选择的是DD，DD，则子三代中基因型为DD的概率为P(B|A2)＝1；
③若选择的是DD，Dd，则子三代中基因型为DD的概率为P(B|A3)＝．
综上所述，
P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝．
因此，子三代中基因型为DD的概率是．故选D．]
9．ABC [对于A，根据最小二乘法可知，经验回归直线一定过()，故A正确；
对于B，独立性检验中，χ2值越大，概率值越小，拒绝原假设时犯错误的概率就越小，故B正确；
对于C，由决定系数R2＝1－，当R2＝1时，可得残差平方和(yi－)2＝0，故C正确；
对于D，因为xi＋yi＝10且xi故选ABC．]
10．BCD [对于A，因为P(B|A)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝，故A错误；
对于B，P(A|B)＝，故B正确；
对于C，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝，故C正确；
对于D，P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()·P(B|) ·P(B|)，所以P(B|)＝，
所以P(B)＝P()·P(B|)＝，故D正确．故选BCD．]
11．ABD [设任意实数x，y，且满足x对于A，由f(x)＝P(X≥x)>P(X≥y)＝f(y)，所以f(x)是减函数，所以A正确；
对于B，由随机变量X~N(1，0.25)，
则f(1)＝P(X≥1)＝，所以B正确；
对于C，因为f(－1)＝P(X≥－1)＝P(－1≤X<1)＋P(X≥1)≠，所以C错误；
对于D，由正态分布的对称性，知P(X≥x)＝P(X≤2－x)，即f(x)＝1－f(2－x)，所以D正确．故选ABD．]
12． [当质点第一秒位于－1的位置时，还需要移动5次，共有25＝32种移动路线；
若该质点经过两次1的位置，则有
－1→0→1→2→1→0，
－1→0→1→2→1→2，
－1→0→1→0→1→0，
－1→0→1→0→1→2，共4种情况，所以该质点共经过两次1的位置的概率为P＝．]
13.115 265 [依题意＝130，＝115，＝110，＝215，
所以×110＝115(分)，所以全班学生的平均成绩为115分．
全班学生成绩的方差为
s2＝×[＋()2]＋×[＋()2]＝×(115＋225)＋×(215＋25)＝85＋180＝265．]
14.0．6 3.2 [由题意可知，小桐一周跑10圈或11圈或12圈，
小桐一周跑10圈的概率为0.5×0.4＝0.2，
小桐一周跑11圈的概率为0.5×0.6＋0.5×0.6＝0.6，
小桐一周跑12圈的概率为0.5×0.4＝0.2，
一周至少跑11圈的概率为0.6＋0.2＝0.8，则X~B(4，0.8)，
所以E(X)＝4×0.8＝3.2．]
15．解：(1)由题表可知，检查结果不正常者有200人，检查结果不正常者中患有该疾病的有180人，
所以由样本估计总体得p＝＝0.9．
(2)零假设为H0：超声波检查结果与患该疾病无关．
χ2＝
＝765.625>10.828，
所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与患该疾病有关．
16．解：(1)这组数据的极差为216.93－206.78＝10.15，
中位数为＝210.015．
(2)记“从这10个数据中任选3个，恰有2个数据在211以上”为事件A，
由题可知，这10个数据中在211以上的有4个，故P(A)＝．
(3)由题可知，＝2 006，＝211.399，
代入，得211.399
＝－0.311×2 006＋＝835.265，
则＝－0.311x＋835.265，
将x＝2 028代入，得＝204.557≈204.56，
故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒．
17．解：(1)设甲正确完成面试题数为X，则X可取1，2，3，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
所以甲正确完成面试题数X的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)＝1×＝2．
设乙正确完成面试题数为Y，则Y可取0，1，2，3，则Y~B，
P(Y＝0)＝，
P(Y＝1)＝，
P(Y＝2)＝，
P(Y＝3)＝，
所以乙正确完成面试题数Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
E(Y)＝0×＝2．
(2)由(1)得D(X)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(3－2)2＝，
D(Y)＝×(0－2)2＋×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(3－2)2＝，
因为D(X)18．解：(1)设笔试成绩样本平均数为，第一四分位数(即下四分位数)为t，
则＝40×0.1＋50×0.2＋60×0.3＋70×0.24＋80×0.12＋90×0.04＝62，
第一组频率为0.1<0.25，前两组频率之和为0.1＋0.2＝0.3>0.25，
所以第一四分位数(即下四分位数)落在第二组内，则0.1＋(t－45)×0.02＝0.25，解得t＝52.5．
(2)记“笔试成绩等级为良好”为事件A，“操作成绩等级为良好”为事件B，
依题意P(A)＝＋0.04＝0.1，P()＝1－P(A)＝0.9，P(B|A)＝0.8，P(B|)＝0.6，所以P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝0.8×0.1＋0.6×0.9＝0.62，则X~B(5，0.62)，所以E(X)＝5×0.62＝3.1，D(X)＝5×0.62×(1－0.62)＝1.178．
19．解：(1)记在模型一下，第二次取到红球的概率为P1，则分为取到“黑红”和“红红”两种情况，
则P1＝；
记在模型二下，第二次取到红球的概率为P2，同样分为取到“黑红”和“红红”两种情况，
则P2＝．
(2)①设“第k(k则Pk＝，则第n次恰好抽到第二个红球的概率P为Pk在k从1到n－1取值时的累加求和，即
P＝＋…＋，
利用等比数列求和公式即可得
P＝×
＝
＝
＝．
②由题可知，X的取值依次为2，3，…，9，10，
当X＝10时，P(X＝10)＝1－[P(X＝2)＋P(X＝3)＋…＋P(X＝9)]，
由数学期望的定义和①中的概率公式可知，
E(X)＝2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋…＋9×P(X＝9)＋10×{1－[P(X＝2)＋P(X＝3)＋…＋P(X＝9)]}＝10－[8×P(X＝2)＋7×P(X＝3)＋…＋1×P(X＝9)]
＝10－××，
设an＝×(－n＋9)×，bn＝×(－n＋9)×，n＝1，2，…，8，
由错位相减法可得a1＋a2＋…＋a8＝5＋10×，b1＋b2＋…＋b8＝4＋2×，
所以E(X)＝10－．
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专题三 概率与统计
题号
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√
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2025·山东青岛二模)某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为2∶3∶4．现采用分层随机抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300人，则从核心区抽取的人数为( )
A．90人 B．120人 C．180人 D．200人
题号
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D [设从核心区抽取的人数为n人，
因为各区的人口比例为2∶3∶4，且从开发区抽取的人数为300人，可得＝，解得n＝200，即从核心区抽取的人数为200人．故选D．]
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2．(2025·辽宁省实验中学模拟)某市移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛．若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的( )
A．平均数 B．众数
C．中位数 D．极差
C [因为19位同学的积分的中位数是第10名，所以知道中位数即可判断是否在前10．故选C．]
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3．(2025·广东大湾区二模)一组数据由小到大排列为2，4，5，x，11，14，15，39，41，50，已知该组数据的40%分位数是9.5，则x的值是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
C [因为10×40%＝4，所以该组数据的40%分位数是第4、第5位数的平均数，所以＝9.5，解得x＝8．故选C．]
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4．(2025·重庆沙坪坝模拟)已知随机变量X的分布列如下：
√
X 2 3 5
P a b 2b－a
若E(X)＝4，则a＝( )
A． B． C． D．
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C [由分布列可得a＋b＋2b－a＝1，解得b＝，
由期望可得E(X)＝2a＋3×＋5＝－3a＝4，解得a＝．故选C．]
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5．(2025·河北石家庄模拟)已知X～N(3，4)且P(X＞4)＝P(X＜a)，则的展开式中，常数项为( )
A．－24 B．－1 C．1 D．24
√
D [因为X～N(3，4)，所以P(X＞4)＝P(X＞3＋1)＝P(X＜3－1)＝P(X＜a)，所以a＝2．
所以的展开式中，常数项为×(－2)2＝6×4＝24．故选D．]
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6．(2025·天津高考)已知r为样本相关系数，则下列说法中错误的是( )
A．若X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)
B．若X～N(1，22)，Y～N(2，22)，则P(X<1)C．|r|越接近1，线性相关程度越强
D．|r|越接近0，线性相关程度越弱
√
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B [对于A，由正态分布的性质可知，若X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)，故A正确；
对于B，由正态分布的性质可知，若X～N(1，22)，Y～N(2，22)，则P(X＜1)＝P(Y＜2)＝，故B错误；
对于C，D，由样本相关系数的性质可知，当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱，故C，D正确．
故选B．]
题号
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7．(2025·江苏常州模拟)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件A：两次的点数之和为偶数，B：两次的点数之积为奇数，C：第一次的点数小于5，则( )
A．P(B)＝ B．P(C)＝
C．A与C相互独立 D．A与B互斥
√
题号
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C [抛掷2次，两次的点数之和为偶数，则两次点数都为奇数或偶数，所以P(A)＝＝，
两次的点数之积为奇数，则两次点数都为奇数，
所以P(B)＝＝，故A错误；
第一次的点数小于5的情况有4种，所以P(C)＝＝，故B错误；
第一次的点数小于5且为奇数有2种情况，第二次为奇数的情况有3种，
同理第一次的点数小于5且为偶数有2种情况，第二次为偶数的情况有3种，
所以P(AC)＝＝＝P(A)P(C)，所以A与C相互独立，故C正确；
事件A与事件B能同时发生，所以不互斥，故D错误．
故选C．]
题号
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8．[教材母题改编]在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为DD，Dd，dd(其中D为显性基因，d为隐性基因，生物学中将Dd和dD统一记为Dd)，且这三种基因型的比为1∶2∶1．如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因型为DD的概率为( )
A． B． C． D．
√
题号
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D [记事件B：子三代中基因型为DD，记事件A1：选择的是Dd，Dd，记事件A2：选择的是DD，DD，记事件A3：选择的是DD，Dd，
则P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝2×＝．
在子二代中任取2颗豌豆作为父本母本杂交，分以下三种情况讨论：
①若选择的是Dd，Dd，则子三代中基因型为DD的概率为P(B|A1)＝；
②若选择的是DD，DD，则子三代中基因型为DD的概率为P(B|A2)＝1；
③若选择的是DD，Dd，则子三代中基因型为DD的概率为P(B|A3)＝．
综上所述，
P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×1＋＝．
因此，子三代中基因型为DD的概率是．故选D．]
题号
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√
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．(2025·江苏盐城三模)下列说法正确的是( )
A．经验回归直线＝x＋经过点()
B．对于独立性检验，随机变量χ2的值越大，判定“两个变量有关系”犯错误的概率就越小
C．在一元线性回归模型中，若决定系数R2＝1，则残差的平方和为0
D．x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4的方差分别为和，若xi＋yi＝10且xi√
√
题号
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ABC [对于A，根据最小二乘法可知，经验回归直线一定过()，故A正确；
对于B，独立性检验中，χ2值越大，概率值越小，拒绝原假设时犯错误的概率就越小，故B正确；
对于C，由决定系数R2＝1－，当R2＝1时，可得残差平方和(yi－i)2＝0，故C正确；
对于D，因为xi＋yi＝10且xi故选ABC．]
题号
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√
10．(2025·江苏南京模拟)对于随机事件A，B，若P(A)＝，P(B)＝，P(B|A)＝，则( )
A．P(AB)＝ B．P(A|B)＝
C．P(A＋B)＝ D．P(B)＝
√
√
题号
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BCD [对于A，因为P(B|A)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝＝，故A错误；
对于B，P(A|B)＝＝＝，故B正确；
对于C，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＝，故C正确；
对于D，P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()·P(B|) ＝·P(B|)，
所以P(B|)＝，所以P()·P(B|)＝＝，故D正确．
故选BCD．]
题号
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√
11．(2025·河北秦皇岛三模)设随机变量X～N(1，0.25)，令f (x)＝P(X≥x)，则下列说法正确的是( )
A．f (x)是减函数
B．f (1)＝
C．f (x)是偶函数
D．f (x)的图象关于点对称
√
√
题号
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ABD [设任意实数x，y，且满足xP(X≥y)＝f (y)，所以f (x)是减函数，所以A正确；
对于B，由随机变量X～N(1，0.25)，
则f (1)＝P(X≥1)＝，所以B正确；
对于C，因为f (－1)＝P(X≥－1)＝P(－1≤X<1)＋P(X≥1)≠，所以C错误；
对于D，由正态分布的对称性，知P(X≥x)＝P(X≤2－x)，即f (x)＝1－f (2－x)，所以D正确．故选ABD．]
题号
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．[教材母题改编]如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动六次，在质点第一秒末位于－1的位置的条件下，该质点共经过两次1的位置的概率为________．
题号
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[当质点第一秒位于－1的位置时，还需要移动5次，共有25＝32种移动路线；
若该质点经过两次1的位置，则有
－1→0→1→2→1→0，－1→0→1→2→1→2，
－1→0→1→0→1→0，－1→0→1→0→1→2，共4种情况，
所以该质点共经过两次1的位置的概率为P＝＝．]
题号
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13．某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215．则在这次测试中全班学生的平均成绩和方差分别为________分，________．
115
265
115 265 [依题意＝＝115，＝＝215，
所以＝×130＋×110＝115(分)，所以全班学生的平均成绩为115分．
全班学生成绩的方差为
s2＝)2]＝×(115＋225)＋×(215＋25)＝85＋180＝265．]
题号
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14．(2025·天津高考)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6．若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记达标周数为X，则期望E(X)＝________．
0.6
3.2
题号
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0.6 3.2 [由题意可知，小桐一周跑10圈或11圈或12圈，
小桐一周跑10圈的概率为0.5×0.4＝0.2，
小桐一周跑11圈的概率为0.5×0.6＋0.5×0.6＝0.6，
小桐一周跑12圈的概率为0.5×0.4＝0.2，
一周至少跑11圈的概率为0.6＋0.2＝0.8，
则X～B(4，0.8)，
所以E(X)＝4×0.8＝3.2．]
题号
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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2025·全国一卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表：
单位：人
组别 超声波检查结果 合计
正常 不正常
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1 000
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；
(2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关．
附：χ2＝．
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
题号
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[解] (1)由题表可知，检查结果不正常者有200人，检查结果不正常者中患有该疾病的有180人，
所以由样本估计总体得p＝＝0.9．
(2)零假设为H0：超声波检查结果与患该疾病无关．
χ2＝＝765.625>10.828，
所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与患该疾病有关．
题号
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16．(15分)(2025·上海高考)2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌，以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列．
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
(1)求这组数据的极差与中位数；
(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
(3)若比赛成绩y关于年份x的经验回归方程为＝－0.311x＋，年份x的平均数为2 006，预测2028年冠军队的成绩(精确到0.01秒)．
题号
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[解] (1)这组数据的极差为216.93－206.78＝10.15，
中位数为＝210.015．
(2)记“从这10个数据中任选3个，恰有2个数据在211以上”为事件A，
由题可知，这10个数据中在211以上的有4个，故P(A)＝＝＝．
(3)由题可知，＝211.399，
代入＝－0.311x＋，得211.399＝－0.311×2 006＋，
解得＝835.265，
则＝－0.311x＋835.265，
将x＝2 028代入，得＝204.557≈204.56，
故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒．
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17．(15分)(2025·广东中山一模)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
(2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
题号
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[解] (1)设甲正确完成面试题数为X，则X可取1，2，3，
则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以甲正确完成面试题数X的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝2．
题号
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设乙正确完成面试题数为Y，则Y可取0，1，2，3，则Y～B，
P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝，P(Y＝3)＝＝，
所以乙正确完成面试题数Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2．
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(2)由(1)得D(X)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(3－2)2＝，
D(Y)＝×(0－2)2＋×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(3－2)2＝，
因为D(X)所以甲的成绩更稳定，
所以甲面试通过的可能性大．
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18．(17分)(2025·福建宁德三模)某地组织全市高中学生开展青少年劳动技能知识竞赛，竞赛分为笔试和操作两部分，随机抽取了100名高中学生的笔试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计笔试成绩的样本平均数和第一四分位数；
(2)用频率估计概率，笔试成绩在80分(含)以上记为良好．经统计，学生笔试等级为良好的情况下操作等级为良好的概率为0.8，学生笔试等级非良好的情况下操作等级为良好的概率为0.6．从全市所有高中学生中选取5人，记操作等级为良好的人数为X，求X的数学期望与方差．
题号
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[解] (1)设笔试成绩样本平均数为，第一四分位数(即下四分位数)为t，
则＝40×0.1＋50×0.2＋60×0.3＋70×0.24＋80×0.12＋90×0.04＝62，
第一组频率为0.1<0.25，前两组频率之和为0.1＋0.2＝0.3>0.25，
所以第一四分位数(即下四分位数)落在第二组内，则0.1＋(t－45)×0.02＝0.25，解得t＝52.5．
(2)记“笔试成绩等级为良好”为事件A，“操作成绩等级为良好”为事件B，
依题意P(A)＝＋0.04＝0.1，P()＝0.6，
所以P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)＝0.8×0.1＋0.6×0.9＝0.62，
则X～B(5，0.62)，所以E(X)＝5×0.62＝3.1，D(X)＝5×0.62×(1－0.62)＝1.178．
题号
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题号
19．(17分)(2025·湖北十一校模拟)某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入6个小球，其中4个黑球，2个红球．模型一为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入2个红球；模型二为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中．
(1)分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率．
(2)在模型二的前提下：
①求在第n(n≥2)次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率(结果用n表示)；
②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球10次，第10次抽球结束后无论盒中是否还有红球均停止抽球，记抽球的次数为X，求X的数学期望．
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题号
[解] (1)记在模型一下，第二次取到红球的概率为P1，则分为取到“黑红”和“红红”两种情况，
则P1＝＝；
记在模型二下，第二次取到红球的概率为P2，同样分为取到“黑红”和“红红”两种情况，
则P2＝＝．
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题号
(2)①设“第k(k则Pk＝，
则第n次恰好抽到第二个红球的概率P为Pk在k从1到n－1取值时的累加求和，即
P＝＋…＋，
利用等比数列求和公式即可得
P＝＝＝＝＝
＝．
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题号
②由题可知，X的取值依次为2，3，…，9，10，
当X＝10时，P(X＝10)＝1－[P(X＝2)＋P(X＝3)＋…＋P(X＝9)]，
由数学期望的定义和①中的概率公式可知，
E(X)＝2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋…＋9×P(X＝9)＋10×{1－[P(X＝2)＋P(X＝3)＋…＋P(X＝9)]}＝10－[8×P(X＝2)＋7×P(X＝3)＋…＋1×P(X＝9)]
＝10－，
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题号
设an＝×(－n＋9)×，bn＝×(－n＋9)×，n＝1，2，…，8，
由错位相减法可得a1＋a2＋…＋a8＝5＋10×，b1＋b2＋…＋b8＝4＋2×，
所以E(X)＝10－＝9－10×＋2×．
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题号
谢 谢！
