专题五 解析几何
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2025·湖南邵阳三模)若集合A＝，B＝，则A∩B的元素的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．(2025·浙江温州二模)双曲线－x2＝1的一个焦点为，则a＝( )
A． B． C．3 D．
3．(2025·江西宜春一模)已知椭圆的左、右焦点分别为(－7，0)，(7，0)，点(2，12)在该椭圆上，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
4．(2025·安徽皖南模拟)已知抛物线C：2x2＋my＝0恰好经过圆M：＋＝1的圆心，则C的准线方程为( )
A．x＝ B．x＝－ C．y＝ D．y＝－
5．(2025·黑龙江大庆模拟)曲线C：＝1，则“1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点O1是A1C1与B1D1的交点，点Q是直线AO1上异于A的一点，点P是平面C1BD上的动点，满足直线PQ与直线AQ的夹角为，则动点P的轨迹在( )
A．圆上 B．椭圆上 C．抛物线上 D．双曲线上
7．(2025·福建福州模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为C上一点，过点P作l的垂线，垂足为A，若＝2，且点在直线PB上，则直线PB的斜率为( )
A．或－ B．或－ C．1或－1 D．或－
8．(2025·江苏苏州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，若直线l：3x＋4y＋n＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝(an>0，n∈N*)相切，则数列的前10项和为( )
A． B． C．23 D．27
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线l：kx－y－2k＋2＝0，圆C：＋y2＝1，下列结论正确的是( )
A．直线l与圆C总有公共点
B．点C到直线l的距离的最大值为
C．若圆M：＋＝r2与圆C有交点，则r的取值范围是
D．当k变化时，若过直线l上任意一点总能作圆C的切线，则实数k的取值范围为
10．(2025·湖南邵阳二模)已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C的右支交于A，B两点，则( )
A．直线y＝x－1与C恰有两个公共点
B．双曲线C的离心率为
C．当∠F1AF2＝60°时，△AF1F2的面积为5
D．当直线AB的斜率为k1，过线段AB的中点和原点的直线的斜率为k2时，k1k2＝
11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点M分别向抛物线C与圆F：(x－1)2＋y2＝1作切线，切点分别为P，Q(P，Q不同于坐标原点O)，则下列判断正确的是( )
A．MP∥OQ B．MP⊥MF
C．P，Q，F三点共线 D．＝
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2025·湖北黄冈二模)已知方向向量为的直线l与圆x2＋y2＝5相切，则l的方程为________．
13．斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则＝________．
14．(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥＝－，则C的离心率为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知曲线C的方程是x2＋y2＋a2－1＝0，其中a>0，a≠1，直线l的方程是y＝x－a．
(1)请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线；
(2)若直线l交曲线C于M，N两点，且线段MN中点的横坐标是－2，求a的值；
(3)若a＝，试问曲线C上是否存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称，并说明理由．
16．(15分)(2025·河南郑州一模)已知两定点F1，F2，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)过F2的直线l与动点P的轨迹交于两点A，B，与直线x＝2交于点C，设O为坐标原点，若S△OAC∶S△OBC＝3∶1，求直线l的方程．
17．(15分)(2025·湖南岳阳三模)已知抛物线E的顶点在坐标原点O处，对称轴为x轴，且过点T，A，B是E上两个动点．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)已知C是E上一点，且E的焦点F为△ABC的重心，设C的横坐标为t，求t的取值范围；
(3)已知P为直线OT在第二象限内一点，直线PA，PB分别与抛物线E相切于点A，B，设PA，PB分别与y轴交于点M，N，证明：直线AN与直线BM的交点在定直线上．
18．(17分)(2025·河南信阳一模)已知A，B两点的坐标分别是，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是－，记点P的轨迹为曲线C，直线l与曲线C交于不同的两点M，N．
(1)求曲线C的方程．
(2)若以线段MN为直径的圆经过点A．
①求证：直线l过定点D，并求出D的坐标；
②求三角形AMN面积的最大值．
19．(17分)(2025·黑龙江模拟)已知点P在圆x2＋y2＝2上运动，过点P作x轴的垂线段PQ，垂足为Q，点M满足＝，当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合．
(1)求动点M的轨迹方程E．
(2)设A，B分别是方程E表示的曲线Γ的上、下顶点，C，D是直线y＝kx＋m与曲线Γ的两个交点．
(ⅰ)若直线AC的斜率kAC与直线BD的斜率kBD满足kAC＝3kBD，求证：直线CD过定点．
(ⅱ)当k，m变化时，试探究△OCD(O为坐标原点)的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
专题五
1．C [因为直线y＝x与圆x2＋y2＝1相交，因此A∩B的元素的个数是2．故选C．]
2．A [由题意得c2＝a2＋1＝4，所以a＝．故选A．]
3．A [依题意，椭圆的焦距2c＝14，长轴长2a＝＝15＋13＝28，所以该椭圆的离心率e＝．故选A．]
4．C [圆M的圆心坐标为M，
将圆心M的坐标代入抛物线的方程，得2×12－2m＝0，解得m＝1，
故抛物线C的方程为2x2＋y＝0，标准方程为x2＝－y，
则2p＝，故抛物线C的准线方程为y＝．故选C．]
5．B [若曲线C：＝1表示椭圆，则解得16．D [直线PQ与直线AQ的夹角为，则P在以Q为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为AO1，因为AO1∥平面C1BD，所以动点P的轨迹在双曲线上．故选D．]
7．B [由题意，F，准线为l：x＝－1，
设P(t≠0)，则A(－1，t)，
由于，则B为AF的中点，即B，
又点在直线PB上，
则kPB＝，
解得t＝±2，则kPB＝±．故选B．]
8．C [由圆C：(x－2)2＋y2＝(an>0，n∈N*)，可得圆心为C(2，0)，半径为r＝an，
可得圆心C(2，0)到直线l：3x＋4y＋n＝0的距离d＝，
因为直线l：3x＋4y＋n＝0与圆C相切，则d＝r，即an＝的前10项和为S10＝＝5×＝23．故选C．]
9．BC [对于A选项，圆 C：＋y2＝1的圆心C到直线l：kx－y－2k＋2＝0的距离
d＝，
故当k<时，直线l与圆C没有公共点，故A错误；
对于B选项，直线l：kx－y－2k＋2＝0恒过定点A，
则圆心C到直线l的距离的最大值为d＝，故B正确；
对于C选项，圆C：＋y2＝1的圆心为C，半径为r1＝1，
圆M：的圆心为M，半径为r，
＝5，由圆C与圆M有交点，
所以≤r＋r1，
即≤5≤r＋1，
所以解得4≤r≤6，
即r的取值范围是[4，6]，故C正确；
对于D选项，当k变化时，若过直线l上任意一点总能作圆C的切线，则直线和圆C相离或相切，
所以圆心C到直线l：kx－y－2k＋2＝0的距离d＝≥1，解得k≤，所以实数k的取值范围为，故D错误．故选BC．]
10．BC [对于A选项，联立
可得
所以直线y＝x－1与C只有一个公共点，A错误；
对于B选项，对于双曲线C，a＝2，b＝，c＝＝3，
所以双曲线C的离心率e＝，B正确；
对于C选项，设＝m，＝n，由双曲线的定义可得m－n＝2a＝4，
在△AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝4c2＝36＝m2＋n2－2mncos 60°＝m2＋n2－mn＝＋mn＝16＋mn，
可得mn＝20，则，C正确；
对于D选项，设点A，B(x2，y2)，
线段AB的中点为M，
则k1＝，k2＝，则k1k2＝，
由题意可得＝0，则k1k2＝，D错误．
故选BC．]
11．ABC [由题意，设lMP：y＝kx＋m，
联立得k2x2＋x＋m2＝0．
因为直线MP与抛物线C相切，
所以Δ＝－4k2m2＝0，即km＝1，所以xP＝m2，
故P．
设Q，则由几何性质可知O，Q两点关于直线lMF：y＝－mx＋m对称，
则
解得
故Q．
对于A，＝＝·，显然MP∥OQ，故A正确；
对于B，·＝0，即MP⊥MF，故B正确；
对于C，＝(m2－1，2m)＝(m2＋1)·，
所以P，Q，F三点共线，故C正确；
对于D，|OQ|＝
＝，|MF|＝，所以当m≠±1时，|MF|≠|OQ|，故D错误．故选ABC．]
12．y＝2x±5 [因为直线l的方向向量为，所以设直线l的方程为y＝2x＋c，即2x－y＋c＝0，
又直线l与圆x2＋y2＝5相切，所以圆心到直线的距离为，解得c＝±5，
所以直线l的方程为y＝2x±5．]
13． [∵抛物线的方程为y2＝4x，∴抛物线的焦点F的坐标为(1，0)，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为y＝(x－1)，
代入抛物线方程，消去y并化简得3x2－10x＋3＝0，
法一：解得x1＝，x2＝3，所以|AB|＝．
法二：Δ＝100－36＝64>0，
设A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
过A，B分别作准线x＝－1的垂线，设垂足分别为C，D，如图所示．
|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝．]
14． [由，设||＝2t，||＝3t，由对称性可得||＝3t，
则||＝2t＋2a，||＝5t，
设∠F1AF2＝θ，则sin θ＝，
所以cos θ＝，解得t＝a，
所以||＝2t＋2a＝4a，||＝2a，
在△AF1F2中，由余弦定理的推论可得cos θ＝，即5c2＝9a2，则e＝．]
15．解：(1)x2＋y2＋a2－1＝0，即x2＋＝1，
当0当a>1时，曲线表示焦点在x轴上的双曲线．
(2)设M，N，(1－a2)x2＋y2＝1－a2，
则＝1－a2，＝1－a2，
两式相减得(1－a2)(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即－4＝0，故y1＋y2＝4，
故MN的中点为，
代入直线得到2－a，
解得a＝或a＝－(舍)，故a＝．
(3)假设存在，直线l的方程为y＝，双曲线方程为x2－y2＝1，
设A，B，AB的中点为，则
＝1，＝1．
两式相减得＝0，
即＝0，
x0＋y0＝0，又y0＝，
解得x0＝1，y0＝－．
此时直线AB的方程为y＝－(x－1)－，即y＝－，
由化简得到x2－2x＋＝0，方程无解，故曲线C上不存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称．
16．解：(1)依题意知＝2，>2＝|F1F2|，
∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且焦点在x轴上，
设椭圆方程为＝1(a>b>0)，由2a＝2，2c＝2，得a＝，c＝1，b＝1，
故所求点P的轨迹方程为＋y2＝1．
(2)依题意知，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k，
设A，B，
联立消去y并整理得x2－4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2＋8>0，
可得x1＋x2＝①，x1x2＝②，
由S△OAC∶S△OBC＝3∶1，∴|AC|∶|BC|＝3∶1，，
∴2－x1＝3，整理得3x2－x1＝4③，
由①③得x1＝，x2＝，代入②，解得k＝±1，
∴直线l的方程为y＝x－1或y＝－x＋1．
17．解：(1)由题意设抛物线方程为y2＝2px，代入点T，得16＝4p，得p＝4，
所以抛物线E的标准方程为y2＝8x．
(2)设A，B，C(t，y3)，
由重心坐标公式可知，＝2，＝0，
得x1＋x2＋t＝6，y1＋y2＋y3＝0，y3＝－，
且＝8x1，＝8x2，＝8t，
所以＋t＝6，且＝4t，
所以＋t≤6，得t≤4且t≥0，
综上可知，t的取值范围是[0，4]．
(3)证明：直线OT的斜率k＝－2，直线OT的方程为y＝－2x，
设P，x0<0，y0＝－2x0，
因为y2＝8x，所以y'＝，
设A，B，
抛物线在点A处的切线方程为y－y1＝，即y＝，
因为切线过点P，即y0＝－2y0y1＋8x0＝0，
同理，抛物线在点B处的切线方程为－2y0y2＋8x0＝0，
所以y1，y2是方程y2－2y0y＋8x0＝0的两个根，则y1＋y2＝2y0，y1y2＝8x0，
切线PA：y＝，令x＝0，得y＝，得M，同理N，
直线AN的方程为y－x，
即y－x，
同理，直线BM的方程为y－x，设直线AN与直线BM的交点为Q(x，y)，
联立直线AN与直线BM的方程，得x，
所以x，
所以x＝
＝
＝，
且y0＝－2x0，代入上式化简得x＝，①
代回直线AN的方程得，
y－·，
得y＝
＝
＝
＝
＝，
即y＝，②
由①②可得y＝－2x，
所以直线AN与直线BM的交点在定直线y＝－2x上．
18．解：(1)设P，动点P满足直线PA和直线PB的斜率之积为－，
∴kPA·kPB＝－·．
∴曲线C的方程为＝1(x≠±2且y≠0)．
(2)①设点M，N，
若MN⊥y轴，则N且x1≠0，＝(2＋x1，－y1)，
此时，·>0，不合题意．
设直线MN的方程为x＝my＋n，
联立
得y2＋6mny＋3n2－12＝0，
Δ＝36m2n2－12
＝48>0，
由根与系数的关系可得y1＋y2＝－，y1y2＝，
，
∴·＝(my1＋n－2)(my2＋n－2)＋y1y2
＝y1y2＋m(n－2)(y1＋y2)＋(n－2)2＝
＝＝0，
因为直线MN不过点A，则n≠2，所以7n－2＝0，解得n＝．
∴直线MN的方程为x＝my＋，∴直线MN过定点D．
②直线MN的方程为x－my－＝0．
∴点A到直线MN的距离d＝··
＝·，
∴S△AMN＝·d＝···
＝·，
令t＝3m2＋4≥4，
则S△AMN＝·
＝
＝，
因为0<，故当t＝4时，S△AMN取最大值．
19．解：(1)设M，P，
则Q，
由，
即，
所以
则P，
因为点P在圆x2＋y2＝2上运动，所以x2＋＝2，整理得＋y2＝1，
当点 P经过圆与 x轴的交点时，同样成立，
所以动点M的轨迹方程为＋y2＝1．
(2)设C，D，
联立消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ>0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
(ⅰ)证明：由(1)得A，B，
则kAC＝，kBD＝，
因为＝1，所以，即kAC＝－，
又kAC＝3kBD，所以－，即6＋x1x2＝0，
即6＋x1x2＝0，
整理得x1x2＋6k(m＋1)(x1＋x2)＋6(m＋1)2＝0，
将x1＋x2＝－，x1x2＝代入化简得2m2＋3m＋1＝0，
解得m＝－1或m＝－，
当m＝－1时，直线CD与椭圆的另一个交点为B，与题意不符，故舍去，
所以m＝－，
所以直线CD的方程为y＝kx－，
所以直线CD过定点．
(ⅱ)易知Δ＝16k2m2－8(1＋2k2)(m2－1)>0，所以1＋2k2>m2，···，
点O到直线CD的距离d＝，
则S△OCD＝·d
＝·
＝·
＝·，
令t＝，t∈，
则S△OCD＝·，
当且仅当t＝，即2m2＝1＋2k2时取等号，所以△OCD的面积存在最大值，最大值为．
1/6(共67张PPT)
专题五 解析几何
题号
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√
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2025·湖南邵阳三模)若集合A＝，B＝，则A∩B的元素的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
题号
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C [因为直线y＝x与圆x2＋y2＝1相交，因此A∩B的元素的个数是2．故选C．]
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√
2．(2025·浙江温州二模)双曲线－x2＝1的一个焦点为，则a＝( )
A． B． C．3 D．
A [由题意得c2＝a2＋1＝4，所以a＝．故选A．]
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3．(2025·江西宜春一模)已知椭圆的左、右焦点分别为(－7，0)，(7，0)，点(2，12)在该椭圆上，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
A [依题意，椭圆的焦距2c＝14，长轴长2a＝＝15＋13＝28，
所以该椭圆的离心率e＝＝．故选A．]
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4．(2025·安徽皖南模拟)已知抛物线C：2x2＋my＝0恰好经过圆M：＋＝1的圆心，则C的准线方程为( )
A．x＝ B．x＝－
C．y＝ D．y＝－
√
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C [圆M的圆心坐标为M，
将圆心M的坐标代入抛物线的方程，得2×12－2m＝0，解得m＝1，
故抛物线C的方程为2x2＋y＝0，标准方程为x2＝－y，
则2p＝，所以＝，故抛物线C的准线方程为y＝．故选C．]
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5．(2025·黑龙江大庆模拟)曲线C：＝1，则“1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
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B [若曲线C：＝1表示椭圆，则
解得1则“1题号
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6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点O1是A1C1与B1D1的交点，点Q是直线AO1上异于A的一点，点P是平面C1BD上的动点，满足直线PQ与直线AQ的夹角为，则动点P的轨迹在( )
A．圆上 B．椭圆上
C．抛物线上 D．双曲线上
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D [直线PQ与直线AQ的夹角为，则P在以Q为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为AO1，
因为AO1∥平面C1BD，所以动点P的轨迹在双曲线上．
故选D．]
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7．(2025·福建福州模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为C上一点，过点P作l的垂线，垂足为A，若＝2，且点在直线PB上，则直线PB的斜率为( )
A．或－ B．或－
C．1或－1 D．或－
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
B [由题意，F，准线为l：x＝－1，
设P，则A，
由于＝2，则B为AF的中点，即B，
又点在直线PB上，
则kPB＝＝，解得t＝±2，则kPB＝±．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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14
15
16
17
18
19
8．(2025·江苏苏州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，若直线l：3x＋4y＋n＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝(an>0，n∈N*)相切，则数列的前10项和为( )
A． B． C．23 D．27
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
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17
18
19
C [由圆C：(x－2)2＋y2＝(an>0，n∈N*)，
可得圆心为C(2，0)，半径为r＝an，
可得圆心C(2，0)到直线l：3x＋4y＋n＝0的距离d＝＝，
因为直线l：3x＋4y＋n＝0与圆C相切，则d＝r，
即an＝，
所以数列的前10项和为S10＝＝5×＝23．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
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19
√
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线l：kx－y－2k＋2＝0，圆C：＋y2＝1，下列结论正确的是( )
A．直线l与圆C总有公共点
B．点C到直线l的距离的最大值为
C．若圆M：＋＝r2与圆C有交点，则r的取值范围是
D．当k变化时，若过直线l上任意一点总能作圆C的切线，则实数k的取值范围为
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
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13
14
15
16
17
18
19
BC [对于A选项，圆C：＋y2＝1的圆心C到直线l：kx－y－2k＋2＝0的距离
d＝＝≤1 k≥，
故当k<时，直线l与圆C没有公共点，故A错误；
对于B选项，直线l：kx－y－2k＋2＝0恒过定点A，
则圆心C到直线l的距离的最大值为d＝＝＝，故B正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
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16
17
18
19
对于C选项，圆C：＋y2＝1的圆心为C，半径为r1＝1，
圆M：＋＝r2的圆心为M，半径为r，
＝＝5，由圆C与圆M有交点，
所以≤r＋r1，即≤5≤r＋1，
所以解得4≤r≤6，
即r的取值范围是，故C正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
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16
17
18
19
对于D选项，当k变化时，若过直线l上任意一点总能作圆C的切线，则直线和圆C相离或相切，
所以圆心C到直线l：kx－y－2k＋2＝0的距离d＝≥1，解得k≤，所以实数k的取值范围为，故D错误．故选BC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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17
18
19
√
10．(2025·湖南邵阳二模)已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C的右支交于A，B两点，则( )
A．直线y＝x－1与C恰有两个公共点
B．双曲线C的离心率为
C．当∠F1AF2＝60°时，△AF1F2的面积为5
D．当直线AB的斜率为k1，过线段AB的中点和原点的直线的斜率为k2时，k1k2＝
√
题号
1
3
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2
4
6
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17
18
19
BC [对于A选项，联立 可得
所以直线y＝x－1与C只有一个公共点，A错误；
对于B选项，对于双曲线C，a＝2，b＝，c＝＝3，
所以双曲线C的离心率e＝＝，B正确；
对于C选项，设＝m，＝n，由双曲线的定义可得m－n＝2a＝4，
在△AF1F2中，由余弦定理可得＝4c2＝36＝m2＋n2－2mn cos 60°＝m2＋n2－mn＝＋mn＝16＋mn，
可得mn＝20，则＝mn sin 60°＝×20×＝5，C正确；
题号
1
3
5
2
4
6
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17
18
19
对于D选项，设点A，B，
线段AB的中点为M，
则k1＝，k2＝＝，则k1k2＝，
由题意可得所以＝0，
则k1k2＝＝，D错误．故选BC．]
题号
1
3
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2
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题号
1
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2
4
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17
18
19
√
11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点M分别向抛物线C与圆F：(x－1)2＋y2＝1作切线，切点分别为P，Q(P，Q不同于坐标原点O)，则下列判断正确的是( )
A．MP∥OQ
B．MP⊥MF
C．P，Q，F三点共线
D．＝
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
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18
19
ABC [由题意，设lMP：y＝kx＋m，
联立得k2x2＋x＋m2＝0．
因为直线MP与抛物线C相切，所以Δ＝－4k2m2＝0，即km＝1，所以xP＝m2，故P．
设Q，则由几何性质可知O，Q两点关于直线lMF：y＝－mx＋m对称，
则 解得
故Q．
对于A，＝＝＝·，显然MP∥OQ，故A正确；
对于B，＝·＝0，即MP⊥MF，故B正确；
对于C，＝＝(m2－1，2m)＝(m2＋1)·，
所以P，Q，F三点共线，故C正确；
对于D，|OQ|＝＝，|MF|＝，所以当m≠±1时，|MF|≠|OQ|，故D错误．故选ABC．]
题号
1
3
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2
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题号
1
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19
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2025·湖北黄冈二模)已知方向向量为的直线l与圆x2＋y2＝5相切，则l的方程为_________．
y＝2x±5
题号
1
3
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19
y＝2x±5 [因为直线l的方向向量为，所以设直线l的方程为y＝2x＋c，即2x－y＋c＝0，
又直线l与圆x2＋y2＝5相切，
所以圆心到直线的距离为＝＝，解得c＝±5，
所以直线l的方程为y＝2x±5．]
题号
1
3
5
2
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19
13．斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则＝________．
[∵抛物线的方程为y2＝4x，∴抛物线的焦点F的坐标为(1，0)，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为y＝(x－1)，
代入抛物线方程，消去y并化简得3x2－10x＋3＝0，
法一：解得x1＝，x2＝3，
所以|AB|＝|x1－x2|＝＝．
题号
1
3
5
2
4
6
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18
19
法二：Δ＝100－36＝64>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
过A，B分别作准线x＝－1的垂线，
设垂足分别为C，D，如图所示．
|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝．]
题号
1
3
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2
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19
14．(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥＝－，则C的离心率为__________．
题号
1
3
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6
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19
[法一：如图，设F1(－c，0)，F2(c，0)，B(0，n)，A(x，y)，
则＝(x－c，y)，＝(－c，n)，
因为＝－，
则
可得A．
又⊥，且＝＝(c，n)，
则·＝c2－n2＝0，化简得n2＝4c2．
又点A在C上，
则＝1，整理可得＝1，
将n2＝4c2代入，可得＝9，即25e2－＝9，
解得e2＝或e2＝(舍去)，故e＝．
题号
1
3
5
2
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19
法二：由＝－，得＝，
设||＝2t，||＝3t，由对称性可得||＝3t，
则||＝2t＋2a，||＝5t，设∠F1AF2＝θ，则sin θ＝＝，
所以cos θ＝＝，解得t＝a，所以||＝2t＋2a＝4a，||＝2a，
在△AF1F2中，由余弦定理的推论可得cos θ＝＝，即5c2＝9a2，则e＝．]
题号
1
3
5
2
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题号
1
3
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18
19
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知曲线C的方程是x2＋y2＋a2－1＝0，其中a>0，a≠1，直线l的方程是y＝x－a．
(1)请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线；
(2)若直线l交曲线C于M，N两点，且线段MN中点的横坐标是－2，求a的值；
(3)若a＝，试问曲线C上是否存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称，并说明理由．
题号
1
3
5
2
4
6
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19
[解] (1)x2＋y2＋a2－1＝0，即x2＋＝1，
当0当a>1时，曲线表示焦点在x轴上的双曲线．
题号
1
3
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2
4
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19
(2)设M，Nx2＋y2＝1－a2，
则＝＝1－a2，
两式相减得＝0，
即－4＝0，故y1＋y2＝4，
故MN的中点为，
代入直线得到2＝－a，
解得a＝或a＝－(舍)，故a＝．
题号
1
3
5
2
4
6
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18
19
(3)假设存在，直线l的方程为y＝x－，双曲线方程为x2－y2＝1，
设A，B，AB的中点为(x0，y0)，则
＝＝1．
两式相减得－(y3＋y4)(y3－y4)＝0，
即＝0，x0＋y0＝0，
又y0＝x0－，解得x0＝1，y0＝－．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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19
此时直线AB的方程为y＝－，即y＝－x＋，
由化简得到x2－2x＋＝0，方程无解，
故曲线C上不存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称．
题号
1
3
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19
16．(15分)(2025·河南郑州一模)已知两定点F1，F2，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)过F2的直线l与动点P的轨迹交于两点A，B，与直线x＝2交于点C，设O为坐标原点，若S△OAC∶S△OBC＝3∶1，求直线l的方程．
题号
1
3
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19
[解] (1)依题意知＝2，＝＝2>2＝，
∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且焦点在x轴上，
设椭圆方程为＝1(a>b>0)，
由2a＝2，2c＝2，得a＝，c＝1，b＝1，
故所求点P的轨迹方程为＋y2＝1．
(2)依题意知，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k，
设A，B，
联立消去y并整理得x2－4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2＋8＞0，
可得x1＋x2＝①，x1x2＝②，
题号
1
3
5
2
4
6
8
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18
19
由S△OAC∶S△OBC＝3∶1，∴|AC|∶|BC|＝3∶1，＝3，
∴2－x1＝3，整理得3x2－x1＝4③，
由①③得x1＝，x2＝，代入②，解得k＝±1，
∴直线l的方程为y＝x－1或y＝－x＋1．
题号
1
3
5
2
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题号
1
3
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2
4
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19
17．(15分)(2025·湖南岳阳三模)已知抛物线E的顶点在坐标原点O处，对称轴为x轴，且过点T，A，B是E上两个动点．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)已知C是E上一点，且E的焦点F为△ABC的重心，设C的横坐标为t，求t的取值范围；
(3)已知P为直线OT在第二象限内一点，直线PA，PB分别与抛物线E相切于点A，B，设PA，PB分别与y轴交于点M，N，证明：直线AN与直线BM的交点在定直线上．
题号
1
3
5
2
4
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19
[解] (1)由题意设抛物线方程为y2＝2px，代入点T，得16＝4p，得p＝4，
所以抛物线E的标准方程为y2＝8x．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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18
19
(2)设A，B，C，
由重心坐标公式可知，＝2，＝0，
得x1＋x2＋t＝6，y1＋y2＋y3＝0，y3＝－，
且＝＝＝8t，
所以＋t＝6，且＝＝4t，
所以＋t≤6，得t≤4且t≥0，
综上可知，t的取值范围是．
题号
1
3
5
2
4
6
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19
(3)证明：直线OT的斜率k＝－2，直线OT的方程为y＝－2x，
设P，x0<0，y0＝－2x0，
因为y2＝8x，所以y′＝，设，
抛物线在点A处的切线方程为y－y1＝，即y＝x＋，
因为切线过点P，即y0＝x0＋，
整理得－2y0y1＋8x0＝0，
题号
1
3
5
2
4
6
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19
整理得－2y0y1＋8x0＝0，
同理，抛物线在点B处的切线方程为－2y0y2＋8x0＝0，
所以y1，y2是方程y2－2y0y＋8x0＝0的两个根，则y1＋y2＝2y0，y1y2＝8x0，
切线PA：y＝x＋，令x＝0，得y＝，得M，同理N，直线AN的方程为y－＝x，
即y－＝x，同理，直线BM的方程为y－＝x，
题号
1
3
5
2
4
6
8
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18
19
设直线AN与直线BM的交点为Q，
联立直线AN与直线BM的方程，得x＝x，
所以＝，
所以x＝＝＝，
且y0＝－2x0，代入上式化简得x＝，①
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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16
17
18
19
代回直线AN的方程得，y－＝x＝，
得y＝
＝＝
＝＝
＝＝，即y＝，②
题号
1
3
5
2
4
6
8
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15
16
17
18
19
由①②可得y＝－2x，
所以直线AN与直线BM的交点在定直线y＝－2x上．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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13
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17
18
19
18．(17分)(2025·河南信阳一模)已知A，B两点的坐标分别是，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是－，记点P的轨迹为曲线C，直线l与曲线C交于不同的两点M，N．
(1)求曲线C的方程．
(2)若以线段MN为直径的圆经过点A．
①求证：直线l过定点D，并求出D的坐标；
②求三角形AMN面积的最大值．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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13
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17
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19
[解] (1)设P，动点P满足直线PA和直线PB的斜率之积为－，
∴kPA·kPB＝－，即·＝－，
即＝1．
∴曲线C的方程为＝1．
题号
1
3
5
2
4
6
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(2)①设点M，N，
若MN⊥y轴，则N且x1≠0，＝＝，
此时，·＝＝＋3＝>0，不合题意．
设直线MN的方程为x＝my＋n，
题号
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联立
得y2＋6mny＋3n2－12＝0，
Δ＝36m2n2－12＝48(3m2＋4－n2)>0，
由根与系数的关系可得y1＋y2＝－，y1y2＝，
＝＝＝＝，
题号
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∴·＝＋y1y2
＝y1y2＋m
＝
＝＝0，因为直线MN不过点A，则n≠2，所以7n－2＝0，解得n＝．
∴直线MN的方程为x＝my＋，∴直线MN过定点D．
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②直线MN的方程为x－my－＝0．
∴点A到直线MN的距离d＝＝，
＝·＝·
＝·，
题号
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∴S△AMN＝·d＝···
＝·，
令t＝3m2＋4≥4，
则S△AMN＝·＝＝，
因为0<，故当t＝4时，S△AMN取最大值×2＝．
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题号
19．(17分)(2025·黑龙江模拟)已知点P在圆x2＋y2＝2上运动，过点P作x轴的垂线段PQ，垂足为Q，点M满足＝，当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合．
(1)求动点M的轨迹方程E．
(2)设A，B分别是方程E表示的曲线Γ的上、下顶点，C，D是直线y＝kx＋m与曲线Γ的两个交点．
(ⅰ)若直线AC的斜率kAC与直线BD的斜率kBD满足kAC＝3kBD，求证：直线CD过定点．
(ⅱ)当k，m变化时，试探究△OCD(O为坐标原点)的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
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题号
[解] (1)设M，P，则Q，
由＝，得＝，即＝，
所以所以 则P，
因为点P在圆x2＋y2＝2上运动，所以x2＋＝2，整理得＋y2＝1，当点P经过圆与 x轴的交点时，同样成立，
所以动点M的轨迹方程为＋y2＝1．
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题号
(2)设C，D，
联立
消去y并整理得x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ＞0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
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题号
(ⅰ)证明：由(1)得A，B，
则kAC＝，kBD＝，
因为＝1，所以＝－，即kAC＝－，
又kAC＝3kBD，所以－＝3×，
即6＋x1x2＝0，
即6＋x1x2＝0，
整理得x1x2＋6k＋6＝0，
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题号
将x1＋x2＝－，x1x2＝代入化简得2m2＋3m＋1＝0，
解得m＝－1或m＝－，
当m＝－1时，直线CD与椭圆的另一个交点为B，与题意不符，故舍去，
所以m＝－，所以直线CD的方程为y＝kx－，
所以直线CD过定点．
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题号
(ⅱ)易知Δ＝16k2m2－8>0，所以1＋2k2>m2，
＝·＝2··，
点O到直线CD的距离d＝，
则S△OCD＝·d＝·＝·
＝·，令t＝，t∈，
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题号
则S△OCD＝·＝，
当且仅当t＝，即2m2＝1＋2k2时取等号，
所以△OCD的面积存在最大值，最大值为．
谢 谢！
