浙江省金华十校联考2025-2026学年上学期期末高三数学试卷（含答案）

金华十校2025—2026学年第一学期期末调研考试
高三数学试题卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1. 考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上.
2. 选择题的答案须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.
3. 非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效.
选择题部分（共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则
A. B.2
C. D.4
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若，则
A. B.
C. D.
4. 已知弧长为1cm的扇形面积是，则其圆心角大小为（ ）
A. B.1
C. D.
5. ，，，，共5名同学进行唱歌比赛，决出第1名到第5名的名次. 现已知和都不是第1名，且不是第5名，则这5人名次排列的情况种数为（ ）
A.42
B.50
C.54
D.60
6. 如图， 圆的半径为2，为圆的直径，，为圆上的两点且. 若，则的值为（ ）
A. -3 B..2
D.3
7. 已知数列为等比数列，，，是数列的前项的乘积. 记取得最大值与最小值的项的个数分别为和，则（ ▲ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8. 三棱锥中，，，二面角的平面角为锐角，则三棱锥的外接球球心到平面的距离最大值为（ ▲ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共小题，共分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知变量与变量的一组观测数据如下表，根据表格数据得到经验回归直线为，则下列选项正确的是（ ▲ ）
A. 变量与变量的中位数之和为
B. 变量与变量的样本相关系数
C.
D. 直线必过点
10. 已知函数的最小正周期为，下列结论正确的是（ ▲ ）
A.
B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称
D. 方程的解集为
11. 已知集合，用表示集合的元素个数，定义：
，，；
，，。
则（ ▲ ）
A. B.
C. D.
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则_____.
13. 在和9之间插入5个实数，使得这7个实数成等差数列，则插入的5个实数和为.
14. 已知椭圆的左焦点为F，点，若以A，F为焦点的双曲线E与椭圆C交于点P，则双曲线E的离心率的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）某公司研发了一种新产品，现有两个销售方案，方案一：所有产品以同一价格进入市场，则每件获利8元；方案二：每件产品上市前需要依次进行A，B，C三项测试，前一项测试通过后方能进行下一项测试，每项测试通过的概率分别为0.9，0.8，0.5.A，B，C三项测试均通过的产品为一等品，通过A和B两项测试但未通过C项测试的产品为二等品，其余产品为三等品. 每件一等品获利10元，每件二等品获利8元，每件三等品获利6元.
（1）求出方案二中某件产品为三等品的概率；
（2）使用哪个方案时，每件产品的获利均值更高？ 请说明你的理由.
16.（15分）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（1）求角B的大小；
（2）若，D为线段AC上一点，满足，求的面积.
17.（15分）如图，多面体 的体积为1，四边形 为矩形，平面 平面 ， ， .
(1)证明: ;
（2）若 ，求直线 和直线 夹角的余弦值；
（3）若 ，且直线 和平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
18.（17分）已知点 为抛物线 上一点.
（1）求 的标准方程；
（2）过点 的直线 与 交于 ， 两点，以 为直径的圆与 交于异于 ， 的两个不同点 ， （ 在 左边）.
(i)若 斜率为，求 ， 坐标；
（ii）设 的内切圆与外接圆半径分别为 ，，则当 取最大值时，求直线 的方程.
19.（17分）已知函数
（1）求函数 在 处的切线方程；
（2）记函数 的最小零点为 ，证明：
（i） 且 ；
（ii） .
金华十校2026年1月高三模拟考试
数学参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C B B A D D A D
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9 10 11
AC ACD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.3
13.20
14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.解析：（1）对于方案二，设事件为“测试通过”，事件为“测试通过”，事件为“测试通过”，事件为“测试产品为一等品”，事件为“测试产品为二等品”，事件为“测试产品为三等品”，.
则 ．　　　　　　　　　　6分
（2）记方案一和方案二中每件产品的获利分别为和，显然有，
而方案二中，
　　　　　　　　
则的分布列如下表：
10 8 6
0.36 0.36 0.28
，
使用方案二时，每件产品的获利均值更高．　　　　　　　　　　　　　13分
16. 解析：（1）由正弦定理得，
，
，，，
，。　　　　　　　　　　　　　　　………7分
（2）法1：余弦定理
设，，
由余弦定理得，化简得：①
在中，由余弦定理得②
由①②式得，
。　　　　　　　　　　　………15分
法2：向量法
设，，，
即①
在中，由余弦定理得②
由①②式得，
。　　　　　　　　　　　………15分
法3：倍长线法
延长至使得，，结合，，
。
在中，由余弦定理得：，①
在中，由余弦定理得②
由①②式得，
。　　　　　　　　　　　………15分
17. 解析：（1）平面平面，平面平面，，
平面 ，又 平面 ，
． 4分
（2）由（1）可知多面体 为直三棱柱，作 ，
，．当 时， 点和 点重合，
如图将三棱柱补形成长方体 ，连 ，，
， 即为直线 和直线 的夹角或其补角．
由题意可得：，，
，
综上，直线 和直线 夹角的余弦值为 ． 9分
（3）法一： 平面 平面 ，平面 平面 ，，
平面 ，如图，以 点为原点建立空间直角坐标系．
设 ，则 ，，，，，
由 可得：，，
，另外，设平面 的一个法向量为 ，结合 ，
，也即 ，取 ，则有 ，
结合 ，设直线 和平面 所成角为 ，
则 ，，
化简得：，可解得：（舍去）或 ．
综上，．
15分
法二：如图，将三棱柱补形成长方体 ，在 上取点 ，使得 ，
则 ，平面 即为平面 ．
延长 ，交直线 于点 ，作 ，
结合平面 平面 ，平面 平面 ，可得 平面 ，
连 ，则 即为直线 和平面 所成角，．
，，
，，，
，．
15分
18. 解析：（1） 由题知 ，解得 ，所以 的标准方程为 ．……4分
（2） 设直线 方程为 ，联立 得：，
则 ，，则 ，，
设 上一点 ，满足 ，
则 ，
则 或 。
（i） ，带入（*）得 或，则，。 ………10分
（ii） 由（*）知，设的内切圆与外接圆半径分别为和，则
。
法一：设，则，
当，即为等腰直角三角形时取最大值，
则，，即。
令，则，
①当时，，则，则；
②当时，，方程无根。
综上所述：直线的方程为。 ……………………17分
法二：
又，
令，，则，则
①当时，在取最大值，则；
②当时，无最大值。
综上所述：直线的方程为。 ……………………17分
19. 解析：（1） ，则，
，，则切线方程为。 ……………………5分
（2）①由（1）知，则单调递增；
又，，
则存在，使得，
则． ……………………11分
（3）由题知．
先证恒成立，单调递增且存在唯一零点．
由（2）知，，单调递增且存在唯一零点，
则 ， 则 单 调 递 增 ， ，
，
则存在唯一零点，以此递推，………，
，
则单调递增，又，，
则存在唯一零点，命题成立．
①因为，
又单调递增，且，所以．
②由上述讨论知，在单调递减，在单调递增，且
，
又时，，则存在另一零点，且．
现证明若存在使得，则．
即证，即证，
令，，则，
，，
，，
，
，
……
，，
，
反推可得到，，…，，命题得证.
又，则，即.
综上所述：. …………………17分