山东省淄博市2025-2026学年上学期期末高三数学试卷（含答案）

2025-2026学年度第一学期高三摸底质量检测
数 学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2. 回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集，集合，，则
A. 　　　 B. 　　　
C. 　　 D.
2.已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则
A. 　　　 B. 　　　
C. 　　　 D.
3.已知向量，，则“”是“”的
A. 充分不必要条件　　　　　　 B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　　　　　　　　 D. 既不充分也不必要条件
4.将5名志愿者分配到两项公益活动，每名志愿者只分配到一项公益活动，每项公益活动至少分配2名志愿者，则不同的分配方案共有
A.10种　　　 B.25种　　　 C.20种　　　 D.40种
5.若随机变量，且，则的最大值为
A.9　　　　 B. 　　　
C.24　　　　 D.27
6.若函数的图象向右平移个单位长度后关于点对称，则的值为
A. 　　　　 B.1　　　　　
C. 　　　　 D.2
7. 已知，，（且），则
A. B.
C. D.
8. 设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全的得部分分，有选错的得0分。
9. 下列命题正确的有
A. 的展开式的各二项式系数的和为1
B. 已知随机事件和，若，，，则和相互独立
C. 若随机变量，则
D. 数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3
10. 已知公差为的等差数列的前项和为，且满足，令，数列的前项和为，则下列说法正确的是
A.
B. 使得成立的的最小值为4050
C.
D.
11.已知等腰，，取，中点，，将沿翻折至，使得，为正三角形，若底面，，，则下列说法正确的是
A. 四棱锥存在外接球
B.
C.
D. 四棱锥的体积为
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若曲线在点处的切线斜率为，则点的坐标是______．
13.已知函数，若，则的取值范围是______．
14.若函数在区间上有最大值无最小值，则实数的取值范围是______．
四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知的内角，，的对边分别为，，，，．
（1） 求角的大小；
（2） 若边上的中线长为，求的面积．
16.记为数列的前项和，已知，，．
（1） 证明数列是等比数列；
（2） 求数列的前项和．
17.如图，四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段与上（不含端点），且，。
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）若平面，求的最小值.
18.由个小正方形构成的长方形网格有行和列，每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止.
（1）第一行中的个小球颜色互不相同，其余行都由这个小球以不同的顺序组成，如果要使任意两行的顺序都不相同，求的最大值；
（2）长方形网格中只放白球或黑球，每个小正方形内放白球的概率为，放黑球的概率为，。
（i）若，，，记在每列都有黑球的条件下，含白球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望；
（ii）设事件“不是每一列都有黑球”，求，并证明：。
19.已知函数。
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若函数有个零点，，，且。
（i）求的取值范围；
（ii）证明：。
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数学参考答案
1-5、A、BBA
9、BC 10、ACD 11、ABD
12、 13、 14、
15、解：（1）法一：由正弦定理，，
所以，…………………………………………………2分
由余弦定理得，……………………………3分
所以，
即，…………………………………………………5分
又，所以…………………………………………………6分
法二：由正弦定理，
即，
所以，…………………………………………………2分
由余弦定理得，……………………………3分
所以，
即，…………………………………………………5分
又，所以…………………………………………………6分
（2）法一：，……………………………7分
则………………………………………9分
由余弦定理，
所以，……………………………………11分
……………………………………13分
法二：
在中，由余弦定理得，……………7分
在中，由余弦定理得，……………8分
所以
所以……………………………………9分
由余弦定理，
所以，……………………………………11分
……………………………………13分
法三：在中，由余弦定理得，……………7分
在中，由余弦定理得，……………8分
所以
所以……………9分
由余弦定理，
所以，……………11分
S ABC=12absinC=3 13分
16、（1） ①
②
①-②得，
即an+1=2an+1(n≥2) 2分
∴an+1+1=2(an+1)(n≥2) 4分
又， .......5分（两式出现其中一个就给1分）
即{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列 6分
（2）由（1）得an+1=2·2n-1=2n ∴an=2n-1 7分
∴n·(2-bn)=n2n-1 9分
分
分
分
分
分
17、（1）法一：以为原点，、、所在方向分别为轴、轴、轴正方向
建立空间直角坐标系.
则，，，，
分
易知平面的一个法向量为分
，分
又面
面分
法二：过作交于，则，且
所以
所以四边形 为平行四边形……………2分
……………3分
， ………………4分
………………5分
法三：过 作 交 于 ，
，
……………………………1分
因为 ，
所以四边形 为平行四边形
……………2分
又 ……………3分
……………4分
……………5分
（2）法一：以 为原点，、、 所在方向分别为 轴、 轴、 轴正方向建立空间直角坐标系，则
，，，， ………………6分（有建系和某点的坐标就给1分）
易知平面 的一个法向量为 ………………7分
， 设面的一个法向量为
即
令 得 ………………9分
设平面与平面夹角为
，……10分
所以平面与平面夹角的余弦值为 ………………11分
法二：延长，交于点，连接
则为面与面的交线.……………7分
面
在面内过作，连接
则即为面与面的夹角，记为……………9分
在中，
即面MAD与面MBC夹角的余弦值为147 11分
（3）设，
　　由，
得
E(21+λ,0,2λ1+λ)，N(0,0,2μ1+μ) 13分（一个坐标给1分）
面
即
整理得 3λ-2μ+1=0 14分　　即μ=1+3λ2
，，
（当且仅当，时取“”）
15分（取等条件不验证不扣分）
18、解：（1）n个小球可组成n!种不同的排列顺序，如果要使任意两行的顺序都不相同，m的最大值为n! 3分
　（2）（i）ξ的取值可能为0，1，2 4分
设“含白球的行数为”　“每列都有黑球”
P(ξ=0)=P(A0|B)=P(A0B)P(B)=2341-1322=14 6分
P(ξ=1)=P(A1|B)=P(A1B)P(B)=C21·132·232+C41·13·2331-1322=58 8分
P(ξ=2)=P(A2|B)=P(A2B)P(B)=C21·13·2321-1322=18 10分
的分布列为
0 1 2
E(ξ)=0·14+1·58+2·18=78 12分
（1）“不是每一列都有黑球” “每一列都有黑球”
P(A )=(1-pm)n ∴P(A)=1-(1-pm)n 14分
不是每一列都至有黑球，即存在一列全是白球
记 “每一行都有白球” 则 ........16分
即
∴(1-pm)n+(1-qn)m≥1 17分
19、（1）当 a=1 时 f(x)=ex-x2，定义域为 R， 1分
f'(x)=ex-2x，f''(x)=ex-2 2分（有一个式子就给1分）
令 ，得
所以在上递减，在上递增分
所以即
所以在上单调递增分
（2）（i）函数有个零点等价于有三个根
等价于有三个根，等价于当与有三个交点，分
分
减 增 减
分
，由洛必达法则知
所以的取值范围为分
（ii）先证对数均值不等式
由（i）知，令
则，
等价于，
等价于，，
令，
，
在上递减，
故………………13分
由（i）知，，
满足，由②③可得，
两式作差可得，
则由对数均值不等式可得，
则………………14分
故要证，
即证，只需证，
即证，又因为，，则，………15分
所以，故只需证，
设函数，，则，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
故，即。
而由，
可知成立，故命题得证.………………17分