第3讲 力与曲线运动
1.（2025·河南漯河模拟）漯河红枫广场无人机灯光表演给广大市民带来了科技的惊艳，同时也很好的烘托了节日的氛围并给漯河的文化、经济等做了极大的宣传。在一次无人机表演中，若分别以水平向右、竖直向上为x轴、y轴的正方向，某架参演的无人机在x、y方向的v-t图像分别如图甲、乙所示，则在0～t2时间内，该无人机的运动轨迹为（ ）
2.如图所示，有一半径为r的圆环在一水平地面上向右运动，且其圆心速度大小为v。现有一木板，左端固定于地面之上，同时还搭于圆环之上，且木板与地面所成锐角为θ。则木板转动的角速度ω为（ ）
A.cos θtan B.sin θtan
C.costan θ D.cos θtan θ
3.（2024·西藏拉萨一模）投壶是中国传统的宴饮游戏。如图，甲、乙两人在同一高度沿水平方向各投出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为53°和37°；若两支箭质量相同，不计空气阻力、箭长、壶口大小等因素的影响，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则甲、乙两人投出的箭入壶时的速度之比为（ ）
A.4∶3 B.3∶4 C.5∶3 D.3∶5
4.（2025·四川达州二模）2025年春节联欢晚会上最大的亮点莫过于机器人和真人一起跳舞，也标志中国的人形机器人处于国际领先水平。如图为机器人在竖直平面上转动手帕的情景，已知手帕直径约为40 cm。要想把该手帕在竖直平面内以帕中心为转轴转动起来，重力加速度g取10 m/s2，则需提供的最小转速约为（ ）
A.0.61 r/s B.0.79 r/s
C.1.12 r/s D.2.50 r/s
5.〔多选〕（2025·山东高考10题）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心、半径R1＝5 m的圆形区域，OO'垂直地面，无人机在离地面高度H＝20 m的空中绕O'点、平行地面做半径R2＝3 m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO'B＝90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g＝10 m/s2。下列说法正确的是（ ）
A.ωmax＝ rad/s
B.ωmax＝ rad/s
C.无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地
D.无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地
6.〔多选〕（2025·广东深圳一模）一根轻质细线一端系一可视为质点的小球，细线另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图1所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力T随ω2变化的图像如图2所示（图中数值单位均为国际单位），g取10 m/s2。下列说法正确的是（ ）
A.细线的长度为1 m
B.细线的长度为0.5 m
C.小球的质量为2 kg
D.小球的质量为3 kg
7.〔多选〕（2025·河南洛阳联考）如图所示，一跳台滑雪运动员（视为质点）自雪道M处自由滑下，在O处腾空时速度与水平方向的夹角为30°，落在倾角为30°的斜坡上的Q点（未画出）。运动员在空中P点（未画出）离斜坡最远，最远距离为 m。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则（ ）
A.运动员在P点的速度大小为10 m/s
B.运动员腾空0.5 s后到达轨迹最高点
C.落点Q距离O点10 m
D.最高点与Q点的高度差为11.25 m
8.〔多选〕（2025·陕西咸阳联考）进入冬季后，北方的冰雪运动吸引了许多南方游客。如图为雪地转转游戏及其示意图，人乘坐雪圈（人和雪圈总质量为60 kg，大小忽略不计）绕轴以2 rad/s的角速度在水平雪地上匀速转动，已知水平杆长为3 m，离地高为3 m，绳长为5 m，且绳与水平杆垂直。则雪圈（含人）（ ）
A.所受的合外力为零
B.所受绳子的拉力指向圆周运动的圆心
C.线速度大小为10 m/s
D.所受向心力大小为1 200 N
9.（2025·山东济南一模）如图所示，弹珠发射器（可视为质点）固定于足够高的支架顶端，支架沿着与竖直墙壁平行的方向以速度v1水平运动，同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对发射器速度大小为v2（v2＞v1）的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x，竖直方向位移为y。已知发射器到墙壁的垂直距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A.x的最小值为L
B.x的最小值为L
C.y的最小值为
D.y的最小值为
10.如图所示的是跳台滑雪轨道简化模型，AB段光滑曲面为加速滑道，BCD段圆弧滑道为半径r＝16 m的姿态调整滑道，左侧与AB段平滑连接，右侧与水平跳台DE连接，EF段为倾角30°的速降斜坡。质量为60 kg的滑雪运动员从加速滑道滑下后到达圆弧轨道的最低点C点时的速度大小v1＝20 m/s，经过D点时的速度大小为v2＝15 m/s，运动员整个运动过程的最高点P恰好在E点的正上方h＝7.2 m处，最后落在斜坡上的Q点。已知重力加速度为10 m/s2，不计空气阻力，速降斜坡足够长，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
（1）运动员在C点时受到圆弧轨道的弹力；
（2）水平平台DE的长度；
（3）经过P点之后，运动员距斜坡的最远距离（结果用根式表示）。
11.（2025·河北沧州一模）如图所示，一小学生站在圆形水泥管道最低点，以水平速度v0将一个质量为m的小足球踢出，球沿管道内壁在同一个竖直面内运动两圈多后在某一位置脱离管道，掉入小学生的背包里（背包口正好在管道圆心处）。已知管道半径为R，重力加速度为g，不计空气阻力，小足球可以看作质点。求：
（1）足球脱离管道的位置和圆心的连线与水平方向夹角θ的正切值；
（2）从足球被踢出到球脱离管道，管道对足球做的功Wf。
12.高楼灭火演习时，消防水枪喷口不能到达着火窗口等高处，消防员调整水枪出水角度，如图所示，使水流恰能水平射入着火窗口，水枪喷口与着火窗口高度差为h，重力加速度为g，不计空气阻力，由已知条件判断下列说法正确的是（ ）
A.可求出水枪喷口处出水的速度大小
B.可求出从水枪喷口到着火窗口前水柱的总体积
C.水柱在空中各处的粗细程度相同
D.水枪沿垂直于墙壁的方向由A向B水平移动，且水枪喷口处出水的速度大小不变，无论怎样调整水枪喷水方向，水流都不能水平射入着火窗口
第3讲 力与曲线运动
1.A 由图可知，在0～t1时间内无人机竖直方向做匀速直线运动，水平方向向右做匀减速直线运动，可知在0～t1时间内无人机受到的合外力方向水平向左，根据合外力指向运动轨迹凹侧，可知0～t1时间内无人机运动的轨迹向左弯曲；在t1～t2时间内无人机竖直方向向上做匀减速直线运动，水平方向做匀速直线运动，可知在t1～t2时间内无人机的合外力竖直向下，根据合外力指向运动轨迹凹侧，可知在t1～t2时间内无人机运动的轨迹向下弯曲。故选A。
2.B 设圆环与木板的接触点为P，圆心为O，角的顶点为A，连接AO，A、P之间的距离为x，将圆心的速度分解为板的速度和圆环上P点的速度，如图所示。由几何关系有tan＝，由运动的合成与分解有v板＝vsin θ，板的角速度为ω＝，解得ω＝sin θ tan，故B正确。
3.B 甲、乙两人在同一高度将箭抛出，根据竖直方向的分运动为自由落体运动，有＝2gh，可知两支箭入壶时竖直方向的分速度大小相等，由速度的矢量三角形可知v甲＝，v乙＝，解得v甲∶v乙＝3∶4，故选B。
4.C 选取手帕边缘的一个质量为m的质点为研究对象，要想经过最高点则需满足mg＝m（2πn）2，解得n＝＝× r/s＝1.12 r/s，故选C。
5.BC 物品从抛出到落地的过程做平抛运动，当其恰好落在目标区域内时，物品的水平位移示意图如图所示，由几何关系有xm＝＝4 m，此时物品的初速度最大，水平方向上有xm＝vmt，竖直方向上有H＝gt2，联立解得物品的最大初速度（无人机的最大线速度）为vm＝2 m/s，所以无人机的最大角速度ωmax＝＝ rad/s，A错误，B正确；由A、B项分析可知，物品释放后在空中运动的时间为t＝2 s，该过程无人机转过的角度θ＝ωmaxt＝＜，所以无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，C正确，D错误。
6.BC 设线长为L，锥体母线与竖直方向的夹角为θ，当ω＝0时，绳子的张力T＝mgcos θ，当圆锥对小球的支持力为0时，角速度ω' 2＝25（rad/s）2，此时T'cos θ＝mg，T'sin θ＝mLsin θ·ω' 2，代入图中数据解得m＝2 kg，L＝0.5 m，故选B、C。
7.ABD 运动员在空中P点离斜坡最远时，速度与斜面平行，且最远距离为s＝ m，根据s＝，解得v0＝10 m/s，则从起跳到P点用时t＝＝1 s，则在P点速度vP＝v0cos 60°＋gsin 30°·t＝10 m/s，故A正确；运动员腾空后到达轨迹最高点时间t0＝＝0.5 s，故B正确；落点Q距离O点L＝v0cos 60°×2t＋×gsin 30°×（2t）2＝20 m，故C错误；最高点与Q点的高度差为Δh＝＋Lsin 30°，联立解得Δh＝11.25 m，故D正确。
8.CD 雪圈（含人）绕转轴做匀速圆周运动，则其所受的合外力不为零且指向圆心，可知绳子的拉力不是指向圆周运动的圆心，选项A、B错误；雪圈（含人）绕转轴做匀速圆周运动的半径为r＝m＝5 m，线速度大小为v＝ωr＝10 m/s，选项C正确；所受向心力大小为F＝mω2r＝60×22×5 N＝1 200 N，选项D正确。
9.C 弹珠在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，当v2垂直竖直墙壁射出时，弹珠运动时间最短tmin＝，y的最小值为ymin＝g＝，故C正确，D错误；由于v2＞v1，则弹珠水平方向的合速度可以垂直竖直墙壁，合速度大小为v＝，此时x的最小值为L，故A、B错误。
10.（1）2 100 N，方向竖直向上 （2）10.8 m
（3） m
解析：（1）在C点，对运动员，由牛顿第二定律有FN－mg＝
解得FN＝2 100 N
即运动员在C点时受到圆弧轨道的弹力大小为2 100 N，方向竖直向上。
（2）设运动员在由D点飞出时速度与水平方向成α角，从D点运动到P点的过程中，竖直方向有（v2sin α）2＝2gh，v2sin α＝gt1
水平方向有xDE＝v2t1cos α
解得α＝53°，xDE＝10.8 m。
（3）运动到P点的速度vP＝v2cos α
对其垂直于斜坡方向分解vy＝vPsin θ，ay＝gcos θ
当垂直于斜坡方向上的速度减为0时，距离斜坡最远，由几何关系可知d＝hcos θ＋H
其中＝2ayH
解得d＝ m。
11.（1） （2）（ 1＋）mgR－m
解析：（1）根据题意，设足球在A处脱离管道，之后做斜抛运动，经过圆心O处，如图
在A处，设足球速度大小为v，由牛顿第二定律有mgsin θ＝m
从A至O的运动过程，设运动时间为t，沿AO方向，有R＝gsin θ·t2
沿垂直AO方向，有t＝
联立解得tan θ＝。
（2）由（1）可得v＝
从足球被踢出到脱离管道，设管道对足球做功为Wf，由动能定理有－mgR（1＋sin θ）＋Wf＝mv2－m
解得Wf＝（ 1＋）mgR－m。
12.D 水柱做斜抛运动，将其逆向等效为平抛运动。若已知水柱在最高点的速度大小为v，则由mgh＝m－mv2，可求出水枪喷水的初速度大小v0＝，因水柱在最高点的速度大小未知，故不能求出水枪喷口处出水的速度大小，选项A错误；水柱在空中不均匀，水柱中的水从喷口到着火窗口的运动时间为t＝，设喷口处水柱的截面面积为S，则从水枪喷出到着火窗口前水柱的总体积为V＝v0St＝v0S，由于喷口处水柱的截面面积和喷口处水流速度未知，故不能求出从水枪喷出到着火窗口前水柱的总体积，选项B错误；水流连续时，相同时间内通过任意截面的水流流量相等，有S1v1Δt＝S2v2Δt，则水流速度大时，水柱的截面面积小，选项C错误；水枪由A向B水平移动时，喷口处出水速度不变，恰好水平入射的水平位移不变，则水流不能水平射入着火窗口，选项D正确。
4 / 4第3讲 力与曲线运动
1.（2025·湖南高考2题）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（ ）
2.（2025·云南高考3题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（ ）
A.两颗鸟食同时抛出
B.在N点接到的鸟食后抛出
C.两颗鸟食平抛的初速度相同
D.在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
3.〔多选〕（2025·广东高考8题）将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°，小球质量为0.1 kg，重力加速度g取10 m/s2。关于该小球，下列说法正确的有（ ）
A.角速度为5 rad/s B.线速度大小为4 m/s
C.向心加速度大小为10 m/s2 D.所受支持力大小为1 N
考情分析：本讲内容在高考中多考查选择题，有时也会考查计算题，考点多渗透在与生产生活实际相联系的问题情景中，常结合牛顿运动定律、功能关系解决相关问题。
考点一 曲线运动 运动的合成与分解
1.合外力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的凹侧。
2.合力方向与速率变化的关系
3.运动的合成与分解：根据运动的实际效果分解。位移、速度、加速度的合成与分解都遵循平行四边形定则。
【例1】 〔多选〕（2025·云南曲靖一模）某质点在一竖直平面内运动，其水平方向的分运动情况和竖直方向的分运动情况分别如图甲、乙所示，初始时刻质点在坐标原点，竖直方向初速度为0，下列说法正确的是（ ）
A.质点的运动轨迹是直线
B.t＝2 s时，质点的合速度方向与水平方向成45°
C.t＝3 s时，质点的合速度大小为 m/s
D.t＝4 s时，质点的合位移大小为16 m
尝试解答
【例2】 如图所示，套在光滑竖直杆上的物体A，通过轻质细绳跨过光滑定滑轮与光滑水平面上的物体B相连接，A、B质量相同。现将A从与B等高处由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度为g，当细绳与竖直杆间的夹角为θ＝60°时，A下落的高度为h，此时物体B的速度大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
尝试解答
规律总结
关联速度的三种模型
绳关联（沿绳子方向的速度相同）
杆关联（沿杆方向的速度相同）
面关联（垂直接触面的速度相同）
考点二 抛体运动
研究抛体运动的常用方法
【例3】 （2025·辽宁沈阳二模）如图，某同学面向竖直墙上固定的靶盘水平投掷可视为质点的小球，不计空气阻力。小球打在靶盘上的得分区即可得到相应的分数。某次，该同学投掷的小球落在10分区最高点，若他想获得更高的分数，在其他条件不变的情况下，下列调整方法可行的是（ ）
A.投掷时球的初速度适当大些
B.投掷时球的初速度适当小些
C.投掷时球的位置向前移动少许
D.投掷时球的位置向上移动少许
尝试解答
【例4】 （2025·辽宁锦州一模）如图所示，甲、乙两人进行击球训练，甲在A处将球以5 m/s的速度水平击出，乙在比A处低1.25 m的B处将球击回，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，若要使球垂直击中乙球拍，则乙接球时球拍与水平方向的夹角应为（ ）
A.45° B.53° C.60° D.75°
尝试解答
方法技巧
落点有限制的平抛运动
分解速度模型
分解位移模型
【例5】 （2025·山东日照一模）某型号农田喷灌机如图所示，喷口出水速度的大小和方向均可调节。该喷灌机的最大喷水速度v＝10 m/s，取重力加速度g＝10 m/s2，π＝3.14，忽略喷头距离地面的高度及空气阻力。则下列判断正确的是（ ）
A.当喷口出水速度方向与水平面夹角θ＝30°时，喷灌的射程最远
B.喷灌的射程最远时，水在空中的运行时间为 s
C.喷灌的射程最远为10 m
D.该喷灌机的最大喷灌面积为157 m2
尝试解答
方法技巧
斜抛运动的一般处理方法
考点三 圆周运动
圆周运动的建模和分析方法
【例6】 （2025·北京石景山一模）如图甲所示，游乐场里有一种空中飞椅游戏，可以将之简化成如图乙所示的结构装置，装置可绕竖直轴匀速转动，绳子与竖直方向夹角为θ，绳子长L，水平杆长L0，小球的质量为m。不计绳子重力和空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A.装置中绳子的拉力为mgtan θ
B.装置转动的角速度为
C.装置转动的周期为2π
D.装置旋转一周，小球的动量变化为0
尝试解答
【例7】 （2025·江苏徐州期末）某公园内有一种可供游客娱乐的转盘，其示意图如图所示，转盘表面倾斜角度为θ。在转盘绕转轴匀速转动时，坐在其表面上的游客随转盘做匀速圆周运动。已知游客质量为m，游客到转轴的距离为R，游客和转盘表面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则在转盘匀速转动过程中（ ）
A.游客一定始终受到盘面的摩擦力
B.盘面对游客的摩擦力始终指向转轴
C.游客在最高点的线速度最小为
D.转盘的最大角速度为
尝试解答
方法技巧
斜面上圆周运动临界问题的处理技巧
倾斜转盘上的物体 动力学方程 临界情况
最高点：mgsin θ±Ff＝mω2r 最低点Ff－mgsin θ＝mω2r 恰好通过最低点Ff＝μmgcos θ
【例8】 （2025·山东潍坊联考）随着人们生活水平的提高，越来越多的人喜欢在家里或办公室摆放一些小玩具。图甲为一“永动摆件”玩具，可简化为图乙所示的示意图，其中ABCD为金属轨道，AB段竖直，BCD段为半径r＝5 cm的圆弧。按下开关，弹射装置将质量m＝30 g的小球从圆形平台中心洞口O竖直向下弹出，小球沿轨道运动至D点斜向上飞出，恰好落到平台最左端E点。已知圆形平台边缘半径R＝3 cm，轨道最低点C与平台上表面的距离h＝12 cm，不计金属轨道摩擦与空气阻力，重力加速度大小g＝10 m/s2，半径O'D与水平方向夹角为37°，sin 37°＝0.6。求：
（1）小球从D点飞出时的速度大小vD；
（2）小球运动到C点时，小球对轨道压力的大小F。
尝试解答
“降维法”巧解三维空间中的抛体运动问题
模型建构 基本规律
建构长方体模型，画出立体图形 水平位移sx＝（面对角线），合位移s合＝（体对角线），初速度大小v0＝s＝，初速度与水平方向夹角正切值tan θ＝，末速度v＝＝
总结：解决三维空间抛体问题，一般是将三维空间问题转化为二维平面问题，若是斜抛运动（最高点竖直方向速度为零），采用分段法结合逆向思维，将斜抛运动转化为平抛运动
【典例】 （2025·河北沧州二模）如图所示，倾角为37°的斜面固定在水平面内，斜面顶端AA'的离地高度h＝6 m，在斜面底端BB'固定有竖直的足够大的挡板。现在AA'的中点O斜向上以不同速率抛出一小球，小球抛出时的速度方向与水平面间的夹角为45°，且速率的最大值为10 m/s。已知重力加速度为10 m/s2，忽略空气阻力的影响，则小球直接落在挡板上与A点等高的可能落点构成线段的长度为（ ）
A.6 m B.8 m
C.10 m D.12 m
尝试解答
方法技巧
“降维法”常见两大视角
正视 视角垂直于轨迹平面，一般在求“点对点”位移、速度偏角、末速度与水平面夹角等物理量时较方便
俯视 视角从上向下，一般在求水平位移时使用，如求物体从圆盘抛出、雨滴从雨伞边沿滑落等，求落点到圆心的水平距离时都可以从该视角分析
第3讲 力与曲线运动
【体验·高考真题】
1.C 设斜面倾角为θ，物块的初速度为v0，加速度大小为a，则水平方向上，由速度与位移公式有（v0cos θ）2－＝2axcos θ，变形得vx＝，则vx-x图像是抛物线的一部分，A、B错误；同理竖直方向上有（v0sin θ）2－＝2aysin θ，变形得vy＝，则vy-y图像是抛物线的一部分，C正确，D错误。
2.D 竖直方向由h＝gt2可知tN＞tM，由于两只小鸟同时接到鸟食，可知在N点接到的鸟食先抛出，A、B错；在下落相同高度时，M的水平位移大，则初速度大，D正确，C错误。
3.AC 小球在水平面内做匀速圆周运动，受力如图所示，由Fn＝mgtan θ＝mω2R＝m＝man，得：ω＝5 rad/s，v＝2 m/s，an＝10 m/s2，则A、C正确，B错误；由FNcos θ＝mg得FN＝N，D错误。
【精研·高频考点】
考点一
典例精析
【例1】 BC 由于质点水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，质点速度方向和受力方向不在同一直线上，物体做曲线运动，A错误；t＝2 s时，质点竖直方向上的速度vy＝at＝2 m/s，质点的合速度方向与水平方向的夹角tan θ＝＝1，质点的合速度方向与水平方向成45°，B正确；t＝3 s时，竖直方向上的速度vy＝at＝3 m/s，质点合速度的大小为v＝＝ m/s，C正确；t＝4 s时，质点水平方向位移为x＝vxt＝8 m，质点竖直方向上的位移y＝at2＝8 m，故质点的合位移大小为s＝＝8 m，D错误。
【例2】 A 设物体A下落高度为h时，物体A的速度大小为vA，物体B的速度大小为vB，此时有vA＝＝2vB，物体A、B组成的系统机械能守恒，则有mgh＝m＋m，联立方程解得vB＝，故选A。
考点二
典例精析
【例3】 B 小球在空中做平抛运动，根据平抛运动规律有h＝gt2，x＝v0t，联立可得h＝；某次，该同学投掷的小球落在10分区最高点，若他想获得更高的分数，应使小球打在靶盘上的位置向下移动；在其他条件不变的情况下，投掷时球的初速度适当小些、投掷时球的位置向后移动少许、投掷时球的位置向下移动少许。故选B。
【例4】 A 球在空中做平抛运动，运动时间为t＝＝ s＝0.5 s，则球击中球拍时竖直方向的速度大小为vy＝gt＝10×0.5 m/s＝5 m/s，若要使球垂直击中乙球拍，则乙接球时球拍与水平方向的夹角的正切值应为tan θ＝＝＝1，则θ＝45°，故选A。
【例5】 C 水流做斜抛运动，则有x＝vcos θ·t，－vsin θ＝vsin θ－gt，解得x＝，可知，当喷口出水速度方向与水平面夹角θ＝45°时，喷灌的射程最远，故A错误；结合上述分析可知，当喷口出水速度方向与水平面夹角θ＝45°时，喷灌的射程最远，此时水在空中的运行时间为t＝＝＝ s，故B错误；结合上述分析可知，喷灌的射程最远为xmax＝＝10 m，故C正确；结合上述分析可知，该喷灌机的最大喷灌面积S＝π，结合上述分析解得S＝314 m2，故D错误。
考点三
典例精析
【例6】 D 对小球受力分析如图所示，小球受到重力和绳子的拉力作用，重力和绳子的拉力的合力提供向心力，则Tcos θ＝mg，解得T＝，故A错误；由牛顿第二定律mgtan θ＝mRω2，其中圆周运动的半径为R＝L·sin θ＋L0，联立解得装置转动的角速度为ω＝，装置转动的周期为T＝＝2π，故B、C错误；装置做匀速圆周运动，装置旋转一周，速度变化量为零，所以小球的动量变化为0，故D正确。
【例7】 D 游客处于最高点时，如果重力沿转盘表面方向的分力刚好提供向心力，则此时游客受到盘面的摩擦力为0，故A错误；游客处于最高点时，如果重力沿转盘表面方向的分力刚好提供向心力，则有mgsin θ＝m，解得v＝，若重力沿转盘表面方向的分力大于所需的向心力，则盘面对游客的摩擦力背向转轴，此时游客在最高点的线速度小于，故B、C错误；在最低点时，根据牛顿第二定律可得f－mgsin θ＝mω2R，又f≤μN＝μmgcos θ，联立可得ω≤，则转盘的最大角速度为，故D正确。
【例8】 （1） m/s （2）2.26 N
解析：（1）小球由D点运动至E点过程中做斜上抛运动，水平方向和竖直方向分别有
vDsin 37°·t＝R＋r＋rcos 37°
vDcos 37°·t－gt2＝h－r－rsin 37°
两式联立，解得vD＝ m/s。
（2）小球由C点运动至D点过程中，根据动能定理有
－mgr（1＋sin 37°）＝m－m
小球经过C点时，有F'－mg＝m
两式联立，求得F'＝2.26 N
根据牛顿第三定律，可知小球对轨道压力的大小F＝F'＝2.26 N。
【培优·提能加餐】
【典例】 D 小球做斜抛运动，运动时间t＝，水平分位移x＝v0tcos 45°＝，则xm＝＝10 m，A点到挡板的距离x0＝h＝8 m，则挡板上与A点等高的可能落点构成的线段长度d＝2＝12 m，故选D。
6 / 7(共72张PPT)
第3讲 力与曲线运动
02
体验 高考真题
01
构建 知识网络
锁定主干知识
明确高考考向
03
精研 高频考点
聚焦重难热新
04
培优 提能加餐
拓展思维空间
05
分层 强化训练
夯基固本提能
目
录
contents
构建 知识网络
锁定主干知识
体验 高考真题
明确高考考向
1. （2025·湖南高考2题）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑
斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、
vx、vy表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（ ）
√
解析： 设斜面倾角为θ，物块的初速度为v0，加速度大小为a，则水平方
向上，由速度与位移公式有（v0cos θ）2－＝2axcos θ，变形得vx＝
，则vx-x图像是抛物线的一部分，A、B错误；同理竖
直方向上有（v0sin θ）2－＝2aysin θ，变形得vy＝
，则vy-y图像是抛物线的一部分，C正确，D错误。
2. （2025·云南高考3题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，
两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运
动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（ ）
A. 两颗鸟食同时抛出
B. 在N点接到的鸟食后抛出
C. 两颗鸟食平抛的初速度相同
D. 在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
√
解析： 竖直方向由h＝gt2可知tN＞tM，由于两只小鸟同时接到鸟食，可
知在N点接到的鸟食先抛出，A、B错；在下落相同高度时，M的水平位移
大，则初速度大，D正确，C错误。
3. 〔多选〕（2025·广东高考8题）将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推
出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R
为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°，小球质量为0.1
kg，重力加速度g取10 m/s2。关于该小球，下列说法正确的有（ ）
A. 角速度为5 rad/s
B. 线速度大小为4 m/s
C. 向心加速度大小为10 m/s2
D. 所受支持力大小为1 N
√
√
解析： 小球在水平面内做匀速圆周运动，受力如图所
示，由Fn＝mgtan θ＝mω2R＝m＝man，得：ω＝5 rad/s，v＝
2 m/s，an＝10 m/s2，则A、C正确，B错误；由FNcos θ＝mg得
FN＝N，D错误。
考情分析：本讲内容在高考中多考查选择题，有时也会考查计算题，考点
多渗透在与生产生活实际相联系的问题情景中，常结合牛顿运动定律、功
能关系解决相关问题。
精研 高频考点
聚焦重难热新
考点一 曲线运动 运动的合成与分解
1. 合外力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向
与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的凹侧。
2. 合力方向与速率变化的关系
3. 运动的合成与分解：根据运动的实际效果分解。位移、速度、加速度的
合成与分解都遵循平行四边形定则。
【例1】 〔多选〕（2025·云南曲靖一模）某质点在一竖直平面内运动，
其水平方向的分运动情况和竖直方向的分运动情况分别如图甲、乙所示，
初始时刻质点在坐标原点，竖直方向初速度为0，下列说法正确的是
（ BC ）
BC
A. 质点的运动轨迹是直线
B. t＝2 s时，质点的合速度方向与水平
方向成45°
D. t＝4 s时，质点的合位移大小为16 m
解析：由于质点水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，
质点速度方向和受力方向不在同一直线上，物体做曲线运动，A错误；t＝
2 s时，质点竖直方向上的速度vy＝at＝2 m/s，质点的合速度方向与水平方
向的夹角tan θ＝＝1，质点的合速度方向与水平方向成45°，B正确；t＝
3 s时，竖直方向上的速度vy＝at＝3 m/s，质点合速度的大小为v＝
＝ m/s，C正确；t＝4 s时，质点水平方向位移为x＝vxt＝8
m，质点竖直方向上的位移y＝at2＝8 m，故质点的合位移大小为s＝
＝8 m，D错误。
【例2】 如图所示，套在光滑竖直杆上的物体A，通过轻质细绳跨过光滑
定滑轮与光滑水平面上的物体B相连接，A、B质量相同。现将A从与B等高
处由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度为g，当细绳与竖直杆间的夹
角为θ＝60°时，A下落的高度为h，此时物体B的速度大小为（ A ）
A
解析：设物体A下落高度为h时，物体A的速度大小为vA，物体B的速度大小
为vB，此时有vA＝＝2vB，物体A、B组成的系统机械能守恒，则有
mgh＝m＋m，联立方程解得vB＝，故选A。
规律总结
关联速度的三种模型
绳关联（沿绳子方向的速度
相同）
杆关联 （沿杆方向的速度相同）
面关联（垂直接触面的速度
相同）
考点二 抛体运动
研究抛体运动的常用方法
【例3】 （2025·辽宁沈阳二模）如图，某同学面向竖直墙上固定的靶盘
水平投掷可视为质点的小球，不计空气阻力。小球打在靶盘上的得分区即
可得到相应的分数。某次，该同学投掷的小球落在10分区最高点，若他想
获得更高的分数，在其他条件不变的情况下，下列调整方法可行的是
（ B ）
B
A. 投掷时球的初速度适当大些
B. 投掷时球的初速度适当小些
C. 投掷时球的位置向前移动少许
D. 投掷时球的位置向上移动少许
解析：小球在空中做平抛运动，根据平抛运动规律有h＝gt2，x＝v0t，联
立可得h＝；某次，该同学投掷的小球落在10分区最高点，若他想获得
更高的分数，应使小球打在靶盘上的位置向下移动；在其他条件不变的情
况下，投掷时球的初速度适当小些、投掷时球的位置向后移动少许、投掷
时球的位置向下移动少许。故选B。
【例4】 （2025·辽宁锦州一模）如图所示，甲、乙两人进行击球训练，
甲在A处将球以5 m/s的速度水平击出，乙在比A处低1.25 m的B处将球击
回，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，若要使球垂直击中乙球拍，
则乙接球时球拍与水平方向的夹角应为（ A ）
A. 45° B. 53°
C. 60° D. 75°
A
解析：球在空中做平抛运动，运动时间为t＝＝ s＝0.5 s，则球
击中球拍时竖直方向的速度大小为vy＝gt＝10×0.5 m/s＝5 m/s，若要使球
垂直击中乙球拍，则乙接球时球拍与水平方向的夹角的正切值应为tan θ＝
＝＝1，则θ＝45°，故选A。
方法技巧
落点有限制的平抛运动
分解速度 模型
分解位移 模型
【例5】 （2025·山东日照一模）某型号农田喷灌机如图所示，喷口出水
速度的大小和方向均可调节。该喷灌机的最大喷水速度v＝10 m/s，取重力
加速度g＝10 m/s2，π＝3.14，忽略喷头距离地面的高度及空气阻力。则下
列判断正确的是（ C ）
C
A. 当喷口出水速度方向与水平面夹角θ＝30°时，喷灌的射程最远
C. 喷灌的射程最远为10 m
D. 该喷灌机的最大喷灌面积为157 m2
解析：水流做斜抛运动，则有x＝vcos θ·t，－vsin θ＝vsin θ－gt，解得x＝
，可知，当喷口出水速度方向与水平面夹角θ＝45°时，喷灌的射程
最远，故A错误；结合上述分析可知，当喷口出水速度方向与水平面夹角θ
＝45°时，喷灌的射程最远，此时水在空中的运行时间为t＝＝＝
s，故B错误；结合上述分析可知，喷灌的射程最远为xmax＝＝
10 m，故C正确；结合上述分析可知，该喷灌机的最大喷灌面积S＝
π，结合上述分析解得S＝314 m2，故D错误。
方法技巧
斜抛运动的一般处理方法
考点三 圆周运动
圆周运动的建模和分析方法
【例6】 （2025·北京石景山一模）如图甲所示，游乐场里有一种空中飞
椅游戏，可以将之简化成如图乙所示的结构装置，装置可绕竖直轴匀速转
动，绳子与竖直方向夹角为θ，绳子长L，水平杆长L0，小球的质量为m。
不计绳子重力和空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ D ）
D
A. 装置中绳子的拉力为mgtan θ
D. 装置旋转一周，小球的动量变化为0
解析：对小球受力分析如图所示，小球受到重力和绳子的拉力作用，
重力和绳子的拉力的合力提供向心力，则Tcos θ＝mg，解得T＝，
故A错误；由牛顿第二定律mgtan θ＝mRω2，其中圆周运动的半径为R
＝L·sin θ＋L0，联立解得装置转动的角速度为ω＝，装置转动的周期为T＝＝2π，故B、C错误；装置做匀速圆周运动，装置旋转一周，速度变化量为零，所以小球的动量变化为0，故D正确。
【例7】 （2025·江苏徐州期末）某公园内有一种可供游客娱乐的转盘，
其示意图如图所示，转盘表面倾斜角度为θ。在转盘绕转轴匀速转动时，
坐在其表面上的游客随转盘做匀速圆周运动。已知游客质量为m，游客到
转轴的距离为R，游客和转盘表面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为
g，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则在转盘匀速转动过程中（ D ）
D
A. 游客一定始终受到盘面的摩擦力
B. 盘面对游客的摩擦力始终指向转轴
解析：游客处于最高点时，如果重力沿转盘表面方向的分力刚好提供向心
力，则此时游客受到盘面的摩擦力为0，故A错误；游客处于最高点时，如
果重力沿转盘表面方向的分力刚好提供向心力，则有mgsin θ＝m，解得v
＝，若重力沿转盘表面方向的分力大于所需的向心力，则盘面对
游客的摩擦力背向转轴，此时游客在最高点的线速度小于，故
B、C错误；在最低点时，根据牛顿第二定律可得f－mgsin θ＝mω2R，又
f≤μN＝μmgcos θ，联立可得ω≤，则转盘的最大角速度为
，故D正确。
方法技巧
斜面上圆周运动临界问题的处理技巧
倾斜转盘上 的物体 动力学方程 临界情况
最高点：mgsin θ±Ff
＝mω2r 最低点Ff－mgsin θ＝
mω2r 恰好通过最低点Ff＝μmgcos θ
【例8】 （2025·山东潍坊联考）随着人们生活水平的提高，越来越多的
人喜欢在家里或办公室摆放一些小玩具。图甲为一“永动摆件”玩具，可
简化为图乙所示的示意图，其中ABCD为金属轨道，AB段竖直，BCD段为
半径r＝5 cm的圆弧。按下开关，弹射装置将质量m＝30 g的小球从圆形平
台中心洞口O竖直向下弹出，小球沿轨道运动至D点斜向上飞出，恰好落到
平台最左端E点。已知圆形平台边缘半径R＝3 cm，轨道最低点C与平台上
表面的距离h＝12 cm，不计金属轨道摩擦与空气阻力，重力加速度大小g
＝10 m/s2，半径O'D与水平方向夹角为37°，sin 37°＝0.6。求：
（1）小球从D点飞出时的速度大小vD；
答案： m/s
解析： 小球由D点运动至E点过程中做斜上抛运动，水平方向和竖直
方向分别有
vDsin 37°·t＝R＋r＋rcos 37°
vDcos 37°·t－gt2＝h－r－rsin 37°
两式联立，解得vD＝ m/s。
（2）小球运动到C点时，小球对轨道压力的大小F。
答案： 2.26 N
解析：小球由C点运动至D点过程中，根据动能定理有－mgr（1＋sin 37°）
＝m－m
小球经过C点时，有F'－mg＝m
两式联立，求得F'＝2.26 N
根据牛顿第三定律，可知小球对轨道压力的大小F＝F'＝2.26 N。
培优 提能加餐
拓展思维空间
“降维法”巧解三维空间中的抛体运动问题
模型建构 基本规律
建构长方体模型，
画出立体图形
模型建构 基本规律
总结：解决三维空间抛体问题，一般是将三维空间问题转化为二维平面
问题，若是斜抛运动（最高点竖直方向速度为零），采用分段法结合逆
向思维，将斜抛运动转化为平抛运动 【典例】 （2025·河北沧州二模）如图所示，倾角为37°的斜面固定在水
平面内，斜面顶端AA'的离地高度h＝6 m，在斜面底端BB'固定有竖直的足
够大的挡板。现在AA'的中点O斜向上以不同速率抛出一小球，小球抛出时
的速度方向与水平面间的夹角为45°，且速率的最大值为10 m/s。已知重
力加速度为10 m/s2，忽略空气阻力的影响，则小球直接落在挡板上与A点
等高的可能落点构成线段的长度为（ D ）
D
A. 6 m
B. 8 m
C. 10 m
D. 12 m
解析：小球做斜抛运动，运动时间t＝，水平分位移x＝v0tcos 45°＝，则xm＝＝10 m，A点到挡板的距离x0＝h＝8 m，则挡板上与A点等高的可能落点构成的线段长度d＝2＝12 m，故选D。
方法技巧
“降维法”常见两大视角
正视 视角垂直于轨迹平面，一般在求“点对点”位移、速度偏角、末
速度与水平面夹角等物理量时较方便
俯视 视角从上向下，一般在求水平位移时使用，如求物体从圆盘抛
出、雨滴从雨伞边沿滑落等，求落点到圆心的水平距离时都可以
从该视角分析
分层 强化训练
夯基固本提能
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1. （2025·河南漯河模拟）漯河红枫
广场无人机灯光表演给广大市民带
来了科技的惊艳，同时也很好的烘托
了节日的氛围并给漯河的文化、经济等做了极大的宣传。在一次无人机表演中，若分别以水平向右、竖直向上为x轴、y轴的正方向，某架参演的无人机在x、y方向的v-t图像分别如图甲、乙所示，则在0～t2时间内，该无人机的运动轨迹为（ ）
√
解析： 由图可知，在0～t1时间内无人机竖直方向做匀速直线运动，水
平方向向右做匀减速直线运动，可知在0～t1时间内无人机受到的合外力方
向水平向左，根据合外力指向运动轨迹凹侧，可知0～t1时间内无人机运动
的轨迹向左弯曲；在t1～t2时间内无人机竖直方向向上做匀减速直线运动，
水平方向做匀速直线运动，可知在t1～t2时间内无人机的合外力竖直向下，
根据合外力指向运动轨迹凹侧，可知在t1～t2时间内无人机运动的轨迹向下
弯曲。故选A。
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2. 如图所示，有一半径为r的圆环在一水平地面上向右运动，且其圆心速
度大小为v。现有一木板，左端固定于地面之上，同时还搭于圆环之上，且
木板与地面所成锐角为θ。则木板转动的角速度ω为（ ）
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解析： 设圆环与木板的接触点为P，圆心为O，角的顶
点为A，连接AO，A、P之间的距离为x，将圆心的速度分
解为板的速度和圆环上P点的速度，如图所示。由几何关
系有tan＝，由运动的合成与分解有v板＝vsin θ，板的角速度为ω＝，解得ω＝sin θ tan，故B正确。
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3. （2024·西藏拉萨一模）投壶是中国传统的宴饮游戏。如图，甲、乙两
人在同一高度沿水平方向各投出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角
分别为53°和37°；若两支箭质量相同，不计空气阻力、箭长、壶口大小
等因素的影响，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则甲、乙两人投出的箭入
壶时的速度之比为（ ）
A. 4∶3 B. 3∶4
C. 5∶3 D. 3∶5
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解析： 甲、乙两人在同一高度将箭抛出，根据竖直方向的分运动为自
由落体运动，有＝2gh，可知两支箭入壶时竖直方向的分速度大小相
等，由速度的矢量三角形可知v甲＝，v乙＝，解得v甲∶v乙＝
3∶4，故选B。
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4. （2025·四川达州二模）2025年春节联欢晚会上最大的
亮点莫过于机器人和真人一起跳舞，也标志中国的人形机
器人处于国际领先水平。如图为机器人在竖直平面上转动
手帕的情景，已知手帕直径约为40 cm。要想把该手帕在
竖直平面内以帕中心为转轴转动起来，重力加速度g取
10 m/s2，则需提供的最小转速约为（ ）
A. 0.61 r/s B. 0.79 r/s
C. 1.12 r/s D. 2.50 r/s
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解析： 选取手帕边缘的一个质量为m的质点为研究对象，要想经过最高
点则需满足mg＝m（2πn）2，解得n＝＝× r/s＝1.12 r/s，
故选C。
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5. 〔多选〕（2025·山东高考10题）如图所示，在无人机的某次定点投放
性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心、半径R1＝5 m的圆形区
域，OO'垂直地面，无人机在离地面高度H＝20 m的空中绕O'点、平行地面
做半径R2＝3 m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO'B＝90°。
若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做
圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，
相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视
为质点且落地后即静止，重力加速度大小g＝10 m/s2。下列说法正确的是
（ ）
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C. 无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地
D. 无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地
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解析： 物品从抛出到落地的过程做平抛运动，当其恰
好落在目标区域内时，物品的水平位移示意图如图所示，
由几何关系有xm＝＝4 m，此时物品的初速度最
大，水平方向上有xm＝vmt，竖直方向上有H＝gt2，联立解
得物品的最大初速度（无人机的最大线速度）为vm＝2 m/s，所以无人机的最大角速度ωmax＝＝ rad/s，A错误，B正确；由A、B项分析可知，物品释放后在空中运动的时间为t＝2 s，该过程无人机转过的角度θ＝ωmaxt＝＜，所以无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，C正确，D错误。
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6. 〔多选〕（2025·广东深圳一模）一根轻质细线一端系一可视为质点的
小球，细线另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图1所示，设小球在水平面
内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力T随ω2变化的图像如图2所示
（图中数值单位均为国际单位），g取10 m/s2。下列说法正确的是（ ）
A. 细线的长度为1 m
B. 细线的长度为0.5 m
C. 小球的质量为2 kg
D. 小球的质量为3 kg
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解析： 设线长为L，锥体母线与竖直方向的夹角为θ，当ω＝0时，绳
子的张力T＝mgcos θ，当圆锥对小球的支持力为0时，角速度ω'2＝25
（rad/s）2，此时T'cos θ＝mg，T'sin θ＝mLsin θ·ω'2，代入图中数据解得m＝
2 kg，L＝0.5 m，故选B、C。
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7. 〔多选〕（2025·河南洛阳联考）如图所示，一跳台滑雪运动员（视为
质点）自雪道M处自由滑下，在O处腾空时速度与水平方向的夹角为
30°，落在倾角为30°的斜坡上的Q点（未画出）。运动员在空中P点（未
画出）离斜坡最远，最远距离为 m。不计空气阻力，重力加速度g取10
m/s2，则（ ）
A. 运动员在P点的速度大小为10 m/s
B. 运动员腾空0.5 s后到达轨迹最高点
C. 落点Q距离O点10 m
D. 最高点与Q点的高度差为11.25 m
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解析： 运动员在空中P点离斜坡最远时，速度与斜面平行，且最远
距离为s＝ m，根据s＝，解得v0＝10 m/s，则从起跳到P点
用时t＝＝1 s，则在P点速度vP＝v0cos 60°＋gsin 30°·t＝10 m/s，
故A正确；运动员腾空后到达轨迹最高点时间t0＝＝0.5 s，故B正
确；落点Q距离O点L＝v0cos 60°×2t＋×gsin 30°×（2t）2＝20 m，故C
错误；最高点与Q点的高度差为Δh＝＋Lsin 30°，联立解得
Δh＝11.25 m，故D正确。
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8. 〔多选〕（2025·陕西咸阳联考）进入冬季后，北方的冰雪运动吸引了
许多南方游客。如图为雪地转转游戏及其示意图，人乘坐雪圈（人和雪圈
总质量为60 kg，大小忽略不计）绕轴以2 rad/s的角速度在水平雪地上匀速
转动，已知水平杆长为3 m，离地高为3 m，绳长为5 m，且绳与水平杆垂
直。则雪圈（含人）（ ）
A. 所受的合外力为零
B. 所受绳子的拉力指向圆周运动的
圆心
C. 线速度大小为10 m/s
D. 所受向心力大小为1 200 N
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解析： 雪圈（含人）绕转轴做匀速圆周运动，则其所受的合外力不为
零且指向圆心，可知绳子的拉力不是指向圆周运动的圆心，选项A、B错
误；雪圈（含人）绕转轴做匀速圆周运动的半径为r＝m
＝5 m，线速度大小为v＝ωr＝10 m/s，选项C正确；所受向心力大小为F＝
mω2r＝60×22×5 N＝1 200 N，选项D正确。
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9. （2025·山东济南一模）如图所示，弹珠发射器（可视为质点）固定于
足够高的支架顶端，支架沿着与竖直墙壁平行的方向以速度v1水平运动，
同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对发射器速度大小为v2
（v2＞v1）的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x，竖
直方向位移为y。已知发射器到墙壁的垂直距离为L，重力加速度为g，不
计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
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解析： 弹珠在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，
当v2垂直竖直墙壁射出时，弹珠运动时间最短tmin＝，y的最小值为ymin＝
g＝，故C正确，D错误；由于v2＞v1，则弹珠水平方向的合速度
可以垂直竖直墙壁，合速度大小为v＝，此时x的最小值为L，故
A、B错误。
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10. 如图所示的是跳台滑雪轨道简化模型，AB段光滑曲面为加速滑道，
BCD段圆弧滑道为半径r＝16 m的姿态调整滑道，左侧与AB段平滑连接，
右侧与水平跳台DE连接，EF段为倾角30°的速降斜坡。质量为60 kg的滑
雪运动员从加速滑道滑下后到达圆弧轨道的最低点C点时的速度大小v1＝20
m/s，经过D点时的速度大小为v2＝15 m/s，运动员整个运动过程的最高点P
恰好在E点的正上方h＝7.2 m处，最后落在斜坡上的Q点。已知重力加速度
为10 m/s2，不计空气阻力，速降斜坡足够长，sin 37°＝0.6，cos 37°＝
0.8，求：
（1）运动员在C点时受到圆弧轨道的弹力；
答案： 2 100 N，方向竖直向上
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解析： 在C点，对运动员，由牛顿第二定律有FN－mg＝
解得FN＝2 100 N
即运动员在C点时受到圆弧轨道的弹力大小为2 100 N，方向竖直向上。
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（2）水平平台DE的长度；
答案： 10.8 m
解析：设运动员在由D点飞出时速度与水平方向成α角，从D点运动到P点的过程中，竖直方向有（v2sin α）2＝2gh，v2sin α＝gt1
水平方向有xDE＝v2t1cos α
解得α＝53°，xDE＝10.8 m。
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（3）经过P点之后，运动员距斜坡的最远距离（结果用根式表示）。
答案： m
解析：运动到P点的速度vP＝v2cos α
对其垂直于斜坡方向分解vy＝vPsin θ，ay＝gcos θ
当垂直于斜坡方向上的速度减为0时，距离斜坡最远，由几何关系可知d＝
hcos θ＋H
其中＝2ayH
解得d＝ m。
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11. （2025·河北沧州一模）如图所示，一小学生站在圆形水泥管道最低
点，以水平速度v0将一个质量为m的小足球踢出，球沿管道内壁在同一个
竖直面内运动两圈多后在某一位置脱离管道，掉入小学生的背包里（背包
口正好在管道圆心处）。已知管道半径为R，重力加速度为g，不计空气阻
力，小足球可以看作质点。求：
（1）足球脱离管道的位置和圆心的连线与水平
方向夹角θ的正切值；
答案：
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解析： 根据题意，设足球在A处脱离管道，之后做
斜抛运动，经过圆心O处，如图
在A处，设足球速度大小为v，由牛顿第二定律有mgsin θ
＝m
从A至O的运动过程，设运动时间为t，沿AO方向，有R＝gsin θ·t2
沿垂直AO方向，有t＝
联立解得tan θ＝。
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（2）从足球被踢出到球脱离管道，管道对足球做的功Wf。
答案：（ 1＋）mgR－m
解析：由（1）可得v＝
从足球被踢出到脱离管道，设管道对足球做功为Wf，由动能定理有－mgR
（1＋sin θ）＋Wf＝mv2－m
解得Wf＝（ 1＋）mgR－m。
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12. 高楼灭火演习时，消防水枪喷口不能到达着火窗口等高处，消防员调
整水枪出水角度，如图所示，使水流恰能水平射入着火窗口，水枪喷口与
着火窗口高度差为h，重力加速度为g，不计空气阻力，由已知条件判断下
列说法正确的是（ ）
A. 可求出水枪喷口处出水的速度大小
B. 可求出从水枪喷口到着火窗口前水柱的总体积
C. 水柱在空中各处的粗细程度相同
D. 水枪沿垂直于墙壁的方向由A向B水平移动，且水枪喷口
处出水的速度大小不变，无论怎样调整水枪喷水方向，
水流都不能水平射入着火窗口
√
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解析： 水柱做斜抛运动，将其逆向等效为平抛运动。若已知水柱在最
高点的速度大小为v，则由mgh＝m－mv2，可求出水枪喷水的初速度
大小v0＝，因水柱在最高点的速度大小未知，故不能求出水枪喷
口处出水的速度大小，选项A错误；水柱在空中不均匀，水柱中的水从喷
口到着火窗口的运动时间为t＝，设喷口处水柱的截面面积为S，则从水
枪喷出到着火窗口前水柱的总体积为V＝v0St＝v0S，由于喷口处水柱的
截面面积和喷口处水流速度未知，故不能求出从水枪喷出到着火窗口前水
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柱的总体积，选项B错误；水流连续时，相同时间内通过任意截面的水流流量相等，有S1v1Δt＝S2v2Δt，则水流速度大时，水柱的截面面积小，选项C错误；水枪由A向B水平移动时，喷口处出水速度不变，恰好水平入射的水平位移不变，则水流不能水平射入着火窗口，选项D正确。
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演示完毕 感谢观看
