第4讲 万有引力与宇宙航行
1.〔多选〕（2025·安徽高考9题）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（ ）
A.r＝ B.r＝＋R
C.M＝ D.M＝
2.（2025·云南曲靖二模）2030年前我国有望实现载人登月，目前各项准备工作稳步推进，登月服和载人月球车已正式命名为“望宇”和“探索”。假如宇航员登月后将一石块从离月球表面高h处以v0的初速度水平抛出，测得石块的水平位移为x，已知月球的半径为R，引力常量为G，则月球的平均密度为（ ）
A. B.C. D.
3.（2025·陕西商洛三模）如图所示，质量为m的探测器绕火星做匀速圆周运动，此探测器距离火星表面的高度为H，对火星的张角为60°，已知探测器在所在轨道处受到的火星的引力大小为F0，引力常量为G，忽略火星的自转，忽略其他星球对探测器的影响，下列说法正确的是（ ）
A.探测器在轨道上运动时的向心加速度小于
B.探测器的轨道半径为2H
C.火星的质量为
D.火星表面的重力加速度大小为
4.〔多选〕（2025·广东茂名期末）我国祝融号已登陆火星并传回了一组火星上的图像如图所示。已知火星的直径大约是地球的一半，质量大约是地球的，则（ ）
A.火星的平均密度大约是地球的
B.火星的公转周期大约是地球的
C.火星表面的重力加速度是地球的
D.火星的第一宇宙速度是地球的
5.（2025·浙江1月选考6题）地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程，与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2，且S1＞S2。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍，则彗星（ ）
A.在近日点的速度小于地球的速度
B.从b运行到c的过程中动能先增大后减小
C.从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间
D.在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍
6.（2025·江苏南京联考）如图甲所示，河外星系中有两个黑洞，质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。为研究方便简化为如图乙所示的示意图，黑洞A和黑洞B均可看成球体，OA＞OB，且黑洞A的半径大于黑洞B的半径。根据你所学的知识，下列说法正确的是（ ）
A.黑洞A的运行角速度小于黑洞B的运行角速度
B.两个黑洞质量之间的关系一定是M1＞M2
C.人类要把航天器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，发射速度大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度
D.若双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
7.（2025·甘肃白银模拟）如图甲，某行星外围有一圈厚度为d的发光带，R为该行星的半径。若发光带是环绕该行星做圆周运动的卫星群，发光带上某卫星绕行星中心的运行速度的二次方与到该行星中心的距离r的倒数之间的关系图像如图乙所示（图线中v0为已知量）。已知引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A.该行星表面的重力加速度g＝
B.该行星的质量M＝GR
C.该行星的第一宇宙速度为v0
D.该行星的平均密度ρ＝
8.（2025·辽宁锦州一模）“中国版星链”（如图）被称为“G60星链”，2024年12月5日，其重要组成部分“千帆极轨”03组卫星发射成功，由18颗极地轨道卫星组成。极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球的南、北两极上空。有一颗极地卫星周期T＝ h，则下列关于该卫星的说法正确的是（ ）
A.轨道平面可能与某一经线圈一直共面
B.环绕地球运动的速度小于7.9 km/s
C.环绕地球运动的速度大于11.2 km/s
D.若从经过北极点上空开始计时，一天内经过赤道20次
9.（2025·江苏南京联考）物体a在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，排列位置如图，重力加速度为g，则有（ ）
A.a的向心加速度大小等于重力加速度大小g
B.b在相同时间内转过的弧长最长
C.c在4 h内转过的圆心角是
D.d的运行周期有可能是20 h
10.（2025·陕西咸阳三模）2025年2月22日20时11分，中星10R卫星在西昌卫星发射中心乘载运载火箭成功发射，该卫星覆盖中国及西亚、南亚、东南亚部分地区，提供高效的卫星网络传输服务。假设该卫星从某一圆周轨道变轨后在另一圆周轨道上运行，其动能变为原来的（n＞1），不考虑因变轨质量变化，关于该卫星下列说法正确的是（ ）
A.万有引力变为原来的 B.运行速度变为原来的
C.变轨后该卫星机械能减小了 D.变轨过程一直处于完全失重状态
11.（2025·甘肃白银联考）如图所示，平行的太阳光直射地球的赤道，地球自西向东的自转周期T＝24 h，某日，天刚黑时，位于地球赤道上N点的人用天文望远镜恰好能看到一地球静止轨道卫星M。已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R。下列说法正确的是（ ）
A.卫星M离地面的高度为
B.卫星M和N点的人的向心加速度之比为∶g
C.天黑之后，N点的人一整晚都能看到卫星M
D.天黑之后，N点的人将有一段时间观测不到卫星M
12.（2025·河北高考7题）随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器。从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半径为R0，表面重力加速度为g0。质量为m的飞行器与星球中心距离为r时，引力势能为mg0。要使飞行器在距星球表面高度为R0的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为（ ）
A. B.
C. D.
13.（2025·云南贵州二模）如图甲所示，两颗人造地球卫星1、2在同一平面内沿同一方向绕地球做圆周运动，周期分别为T1、T2，轨道半径分别为r1、r2。某时刻开始计时，两卫星间距Δr随时间t变化的关系如图乙所示，已知t0＝T1，则的值是多少？
第4讲 万有引力与宇宙航行
1.BC 根据开普勒第三定律可知，卫星甲在环月椭圆轨道上运行的半长轴等于卫星乙在环月圆轨道上运行的半径，则有2r＝a＋b＋2R，解得r＝，A错误，B正确；对卫星乙，根据万有引力提供向心力有G＝mr，解得M＝，C正确，D错误。
2.B 石块在月球表面做平抛运动，则x＝v0t，h＝g月t2，根据万有引力与重力的关系，有G＝mg月，月球的密度为ρ＝，联立可得ρ＝，故选B。
3.B 根据牛顿第二定律，探测器在所在轨道处的加速度大小a＝，选项A错误；设火星的半径为R，探测器的轨道半径为r，则有r＝R＋H，由几何关系有rsin 30°＝R，解得R＝H，r＝2H，选项B正确；设火星的质量为M，火星表面的重力加速度大小为g，由万有引力提供探测器做匀速圆周运动的向心力，有＝ma，＝mg，解得M＝，g＝，选项C、D错误。
4.CD 由密度公式ρ＝＝，故火星与地球的密度比为＝·＝×23＝，可知火星的平均密度大约是地球的，故A错误；因为本题地球、火星的公转轨道半径关系未知，故无法求出公转周期关系，故B错误；根据星球表面的万有引力近似等于重力，有G＝mg，故星球表面的重力加速度为g＝，故火星与地球的重力加速度比为＝·＝×22＝，故火星表面的重力加速度是地球的，故C正确；由＝m，可得第一宇宙速度为v＝，故火星与地球的第一宇宙速度比为＝＝＝，故火星的第一宇宙速度是地球的，故D正确。
5.C 由万有引力提供向心力有G＝m，得v＝，由题意知，哈雷彗星在近日点距太阳中心的距离小于地球绕太阳的公转半径，若哈雷彗星在近日点做匀速圆周运动，则哈雷彗星在近日点做匀速圆周运动的速度大于地球的公转速度，又哈雷彗星在近日点做离心运动，因此哈雷彗星在近日点的速度大于地球绕太阳的公转速度，A错误；哈雷彗星从b运行到c的过程中万有引力与速度方向的夹角一直为钝角，万有引力做负功，哈雷彗星速度一直减小，因此动能一直减小，B错误；根据开普勒第二定律可知，哈雷彗星与太阳的连线在任意相同的时间内扫过的面积相同，由题意S1＞S2可知，哈雷彗星从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间，C正确；由牛顿第二定律得G＝ma，得a＝G，由哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离和地球的公转轨道半径关系知，哈雷彗星的加速度a1与地球的加速度a2比值为＝，代入数据解得＝＝，D错误。
6.D 黑洞A的运行角速度等于黑洞B的运行角速度，故A错误；两黑洞做匀速圆周运动所需的向心力由来自对方的万有引力提供，所以两黑洞做匀速圆周运动的向心力相等，得M1ω2r1＝M2ω2r2，即M1r1＝M2r2，由于OA＞OB，即r1＞r2，所以M1＜M2，故B错误；两个黑洞处于银河系外，人类要把航天器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，发射速度应大于第三宇宙速度，故C错误；对于黑洞A、B，根据万有引力提供向心力有G＝M1r1，G＝M2r2又r1＋r2＝L，联立得T＝，由该式可知，若双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大，故D正确。
7.C 在行星表面，重力近似等于万有引力，且万有引力提供向心力，则mg＝m，得行星表面的重力加速度g＝，A错误；该发光带是环绕该行星做匀速圆周运动的卫星群，由万有引力提供向心力，有G＝m，化简可得v2＝GM，又由题图乙可知v2-图像的斜率k＝R，故R＝GM，联立可得该行星的质量M＝，B错误；当r＝R时，行星的第一宇宙速度v＝＝v0，C正确；该行星的平均密度ρ＝＝，D错误。
8.B 由于极地卫星南北转动的同时地球也在自转，所以轨道平面不可能与某一经线圈一直共面，故A错误；地球第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度，所以环绕地球运动的速度小于7.9 km/s，故B正确，C错误；若从经过北极点上空开始计时，因为极地卫星周期T＝ h，所以一天内经过赤道次数为n＝2×＝2×24×＝12≈29次，故D错误。
9.B 同步卫星的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据a＝ω2r知，c的向心加速度大于a的向心加速度，由万有引力提供向心加速度，有G＝ma，解得a＝，由此式可知，b的向心加速度近似等于g，且卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则c的向心加速度小于b的向心加速度，则a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误；根据G＝m可得v＝，可知b、c、d中b的线速度最大，根据v＝ωr，可知c的线速度大于a的，四个卫星中b的线速度最大，可知b在相同时间内转过的弧长最长，选项B正确；因c的周期为24 h，则c在4 h内转过的圆心角是θ＝×2π＝，选项C错误；由开普勒第三定律得＝k，可知卫星的轨道半径r越大，周期T越大，所以d的运动周期大于c的周期24 h，故D错误。
10.A 由G＝m，得v＝，Ek＝mv2＝，当动能变为原来的时，轨道半径变为原来的n倍，运行速度变为原来的，故B错误；由B项分析可知轨道半径变为原来的n倍，根据万有引力公式F万＝，可知万有引力变为原来的，故A正确；由B项分析可知轨道半径变为原来的n倍，则说明变轨后机械能增大，故C错误；变轨过程要加速，并不是处于完全失重状态，故D错误。
11.D 如图所示对卫星M有G＝m（R＋h），又＝mg，解得R＋h＝，故A错误；位于N点的人随地球自转的向心加速度大小为a＝，g为地球表面的重力加速度，故B错误；天黑之后有一段时间阳光无法照射到卫星，反射光无法到达N点的人，因此将有一段时间观测不到卫星M，故C错误，D正确。
12.B 飞行器的总机械能包括动能和势能。当高度为R0时轨道半径r＝2R0，此时引力势能为Ep＝mg0R0；根据万有引力提供向心力，有＝m，在该星球表面有＝mg0，联立解得v2＝，则动能Ek＝mv2＝mg0R0，总机械能E总＝mg0R0。根据机械能守恒定律，发射初动能m＝E总，解得v0＝，故选B。
13.4
解析：根据图乙可知，经过时间t0两卫星再次相距最近，则有t0－t0＝2π，根据题意有t0＝T1，解得T2＝T1，根据开普勒第三定律有＝，解得＝4。
3 / 4第4讲 万有引力与宇宙航行
1.（2025·云南高考5题）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（ ）
行星 轨道半径R/AU
水星 0.39
金星 0.72
地球 1.0
火星 1.5
木星 5.2
土星 9.5
天王星 19
海王星 30
A.金星与地球的公转轨道之间
B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间
D.天王星与海王星的公转轨道之间
2.（2025·湖北高考2题）甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是（ ）
A.甲运动的周期比乙的小
B.甲运动的线速度比乙的小
C.甲运动的角速度比乙的小
D.甲运动的向心加速度比乙的小
3.（2025·北京高考7题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道2、B为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（ ）
A.在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B.在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C.在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D.利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量
考情分析：本讲内容在高考中多以选择题为主，个别自主命题卷中偶尔考察计算题，中低难度，贴近科技前沿的航天科技新情境问题是考查重点。
考点一 开普勒定律和万有引力定律
1.开普勒定律理解
（1）根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上运动时，相等时间内扫过的面积相等，则v1r1＝v2r2；
（2）根据开普勒第三定律，＝k，若为椭圆轨道，则r为半长轴，若为圆轨道，则r为轨道半径；
（3）行星运行过程中机械能守恒，即Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。
2.天体质量和密度的计算
注意：（1）天体表面的重力加速度g＝，是g的决定式，具有普适性。
（2）若绕行天体绕中心天体表面（如近地）做匀速圆周运动时，轨道半径r≈R，则中心天体的密度ρ＝。
【例1】 （2025·陕西汉中二模）北京冬奥会开幕式以二十四节气作为倒计时的创意惊艳全球。如图所示，这是地球沿椭圆轨道绕太阳运动过程中对应的四个节气，春分、秋分时太阳光直射赤道，夏至时太阳光直射北回归线。下列说法正确的是（ ）
A.夏至时地球的公转速度最大
B.从夏至到冬至的时间大于半年
C.图中相邻两个节气间隔的时间相等
D.春分和秋分时地球绕太阳运动的加速度大小相等
尝试解答
【例2】 （2025·山东潍坊一模）2025年1月13日，“微厘空间01组”的10颗卫星在山东海阳附近海域成功发射升空并顺利进入预定轨道。该组网卫星的轨道离地高度大都在695～708 km之间，可以近似为圆轨道。已知卫星组中标识符为“2025—007E”的04星的轨道半径为R1，绕地球做圆周运动的周期为T1，地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为R2，周期为T2，引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A.＝
B.由T2、R2和G能求地球的密度
C.地球质量与太阳质量的比值为
D.地球质量与太阳质量的比值为
尝试解答
1.（2025·重庆渝中区模拟）“中国天眼”发现，在距离地球17光年处有一颗具有和地球相同自转特征的“超级地球”。如图所示，该星球可以视为均匀圆球，绕AB轴自转，O点为其球心，半径OE与赤道平面的夹角为θ。已知该星球的半径为R，北极点A处的重力加速度大小为g，赤道上D处的重力加速度大小为kg（0＜k＜1），则E处的自转线速度大小为（ ）
A.（1－k） B.cos θ
C.（1－k）cos θ D.cos θ
考点二 人造卫星和天体运动
1.天体运行问题的分析方法
2.卫星变轨问题的分析方法
【例3】 （2025·河南高考3题）2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为（ ）
A.13天 B.27天
C.64天 D.128天
尝试解答
【例4】 （2025·河南郑州三模）某卫星发射的过程图简化如下，位于椭圆轨道1的卫星变速后进入圆形同步轨道2，然后在M点再次改变方向进入同步静止轨道3上，Q点为椭圆轨道1的近地点，P点为椭圆轨道1上的远地点，则下列说法正确的是（ ）
A.轨道2可能在某两条经线组成的圆的正上方
B.卫星在轨道2上经过P点时的向心加速度大于其在轨道1上运动时经过P点的向心加速度
C.卫星在Q点的速度大于其在M点的速度
D.卫星在3个轨道上的机械能存在的关系式为E1＞E2＝E3
尝试解答
易错警示
（1）同一卫星在不同半径的轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
（2）卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
2.（2025·四川南充三模）2025年2月20日，实践25号卫星与超期服役的北斗3号G7星在3.6万公里高空对接，为G7星注入肼类推进剂，实现了人类首次地球静止轨道卫星的在轨燃料补给。下列说法正确的是（ ）
A.北斗G7星不受地球的万有引力
B.北斗G7星可能出现在北极的正上空
C.北斗G7星绕地球的公转周期约为24小时
D.实践25号卫星向正后方喷气就可以追上同轨道的北斗G7星
考点三 双星（或三星）问题
【例5】 （2025·天津南开区一模）“二月二，龙抬头”是中国民间传统节日。每岁仲轿卯月之初、“龙角星”犹从东方地平线上升起，故称“龙抬头”。0点后朝东北方天空看去，有两颗亮星“角宿一”和“角宿二”，就是龙角星。该龙角星可视为双星系统，它们在相互间的万有引力作用下，绕某一点做匀速圆周运动。若“角宿一”的质量为m1、“角宿二”的质量为m2，它们中心之间的距离为L，公转周期为T，万有引力常量G。忽略自转的影响，则下列说法正确的是（ ）
A.“角宿一”的轨道半径为L
B.“角宿一”和“角宿二”的向心加速度之比为m1∶m2
C.“角宿一”和“角宿二”的线速度之比为m1∶m2
D.“角宿一”和“角宿二”做圆周运动的向心力之比为m1∶m2
尝试解答
天体运动的“追及”问题
情境 分析
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb，若某时刻两卫星正好在同一直线上，在地球的同侧 当它们转过的角度之差ωaΔt－ωbΔt＝（2n＋1）π（n＝0，1，2，3，…）时，两卫星相距最远（两卫星异侧）
当它们转过的角度之差ωaΔt－ωbΔt＝2nπ（n＝1，2，3，…）时，两卫星相距最近（两卫星同侧）
提醒：（1）当两颗卫星之间的距离最近和最远时，它们和中心天体都处在同一条直线上。
（2）若两颗卫星的初始位置与中心天体在同一直线上，内轨卫星所转过的圆心角与外轨卫星所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。
【典例】 （2025·四川高考6题）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（ ）
A. B.
C. D.
尝试解答
第4讲 万有引力与宇宙航行
【体验·高考真题】
1.C 由开普勒第三定律＝得R行＝R地，代入数据解得R行≈3.2 AU，结合图表可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间，C正确。
2.A 根据万有引力提供向心力得＝mr＝m＝mω2r＝man，解得：T＝，v＝，ω＝，an＝，又因r甲＜r乙，所以T甲＜T乙，v甲＞v乙，ω甲＞ω乙，an甲＞an乙，故A正确，B、C、D错误。
3.A 在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A正确；探测器仅受到万有引力作用，由G＝ma，解得a＝G，在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误；探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上的机械能大于在轨道1上的机械能，C错误；探测器在轨道1上做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，得G＝mr，解得M＝，利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。
【精研·高频考点】
考点一
典例精析
【例1】 D 根据开普勒第二定律可知，地球在近日点的公转速度最大，在远日点的公转速度最小，故夏至时地球的公转速度最小，故A错误；根据对称性知从夏至到冬至的时间为半年，从夏至到秋分的时间大于从秋分到冬至的时间，故B、C错误；根据＝ma，解得a＝，春分和秋分时地球与太阳的距离r相同，故加速度大小相等，故D正确。
【例2】 C 开普勒第三定律仅适用于同一中心天体的系统，标识符为“2025—007E”的04星的中心天体是地球，地球的中心天体是太阳，因此轨道半径和周期的关系不满足开普勒第三定律，故A错误；地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径R2，周期T2和引力常量为G只能求太阳的质量，无法求地球的密度，故B错误；对于卫星绕地球运动，有＝mR1，对于地球绕太阳运动，有＝M地R2，两式联立可得＝，故D错误，C正确。
强化训练
1.B 在北极点A处有＝mg，在赤道上D处有＝m·kg＋mω2R，联立解得，该星球自转的角速度ω＝，因此E处的自转线速度大小v＝ωRcos θ＝cos θ，故选B。
考点二
典例精析
【例3】 A 由G＝mr得T＝2π，又因为M恒＝M日，rG＝r日地，解得TG≈13天，A正确。
【例4】 C 某两条经线组成的圆所在平面过地轴，所以轨道2不可能在某两条经线组成的圆的正上方，故A错误；根据牛顿第二定律可得＝ma，可得a＝，可知卫星在轨道2上经过P点时的向心加速度等于其在轨道1上运动时经过P点的向心加速度，故B错误；卫星绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力，有＝m，可得v＝，假设Q点为一个圆轨道4和椭圆轨道1的切点，则卫星在轨道4上做匀速圆周运动，从Q点的圆轨道变轨到椭圆轨道1需要在Q点点火加速，做离心运动，则v1Q＞v4Q，因为轨道2的半径大于轨道1的半径，则v4＞v2，综上所述，有v1Q＞v4Q＞vM，可知卫星在过Q点做圆周运动的速度大于在M点的速度，故C正确；卫星从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速，卫星的机械能增加，所以卫星在3个轨道上的机械能存在的关系式为E2＝E3＞E1，故D错误。
强化训练
2.C 北斗G7星绕地球运行，地球的万有引力提供其做匀速圆周运动所需的向心力，因此必然受地球引力作用，故A错误；地球静止轨道卫星的轨道平面必须与赤道平面重合，因此只能在赤道上空定点，不可能出现在北极正上方，故B错误；地球静止轨道卫星的公转周期与地球自转周期相同，均为24小时，故C正确；实践25号卫星向正后方喷气，做加速运动，其将做离心运动，轨道半径变大，不可以追上同轨道的北斗G7星，故D错误。
考点三
典例精析
【例5】 A 双星系统，角速度、周期相同，且彼此间的引力提供其做匀速圆周运动所需的向心力，则有F1＝＝m1ω2r1＝m1a1，F2＝＝m2ω2r2＝m2a2，因为L＝r1＋r2，联立解得“角宿一”的轨道半径r1＝L，“角宿一”和“角宿二”的向心加速度之比为＝，“角宿一”和“角宿二”做匀速圆周运动的向心力之比为＝，故A正确，B、D错误；根据以上分析可有m1r1＝m2r2，根据线速度v＝ωr，联立解得“角宿一”和“角宿二”的线速度之比为＝＝，故C错误。
【培优·提能加餐】
【典例】 A 设卫星转动的周期为T'，根据题意可得·－·＝2π，可得T'＝，根据万有引力提供向心力，有G＝mr，可得r＝，代入T'＝，可得r＝，故选A。
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第4讲 万有引力与宇宙航行
02
体验 高考真题
01
构建 知识网络
锁定主干知识
明确高考考向
03
精研 高频考点
聚焦重难热新
04
培优 提能加餐
拓展思维空间
05
分层 强化训练
夯基固本提能
目
录
contents
构建 知识网络
锁定主干知识
体验 高考真题
明确高考考向
1. （2025·云南高考5题）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约
为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。
规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引
力作用，则该小行星的公转轨道应介于
（ ）
行星 轨道半径R/AU
水星 0.39
金星 0.72
地球 1.0
火星 1.5
木星 5.2
土星 9.5
天王星 19
海王星 30
A. 金星与地球的公转轨道之间
B. 地球与火星的公转轨道之间
C. 火星与木星的公转轨道之间
D. 天王星与海王星的公转轨道之间
√
解析： 由开普勒第三定律＝得R行＝R地，代入数据解得R行
≈3.2 AU，结合图表可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨
道之间，C正确。
2. （2025·湖北高考2题）甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半
径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是（ ）
A. 甲运动的周期比乙的小
B. 甲运动的线速度比乙的小
C. 甲运动的角速度比乙的小
D. 甲运动的向心加速度比乙的小
√
解析： 根据万有引力提供向心力得＝mr＝m＝mω2r＝man，解
得：T＝，v＝，ω＝，an＝，又因r甲＜r乙，所以T甲＜T
乙，v甲＞v乙，ω甲＞ω乙，an甲＞an乙，故A正确，B、C、D错误。
3. （2025·北京高考7题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面
采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进
入椭圆轨道2、B为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是
（ ）
A. 在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B. 在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C. 在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D. 利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量
√
解析： 在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探
测器的引力做负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A正确；探测器仅
受到万有引力作用，由G＝ma，解得a＝G，在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误；探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上的机械能大于在
轨道1上的机械能，C错误；探测器在轨道1上做匀速圆周运动，根据万
有引力提供向心力，得G＝mr，解得M＝，利用引力常量G
和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D
错误。
考情分析：本讲内容在高考中多以选择题为主，个别自主命题卷中偶尔考
察计算题，中低难度，贴近科技前沿的航天科技新情境问题是考查重点。
精研 高频考点
聚焦重难热新
考点一 开普勒定律和万有引力定律
1. 开普勒定律理解
（1）根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上运动时，相等时间内扫过的面积相等，则v1r1＝v2r2；
（2）根据开普勒第三定律，＝k，若为椭圆轨道，则r为半长轴，若为圆
轨道，则r为轨道半径；
（3）行星运行过程中机械能守恒，即Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。
2. 天体质量和密度的计算
注意：（1）天体表面的重力加速度g＝，是g的决定式，具有普适性。
（2）若绕行天体绕中心天体表面（如近地）做匀速圆周运动时，轨道半
径r≈R，则中心天体的密度ρ＝。
【例1】 （2025·陕西汉中二模）北京冬奥会开幕式以二十四节气作为倒
计时的创意惊艳全球。如图所示，这是地球沿椭圆轨道绕太阳运动过程中
对应的四个节气，春分、秋分时太阳光直射赤道，夏至时太阳光直射北回
归线。下列说法正确的是（ D ）
D
A. 夏至时地球的公转速度最大
B. 从夏至到冬至的时间大于半年
C. 图中相邻两个节气间隔的时间相等
D. 春分和秋分时地球绕太阳运动的加速度大小相等
解析：根据开普勒第二定律可知，地球在近日点的公转速度最大，在远日
点的公转速度最小，故夏至时地球的公转速度最小，故A错误；根据对称
性知从夏至到冬至的时间为半年，从夏至到秋分的时间大于从秋分到冬至
的时间，故B、C错误；根据＝ma，解得a＝，春分和秋分时地球与
太阳的距离r相同，故加速度大小相等，故D正确。
【例2】 （2025·山东潍坊一模）2025年1月13日，“微厘空间01组”的10
颗卫星在山东海阳附近海域成功发射升空并顺利进入预定轨道。该组网卫
星的轨道离地高度大都在695～708 km之间，可以近似为圆轨道。已知卫
星组中标识符为“2025—007E”的04星的轨道半径为R1，绕地球做圆周运
动的周期为T1，地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为R2，周期为T2，
引力常量为G，则下列说法正确的是（ C ）
C
A. ＝
B. 由T2、R2和G能求地球的密度
C. 地球质量与太阳质量的比值为
D. 地球质量与太阳质量的比值为
解析：开普勒第三定律仅适用于同一中心天体的系统，标识符为“2025—
007E”的04星的中心天体是地球，地球的中心天体是太阳，因此轨道半径
和周期的关系不满足开普勒第三定律，故A错误；地球绕太阳做匀速圆周
运动的轨道半径R2，周期T2和引力常量为G只能求太阳的质量，无法求地
球的密度，故B错误；对于卫星绕地球运动，有＝mR1，对于地球
绕太阳运动，有＝M地R2，两式联立可得＝，故D错误，
C正确。
1. （2025·重庆渝中区模拟）“中国天眼”发现，在距离地球17光年处有一颗具有和地球相同自转特征的“超级地球”。如图所示，该星球可以视为均匀圆球，绕AB轴自转，O点为其球心，半径OE与赤道平面的夹角为θ。已知
该星球的半径为R，北极点A处的重力加速度大小为g，赤道上D处的重力加
速度大小为kg（0＜k＜1），则E处的自转线速度大小为（ ）
A. （1－k） B. cos θ
C. （1－k）cos θ D. cos θ
√
解析： 在北极点A处有＝mg，在赤道上D处有＝m·kg＋mω2R，
联立解得，该星球自转的角速度ω＝，因此E处的自转线速度大
小v＝ωRcos θ＝cos θ，故选B。
考点二 人造卫星和天体运动
1. 天体运行问题的分析方法
2. 卫星变轨问题的分析方法
【例3】 （2025·河南高考3题）2024年天文学家报道了他们新发现的一颗
类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知
Gliese12b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则
Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为（ A ）
A. 13天 B. 27天
C. 64天 D. 128天
解析：由G＝mr得T＝2π，又因为M恒＝M日，rG＝r日地，解得
TG≈13天，A正确。
A
【例4】 （2025·河南郑州三模）某卫星发射的过程图简化如下，位于椭
圆轨道1的卫星变速后进入圆形同步轨道2，然后在M点再次改变方向进入
同步静止轨道3上，Q点为椭圆轨道1的近地点，P点为椭圆轨道1上的远地
点，则下列说法正确的是（ C ）
C
A. 轨道2可能在某两条经线组成的圆的正上方
B. 卫星在轨道2上经过P点时的向心加速度大于
其在轨道1上运动时经过P点的向心加速度
C. 卫星在Q点的速度大于其在M点的速度
D. 卫星在3个轨道上的机械能存在的关系式为E1＞E2＝E3
解析：某两条经线组成的圆所在平面过地轴，所以轨道2不可能在某两条
经线组成的圆的正上方，故A错误；根据牛顿第二定律可得＝ma，可
得a＝，可知卫星在轨道2上经过P点时的向心加速度等于其在轨道1上运
动时经过P点的向心加速度，故B错误；卫星绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力，有＝m，可得v＝，假设Q点为一个圆轨道4和椭圆轨道1的切点，则卫星在轨道4上做匀速圆周运动，从Q点的圆轨道变轨到椭圆轨道1需要在Q点点火加速，做离心运动，则v1Q＞v4Q，因为轨道2的半径大于轨道1的半径，则v4＞v2，综上所述，有v1Q＞v4Q＞vM，可知卫星在过Q点做圆周运动的速度大于在M点的速度，故C正确；卫星从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速，卫星的机械能增加，所以卫星在3个轨道上的机械能存在的关系式为E2＝E3＞E1，故D错误。
易错警示
（1）同一卫星在不同半径的轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，
机械能越大。
（2）卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于
内轨道的速度。
2. （2025·四川南充三模）2025年2月20日，实践25号卫星与超期服役的北
斗3号G7星在3.6万公里高空对接，为G7星注入肼类推进剂，实现了人类首
次地球静止轨道卫星的在轨燃料补给。下列说法正确的是（ ）
A. 北斗G7星不受地球的万有引力
B. 北斗G7星可能出现在北极的正上空
C. 北斗G7星绕地球的公转周期约为24小时
D. 实践25号卫星向正后方喷气就可以追上同轨道的北斗G7星
√
解析： 北斗G7星绕地球运行，地球的万有引力提供其做匀速圆周运动
所需的向心力，因此必然受地球引力作用，故A错误；地球静止轨道卫星
的轨道平面必须与赤道平面重合，因此只能在赤道上空定点，不可能出现
在北极正上方，故B错误；地球静止轨道卫星的公转周期与地球自转周期
相同，均为24小时，故C正确；实践25号卫星向正后方喷气，做加速运
动，其将做离心运动，轨道半径变大，不可以追上同轨道的北斗G7星，故
D错误。
考点三 双星（或三星）问题
【例5】 （2025·天津南开区一模）“二月二，龙抬头”是中国民间传统
节日。每岁仲轿卯月之初、“龙角星”犹从东方地平线上升起，故称“龙
抬头”。0点后朝东北方天空看去，有两颗亮星“角宿一”和“角宿
二”，就是龙角星。该龙角星可视为双星系统，它们在相互间的万有引力
作用下，绕某一点做匀速圆周运动。若“角宿一”的质量为m1、“角宿
二”的质量为m2，它们中心之间的距离为L，公转周期为T，万有引力常量
G。忽略自转的影响，则下列说法正确的是（ A ）
A
A. “角宿一”的轨道半径为L
B. “角宿一”和“角宿二”的向心加速度之比为m1∶m2
C. “角宿一”和“角宿二”的线速度之比为m1∶m2
D. “角宿一”和“角宿二”做圆周运动的向心力之比为m1∶m2
解析：双星系统，角速度、周期相同，且彼此间的引力提供其做匀速圆周
运动所需的向心力，则有F1＝＝m1ω2r1＝m1a1，F2＝＝m2ω2r2
＝m2a2，因为L＝r1＋r2，联立解得“角宿一”的轨道半径r1＝L，
“角宿一”和“角宿二”的向心加速度之比为＝，“角宿一”和“角
宿二”做匀速圆周运动的向心力之比为＝，故A正确，B、D错误；根据
以上分析可有m1r1＝m2r2，根据线速度v＝ωr，联立解得“角宿一”和“角
宿二”的线速度之比为＝＝，故C错误。
培优 提能加餐
拓展思维空间
天体运动的“追及”问题
情境 分析
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做
匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫
星的角速度为ωb，若某时刻两卫星正好在
同一直线上，在地球的同侧 当它们转过的角度之差ωaΔt
－ωbΔt＝（2n＋1）π（n＝
0，1，2，3，…）时，两卫
星相距最远（两卫星异侧）
当它们转过的角度之差ωaΔt
－ωbΔt＝2nπ（n＝1，2，
3，…）时，两卫星相距最近
（两卫星同侧）
提醒：（1）当两颗卫星之间的距离最近和最远时，它们和中心天体都处
在同一条直线上。
（2）若两颗卫星的初始位置与中心天体在同一直线上，内轨卫星所转过
的圆心角与外轨卫星所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或
最远的时刻。
【典例】 （2025·四川高考6题）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，
绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测
站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已
知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为
G。则该卫星轨道半径为（ A ）
A
A. B.
C. D.
解析：设卫星转动的周期为T'，根据题意可得·－·＝2π，可得T'＝，
根据万有引力提供向心力，有G＝mr，可得r＝，代入T'＝，
可得r＝，故选A。
分层 强化训练
夯基固本提能
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1. 〔多选〕（2025·安徽高考9题）2025年4月，我国已成功构建国际首个
基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进
入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨
道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行
周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。
月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引
力，则（ ）
A. r＝ B. r＝＋R
C. M＝ D. M＝
√
√
解析： 根据开普勒第三定律可知，卫星甲在环月椭圆轨道上运行的半
长轴等于卫星乙在环月圆轨道上运行的半径，则有2r＝a＋b＋2R，解得r＝
，A错误，B正确；对卫星乙，根据万有引力提供向心力有G＝
mr，解得M＝，C正确，D错误。
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2. （2025·云南曲靖二模）2030年前我国有望实现载人登月，目前各项准
备工作稳步推进，登月服和载人月球车已正式命名为“望宇”和“探
索”。假如宇航员登月后将一石块从离月球表面高h处以v0的初速度水平抛
出，测得石块的水平位移为x，已知月球的半径为R，引力常量为G，则月
球的平均密度为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 石块在月球表面做平抛运动，则x＝v0t，h＝g月t2，根据万有引
力与重力的关系，有G＝mg月，月球的密度为ρ＝，联立可得ρ＝
，故选B。
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3. （2025·陕西商洛三模）如图所示，质量为m的探测器绕火星做匀速圆周
运动，此探测器距离火星表面的高度为H，对火星的张角为60°，已知探
测器在所在轨道处受到的火星的引力大小为F0，引力常量为G，忽略火星
的自转，忽略其他星球对探测器的影响，下列说法正确的是（ ）
A. 探测器在轨道上运动时的向心加速度小于
B. 探测器的轨道半径为2H
C. 火星的质量为
D. 火星表面的重力加速度大小为
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解析： 根据牛顿第二定律，探测器在所在轨道处的加速度大小a＝，
选项A错误；设火星的半径为R，探测器的轨道半径为r，则有r＝R＋H，由
几何关系有rsin 30°＝R，解得R＝H，r＝2H，选项B正确；设火星的质量
为M，火星表面的重力加速度大小为g，由万有引力提供探测器做匀速圆周
运动的向心力，有＝ma，＝mg，解得M＝，g＝，选项C、
D错误。
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4. 〔多选〕（2025·广东茂名期末）我国祝融号已登陆火星并传回了一组火星上的图像如图所示。已知火星的直径大约是地球的一半，质量大约是地球
的，则（ ）
A. 火星的平均密度大约是地球的
B. 火星的公转周期大约是地球的
C. 火星表面的重力加速度是地球的
D. 火星的第一宇宙速度是地球的
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解析： 由密度公式ρ＝＝，故火星与地球的密度比为＝
·＝×23＝，可知火星的平均密度大约是地球的，故A错误；因为
本题地球、火星的公转轨道半径关系未知，故无法求出公转周期关系，故
B错误；根据星球表面的万有引力近似等于重力，有G＝mg，故星球表
面的重力加速度为g＝，故火星与地球的重力加速度比为＝·＝
×22＝，故火星表面的重力加速度是地球的，故C正确；
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由＝m，可得第一宇宙速度为v＝，故火星与地球的第一宇宙速
度比为＝＝＝，故火星的第一宇宙速度是地球的，
故D正确。
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5. （2025·浙江1月选考6题）地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所
示，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程，与太阳连线扫过的面积分别为
S1和S2，且S1＞S2。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径
的0.6倍，则彗星（ ）
A. 在近日点的速度小于地球的速度
B. 从b运行到c的过程中动能先增大后减小
C. 从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间
D. 在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍
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解析： 由万有引力提供向心力有G＝m，得v＝，由题意知，
哈雷彗星在近日点距太阳中心的距离小于地球绕太阳的公转半径，若哈雷
彗星在近日点做匀速圆周运动，则哈雷彗星在近日点做匀速圆周运动的速
度大于地球的公转速度，又哈雷彗星在近日点做离心运动，因此哈雷彗星
在近日点的速度大于地球绕太阳的公转速度，A错误；哈雷彗星从b运行到
c的过程中万有引力与速度方向的夹角一直为钝角，万有引力做负功，哈雷
彗星速度一直减小，因此动能一直减小，B错误；根据开普勒第二定律可
知，哈雷彗星与太阳的连线在任意相同的时间内扫过的面积相同，由题意
S1＞S2可知，哈雷彗星从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间，C正确；
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由牛顿第二定律得G＝ma，得a＝G，由哈雷彗星在近日点与太阳中心
的距离和地球的公转轨道半径关系知，哈雷彗星的加速度a1与地球的加速
度a2比值为＝，代入数据解得＝＝，D错误。
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6. （2025·江苏南京联考）如图甲所示，
河外星系中有两个黑洞，质量分别为M1
和M2，它们以两者连线上的某一点为圆
心做匀速圆周运动。为研究方便简化为如图乙所示的示意图，黑洞A和黑洞B均可看成球体，OA＞OB，且黑洞A的半径大于黑洞B的半径。根据你所学的知识，下列说法正确的是（ ）
A. 黑洞A的运行角速度小于黑洞B的运行角速度
B. 两个黑洞质量之间的关系一定是M1＞M2
C. 人类要把航天器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，发射速度大于第
二宇宙速度小于第三宇宙速度
D. 若双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
√
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解析： 黑洞A的运行角速度等于黑洞B的运行角速度，故A错误；两黑
洞做匀速圆周运动所需的向心力由来自对方的万有引力提供，所以两黑洞
做匀速圆周运动的向心力相等，得M1ω2r1＝M2ω2r2，即M1r1＝M2r2，由于
OA＞OB，即r1＞r2，所以M1＜M2，故B错误；两个黑洞处于银河系外，人
类要把航天器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，发射速度应大于第三
宇宙速度，故C错误；对于黑洞A、B，根据万有引力提供向心力有G
＝M1r1，G＝M2r2又r1＋r2＝L，联立得T＝，由该式
可知，若双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大，故D
正确。
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7. （2025·甘肃白银模拟）如图甲，某行星外围有一圈厚度为d的发光带，
R为该行星的半径。若发光带是环绕该行星做圆周运动的卫星群，发光带
上某卫星绕行星中心的运行速度的二次方与到该行星中心的距离r的倒数之
间的关系图像如图乙所示（图线中v0为已知量）。已知引力常量为G，则
下列说法正确的是（ ）
A. 该行星表面的重力加速度g＝
B. 该行星的质量M＝GR
C. 该行星的第一宇宙速度为v0
D. 该行星的平均密度ρ＝
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解析： 在行星表面，重力近似等于万有引力，且万有引力提供向心
力，则mg＝m，得行星表面的重力加速度g＝，A错误；该发光带
是环绕该行星做匀速圆周运动的卫星群，由万有引力提供向心力，有
G＝m，化简可得v2＝GM，又由题图乙可知v2-图像的斜率k＝
R，故R＝GM，联立可得该行星的质量M＝，B错误；当r＝
R时，行星的第一宇宙速度v＝＝v0，C正确；该行星的平均密度ρ
＝＝，D错误。
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8. （2025·辽宁锦州一模）“中国版星链”（如图）被称为“G60星链”，
2024年12月5日，其重要组成部分“千帆极轨”03组卫星发射成功，由18
颗极地轨道卫星组成。极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球的南、北两
极上空。有一颗极地卫星周期T＝ h，则下列关于该卫星的说法正确的
是（ ）
A. 轨道平面可能与某一经线圈一直共面
B. 环绕地球运动的速度小于7.9 km/s
C. 环绕地球运动的速度大于11.2 km/s
D. 若从经过北极点上空开始计时，一天内经过赤道20次
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解析： 由于极地卫星南北转动的同时地球也在自转，所以轨道平面不
可能与某一经线圈一直共面，故A错误；地球第一宇宙速度是卫星最大的
环绕速度，所以环绕地球运动的速度小于7.9 km/s，故B正确，C错误；若
从经过北极点上空开始计时，因为极地卫星周期T＝ h，所以一天内经
过赤道次数为n＝2×＝2×24×＝12≈29次，故D错误。
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9. （2025·江苏南京联考）物体a在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星
b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，
排列位置如图，重力加速度为g，则有（ ）
A. a的向心加速度大小等于重力加速度大小g
B. b在相同时间内转过的弧长最长
C. c在4 h内转过的圆心角是
D. d的运行周期有可能是20 h
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解析： 同步卫星的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知a与c
的角速度相同，根据a＝ω2r知，c的向心加速度大于a的向心加速度，由万
有引力提供向心加速度，有G＝ma，解得a＝，由此式可知，b的向心
加速度近似等于g，且卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则c的向心
加速度小于b的向心加速度，则a的向心加速度小于重力加速度g，故A错
误；根据G＝m可得v＝，可知b、c、d中b的线速度最大，根据v＝
ωr，可知c的线速度大于a的，四个卫星中b的线速度最大，可知b在相同时
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间内转过的弧长最长，选项B正确；因c的周期为24 h，则c在4 h内转过的圆心角是θ＝×2π＝，选项C错误；由开普勒第三定律得＝k，可知卫星的轨道半径r越大，周期T越大，所以d的运动周期大于c的周期24 h，故D错误。
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10. （2025·陕西咸阳三模）2025年2月22日20时11分，中星10R卫星在西昌卫星发射中心乘载运载火箭成功发射，该卫星覆盖中国及西亚、南亚、东南亚部分地区，提供高效的卫星网络传输服务。假设该卫星从某一圆周轨道变轨后在另一圆周轨道上运行，其动能变为原来的（n＞1），不考虑因变轨质量变化，关于该卫星下列说法正确的是（ ）
A. 万有引力变为原来的
B. 运行速度变为原来的
C. 变轨后该卫星机械能减小了
D. 变轨过程一直处于完全失重状态
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解析： 由G＝m，得v＝，Ek＝mv2＝，当动能变为原来的
时，轨道半径变为原来的n倍，运行速度变为原来的，故B错误；由B
项分析可知轨道半径变为原来的n倍，根据万有引力公式F万＝，可知
万有引力变为原来的，故A正确；由B项分析可知轨道半径变为原来的n
倍，则说明变轨后机械能增大，故C错误；变轨过程要加速，并不是处于
完全失重状态，故D错误。
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11. （2025·甘肃白银联考）如图所示，平行的太阳光直射地球的赤道，地
球自西向东的自转周期T＝24 h，某日，天刚黑时，位于地球赤道上N点的
人用天文望远镜恰好能看到一地球静止轨道卫星M。已知地球表面的重力
加速度为g，地球半径为R。下列说法正确的是（ ）
A. 卫星M离地面的高度为
B. 卫星M和N点的人的向心加速度之比为∶g
C. 天黑之后，N点的人一整晚都能看到卫星M
D. 天黑之后，N点的人将有一段时间观测不到卫星M
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解析： 如图所示对卫星M有G＝m
（R＋h），又＝mg，解得R＋h＝，故
A错误；位于N点的人随地球自转的向心加速度大
小为a＝，g为地球表面的重力加速度，故B错误；天黑之后有一段时间阳光无法照射到卫星，反射光无法到达N点的人，因此将有一段时间观测不到卫星M，故C错误，D正确。
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12. （2025·河北高考7题）随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一
种核聚变能源星际飞行器。从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中
只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半
径为R0，表面重力加速度为g0。质量为m的飞行器与星球中心距离为r时，
引力势能为mg0。要使飞行器在距星球表面高度为R0
的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为（ ）
A. B.
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C. D.
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解析： 飞行器的总机械能包括动能和势能。当高度为R0时轨道半径r＝
2R0，此时引力势能为Ep＝mg0R0；根据万有引力提供向心力，有＝
m，在该星球表面有＝mg0，联立解得v2＝，则动能Ek＝mv2＝
mg0R0，总机械能E总＝mg0R0。根据机械能守恒定律，发射初动能m
＝E总，解得v0＝，故选B。
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13. （2025·云南贵州二模）如图甲所示，两颗人造地球卫星1、2在同一平
面内沿同一方向绕地球做圆周运动，周期分别为T1、T2，轨道半径分别为
r1、r2。某时刻开始计时，两卫星间距Δr随时间t变化的关系如图乙所示，
已知t0＝T1，则的值是多少？
答案：4
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解析：根据图乙可知，经过时间t0两卫星再次相距最近，则有t0－t0＝
2π，根据题意有t0＝T1，解得T2＝T1，根据开普勒第三定律有＝，解
得＝4。
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THANKS
演示完毕 感谢观看
