广东省佛山市石门中学2025-2026学年上学期期末高一数学试卷(含解析)

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数学
注意事项：
答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
请认真核对答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
作答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
考试结束后，请将答题卡交回。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. ， D.
2. 已知集合，集合满足，则集合的个数为（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
3. 时钟的分针在8点10分到8点20分这段时间里转过的弧度数为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数，则（ ）
A. B.
C.1 D.2
5. 已知，则 =（ ）
A. B.
C. -2 D.2
6. 《忠经·广至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”，在实际生活中，新时代的青年不仅要有自己“不私”的觉悟，也要有识破“诈公”的智慧.某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A. 大于
B. 小于
C. 等于
D. 以上都有可能
7. 若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知，则下列关系中成立的是
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有两项或三项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9. 设，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知，则下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数。若对于给定的非零常数，存在非零常数，使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为，则下列命题正确的是（ ）
A. 函数是上的“2级类周期函数”，周期为1
B. 函数不可能是“级类周期函数”
C. 已知函数是上周期为1的“级类周期函数”，当时，，若在上单调递减，则的取值范围为
D. 若函数是上周期为2的“2级类周期函数”，且当时，，对任意，都有，则的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分；共15分。）
12. 写出一个关于对称的奇函数。
13. 已知函数满足，则。
14. 已知是正整数，且，则满足方程的有__________个.
四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（13分）已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
16.（15分）已知函数.
（1）求的最小正周期、定义域、对称中心和单调区间；
（2）若，求的取值范围.
17.（15分）已知是偶函数.
（1）求实数的值.
（2）判断在区间上的单调性，并用定义法加以证明.
18. （17分）汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度.设表示停车距离，表示反应距离，表示制动距离，则.下图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图，
例如：时，；时，
（1）根据相关数据，试解释为什么交通部门要求在限速的路段，行车要至少与前车保持100米以上的距离；
（2）根据相关数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型.可选择模型一：或模型二：（其中为汽车速度，，为待定系数）进行拟合，请根据和两组数据分别求出两个函数模型的解析式；
（3）通过计算时的停车距离，分析选择哪一个函数模型的拟合效果更好.
（参考数据： ；；.）
19. （17分）已知函数，。
（1）求函数的定义域；
（2）用表示实数，中的较大者，设函数，讨论函数的零点个数。
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数学 参考答案
【选择题】
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C B B C A C C AD ABC ABD
【填空题】
12. （答案不唯一）
13.
14.11
【小题详解】
1.B【详解】命题“”的否定为“”。
2.C【详解】由题意可知，由子集的定义可知集合有个。
3.B【详解】时钟的分针从8点10分到8点20分顺时针转动了，所以转过的弧度数为。
4.B【详解】因为函数，
所以，
5.C【详解】。
6.A【详解】由于天平两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），
第一次称出的黄金重为，第二次称出的黄金重为，由杠杆平衡定理可得，，，
则，，，故顾客实际所得黄金大于。
7.C【详解】若，则方程为，解得，满足条件；
设，若，因为，所以函数与轴在原点两侧各有一个交点，
所以方程恰有一个正根和一个负根，满足条件；
若，因为，所以若方程至少有一个正根，
则函数的图象与轴相交，且对称轴在原点右侧，
所以，解得。
8.C【详解】由题意知，，，
解得。同理可解得，
比较和：取，，，
比较和：取，，，
比较和：取，，，
9.AD【详解】A.，同除可得，A正确；
B.当时，，B错误；
C.若，，此时有，C错误；
D.，，故，D正确。
10.ABC【详解】由已知可得，则，
因为，，所以，，故AB正确；
所以则①，故C正确；
又②，联立①②解得，，则，故D错误。
11.ABD【详解】对于A，对于函数，因为，
因为函数是上的“2级类周期函数”，所以函数是上的“2级类周期函数”，周期为1，故A正确；
对于B，假设函数是“级类周期函数”，则存在非零常数，使得成立，
即，整理得，所以，解得，又因为，
所以函数不可能是“级类周期函数”，故B正确；
对于C，因为函数是上周期为1的“级类周期函数”，
所以，因为当时，，所以，，
所以当时，，
而，，
因为在上单调递减，
所以，解得，
若，，，与题意矛盾，
所以的取值范围为，故错误；
对于，因为函数是上周期为的“级类周期函数”，所以，
因为当时，，所以当时，，
故当时，恒成立，
当时，，则，
此时，令，解得或，
当时，，综上所述，对任意，都有，则的取值范围为，
故正确.
12. 函数关于对称且关于原点对称，所以周期为，最先想到的就是正弦复合函数
13. ，，解方程组得
14. 显然时，，满足要求，
当时，先考虑一个周期内，
当时，，故单调递增且大于，
而单调递减且小于，两者不可能相等，
时，单调递减且大于，
，两者不可能相等，
当，时，，
故要想成立，
则，
由周期性知，当，，，，时，等式左边为，
又当，，，，时，，
故当，，，，，，，，，，时，满足要求，共11个.
【解答题答案及评分细则】
15. （1）当时，，……2分
又解得，……4分
所以；……6分
（2）若，则 ……7分
当，即时，，符合条件……9分
当，即时，，……10分
则， ……12分
综上所述，实数的取值范围为 ……13分
（说明：若没有讨论的情况扣3分）
16. （1）的最小正周期为 ……2分
由，，解得，……4分
故的定义域为；……5分
由，，解得，……7分
故的对称中心为；……8分
因为，由，得，……10分
所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.……11分
（2）， ……13分
∴fθ=tanπ3-2θ∈-∞,-3∪3,+∞ 15分
（说明：定义域要求写成集合形式，对称中心要求写成点坐标，单调区间要求写成区间形式，否则扣分。如果没有说明无增区间可不扣分。）
17．（1）2 分
是偶函数，4 分
5 分
（若利用 解出 ，要写上经检验得 时， 是偶函数，不写扣 1 分）
（2） 在区间 上单调递增，证明如下：6分
由（1）得 ，令 7分
设 ，且 ，则8 分
，9 分
11 分
由 ，得 ，即 ，则 ，13 分
因此 ，所以 14 分
所以 在区间 上单调递增15 分
18. （1）由数据知，当时，停车距离，当时，停车距离
d=101m，所以保持100米以上的安全距离才能保证遇到突发情况时能避免与前车碰撞 3分
（只要能言之有理即可，但一定要有利用数据进行说理）
（2）模型一：d^=av+b，由题意可得{26.5=50a+b85.4=100a+b， 5分
解得a=1.178，b=-32.4 7分
则模型一的解析式为：d=1.178v-32.4 8分
模型二：由题意可得，……………………………………10分
解得， ……………………………………………………………………………………12分
则模型二的解析式为： ………………………………………………………………13分
（3）将代入模型一解析式得出 ……………………14分
将代入模型二解析式得出 ………………………………16分
由于实际的停车距离为，则模型二的拟合效果更好.………………………………………………17分
19. （1）， ……………………1分
①当时，不等式为，解得；…………………………………………………2分
当时，不等式可以化为，
令，则，，…………………………………………………………3分
②当时，代入可得，不等式的解为；……………………………4分
③当时，此时，不等式的解为；……………………………5分
④当时，此时，不等式的解为；……………………………6分
⑤当时开口向下，此时，不等式的解为，……………………………………7分
综上所述，当时的定义域为，
当时的定义域为，
当时的定义域为，
当时的定义域为，
当时的定义域为.………………………………………………8分
（说明：使用临界值法分类讨论的酌情给分，定义域没有写成区间或集合形式的扣1分）
（2）当时，则，，
显然，的图象在的图象上方，故，无零点；………………………9分
当时，，即，所以或；
（i）当时，，当时，在上单调递增，
且f(x)>6，故h(x)≥f(x)>0，无零点； 11分
(ii)当a<0时，且-3a<1时，即\(a<；-3，此时f(x)=ax2+(2a+3)x+6与g(x)=lgx只有1个交点，且交点在x轴下方，故h(x)有2个零点，分别为\(x= -3a和1； 13分
当，，此时与只有1个交点，交点横坐标为1，
故h(x)有1个零点1； 14分
当，，此时与只有1个交点，交点在轴上方，
故h(x)无零点． 16分
综上，当时，无零点，当时，有1个零点，当时，有2个零点．...17分