(共18张PPT)
2.1 等式性质与不等式性质
第二章 一元二次函数、方程和不等式
第1课时 不等关系与不等式
课程目标
1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会用作差法比较两实数的大小.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
a-b>0
a-b=0
a-b<0
2ab
a=b
教材整体初识 构建与探源
判断正误(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式x≥3的含义是指x不小于3.( )
(2)比较两个代数式的大小只能用作差法.( )
(3)若x-y>0,我们就说x大于y. ( )
(4)x2+1与2x两式都随x的变化而变化,因此无法判断大小关系.( )
√
×
√
×
类型一 用不等式(组)表示不等关系
例1[2025·温州中学检测] 某公司准备对一项目进行投资,提出两个投资方案:方案A为一次性投资300万;方案B为第一年投资80万,以后每年投资20万.下列不等式表示“经过n年之后,方案B的投入不少于方案A的投入”的是( )
A.80+20n≥300 B.80+20n≤300
C.80+20(n-1)≤300 D.80+20(n-1)≥300
【解析】 因为经过n年之后,方案B的投入不少于方案A的投入,方案A为一次性投资300万,方案B为第一年投资80万,以后每年投资20万,所以80+20(n-1)≥300.
D
类型一 用不等式(组)表示不等关系
D
类型二 作差法比较大小
例2当x,y,z∈R时,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小.
解:因为5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0,所以5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2.
类型二 作差法比较大小
活学活用
比较(3x-1)(x+3)与2x2+14x-15的大小.
解:(3x-1)(x+3)-(2x2+14x-15)=(3x2+8x-3)-(2x2+14x-15)=x2-6x+12=(x-3)2+3>0,所以(3x-1)(x+3)>2x2+14x-15.
类型二 作差法比较大小
[题后感悟]
作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差.(2)变形.变形的常用方法有配方法、因式分解法、分母有理化等.(3)定号,即确定差的符号.(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.
类型三 重要不等式
例3 已知a>0,b>0,证明:a3+b3≥ab2+a2b.
证明:a3+b3-(ab2+a2b)=(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b)=(a+b)(a2-2ab+b2).因为a>0,b>0,且a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立,所以a+b>0,a2+b2-2ab≥0,所以a3+b3-(ab2+a2b)≥0,故a3+b3≥ab2+a2b.
类型三 重要不等式
类型三 重要不等式
[题后感悟]
在不等式的证明过程中,常将不等式中的字母作适当的代换,转换为重要不等式的形式,呈现其内在结构的本质.
当堂自评
1.完成一项装修工程,请木工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元,现有工人工资预算2 000元,设请木工x人,瓦工y人,则请工人满足的关系式是( )
A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200
C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200
【解析】 依题意,得50x+40y≤2 000,即5x+4y≤200.
D
当堂自评
2.设a=3x2-x+1,b=2x2+x,则( )
A. a>b B. a
C. a≥b D. a≤b
【解析】 因为a-b=3x2-x+1-(2x2+x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以a-b≥0,即a≥b.
C
当堂自评
3.用不等式表示下面的不等关系:
(1)a与b的积是非负数:___________.
(2)m与n的和大于p:___________.
(3)某学校规定学生离校时间t在16点到18点之间:______________.
ab≥0
m+n>p
16≤t≤18
当堂自评
当堂自评
当堂自评(共23张PPT)
2.2 基本不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
第1课时 基本不等式
课程目标
1.了解基本不等式的代数与几何两方面背景.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
3.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
a=b
算术
几何
不小于
x=y
小
x=y
大
教材整体初识 构建与探源
教材整体初识 构建与探源
√
×
×
×
×
类型一 对基本不等式的理解
ABC
类型一 对基本不等式的理解
D
类型一 对基本不等式的理解
B
类型一 对基本不等式的理解
类型一 对基本不等式的理解
[题后感悟]
应用基本不等式时要注意以下三点:
(1)各项或各因式均为正.
(2)和或积为定值.
(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正、二定、三相等”.
类型二 基本不等式与最值
类型二 基本不等式与最值
类型二 基本不等式与最值
3
类型二 基本不等式与最值
类型二 基本不等式与最值
[题后感悟]
利用基本不等式求函数的最值
(1)利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创造应用基本不等式的条件.(2)等号取不到时,注意利用求函数最值的其他方法.
类型三 用基本不等式证明不等式
类型三 用基本不等式证明不等式
类型三 用基本不等式证明不等式
类型三 用基本不等式证明不等式
[题后感悟]
累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用,对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.
当堂自评
D
当堂自评
B
当堂自评
D
当堂自评
2 (共25张PPT)
2.1 等式性质与不等式性质
第二章 一元二次函数、方程和不等式
第2课时 等式性质与不等式性质
课程目标
1.了解等式的基本性质.2.掌握不等式的性质.3.能用不等式的性质解决一些简单问题.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
b=a
a=c
a±c=b±c
ac=bc
a＞c
a＞c-b
ac＜bc
ac ＞ bd
教材整体初识 构建与探源
×
×
×
×
教材整体初识 构建与探源
×
×
类型一 等式性质与不等式性质
D
A
类型一 等式性质与不等式性质
类型一 等式性质与不等式性质
类型一 等式性质与不等式性质
AC
类型一 等式性质与不等式性质
类型一 等式性质与不等式性质
[题后感悟]
1.运用不等式的性质判断时,要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能想当然随意捏造性质.
2.解有关不等式的选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.
类型二 利用不等式的性质证明不等式
类型二 利用不等式的性质证明不等式
类型二 利用不等式的性质证明不等式
类型二 利用不等式的性质证明不等式
[题后感悟]
1.利用不等式的性质证明不等式其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,同时要注意性质适用的前提条件.
2.用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样,变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件.
类型三 利用不等式的性质求代数式的取值范围
类型三 利用不等式的性质求代数式的取值范围
类型三 利用不等式的性质求代数式的取值范围
类型三 利用不等式的性质求代数式的取值范围
[题后感悟]
1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用不等式的性质进行运算,求得待求的范围.
2.同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.
当堂自评
D
当堂自评
D
当堂自评
3.已知1≤a≤2,-1≤b≤4,则t=a-2b的取值范围是( )
A. {t|-7≤t≤4}
B. {t|-6≤t≤9}
C. {t|6≤t≤9}
D. {t|-2≤t≤8}
【解析】 因为-1≤b≤4,所以-8≤-2b≤2,由1≤a≤2,得-7≤a-2b≤4.
A
当堂自评
D
当堂自评
当堂自评
(2)由a>b,c>0,得ac>bc,即-ac<-bc,
又f第二章 章末复习课
第二章 一元二次函数、方程和不等式
………………………思维导图 体系构建………………………
×
√
×
×
×
×
………………………核心题型 素养提升………………………
核心题型一 不等式及其性质
1.不等式及其性质贯穿整个高中数学阶段,只要是涉及范围的问题,都和不等式有关,在高中数学中有着很高的地位.
2.掌握不等式的运算性质,重点提升数学抽象和逻辑推理素养.
D
B
D
C
D
AD
C
核心题型三 一元二次不等式的解法
1.对于实系数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正),然后能分解因式的变成因式相乘的形式,从而得到不等式的解集.
2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏.
3.掌握不等式的解法,重点提升逻辑推理和数学运算素养.
核心题型四 不等式的实际应用
1.不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,根据题设条件构建数学模型是解题关键.
2.利用不等式解决实际应用问题,重点提升数学建模素养和数学运算素养.
例4一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金,其中左臂长和右臂长之比为λ,一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中,使天平平衡;再将5 g砝码放在天平右盘中,然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡.最后将两次称得的黄金交给顾客.
(1)试分析顾客购得的黄金是小于10 g,等于10 g,还是大于10 g 为什么
(2)如果售货员又将10 g的砝码放在天平左盘中,然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡,请问要使得三次黄金质量总和最小,商家应该将左臂长和右臂长之比λ设置为多少 请说明理由.(共26张PPT)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
课程目标
1.结合二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根个数,了解函数的零点与相应方程的根的关系;经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的实际意义,借助二次函数的图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.2.能借助二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示.3.从函数观点认识不等式,感悟数学知识之间的关联,认识函数的重要性.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
一个
2
成立
值
所有解
解集
教材整体初识 构建与探源
{x|xx2}
R
{x|x1x2}
教材整体初识 构建与探源
×
×
√
教材整体初识 构建与探源
×
×
×
×
类型一 解一元二次不等式
类型一 解一元二次不等式
类型一 解一元二次不等式
类型一 解一元二次不等式
[题后感悟]
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
类型二 解含参数的一元二次不等式
类型二 解含参数的一元二次不等式
类型二 解含参数的一元二次不等式
类型二 解含参数的一元二次不等式
活学活用
解关于x的不等式2x2+ax+2>0.
解:对于方程2x2+ax+2=0,Δ=a2-16,下面分情况讨论:
(1)当Δ<0,即-4(2)当Δ=0,即a=±4时,若a=-4,
则原不等式等价于(x-1)2>0,故x≠1;
若a=4,则原不等式等价于(x+1)2>0,故x≠-1.
类型二 解含参数的一元二次不等式
类型二 解含参数的一元二次不等式
[题后感悟]
在解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑
(1)不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0.
(2)不等式对应的方程根的讨论:两不同实根(Δ>0),两相同实根(Δ=0),无根(Δ<0).
(3)不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1类型三 三个“二次”关系的应用
类型三 三个“二次”关系的应用
类型三 三个“二次”关系的应用
D
类型三 三个“二次”关系的应用
类型三 三个“二次”关系的应用
[题后感悟]
应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数、方程之间存在着密切的联系,即给出了一元二次不等式的解集,则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.
当堂自评
A
当堂自评
A
当堂自评
B
当堂自评
D
当堂自评
5.[2025·唐山一中检测] 设集合S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则集合( RS)∪T=______________.
【解析】 因为T={x|x2+3x-4≤0}={x|-4≤x≤1},S={x|x>-2},
则 RS={x|x≤-2},( RS)∪T={x|x≤1}.
{x|x≤1} (共20张PPT)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
第2课时 一元二次不等式的应用
课程目标
1.掌握简单的分式不等式的解法.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式模型,并加以解决.
教材整体初识 构建与探源
×
√
×
×
×
类型一 解分式不等式
类型一 解分式不等式
类型一 解分式不等式
类型一 解分式不等式
类型一 解分式不等式
[题后感悟]
分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
类型二 一元二次不等式的实际应用
例2[2025·汕头一中检测] 某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.
(注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价))
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的关系式.
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%
类型二 一元二次不等式的实际应用
类型二 一元二次不等式的实际应用
类型二 一元二次不等式的实际应用
类型二 一元二次不等式的实际应用
[题后感悟]
从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤
(1)阅读理解题意,认真审题,分析题目中有哪些已知量和未知量,找准不等关系.
(2)设出起关键作用的未知量,用不等式表示不等关系(或表示成函数关系).
(3)解不等式(或求函数最值).
(4)回归实际问题.
当堂自评
B
当堂自评
A
当堂自评
B
当堂自评
4.某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位:天)的关系式是y1=t+10(0______________________.
【解析】 由题意得z=(t+10)(-t+35),
令(t+10)(-t+35)≥500,
解得10≤t≤15,t∈N,
所以t的取值范围为{t|10≤t≤15,t∈N}.
{t|10≤t≤15,t∈N}
当堂自评
{x|x>6或-1当堂自评
∴x>6或-1故原不等式的解集为{x|x>6或-12.2 基本不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
第2课时 基本不等式在实际问题中的应用
课程目标
1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
类型一 基本不等式在生活中的应用
类型一 基本不等式在生活中的应用
类型一 基本不等式在生活中的应用
类型一 基本不等式在生活中的应用
类型一 基本不等式在生活中的应用
[题后感悟]
利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意,设变量,并理解变量的实际意义.
(2)构造定值,利用基本不等式求最值.
(3)检验,检验等号成立的条件是否满足题意.
(4)结论.
类型二 基本不等式在几何中的应用
类型二 基本不等式在几何中的应用
类型二 基本不等式在几何中的应用
类型二 基本不等式在几何中的应用
活学活用
如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=4米,AD=3米,当BM=
________米时,矩形花坛AMPN的面积最小.
4
类型二 基本不等式在几何中的应用
类型二 基本不等式在几何中的应用
[题后感悟]
在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即已知条件中字母为正数)“定”(不等式的另一边必须为定值)“等”(等号取得的条件)才能应用,否则会出现错误.
当堂自评
C
当堂自评
B
当堂自评
B
当堂自评
4.在下图所示的锐角三角形空地中,欲建一个内接矩形花园(阴影部分),则矩形花园面积的最大值为_________.
【解析】 由题意设矩形花园的长为x,宽为y,x>0,y>0,则矩形花园的面积为xy.根据题意作图,如图.
400
