(共22张PPT)
3.2 函数的基本性质
第三章 函数的概念与性质
第2课时 函数的最大(小)值
3.2.1 单调性与最大(小)值
课程目标
1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数,体会求函数最值是函数单调性的应用之一.3.会求一些简单函数的最值.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
项目 最大值 最小值
条件 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足: x∈D,都有
f(x)_______ M f(x)_______ M
x0∈D,使得______________
结论 称M是函数y=f(x)的最大值 称M是函数y=f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的___________ f(x)图象上最低点的_________
≤
≥
f(x0)=M
纵坐标
纵坐标
教材整体初识 构建与探源
判断正误(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)=-x2+1≤2总成立,则f(x)的最大值是2.( )
(2)任何函数都有最大(小)值. ( )
(3)函数f(x)取最大值时,对应的x可能有无限多个.( )
(4)如果f(x)的最大值、最小值分别为M,m,则f(x)的值域为[m,M].( )
(5)若函数f(x)在定义域[a,b]上具有单调性,则f(a)或f(b)是函数f(x)的最大值或最小值. ( )
×
×
√
×
√
类型一 利用函数的图象求函数的最值
类型一 利用函数的图象求函数的最值
类型一 利用函数的图象求函数的最值
[题后感悟]
利用图象求函数最值的步骤
(1)画出函数y=f(x)的图象.
(2)观察图象,找出图象的最高点和最低点.
(3)写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值.
类型二 利用函数的单调性求函数的最值
类型二 利用函数的单调性求函数的最值
类型二 利用函数的单调性求函数的最值
类型二 利用函数的单调性求函数的最值
类型二 利用函数的单调性求函数的最值
类型二 利用函数的单调性求函数的最值
[题后感悟]
1.利用单调性求最值的一般步骤
(1)判断函数的单调性.(2)利用单调性写出最值.
2.函数的最值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调递减,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b).
(2)若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调递增,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a).
类型二 利用函数的单调性求函数的最值
(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.
类型三 与最值有关的实际应用问题
类型三 与最值有关的实际应用问题
类型三 与最值有关的实际应用问题
[题后感悟]
解函数应用题的一般步骤
(1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.
(2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.
(3)求模.求解数学模型,得到数学结论.
(4)还原.将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.
(5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.
当堂自评
C
当堂自评
2.[2025·潍坊一中高一] 已知函数f(x)=2x-3,当x≥1时,恒有f(x)≥m成立,则实数m的取值范围是( )
A.R B.(-∞,-1]
C.[-1,+∞) D.
【解析】 因为f(x)=2x-3在x∈[1,+∞)上单调递增,所以f(x)min=-1,故满足f(x)≥-1.
又因为在x≥1时,f(x)≥m恒成立,所以m≤-1,故m∈(-∞,-1].
B
当堂自评
4
[-11,-2]
当堂自评
当堂自评
6.将进货单价为40元的商品按50元一个出售时,能卖出500个,已知这种商品每涨价1元,其销售量就减少10个,为得到最大利润,售价应为多少元 最大利润为多少
解:设售价为x元,利润为y元,则单个涨价(x-50)元,销量减少10(x-50)个,销量为500-10(x-50)=(1 000-10x)个,
则y=(x-40)(1 000-10x)=-10(x-70)2+9 000≤9 000.
故当x=70时,ymax=9 000.
即售价为70元时,利润最大,最大值为9 000元.(共35张PPT)
第三章 章末复习课
第三章 函数的概念与性质
………………………思维导图 体系构建………………………
×
×
×
×
×
×
√
√
………………………核心题型 素养提升………………………
核心题型一 函数的三要素
函数的三要素指的是定义域、对应关系和值域,其中值域由定义域与对应关系共同确定,对应关系常体现为函数的解析式,一般用配凑法、待定系数法、换元法、解方程组法等求解.函数的定义域即函数自变量的取值范围,确定函数的定义域是进一步研究函数其他性质的前提,而研究函数的性质,利用函数性质解决数学问题是中学数学的重要组成部分,所以熟悉函数定义域的求法,对于函数综合问题的解决起着至关重要的作用.
C
A
B
D
核心题型二 分段函数
分段函数作为考查函数知识的最佳载体,一直是高考命题的热点,解题过程中常渗透分类讨论的数学思想,试题常以选择题、填空题的形式出现,难度不大,属于基础题.常见的命题角度为求值问题,求参数或自变量的值(或范围).
C
C
核心题型三 函数的图象
函数的图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性,常见的考查形式有函数图象的辨识与函数图象的应用(研究函数的性质、不等式与方程的根等).
例3(1)[2025·北仑中学检测] 下图是函数y=f(x),x∈[-4,3]的图象,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)在[-4,-1]上单调递减,在[-1,3]上单调递增
B.f(x)在区间(-1,3)上的最大值为3,最小值为-2
C.f(x)在[-4,1]上有最小值-2,有最大值3
D.若直线y=t与y=f(x)的图象有三个交点,则-1C
A. B.
C. D.
A
所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.
(3)由(2)知函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以3m>5-2m>1,解得1所以m的取值范围为(1,2).
核心题型五 函数的应用
以现实生活为背景,解决生活中的成本最少、利润最高等问题,一般是通过构造一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等数学模型,能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.能将实际问题转化为熟悉的数学模型,建立合适的数学模型解决简单的实际问题.
例5[2025·揭阳一中检测] 某乡镇为全面实施乡村振兴战略,大力发展特色农产业,提升特色农产品的知名度,邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌,其中y>x,并要求其面积为2(x-y+10)平方米.
(1)求y关于x的函数f(x).
(2)判断f(x)在其定义域内的单调性,并用定义证明.
(3)如何设计展牌的长和宽,才能使展牌的周长最小
解:(1)因为长方形展牌的宽为x米,长为y米,所以面积为xy=2(x-y+10),(共24张PPT)
3.1 函数的概念及其表示
第三章 函数的概念与性质
第2课时 函数的概念(二)
3.1.1 函数的概念
课程目标
1.能正确使用区间表示数集.2.会判断两个函数是否为同一个函数.3.会求一些简单函数的定义域与值域.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
R
{x|x≠0}
R
R
R
{y|y≠0}
相同
相同
教材整体初识 构建与探源
×
×
×
教材整体初识 构建与探源
(4)若两个函数的定义域与值域都相同,则这两个函数是同一个函数.( )
(5)函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t是同一个函数. ( )
×
√
类型一 区间的表示
例1将下列集合用区间以及数轴表示出来:
(1){x|x<2}. (2){x|x=0,或1≤x≤5}.
(3){x|x=3,或4≤x≤8}. (4){x|2≤x≤8,且x≠5}.
(5){x|3解:(1){x|x<2}可以用区间表示为(-∞,2);用数轴表示如图1.
类型一 区间的表示
(2){x|x=0,或1≤x≤5}可以用区间表示为{0}∪[1,5];用数轴表示如图2.
(3){x|x=3,或4≤x≤8}用区间表示为{3}∪[4,8];用数轴表示如图3.
(4){x|2≤x≤8,且x≠5}用区间表示为[2,5)∪(5,8];用数轴表示如图4.
(5){x|3类型一 区间的表示
[题后感悟]
1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.
2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示.
类型二 同一个函数的判断
D
类型二 同一个函数的判断
C
类型二 同一个函数的判断
类型二 同一个函数的判断
[题后感悟]
判断两个函数是否为同一个函数,要根据函数的三要素来判断,即看函数的定义域、对应关系、值域是否一致,当三者都一致的时候,两个函数才是同一个函数.
类型三 求抽象函数的定义域
例3 (1)若函数y=f(3x+1)的定义域为[-2,4],则y=f(x)的定义域是( )
A.[-1,1] B.[-5,13]
C.[-5,1] D.[-1,13]
(2)若函数y=f(x)的定义域是[-1,3],则f(2x+1) 的定义域为___________.
【解析】 (1)由题意知,-2≤x≤4,所以-5≤3x+1≤13,所以y=f(x)的定义域是[-5,13].
(2)令-1≤2x+1≤3,解得-1≤x≤1,所以f(2x+1)的定义域为[-1,1].
B
[-1,1]
类型三 求抽象函数的定义域
类型三 求抽象函数的定义域
[题后感悟]
抽象函数的定义域
(1)已知f(x)的定义域为[a,b],求f(g(x))的定义域,即求不等式a≤g(x)≤b的解集.
(2)已知f(g(x))的定义域为[c,d],求f(x)的定义域,即求g(x)在[c,d]上的取值范围(值域).
类型四 求简单函数的值域
类型四 求简单函数的值域
类型四 求简单函数的值域
类型四 求简单函数的值域
(3)y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为[2,6).
类型四 求简单函数的值域
[题后感悟]
求函数值域的方法
(1)观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到.
(2)配方法:此方法是求“二次函数类”值域的基本方法,即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的形式.
(3)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域.
类型四 求简单函数的值域
当堂自评
B
当堂自评
C
当堂自评
D(共21张PPT)
3.1 函数的概念及其表示
第三章 函数的概念与性质
第1课时 函数的概念(一)
3.1.1 函数的概念
课程目标
1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素.2.会求一些简单函数的定义域.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
实数集
任意一个数x
唯一
x
{f(x)|x∈A}
教材整体初识 构建与探源
判断正误(请在括号中打“√”或“×”)
函数的概念
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系.( )
(2)“y=f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”. ( )
(3)函数的定义域必须是数集,值域可以为其他集合. ( )
(4)在研究函数时,除用符号f(x)外,还可以用g(x),F(x),G(x)等来表示函数.( )
×
×
×
√
教材整体初识 构建与探源
×
×
√
×
类型一 函数的概念
D
类型一 函数的概念
(2)设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形:
其中能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
B
类型一 函数的概念
【解析】 (1)根据函数的定义,对于D,在集合A中的部分元素,集合B中没有元素与它对应,故不正确.
(2)①中,因为在集合M中,当1类型一 函数的概念
活学活用
[2025·宁波中学高一] 下列图形中,不能确定y是x的函数的是 ( )
【解析】 任作一条垂直于x轴的直线x=a,移动直线,根据函数的定义可知,此直线与函数图象至多有一个交点.结合选项可知D不满足要求,因此不表示函数关系.
A. B.
C. D.
D
类型一 函数的概念
[题后感悟]
判断一个对应关系是不是函数,要从以下三个方面入手,即A,B必须是非空实数集;A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应;A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应.
类型二 函数求值问题
类型二 函数求值问题
10
类型二 函数求值问题
[题后感悟]
已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值;已知g(x)的表达式时,先求g(a)的值m,再求f(m)的值即得f(g(a))的值,即遵循由里往外的原则求f(g(a))的值.
类型三 求具体函数的定义域
类型三 求具体函数的定义域
类型三 求具体函数的定义域
类型三 求具体函数的定义域
类型三 求具体函数的定义域
[题后感悟]
求函数的定义域,其实质是以使函数的表达式所含运算有意义为原则,其原则有:①分式中分母不为零.②偶次根式中被开方数非负.③对于y=x0,要求x≠0.④实际问题中的函数定义域要考虑实际意义.
当堂自评
1.下列图形中不是函数图象的是( )
A. B. C. D.
A
当堂自评
2.设函数f(x)=ax+b,若f(1)=-2,f(-1)=0,则( )
A.a=1,b=-1 B.a=-1,b=-1
C.a=-1,b=1 D.a=1,b=1
B
当堂自评
A(共25张PPT)
3.1 函数的概念及其表示
第三章 函数的概念与性质
第2课时 分段函数
3.1.2 函数的表示法
课程目标
1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数,能研究有关性质.3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
教材整体初识 构建与探源
×
×
√
√
类型一 分段函数求值(范围)问题
类型一 分段函数求值(范围)问题
类型一 分段函数求值(范围)问题
-1
2
类型一 分段函数求值(范围)问题
类型一 分段函数求值(范围)问题
[题后感悟]
1.求分段函数的函数值的方法:
先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
2.求某条件下自变量的值的方法:
先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后相应求出自变量的值,切记代入检验.
类型二 分段函数的图象及应用
例2[2025·舟山中学检测] 已知函数f(x)=-x2+2,g(x)=x,令φ(x)=min{f(x),g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者).
(1)分别用图象法和解析法表示φ(x).
(2)求函数φ(x)的定义域与值域.
解:(1)在同一平面直角坐标系中作出函数f(x),g(x)的图象,如图1所示.
类型二 分段函数的图象及应用
类型二 分段函数的图象及应用
类型二 分段函数的图象及应用
类型二 分段函数的图象及应用
[题后感悟]
因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分.
类型三 分段函数在实际问题中的应用
例3 某地区的电力紧缺,电力公司为鼓励市民节约用电,采取按月用电量分段收费办法.若某户居民每月应缴电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示),根据图象解答下列问题:
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)利用函数解析式,说明电力公司采取的收费标准.
(3)若该用户某月用电62度,则应缴费多少元 若该用户某月缴费105元,则该用户该月用了多少度电
类型三 分段函数在实际问题中的应用
类型三 分段函数在实际问题中的应用
(2)由(1)知电力公司采取的收费标准:用户月用电量不超过100度时,每度电0.65元;超过100度时,超出的部分,每度电0.80元.
(3)当x=62时,y=62×0.65=40.3(元);
当y=105时,因为0.65×100=65<105,故x>100,所以105=0.8x-15,
解得x=150.
即若用户月用电62度,则用户应缴费40.3元;若用户月缴费105元,则该用户该月用了150度电.
类型三 分段函数在实际问题中的应用
活学活用
[2025·淄博一中检测] 某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水量不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水量超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.则该单位职工每月应缴水费y(元)与实际用水量x(立方米)满足的函数关系式是
_________________________.若某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水量为_________立方米.
13
类型三 分段函数在实际问题中的应用
类型三 分段函数在实际问题中的应用
[题后感悟]
分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图象也需要分段画.
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点,即明确自变量的取值区间,对每一个区间进行分类讨论,从而写出相应的函数解析式.
当堂自评
A. B.
C. D.
C
当堂自评
B
当堂自评
B
当堂自评
D
当堂自评
(共23张PPT)
3.2 函数的基本性质
第三章 函数的概念与性质
第2课时 奇偶性的应用
3.2.2 奇偶性
课程目标
1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
单调递增
相同
单调递减
相反
教材整体初识 构建与探源
判断正误(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若f(x)为奇函数且在[a,b]上有最大值,则f(x)在[-b,-a]上有最小值. ( )
(2)若函数f(x)为偶函数且在[1,2]上单调递增,则f(x)在[-2,-1]上也单调递增.( )
(3)若偶函数f(x)在[0,4]上单调递增,则在[-1,0]上单调递减.( )
√
×
√
类型一 根据函数的奇偶性求函数的解析式
类型一 根据函数的奇偶性求函数的解析式
A
类型一 根据函数的奇偶性求函数的解析式
[题后感悟]
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a,b]上的解析式,想求它在关于原点的对称区间[-b,-a]上的解析式,解决思路为:①“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.②要利用已知区间的解析式进行代入.③利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).
类型一 根据函数的奇偶性求函数的解析式
类型一 根据函数的奇偶性求函数的解析式
活学活用
已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=x2+2x+3,则f(x)-g(x)=________________.
【解析】 根据题意,f(x)+g(x)=x2+2x+3,则f(-x)+g(-x)=(-x)2+2(-x)+3=x2-2x+3,又由f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,得f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),则有-f(x)+g(x)=x2-2x+3,变形可得f(x)-g(x)=-x2+2x-3.
-x2+2x-3
类型一 根据函数的奇偶性求函数的解析式
[题后感悟]
已知函数f(x),g(x)的组合运算与奇偶性,则把x换为-x,构造方程组求解.
类型二 利用函数奇偶性与单调性比较大小
B
类型二 利用函数奇偶性与单调性比较大小
B
类型二 利用函数奇偶性与单调性比较大小
[题后感悟]
比较大小问题,一般解法是先利用奇偶性,将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值,转化为同一单调区间上的自变量的函数值,然后利用单调性比较大小.
类型三 利用函数单调性与奇偶性解不等式
类型三 利用函数单调性与奇偶性解不等式
活学活用
[2025·丽水中学检测] 定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(-2)=1,则满足-1≤f(x-1)≤1的x的取值范围是 ( )
A.[-2,2] B.[-2,1]
C.[-1,3] D.[0,2]
【解析】 因为f(x)是奇函数,所以f(2)=-f(-2)=-1.因为奇函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以f(x)在R上是减函数.由-1≤f(x-1)≤1得f(2)≤f(x-1)≤f(-2),所以2≥x-1≥-2,解得-1≤x≤3.
C
类型三 利用函数单调性与奇偶性解不等式
[题后感悟]
抽象不等式问题的解题步骤
(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系.
(2)利用奇偶性得出区间上的单调性,再利用单调性“脱去”函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题.
当堂自评
B
D
当堂自评
D
当堂自评
当堂自评
当堂自评
当堂自评
6.[2025·余姚中学高一] 已知函数y=f(x)的图象关于原点对称,且当x>0时,f(x)=x2-2x+3.
(1)试求f(x)在R上的解析式.
(2)画出函数的图象,根据图象写出它的单调区间.
解:(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称,
所以f(x)为奇函数,则f(0)=0.
设x<0,则-x>0,
因为当x>0时,f(x)=x2-2x+3,
当堂自评(共27张PPT)
3.2 函数的基本性质
第三章 函数的概念与性质
第1课时 函数的单调性
3.2.1 单调性与最大(小)值
课程目标
1.理解函数单调性的定义及其几何意义;明确增函数、减函数的图象特征.2.能根据图象写出函数的单调区间,并能利用定义进行证明.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
f(x1) ＜f(x2)
f(x1) ＞f(x2)
增函数
减函数
上升的
下降的
教材整体初识 构建与探源
单调递增或单调递减
(严格的)单调性
增函数
减函数
增函数
减函数
教材整体初识 构建与探源
√
×
×
教材整体初识 构建与探源
(4)所有的函数在定义域上都具有单调性.( )
(5)设(a,b),(c,d)都是f(x)的单调递增区间,且x1∈(a,b), x2 ∈(c,d), x1(6)若函数y=f(x)满足f(1)(7)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增,则函数f(x)在区间(1,3)上单调递增.( )
×
×
×
×
类型一 确定函数的单调性(区间)
类型一 确定函数的单调性(区间)
BC
类型一 确定函数的单调性(区间)
类型一 确定函数的单调性(区间)
[题后感悟]
由图象确定函数单调区间的方法及注意事项
(1)图象从左向右上升,则函数单调递增;图象从左向右下降,则函数单调递减.
(2)单调区间必须是函数定义域的子集,单调区间之间不能用“∪”,而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接.
类型二 利用定义证明函数的单调性
类型二 利用定义证明函数的单调性
类型二 利用定义证明函数的单调性
类型二 利用定义证明函数的单调性
类型二 利用定义证明函数的单调性
[题后感悟]
证明函数f(x)在区间I上的单调性应遵循以下步骤
(1)设元:设 x1,x2∈I,且x1(2)作差:将函数值f(x1),f(x2)作差,有f(x1)-f(x2)或f(x2)-f(x1).
(3)变形:将上述差值变形(因式分解、配方等).
(4)判号:对上述变形结果的正负加以判断.
(5)定论:根据定义对f(x)的单调性下结论.
类型三 函数单调性的简单应用
B
类型三 函数单调性的简单应用
[题后感悟]
利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小,如函数y=f(x)在定义域的某个子区间上单调递增(递减),则对区间内任意两个值x1,x2,且x1f(x2)).
类型三 函数单调性的简单应用
C
类型三 函数单调性的简单应用
[题后感悟]
求解与抽象函数有关的不等式时,往往利用函数的单调性脱去“f”,使其转化为求解具体的不等式.此时应特别注意函数的定义域.
类型三 函数单调性的简单应用
角度3 利用函数的单调性求参数的取值范围
例5若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是 ( )
A.[-3,0) B.(-∞,-3]
C.[-2,0] D.[-3,0]
D
类型三 函数单调性的简单应用
类型三 函数单调性的简单应用
[题后感悟]
利用单调性求参数的值(取值范围)的思路:根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)),或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数除了要注意各段的单调性之外,还要注意衔接点的取值.
当堂自评
1.已知函数f(x)的图象如下图所示,则( )
A.函数f(x)在区间[-1,2]上单调递增
B.函数f(x)在区间[-1,2]上单调递减
C.函数f(x)在区间[-1,4]上单调递减
D.函数f(x)在区间[2,4]上单调递增
A
当堂自评
2.函数f(x)=|x2-1|的单调递增区间是 ( )
A.[-1,0]∪[1,+∞)
B.[-1,0],[1,+∞)
C.(-∞,0]
D.[0,+∞)
【解析】 画出f(x)=|x2-1|的图象(图略),易知其单调递增区间是[-1,0],[1,+∞).
B
当堂自评
3.若函数f(x)=-x2+2(a-1)x+2在(-∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.a≥5 B.a≥3
C.a≤3 D.a≤-5
【解析】 函数f(x)=-x2+2(a-1)x+2的图象开口向下,对称轴为直线x=a-1,故该函数的单调递增区间为(-∞,a-1).又函数 f(x) 在(-∞,4)上单调递增,所以(-∞,4) (-∞,a-1),所以a-1≥4,解得a≥5.
A
当堂自评
C
当堂自评(共22张PPT)
3.2 函数的基本性质
第三章 函数的概念与性质
第1课时 奇偶性的概念
3.2.2 奇偶性
课程目标
1.了解函数奇偶性的含义,了解奇函数、偶函数的图象的对称性.2.会运用定义判断函数的奇偶性.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
f(-x)=f(x)
y轴
f(-x)=-f(x)
原点
教材整体初识 构建与探源
判断正误(请在括号中打“√”或“×”)
奇函数和偶函数的概念
(1)f(x)是定义在R上的函数,若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数. ( )
(2)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.( )
(3)函数y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数.( )
(4)存在既是奇函数,又是偶函数的函数. ( )
×
×
×
√
教材整体初识 构建与探源
奇偶函数的性质
(5)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数.( )
(6)若函数f(x)是奇函数,则f(0)=0.( )
×
×
类型一 函数奇偶性的判断
类型一 函数奇偶性的判断
类型一 函数奇偶性的判断
类型一 函数奇偶性的判断
(2)函数的定义域关于原点对称.
当x>0时,-x<0,f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x),
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.
类型一 函数奇偶性的判断
[题后感悟]
1.用定义法判断函数的奇偶性,包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称.
(2)判断f(x)与f(-x)的关系.
2.图象法:若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数.
类型二 奇、偶函数的图象及应用
例2[2025·邵阳二中检测] 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.
(1)请补全函数y=f(x)的图象.
(2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间.
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
解:(1)由题意作出函数图象,如图.
(2)由图可知,单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).
(3)由图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2类型二 奇、偶函数的图象及应用
迁移探究
若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,如何解答本题
解:(1)由题意作出函数图象,如图所示.
(2)由图可知,单调递增区间为(-1,1).
(3)由图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-22}.
类型二 奇、偶函数的图象及应用
类型二 奇、偶函数的图象及应用
类型二 奇、偶函数的图象及应用
[题后感悟]
1.利用奇偶性作函数图象的步骤:①确定函数的奇偶性.②作出函数在[0,+∞)(或(-∞,0])上对应的图象.③根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称得出在(-∞,0](或[0,+∞))上对应的函数图象.
2.利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题.
类型三 利用函数奇偶性求值
B
7
类型三 利用函数奇偶性求值
类型三 利用函数奇偶性求值
2
-1
类型三 利用函数奇偶性求值
当堂自评
1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是 ( )
2.已知函数f(x)=x2-(2-m)x+3为偶函数,则m的值是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
A. B.
C. D.
B
B
当堂自评
A
当堂自评
4.[2025·珠海一中检测] 设偶函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如下图所示,则不等式f(x)<0的解集是_______________________.
【解析】 因为偶函数的图象关于y轴对称,
所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解集.
因为当x∈[0,5]时,f(x)<0的解集为{x|2所以当x∈[-5,0]时,f(x)<0的解集为{x|-5≤x<-2}.
所以f(x)<0的解集是{x|-5≤x<-2或2 {x|-5≤x<-2或23.1 函数的概念及其表示
第三章 函数的概念与性质
第1课时 函数的表示法
3.1.2 函数的表示法
课程目标
1.掌握函数的三种表示法——解析法、图象法、列表法.2.会求函数的解析式,并能正确画出函数的图象.3.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
解析式
表格
图象
教材整体初识 构建与探源
×
×
×
×
×
类型一 函数的表示法
例1某问答游戏的规则:共5道选择题,基础分为50分,每答错一道题扣10分,答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系.
解:(1)该函数关系用列表法表示如下:
(2)该函数关系用图象法表示,如图所示.
(3)该函数关系用解析法表示为y=50-10x(x∈{0,1,2,3,4,5}).
x/道 0 1 2 3 4 5
y/分 50 40 30 20 10 0
类型一 函数的表示法
活学活用
(1)如图所示,正方体容器内放了一个圆柱形烧杯,向放在容器底部的烧杯注水(流量一定),注满烧杯后,继续注水,直至注满正方体容器,则正方体容器中水面上升高度h与注水时间t之间的函数图象可能是( )
D
类型一 函数的表示法
C
类型一 函数的表示法
[题后感悟]
三种表示方法用不同方式表示出了函数自变量、函数值的对应关系,各有优缺点,在解题的过程中,可以选取最适合的方法表示函数.
类型二 函数的图象
类型二 函数的图象
类型二 函数的图象
[题后感悟]
1.作函数图象最基本的方法是描点法,主要有三个步骤:列表、描点、连线.作图象时一般先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象.
2.函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意特殊点,如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数图象的顶点等,还要分清这些特殊点是实心点还是空心点.
类型三 求函数的解析式
角度1 待定系数法求解析式
例3(1)已知一次函数f(x)满足f(-1)=0,f(0)=-2,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=2x+2 B.f(x)=-2x-2
C.f(x)=2x-2 D.f(x)=-2x+2
(2)已知f(x)为二次函数,且满足f(0)=1,f(x-1)-f(x)=4x,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=-2x2-2x+1 B.f(x)=-2x2+2x+1
C.f(x)=-2x2-2x-1 D.f(x)=2x2-2x+1
B
A
类型三 求函数的解析式
类型三 求函数的解析式
[题后感悟]
已知函数f(x)的类型,如是一次函数、二次函数等,即可设出f(x)的解析式,再根据条件列方程(组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式.
类型三 求函数的解析式
f(x)=x2-1(x≥1)
类型三 求函数的解析式
类型三 求函数的解析式
[题后感悟]
已知f(g(x))=h(x)求f(x)的解析式,常用的方法有两种:
(1)换元法,即令t=g(x),解出x,代入h(x)得到一个含t的解析式,即为函数f(x)的解析式,注意换元后新元的取值范围.
(2)配凑法,即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可得f(x)的解析式,注意g(x)的取值范围即为f(x)的定义域.
类型三 求函数的解析式
类型三 求函数的解析式
类型三 求函数的解析式
A
类型三 求函数的解析式
D
类型三 求函数的解析式
类型三 求函数的解析式
当堂自评
B
当堂自评
2.已知函数f(x)由下表给出,则f(11)= ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
x 0y 2 3 4 5
C
当堂自评
A
当堂自评
15
当堂自评(共26张PPT)
3.3 幂函数
第三章 函数的概念与性质
教材整体初识 构建与探源
课时构建
教材整体初识 构建与探源
×
×
×
×
×
×
类型一 幂函数的概念
D
A
类型一 幂函数的概念
类型一 幂函数的概念
A
类型一 幂函数的概念
A
类型一 幂函数的概念
[题后感悟]
判断一个函数是否为幂函数,要判断该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且满足:(1)指数为常数.(2)底数为自变量.(3)系数为1.反之,若一个函数为幂函数,则该函数应具备这三个条件,这是我们解决幂函数问题的隐含条件.
类型二 幂函数的图象
⑤①②④③
类型二 幂函数的图象
【解析】 从函数的奇偶性分析,函数y1,y2是奇函数,可能对应图象①,⑤;y3,y4是偶函数,可能对应图象②,④;y5不具有奇偶性,只能对应图象③.从函数的单调性分析,函数y1在区间[0,+∞)上单调递增,对应图象⑤,函数y2在区间(0,+∞)上单调递减,对应图象①,函数y3在区间[0,+∞)上单调递增,对应图象②,函数y4在区间(0,+∞)上单调递减,对应图象④,所以函数y1,y2,y3,y4,y5的图象依次是⑤①②④③.
类型二 幂函数的图象
类型二 幂函数的图象
由图可知,当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,
f(x)>g(x);当x=1时,f(x)=g(x);
当x∈(0,1)时,f(x)类型二 幂函数的图象
[题后感悟]
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
(2)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象来判断.
类型三 利用幂函数的单调性比较大小
类型三 利用幂函数的单调性比较大小
类型三 利用幂函数的单调性比较大小
类型三 利用幂函数的单调性比较大小
类型三 利用幂函数的单调性比较大小
[题后感悟]
比较幂值的大小,关键是构造适当的函数.当要比较的两数的底数不在同一单调区间上时,应先利用函数的奇偶性等性质进行转化,使得要比较的两数的底数在同一单调区间上,再比较.
类型四 幂函数性质的综合应用
类型四 幂函数性质的综合应用
类型四 幂函数性质的综合应用
[题后感悟]
(1)利用函数的单调性解不等式时,一定要先确定函数的定义域.(2)利用幂函数的性质解不等式,实质是已知两个函数值的大小,判断自变量的大小.(3)通过构造幂函数,利用幂函数的性质求参数的取值范围,体现了数学抽象及数学运算的核心素养.
当堂自评
B
A
当堂自评
A
当堂自评
4.幂函数y=xm与y=xn的部分图象如下图所示,则( )
A.-1C.-11 D.n<-1,m>1
【解析】 由题图可知,y=xm在[0,+∞)上单调递增,y=xn在(0,+∞)上单调递减,则m>0,n<0.当x>1时,y=xm的图象在直线y=x的下方,y=xn的图象在y=x-1的图象的下方,则m<1,n<-1.
综上可知,n<-1,0B
当堂自评
(1,2) (共23张PPT)
3.4 函数的应用(一)
第三章 函数的概念与性质
课程目标
1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用,能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.2.能将实际问题转化为熟悉的模型,建立合适的数学模型解决简单的实际问题.
教材整体初识 构建与探源
判断正误(请在括号中打“√”或“×”)
(1)一个好的函数模型,既能与现有数据高度符合,又能很好地推演和预测.( )
(2)解决某一实际问题的函数模型是唯一的.( )
(3)对于一个实际问题,收集到的数据越多,建立的函数模型的模拟效果越好.( )
(4)在实际问题中,若变量间的对应关系不能用一个关系式给出,则需构建分段函数模型.( )
√
×
√
√
类型一 一次函数模型
例1某服装厂每天可以生产童装200套或西服50套,已知每生产一套童装需成本40元,可获得利润22元,每生产一套西服需成本150元,可获得利润80元.由于资金有限,该厂每月成本支出不超过23万元,为使盈利最大,若按每月30天计算,应安排生产童装和西服各多少天(天数为整数) 求出最大利润.
解:设生产童装的天数为x,总利润为y元,则生产西服的天数为(30-x),每月生产童装和西服的套数分别为200x和50(30-x),每月生产童装和西服的成本分别为(40×200x)元和[150×50×(30-x)]元,每月生产童装和西服的利润分别为(22×200x)元和[80×50×(30-x)]元,则总利润为
类型一 一次函数模型
y=22×200x+80×50×(30-x),
化简得y=400x+120 000.
由于每月成本不超过23万元,则40×200x+150×50×(30-x)≤230 000,解得0≤x≤10,且x为整数.显然当x=10时,盈利最大.故每月应安排生产童装10天,生产西装20天,每月的最大利润是124 000元.
类型一 一次函数模型
[题后感悟]
一次函数模型的重要特征是均匀变化,且满足条件的点在一条直线上,求解时可设一次函数模型为y=kx+b(k≠0),利用待定系数法建立方程(组)求k,b的值.
类型二 二次函数模型
例2[2025·徐州中学检测] 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式.
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式.
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润 最大利润是多少
解:(1)根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
类型二 二次函数模型
(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润,
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).
(3)因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,
所以当x<60时,w随x的增大而增大.
又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.
类型二 二次函数模型
[题后感悟]
二次函数模型的解析式为g(x)=ax2+bx+c(a≠0).在函数建模中,它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法结合函数的定义域求最值.
类型三 幂函数模型
例3某公司研发A,B两种芯片已经耗费资金2千万元,现在准备投入资金进行生产,经市场调查与预测,生产A芯片的毛收入y1(单位:千万元)与投入的资金x(单位:千万元)成正比,已知每投入1千万元,公司获得毛收入0.25千万元;生产B芯片的毛收入y2(单位:千万元)与投入的资金x(单位:千万元)的函数关系为y2=kxα(x>0)(k与α都为常数),其图象如图所示.
(1)试分别求出生产A,B两种芯片的
毛收入与投入资金的函数关系式.
(2)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A,B两种芯片,设投入x千万元
类型三 幂函数模型
类型三 幂函数模型
类型三 幂函数模型
[题后感悟]
解决幂函数模型的四个步骤
(1)认真阅读,理解题意.
(2)用数学符号表示相关量,列出函数解析式.
(3)根据幂函数的性质推导运算,求得结果.
(4)转化成具体问题,给出解答.
类型四 分段函数模型
类型四 分段函数模型
类型四 分段函数模型
类型四 分段函数模型
[题后感悟]
1.分段函数主要是每一段的变化规律不全相同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值范围,特别是端点值.
2.分段函数的最大值是各段最大值中最大的,分段函数的最小值是各段最小值中最小的.
当堂自评
A
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B
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C
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当堂自评
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