(共24张PPT)
4.5 函数的应用(二)
第四章 指数函数与对数函数
4.5.1 函数的零点与方程的解
课程目标
1.了解函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点三者之间的关系.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间,能借助函数的单调性及图象判断零点的个数.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
f(x) =0
x轴
f(x) =0
连续不断
f(a)f(b)
f(c) =0
教材整体初识 构建与探源
判断正误(请在括号中打“√”或“×”)
函数的零点
(1)函数的零点是一个点.( )
(2)任何函数都有零点. ( )
函数零点存在定理
(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则一定有f(a)f(b)<0.( )
(4)若f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在(a,b)内一定有零点.( )
×
×
×
×
教材整体初识 构建与探源
(5)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,且f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在(a,b)内有2个零点.( )
函数零点个数的问题
(6)方程ln x-1=0的解是x=e,则函数y=ln x-1的零点是x=e.( )
(7)方程x2-2x+1=0的解为x1=x2=1,则函数y=x2-2x+1的零点有两个.( )
×
√
×
类型一 函数的零点与方程的解
类型一 函数的零点与方程的解
C
D
类型一 函数的零点与方程的解
类型一 函数的零点与方程的解
[题后感悟]
函数零点的两种求法
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点.
(2)几何法:与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
类型 二 函数零点存在定理
C
C
类型 二 函数零点存在定理
类型 二 函数零点存在定理
C
C
类型 二 函数零点存在定理
类型 二 函数零点存在定理
[题后感悟]
确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上.(2)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点.
类型三 函数零点个数的问题
B
B
类型三 函数零点个数的问题
类型三 函数零点个数的问题
类型三 函数零点个数的问题
C
类型三 函数零点个数的问题
类型三 函数零点个数的问题
[题后感悟]
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程的根,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)画出函数y=f(x)的图象,判断它与x轴的交点个数,从而判断零点的个数.
(3)结合单调性,利用函数零点存在定理,可判断y=f(x)在(a,b)内零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
当堂自评
C
当堂自评
A. B.
C. D.
B
当堂自评
C
当堂自评
C(共25张PPT)
4.5 函数的应用(二)
第四章 指数函数与对数函数
4.5.2 用二分法求方程的近似解
课程目标
1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近思想和程序化思想.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
连续不断
f(a) f(b) <0
一分为二
零点
f(a) f(b) <0
c
b=c
a=c
∣a－b∣＜
教材整体初识 构建与探源
×
×
√
×
教材整体初识 构建与探源
(5)用二分法求函数零点时,若达到精确度后,所得区间内任一个数均可视为零点的近似值. ( )
(6)用二分法所求出的方程的解都是近似解.( )
(7)精确度ε就是近似值. ( )
√
×
×
类型一 二分法的概念
B
C
类型一 二分法的概念
类型一 二分法的概念
活学活用
下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
【解析】 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.在B中,不满足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求零点,由于A,C,D中零点两侧函数值异号,故可采用二分法求零点.
A. B. C. D.
B
类型一 二分法的概念
[题后感悟]
二分法求函数零点的依据及适用范围
(1)依据:函数零点存在定理.
(2)适用范围:函数的图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点,即用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.
类型二 用二分法求函数零点的近似解
例2求方程ln x=2-x的近似解.(精确度为0.1)
解:分别画出函数 y=ln x 和 y=2-x 的图象,如图所示.在两个函数图象的交点处,函数值相等,因此,这个点的横坐标就是方程 ln x=2-x 的解.
由函数 y=ln x 与 y=2-x 的图象可以发现,方程 ln x=2-x 有唯一解,且这个解在区间(1,2)内.
设 f(x)=ln x+x-2,则函数 f(x) 的零点即方程 ln x=2-x 的解,记为 x0,则有
f(1)<0,f(2)>0 x0∈(1,2);
f(1.5)<0,f(2)>0 x0∈(1.5,2);
类型二 用二分法求函数零点的近似解
f(1.5)<0,f(1.75)>0 x0∈(1.5,1.75);
f(1.5)<0,f(1.625)>0 x0∈(1.5,1.625);
f(1.5)<0,f(1.562 5)>0 x0∈(1.5,1.562 5).
因为|1.562 5-1.5|=0.062 5<0.1,所以方程 ln x=2-x 的近似解可取为1.562 5.
类型二 用二分法求函数零点的近似解
例3用二分法求2x+x=4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).
参考数据:
解:令f(x)=2x+x-4,则f(1)=2+1-4<0,f(2)=22+2-4>0.
用二分法的思想,列表如下:
∵|1.375-1.5|=0.125<0.2,
∴2x+x=4在[1,2]内的近似解可取为1.375.
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
区间 中点的值 中点函数近似值
(1,2) 1.5 0.33
(1,1.5) 1.25 -0.37
(1.25,1.5) 1.375 -0.035
类型二 用二分法求函数零点的近似解
类型二 用二分法求函数零点的近似解
零点所在区间 中点的值 中点的函数值(近似值)
(1,2) 1.5 1.375
(1,1.5) 1.25 -0.046 9
(1.25,1.5) 1.375 0.599 6
(1.25,1.375) 1.312 5 0.261 0
(1.25,1.312 5) 1.281 25 0.103 3
(1.25,1.281 25) 1.265 625 0.027 3
(1.25,1.265 625) 1.257 812 5 -0.010 0
(1.257 812 5,1.265 625)
类型二 用二分法求函数零点的近似解
活学活用
[2025·南京一中检测] 证明:函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一一个零点,并求出这个零点.(精确度为0.1)
证明:因为f(1)=-1<0,f(2)=4>0.又因为f(x)是增函数,所以函数 f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一的零点,设该零点为x0,则x0∈(1,2).
取x1=1.5,f(1.5)≈1.33>0,f(1)·f(1.5)<0,
所以x0∈(1,1.5).
取x2=1.25,f(1.25)≈0.128>0,f(1)·f(1.25)<0,
类型二 用二分法求函数零点的近似解
所以x0∈(1,1.25).
取x3=1.125,f(1.125)≈-0.44<0,f(1.125)·f(1.25)<0,所以x0∈(1.125,1.25).
取x4=1.187 5,f(1.187 5)≈-0.16<0,f(1.187 5)·
f(1.25)<0,所以x0∈(1.187 5,1.25).
因为|1.25-1.187 5|=0.062 5<0.1,
所以可取x0=1.25,则函数的一个零点可取x0=1.25.
类型二 用二分法求函数零点的近似解
[题后感悟]
用二分法求函数零点近似值的步骤往往比较烦琐,一般借助表格,利用表格可以清晰地表示逐步缩小的零点所在区间的过程,有时也利用数轴来表示这一过程.
类型三 二分法的实际应用
例4[2025·青岛二中高一] 从某水库闸房到防洪指挥部的电话线发生故障.这是一条10 km长的线路,如何迅速查出故障所在 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查找一个点就要爬一次电线杆,这条线路有200多根电线杆呢!想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理.
解:如图,如果他首先从线段AB的中点C查找,用随身带的话机向两端测试,若发现AC段正常,则断定故障在BC段;再查线段BC的中点D,发现BD段正常,则故障在CD段;再查线段CD的中点E……以此类推.每查一次,可以把待查的线路长度缩短一半,所以要把故障范围缩小到
50 m~100 m,即一两根电线杆附近,只要查7次就够了.
类型三 二分法的实际应用
活学活用
一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点,知道电路不通的原因是焊口脱落造成的,要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落,至少需要检测( )
A.4次 B.6次
C.8次 D.7次
B
类型三 二分法的实际应用
【解析】 第一次,可去掉30个焊接点,从剩余的30个中继续二分法;第二次,可去掉15个焊接点,从剩余的15个中继续二分法;第三次,可去掉7或8个焊接点,考虑至多的情况,所以去掉7个焊接点,从剩余的8个中继续二分法;第四次,可去掉4个焊接点,从剩余的4个中继续二分法;第五次,可去掉2个焊接点,从剩余的2个中继续二分法;第六次,可去掉1个焊接点,得到最终焊接点.所以至少需要检测6次.
类型三 二分法的实际应用
[题后感悟]
二分法是一种体现了现代信息技术与数学课程的结合,将数学学习与信息技术紧密结合在一起,渗透了算法思想和合理运用科学计算器、各种数学教育技术平台的方法.二分法不仅仅可以用来求解函数的零点和方程的根,在现实生活中也有许多重要的应用,可以用来处理一些实际应用问题.如在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用,当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用.
当堂自评
CD
当堂自评
B
当堂自评
B
当堂自评
4.[2025·荆州中学检测] 用二分法求2x+x=4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据见表格.
解:令f(x)=2x+x-4,则f(1)=2+1-4=-1<0,f(2)=22+2-4=2>0.列表如下:
∵|1.375-1.5|=0.125<0.2,
∴2x+x=4在[1,2]内的近似解可取为1.375.
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625
2x的近似值 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
(1,2) 1.5 0.33
(1,1.5) 1.25 -0.37
(1.25,1.5) 1.375 -0.035(共32张PPT)
第四章 章末复习课
第四章 指数函数与对数函数
………………………思维导图 体系构建………………………
×
×
√
√
×
(6)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)f(b)>0,则y=f(x)在(a,b)内没有零点.( )
×
=log62+4+log63-2log23×log32
=log62+log63+4-2
=log66+4-2=1+4-2=3.
核心题型二 指数函数、对数函数的图象及应用
指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面:一是已知函数解析式作函数图象,即“知式求图”;二是判断方程的根的个数时,通常不具体解方程,而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题.
例2(1)在同一平面直角坐标系中,函数y=a-x,y=loga(x+a)(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
A
C
(0,1]
因为f(x)-a=0有三个不同的实数根,所以函数y=f(x)的图象与直线y=a有三个不同的交点,结合图象,可得0
ABD
C
D
核心题型五 函数模型及其应用
利用函数模型解实际应用题,关键要分清函数类型,并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件,然后根据问题条件,建立函数模型,最后结合其实际意义作出解答.(共27张PPT)
4.2 指数函数
第四章 指数函数与对数函数
4.2.2 指数函数的图象和性质(二)
课程目标
1.进一步掌握指数函数的图象、性质.2.能判断与证明指数型函数的单调性.3.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
教材整体初识 构建与探源
×
×
√
类型一 利用单调性比较大小
<
<
>
<
类型一 利用单调性比较大小
类型一 利用单调性比较大小
C
AC
类型一 利用单调性比较大小
类型一 利用单调性比较大小
类型一 利用单调性比较大小
[题后感悟]
比较幂大小的方法
(1)对于底数相同、指数不同的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断.(2)对于底数不同、指数相同的两个幂的大小,利用幂函数的单调性来判断.(3)对于底数不同、指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值来判断.
类型二 简单的指数不等式的解法
类型二 简单的指数不等式的解法
解得 x≤-6.
综上所述,当 01 时,不等式的解集为 {x|x≤-6}.
类型二 简单的指数不等式的解法
C
类型二 简单的指数不等式的解法
类型二 简单的指数不等式的解法
类型二 简单的指数不等式的解法
[题后感悟]
解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式,再利用指数函数的单调性化为常规的不等式来求解,注意底数对不等号方向的影响.
类型三 与指数函数有关的函数的单调性
类型三 与指数函数有关的函数的单调性
(2)y=22x-2x+1+3=(2x)2-2·2x+3=(2x-1)2+2,其中x∈R.
设t=2x,x∈R,则t>0,此时有y=(t-1)2+2,t>0.
当t≥1时,y=(t-1)2+2在[1,+∞)上单调递增,由2x≥1,得x≥0.
又t=2x在[0,+∞)上单调递增,所以原函数在[0,+∞)上单调递增.
同理,原函数在(-∞,0]上单调递减.
类型三 与指数函数有关的函数的单调性
A
B
类型三 与指数函数有关的函数的单调性
类型三 与指数函数有关的函数的单调性
类型三 与指数函数有关的函数的单调性
当堂自评
A
当堂自评
A
当堂自评
A
当堂自评
当堂自评(共17张PPT)
4.1 指数
第四章 指数函数与对数函数
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
课程目标
1.能结合教材探究了解无理数指数幂.2.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
实数
实数
实数
教材整体初识 构建与探源
√
√
类型一 无理数指数幂的运算
24
类型一 无理数指数幂的运算
类型一 无理数指数幂的运算
[题后感悟]
关于无理数指数幂的运算
(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同.
(2)若式子中含有根式,一般把底数中的根式化为指数式,指数中的根式可以保留直接运算.
类型二 实数指数幂运算性质的运用
2
类型二 实数指数幂运算性质的运用
类型三 实数指数幂的综合应用
类型三 实数指数幂的综合应用
类型三 实数指数幂的综合应用
类型三 实数指数幂的综合应用
类型三 实数指数幂的综合应用
当堂自评
D
D
当堂自评
A
当堂自评
3
V3xv3
解行】原式-[23×3号
23
×3
3
=23×3=24
②)原式=
2
2=
2
1r2
活学活用
V2V2 3v2v2
3
解：①原式=(2W2×22)2=(2z)z=22=2W2
2)原式-a32
+1=1+1=2.
5v3
【解析】)：a,p是方程5x2+10x+1=0的两根，.+f=2,f-故
262=2a+
=2-2-2
(2=24=25
2)因为1002=4,10-25，所以100·10=4×25，则102a+°=10，所以2a+b-2.
活学活用
【解析】因为10=2,10=3，
所以10-2=
10m)2
4
102
所以10-2-10-”
43
12
解：(1)因为a2+a2=4,所以(a2+a2y=a+w1+2=16,所以a+w1=14
2)(a4+a4)2=a2+a2+2=6.
因为a4+a4>0,所以a4+a4=6.
3
3
1
3)因为a2-a2=(a23-(a2y3,
3
2-a2
所以
(a2-a2)(a+a-1+a2
2
az-a
2
活学活用
2
x2+y2
x2+Y2
+y-2(xy)2
x-y
°.°xty=12,xy=9,②
.(x-y)=(x+y)2
-4x=122-4×9=108
-6v3.③
将②③代入①，得-
12-2×92
√3
-6V3
3
2-+2(共22张PPT)
4.2 指数函数
第四章 指数函数与对数函数
4.2.1 指数函数的概念
课程目标
1.了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念,了解对底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
y=ax (a>0 ,且 a≠1)
教材整体初识 构建与探源
×
×
×
类型一 指数函数的概念
C
①⑤
类型一 指数函数的概念
类型一 指数函数的概念
活学活用
(1)若函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数,则( )
A.a=1或a=2 B.a=1
C.a=2 D.a>0且a≠1
(2)[多选题]下列函数能化为指数函数的是( )
A.y=2x·3x B.y=2x-1
C.y=32x D.y=4-x
C
ACD
类型一 指数函数的概念
类型一 指数函数的概念
[题后感悟]
1.判断一个函数是不是指数函数的根据就是定义,与定义相符就是,否则就不是.
2.指数函数y=ax中,a>0且a≠1.
类型二 求指数函数的解析式或求值
C
A
类型二 求指数函数的解析式或求值
类型二 求指数函数的解析式或求值
类型二 求指数函数的解析式或求值
[题后感悟]
(1)求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后利用已知条件,求出解析式中的参数,从而得到函数的解析式,其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式.
类型三 函数模型y=kax的实际应用
例3[2025·淄博一中检测] 甲、乙两城市的现有人口都是100万,甲城市人口的年自然增长率为1.2%,乙城市每年增长人口1.3万.试解答下面的问题:
(1)分别写出甲、乙两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式.
(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数.(精确到0.1万人)
(3)对两个城市人口的增长情况作出分析.
参考数据:(1+1.2%)10≈1.127,(1+1.2%)20≈1.269,(1+1.2%)30≈1.430.
解:(1)1年后甲城市的人口总数为y甲=100+100×1.2%=100×(1+1.2%);
2年后甲城市的人口总数为y甲
类型三 函数模型y=kax的实际应用
=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2;
3年后甲城市的人口总数为y甲=100×(1+1.2%)3;……
x年后甲城市的人口总数为y甲=100×(1+1.2%)x(x∈N*).
x年后乙城市的人口总数为y乙=100+1.3x(x∈N*).
(2)10年后、20年后、30年后,甲、乙两城市的人口总数(单位:万人)如下表:
(3)甲、乙两城市的人口都逐年增长,而甲城市人口后期增长的速度快些.
城市 10年后 20年后 30年后
甲 112.7 126.9 143.0
乙 113.0 126.0 139.0
类型三 函数模型y=kax的实际应用
D
类型三 函数模型y=kax的实际应用
类型三 函数模型y=kax的实际应用
[题后感悟]
解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义:增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率,切记并不总是只和开始单位时间内的比较.
当堂自评
D
当堂自评
A
当堂自评
D
当堂自评
4.某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气中的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)间的关系为P=P0e-kt(e为常数).如果在前5个小时消除了20%的污染物,则10个小时后还剩的污染物占原有污染物的百分比为
__________.
【解析】 由题意得,P0e-5k=(1-20%)P0,则e-5k=0.8,当t=10时,P=P0e-10k=P0(e-5k)2=0.82P0=0.64P0=64%P0,故10个小时后还剩的污染物占原有污染物的百分比为64%.
64% (共25张PPT)
4.4 对数函数
第四章 指数函数与对数函数
4.4.3 不同函数增长的差异
课程目标
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型,了解直线上升、指数爆炸、对数增长等含义.2.能够判断不同函数增长的差异.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
三种常见函数模型的增长差异
性质 函数
y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0)
在(0,+∞)上的增减性 _____________ ___________ ____________
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐平缓 增长速度不变
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度
增长结果 总会存在一个x0,当x>x0时,恒有__________________
增函数
增函数
增函数
ax>kx>logax
教材整体初识 构建与探源
判断正误(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当x增加一个单位时,y增加或减少的量是定值,则y是x的一次函数.( )
(2)函数y=log3x的增长速度越来越慢.( )
(3)存在一个实数m,使得当x>m时,1.01x>x10. ( )
(4)不存在实数m,使得当x>m时,kx>ln x(k>0). ( )
√
√
√
×
类型一 几类函数模型增长的差异
例1(1)下列函数增长速度最快的是 ( )
A.y=2 024x B.y=x2 024
C.y=log2 024x D.y=2 024x
(2)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表所示:
则关于x呈指数型函数变化的变量是________.
A
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
y2
类型一 几类函数模型增长的差异
【解析】 (1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知,指数函数增长速度最快.
(2)以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.
类型一 几类函数模型增长的差异
C
类型一 几类函数模型增长的差异
类型一 几类函数模型增长的差异
[题后感悟]
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.
(2)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型的增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为
类型一 几类函数模型增长的差异
常数,m>0,x>0,a>1)表达的函数模型的增长特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.
(4)幂函数模型:能用函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α>0且α≠1)表达的函数模型的增长情况由a和α的取值确定.
类型二 不同增长规律的函数模型的图象特征
类型二 不同增长规律的函数模型的图象特征
由图象可得,当0h(x)>g(x);
当1g(x)>h(x);
当ef(x)>h(x);
当ah(x)>f(x);
当bg(x)>f(x);
当cf(x)>g(x);
当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).
类型三 函数模型的选择
类型三 函数模型的选择
类型三 函数模型的选择
类型三 函数模型的选择
类型三 函数模型的选择
活学活用
科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标,准备制定一个激励研发人员的奖励方案:当投资收益达到3 000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元,3 000≤x≤9 000)的增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益的20%.
(1)现有三个奖励函数模型:①f(x)=0.03x+8,②f(x)=0.8x+200,③f(x)=100log20x+50.试分析这三个函数模型是否符合公司要求.
类型三 函数模型的选择
类型三 函数模型的选择
类型三 函数模型的选择
[题后感悟]
函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容,解题的关键在于通过对已知数据的分析,得出重要信息,根据解题积累的经验,从已有的各类型函数中选择模型,进行数据的拟合.
当堂自评
1. 能使得不等式log2xA.(0,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,2) D.(4,+∞)
D
当堂自评
B
当堂自评
x 2.0 3.0 4.0 5.1 6.1
y 1.5 4.1 7.5 12 18.1
C
当堂自评
4.土地沙漠化的治理,对中国乃至世界来说都是一个难题,我国创造了治沙成功案例——毛乌素沙漠.某沙漠经过一段时间的治理,已有1 000公顷植被,假设每年植被面积以20%的增长率呈指数增长,按这种规律发展下去,则植被面积达到4 000公顷至少需要经过的年数为(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48)( )
A.6 B.7
C.8 D.9
C
当堂自评(共23张PPT)
4.2 指数函数
第四章 指数函数与对数函数
4.2.2 指数函数的图象和性质(一)
课程目标
1.掌握指数函数的图象和性质.2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
项目 a>1 0图象
定义域 ________
值域 ____________
性质 过定点__________,即x=_______时,y=_______
当x>0时,y>1;
当x<0时,_____________ 当x>0时,____________;
当x<0时,y>1
在R上是_____________ 在R上是_____________
R
(0,+∞)
(0,1)
0
1
0 0 增函数
减函数
教材整体初识 构建与探源
教材整体初识 构建与探源
√
×
×
×
教材整体初识 构建与探源
√
×
√
类型一 指数函数的图象
D
类型一 指数函数的图象
类型一 指数函数的图象
A. B.
C. D.
B
类型一 指数函数的图象
[题后感悟]
解决指数函数图象问题的注意点
(1)熟记当底数a>1和0(2)在y轴右侧,指数函数的图象“底大图高”.
类型一 指数函数的图象
D
类型一 指数函数的图象
B
类型一 指数函数的图象
D
类型一 指数函数的图象
类型一 指数函数的图象
[题后感悟]
指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定点.(2)利用图象变换,如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数图象的对称情况,单调性决定函数图象的走势.
类型二 与指数函数有关的定义域、值域问题
类型二 与指数函数有关的定义域、值域问题
类型二 与指数函数有关的定义域、值域问题
当堂自评
1.已知0【解析】 由于0A. B. C. D.
C
当堂自评
2.已知f(x+1)的定义域是[0,31),则f(2x)的定义域是( )
A.[1,32) B.[-1,30)
C.[0,5) D.(-∞,30]
【解析】 ∵f(x+1)的定义域是[0,31),即0≤x<31,∴1≤x+1<32,∴f(x)的定义域是[1,32),∴若f(2x)有意义,则必须满足20=1≤2x<32=25,∴0≤x<5.
C
当堂自评
3.若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有( )
A.00且b>0
C.00 D.a>1且b<0
【解析】 如图所示,函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上(纵截距小于零),即0A
当堂自评
(2,2)
当堂自评(共24张PPT)
4.4 对数函数
第四章 指数函数与对数函数
4.4.2 对数函数的图象和性质(一)
课程目标
1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
项目 y=logax (a>0,且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 ___________
值域 R
单调性 增函数 减函数
最值 ________________________
奇偶性 __________________
共点性 图象过定点__________,即当x=1时,y=0
函数值特点 当x∈(0,1)时,y∈__________;
当x∈[1,+∞)时,y∈____________ 当x∈(0,1)时,y∈___________;
当x∈[1,+∞)时,y∈___________
图象对称性
(0,+∞)
无最大、最小值
非奇非偶函数
(1,0)
(-∞,0)
[0,+∞)
(0,+∞)
(-∞,0]
x轴
教材整体初识 构建与探源
×
√
×
×
类型一 对数函数的图象
A. B.
C. D.
B
B
类型一 对数函数的图象
类型一 对数函数的图象
活学活用
(1)函数f(x)=log2(2x)的大致图象为( )
(2)若函数y=loga(x+b)+c(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(3,2),则实数b=
_______,c=_______.
A. B.
C. D.
C
-2
2
类型一 对数函数的图象
类型一 对数函数的图象
[题后感悟]
求解与对数函数有关的函数图象问题,首先应明确对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象特征,结合函数解析式以及函数图象的变换规律求解.
(1)一般地,函数y=f(x±a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地,y=f(|x-a|)的图象是关于直线x=a对称的轴对称图形;函数y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同,在f(x)<0的部分关于x轴对称.
类型二 利用单调性比较对数值的大小
类型二 利用单调性比较对数值的大小
类型二 利用单调性比较对数值的大小
活学活用
比较下列各组中两个值的大小.
(1)log31.9,log32.
(2)log23,log0.32.
(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).
解:(1)(单调性法)因为f(x)=log3x是增函数,且1.9<2,所以f(1.9)(2)(中间量法)因为log23>log21=0,log0.32log0.32.
类型二 利用单调性比较对数值的大小
(3)(分类讨论法)当a>1时,函数y=logax在定义域内是增函数,则有logaπ>loga3.141;
当0综上所述,当a>1时,logaπ>loga3.141;当0类型二 利用单调性比较对数值的大小
[题后感悟]
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同,找中间量.
(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
类型三 利用单调性解对数型不等式
类型三 利用单调性解对数型不等式
类型三 利用单调性解对数型不等式
(3,+∞)
类型三 利用单调性解对数型不等式
类型三 利用单调性解对数型不等式
[题后感悟]
解对数型不等式的一般思路
(1)把不等式两边均化为logaf(x)的形式.
(2)利用单调性,把不等式转化为真数的大小关系,得到新的不等式,要注意底数a和1的关系.
(3)在真数大于零的前提下,解这个新的不等式.
(4)总结得出不等式的解集.
当堂自评
1.已知m,n∈R,函数f(x)=m+lognx的图象如下,则m,n的取值范围分别是( )
A.m>0,0C.m>0,n>1 D.m<0,n>1
C
当堂自评
A. B.
C. D.
A
当堂自评
D
当堂自评
A
当堂自评(共22张PPT)
4.3 对数
第四章 指数函数与对数函数
第2课时 换底公式
4.3.2 对数的运算
课程目标
1.掌握换底公式及其推论.2.能够熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
教材整体初识 构建与探源
教材整体初识 构建与探源
√
×
√
√
类型一 对数的换底公式
类型一 对数的换底公式
D
类型一 对数的换底公式
类型一 对数的换底公式
[题后感悟]
换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化,然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算.可正用、逆用换底公式,使用的关键是恰当选择底数,换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.
类型二 对数中的条件求值与证明问题
C
3
类型二 对数中的条件求值与证明问题
类型二 对数中的条件求值与证明问题
类型二 对数中的条件求值与证明问题
[题后感悟]
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再用换底公式将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.
类型三 对数运算在实际问题中的应用
类型三 对数运算在实际问题中的应用
类型三 对数运算在实际问题中的应用
类型三 对数运算在实际问题中的应用
D
类型三 对数运算在实际问题中的应用
类型三 对数运算在实际问题中的应用
[题后感悟]
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在解决与对数相关的实际问题时,先将题目中的数量关系理清,再将相关数据代入,最后利用对数的运算性质、换底公式计算.
(2)在解决与指数相关的实际问题时,可将指数式利用取对数的方法,转化为对数运算,从而简化复杂的指数运算.
当堂自评
C
B
当堂自评
D
当堂自评
3 (共22张PPT)
4.1 指数
第四章 指数函数与对数函数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
课程目标
1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值.3.会对分式和分数指数幂进行转化.4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
±
0
不存在
a
∣a ∣
教材整体初识 构建与探源
×
×
√
√
教材整体初识 构建与探源
×
√
×
×
×
类型一 n次方根
类型一 n次方根
C
C
类型一 n次方根
类型一 n次方根
类型二 分数指数幂
类型二 分数指数幂
类型二 分数指数幂
类型二 分数指数幂
类型二 分数指数幂
类型三 有理数指数幂的运算性质
类型三 有理数指数幂的运算性质
类型三 有理数指数幂的运算性质
类型三 有理数指数幂的运算性质
类型三 有理数指数幂的运算性质
[题后感悟]
有理数指数幂运算的解题通法
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,并尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.(5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数幂,形式力求统一.
当堂自评
B
C
当堂自评
B
当堂自评(共28张PPT)
4.5 函数的应用(二)
第四章 指数函数与对数函数
4.5.3 函数模型的应用
课程目标
1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能建立函数模型求解实际问题.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
教材整体初识 构建与探源
判断正误(请在括号中打“√”或“×”)
(1)先有实际问题,后有数学模型.( )
(2)当自变量变化时,函数值的增长速度越来越快,那么该函数关系一定用指数函数模型来刻画. ( )
(3)在选择实际问题的函数模型时,必须使所有数据完全符合该函数模型.( )
(4)利用函数模型求实际问题的最值时要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.( )
(5)数据拟合时,得到的函数必须要进行检验.( )
√
×
×
√
√
类型一 指数型函数模型
例1当药品A注射到人体内,它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少.
(1)按照医嘱,护士给患者甲注射了a mg药品A两小时后,患者甲血液中药品A的残存量为225 mg,求a的值.
(2)另一种药物B注射到人体内,它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射800 mg药品A和500 mg药品B,请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.(计算结果保留2位小数,参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
类型一 指数型函数模型
类型一 指数型函数模型
类型一 指数型函数模型
[题后感悟]
指数型函数应用题的解题思路
(1)依题意,找出或建立数学模型.(2)依实际情况确立解析式中的参数.(3)依题设数据(或从具体情境提炼数据)代入求解.(4)根据运算数值回答实际问题的意义.
类型二 对数型函数模型
类型二 对数型函数模型
类型二 对数型函数模型
类型二 对数型函数模型
[题后感悟]
对数型函数问题的类型及解法
(1)对数型函数模型:y=mlogax+c(m≠0,a>0且a≠1),对数型函数模型一般给出函数关系式,然后利用对数的运算求解.
(2)对数型函数应用题的解题思路:①依题意,找出或建立数学模型;②依实际情况确立解析式中的参数;③依题设数据解决数学问题;④得出结论.
类型三 拟合函数模型的应用题
例3[2025·鲁迅中学检测] 某地西红柿上市后,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:
为了描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系,现有以下四种函数模型供选择:
①Q(t)=a·t+b, ②Q(t)=a·t2+b·t+c,
③Q(t)=a·bt, ④Q(t)=a·logbt.
时间t/天 7 9 10 11 13
种植成本Q/(元/10 kg) 19 11 10 11 19
类型三 拟合函数模型的应用题
(1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由,同时求出相应的函数解析式.
(2)在第(1)问的条件下,若函数Q(t)在区间[0,m]上的最大值为110,最小值为10,求实数m的取值范围.
解:(1)由表中数据可知,Q(t)先单调递减后单调递增,
∵Q(t)=a·t+b,Q(t)=a·bt,Q(t)=a·logbt,都是单调函数,∴不符合题意.
∵Q(t)=a·t2+b·t+c可以先单调递减后单调递增,故选②.
由表格数据可知点(7,19),(9,11),(10,10)在Q(t)=a·t2+b·t+c的图象上,
类型三 拟合函数模型的应用题
类型三 拟合函数模型的应用题
类型三 拟合函数模型的应用题
[题后感悟]
对于此类实际应用问题,关键是建立适当的函数解析式,再解决数学问题,最后验证并结合问题的实际意义作出回答,这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.
当堂自评
B
当堂自评
当堂自评
B
当堂自评
x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
y 1.65 2.20 2.60 2.76 2.90 3.10
B
当堂自评
当堂自评
16
当堂自评
当堂自评
年份 2019 2020 2021 2022 …
投资成本x 3 5 9 17 …
年利润y 1 2 3 4 …
当堂自评
当堂自评
当堂自评(共27张PPT)
4.4 对数函数
第四章 指数函数与对数函数
4.4.2 对数函数的图象和性质(二)
课程目标
1.进一步掌握对数函数的图象和性质.2.利用单调性进一步求函数的值域与最值.3.了解反函数的概念和图象特点.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
y=ax
教材整体初识 构建与探源
×
√
√
×
√
类型一 反函数
[0,+∞)
(2,0)
类型一 反函数
活学活用
[2025·邯郸一中检测] 若函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象过点(1,8),其反函数g(x)的图象过点(16,2),则函数g(x)=_____________.
【解析】 ∵函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象过点(1,8),∴a1+b=8①.∵其反函数g(x)的图象过点(16,2),∴函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象过点(2,16),
∴a2+b=16②.由①②解得a=2,b=2,
∴f(x)=2x+2,∴g(x)=log2x-2.
log2x-2
类型一 反函数
[题后感悟]
互为反函数的函数的性质
(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数.
(2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换.
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
类型二 对数型复合函数的值域
类型二 对数型复合函数的值域
类型二 对数型复合函数的值域
D
C
类型二 对数型复合函数的值域
类型三 与对数函数有关的函数的奇偶性
类型三 与对数函数有关的函数的奇偶性
类型三 与对数函数有关的函数的奇偶性
A
类型三 与对数函数有关的函数的奇偶性
类型三 与对数函数有关的函数的奇偶性
[题后感悟]
判断与对数函数有关的函数奇偶性的方法
先判断函数的定义域,在定义域关于原点对称的前提下,再探究f(-x)与f(x)的关系,这时往往需要将f(-x)的表达式利用对数运算法则和性质进行转化变形,以明确f(-x)与f(x)的关系,从而得出奇偶性的结论.
类型四 与对数函数有关的复合函数的单调性
类型四 与对数函数有关的复合函数的单调性
类型四 与对数函数有关的复合函数的单调性
C
A
类型四 与对数函数有关的复合函数的单调性
类型四 与对数函数有关的复合函数的单调性
[题后感悟]
函数单调性的判断方法与策略
(1)定义法:设元→作差→变形→判断符号→得出结论.
(2)图象法:如果函数f(x)是以图象形式给出的或函数f(x)的图象易作出,结合图象可求得函数的单调区间.
(3)y=f(g(x))型函数:先将函数y=f(g(x))分解为y=f(t)和t=g(x),再讨论这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的原则进行判断.
当堂自评
C
当堂自评
C
当堂自评
B
当堂自评
B
当堂自评
当堂自评(共18张PPT)
4.3 对数
第四章 指数函数与对数函数
第1课时 对数的运算
4.3.2 对数的运算
课程目标
1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立条件.2.能够熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
logaM+logaN
logaM－logaN
nlogaM
教材整体初识 构建与探源
×
×
×
×
×
类型一 对数的运算性质
2
1
1
类型一 对数的运算性质
类型一 对数的运算性质
[题后感悟]
对数的求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.
类型二 对数运算性质的运用
类型二 对数运算性质的运用
B
b+3a-1
类型二 对数运算性质的运用
类型三 利用对数的运算性质化简、求值
类型三 利用对数的运算性质化简、求值
(2)原式=(lg 2)2+lg (52×2)×lg 2+lg 52
=(lg 2)2+(2lg 5+lg 2)×lg 2+2lg 5
=(2lg 5+2lg 2)×lg 2+2lg 5
=2lg 10×lg 2+2lg 5=2lg 2+2lg 5=2lg 10=2.
类型三 利用对数的运算性质化简、求值
类型三 利用对数的运算性质化简、求值
类型三 利用对数的运算性质化简、求值
[题后感悟]
用对数的运算性质化简求值的方法
(1)“收”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式逆用.
(2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用.
(3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值,如利用lg 2+lg 5=1进行计算或化简.
当堂自评
C
C
当堂自评
C
当堂自评
B(共23张PPT)
4.4 对数函数
第四章 指数函数与对数函数
4.4.1 对数函数的概念
课程目标
1.理解对数函数的概念,会求简单对数函数的定义域.2.了解对数函数在生产实际中的应用.3.能够熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
教材整体初识 构建与探源
×
×
×
×
×
类型一 对数函数的概念及应用
D
-1
类型一 对数函数的概念及应用
类型一 对数函数的概念及应用
C
类型一 对数函数的概念及应用
类型一 对数函数的概念及应用
[题后感悟]
一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0,且a≠1)的形式,即必须满足以下条件:
(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数.(3)对数的真数仅有自变量x.
类型二 求对数型函数的定义域
类型二 求对数型函数的定义域
类型二 求对数型函数的定义域
D
D
类型二 求对数型函数的定义域
类型二 求对数型函数的定义域
[题后感悟]
求对数型函数定义域的原则
(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时,被开方数非负.(3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1.
类型三 对数函数模型的应用
类型三 对数函数模型的应用
类型三 对数函数模型的应用
活学活用
[2025·庆元中学检测] 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则超出部分按2log5(A+1)进行奖励.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的解析式.
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元
类型三 对数函数模型的应用
类型三 对数函数模型的应用
[题后感悟]
实际问题中对数模型要建模准确,计算时应充分利用对数的运算性质,注意变量的实际意义.
当堂自评
B
当堂自评
2.函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( )
A.(0,1)
B.[0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,0]∪[1,+∞)
C
当堂自评
3.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则7年后它们发展到( )
A.300只 B.400只
C.600只 D.700只
【解析】 将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得a=100,
所以当x=7时,y=100 log2(7+1)=300.
A
当堂自评
4 (共20张PPT)
4.3 对数
第四章 指数函数与对数函数
4.3.1 对数的概念
课程目标
1.了解对数的概念.2.会进行指数式与对数式的互化,会求简单的对数值.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
以a为底N的对数
logaN
底数
真数
常用对数
lgN
自然对数
lnN
没有对数
0
1
教材整体初识 构建与探源
×
√
×
√
√
×
类型一 对数的概念
类型一 对数的概念
C
类型一 对数的概念
[题后感悟]
在求解对数形式表达式中参数的取值范围时,应根据对数中的底数和真数满足的要求列出不等式组,进而求解即可.
类型二 对数式与指数式互化
类型二 对数式与指数式互化
类型二 对数式与指数式互化
类型二 对数式与指数式互化
类型二 对数式与指数式互化
类型二 对数式与指数式互化
[题后感悟]
1.指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式.
2.对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.
3.要求对数的值,可设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求解.
类型三 利用对数性质及对数恒等式求值
类型三 利用对数性质及对数恒等式求值
类型三 利用对数性质及对数恒等式求值
A
13
类型三 利用对数性质及对数恒等式求值
当堂自评
B
当堂自评
B
3
-3
72
当堂自评
