(共37张PPT)
5.7 三角函数的应用
第五章 三角函数
课程目标
1.了解生活中具有周而复始、循环往复特点的现象.2.通过构建三角函数模型,尝试解决物理中的简单问题.3.通过构建三角函数模型解决生活中一些简单的问题.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)中参数的物理意义
A
ωx+φ
φ
教材整体初识 构建与探源
√
×
×
×
类型一 三角函数在物理中的应用
类型一 三角函数在物理中的应用
描点、连线,图象如下.
t
0 π 2π
0 1 0 -1 0
s 0 4 0 -4 0
类型一 三角函数在物理中的应用
类型一 三角函数在物理中的应用
类型一 三角函数在物理中的应用
类型一 三角函数在物理中的应用
类型一 三角函数在物理中的应用
[题后感悟]
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
类型二 三角函数在生活中的应用
类型二 三角函数在生活中的应用
类型二 三角函数在生活中的应用
类型二 三角函数在生活中的应用
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 2 1.5 1 1.5 2 1.5 1 1.5 2
类型二 三角函数在生活中的应用
(1)根据表中数据,作出函数简图,并求出函数y=f(t)一个近似表达式.
(2)一般情况下,水深超过1.25 m该海滨浴场方可开放,另外,当水深不低于1.75 m时,由于安全原因,会被关闭,那么该海滨浴场在一天内的上午7:00到晚上19:00,有多长时间可以开放
解:(1)函数简图如下:
类型二 三角函数在生活中的应用
类型二 三角函数在生活中的应用
类型二 三角函数在生活中的应用
类型二 三角函数在生活中的应用
[题后感悟]
应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型.解决问题的一般程序如下:
(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理清数量关系.
(2)建模,分析题目周期性,选择适当的三角函数模型.
(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.
(4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.
类型二 三角函数在生活中的应用
类型三 三角函数“拟合”模型的应用
例3 平潭国际“花式风筝冲浪”集训队在平潭龙凤头海滨浴场进行集训,海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(单位:米)随着一天的时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,某天各时刻t的水深数据的近似值如表:
(1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图,从①y=Asin(ωt+φ);②y=Acos(ωt+φ)+b;③y=-Asin ωt+b(A>0,ω>0,-π<φ<0)中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的函数解析式.
(2)为保证队员安全,规定在一天中5~18时且水深不低于1.05米的时候
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
类型三 三角函数“拟合”模型的应用
类型三 三角函数“拟合”模型的应用
类型三 三角函数“拟合”模型的应用
类型三 三角函数“拟合”模型的应用
类型三 三角函数“拟合”模型的应用
活学活用
下表给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时):
(1)作出这些数据的散点图.
(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据.
时间/h 0 2 4 6 8 10 12
温度/℃ 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2
时间/h 14 16 18 20 22 24 —
温度/℃ 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8 —
类型三 三角函数“拟合”模型的应用
类型三 三角函数“拟合”模型的应用
类型三 三角函数“拟合”模型的应用
[题后感悟]
处理曲线拟合与预测问题时,通常需要以下几个步骤
(1)根据原始数据绘出散点图.
(2)通过观察散点图,画出与其“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.
(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.
(4)利用函数解析式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.
当堂自评
B
当堂自评
D
当堂自评
D
当堂自评
当堂自评
50
30
当堂自评
当堂自评(共26张PPT)
5.4 三角函数的图象与性质
第五章 三角函数
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
课程目标
1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象.3.能够利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
函数 y=sin x y=cos x
图象
图象画法 五点(画图)法 五点(画图)法
五个关键点
(0,0)
(π,0)
(2π,0)
教材整体初识 构建与探源
×
√
×
√
√
教材整体初识 构建与探源
×
类型一 用“五点法”作正弦、余弦函数的图象
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
sin x+2 2 3 2 1 2
类型一 用“五点法”作正弦、余弦函数的图象
x -π 0 π
cos x -1 0 1 0 -1
类型一 用“五点法”作正弦、余弦函数的图象
类型一 用“五点法”作正弦、余弦函数的图象
活学活用
用五点法画函数y=-2cos x+3,x∈[0,2π]的简图.
解:列表:
描点、连线得到函数y=-2cos x+3,x∈[0,2π]的图象如下.
x 0 π 2π
-2cos x -2 0 2 0 -2
-2cos x+3 1 3 5 3 1
类型一 用“五点法”作正弦、余弦函数的图象
类型二 利用“图象变换法”作三角函数图象
类型二 利用“图象变换法”作三角函数图象
类型二 利用“图象变换法”作三角函数图象
A. B.
C. D.
D
类型二 利用“图象变换法”作三角函数图象
类型三 正弦函数、余弦函数图象的应用
类型三 正弦函数、余弦函数图象的应用
类型三 正弦函数、余弦函数图象的应用
类型三 正弦函数、余弦函数图象的应用
类型三 正弦函数、余弦函数图象的应用
[题后感悟]
用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象.
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集.
(3)根据公式写出定义域内的解集.
类型三 正弦函数、余弦函数图象的应用
3
类型三 正弦函数、余弦函数图象的应用
活学活用
方程x2-cos x=0的实数解的个数是______,所有的实数解的和为______.
【解析】 作出函数y=cos x与y=x2的图象,如图所示.由图象可知,两函数图象有两个交点,且两个交点关于y轴对称,故原方程有2个实数解,且这两个实数解的和为0.
2
0
类型三 正弦函数、余弦函数图象的应用
[题后感悟]
运用数形结合的方法将零点(或方程解)的个数问题转化为两个函数图象交点的个数问题来解决.
当堂自评
1.在同一平面直角坐标系内,函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象 ( )
A.重合 B.形状相同,位置不同
C.关于y轴对称 D.形状不同,位置不同
【解析】 根据正弦曲线的作法可知函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象只是位置不同,形状相同.
B
当堂自评
A. B.
C. D.
D
当堂自评
AC
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(共23张PPT)
5.4 三角函数的图象与性质
第五章 三角函数
第1课时 周期性与奇偶性
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
课程目标
1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义,会求常见三角函数的周期.2.通过图象直观理解函数的奇偶性,能够确定函数图象的对称轴和对称中心.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
非零
f(x+T)=f(x)
非零常数T
正数
正数
2π
2π
奇函数
偶函数
教材整体初识 构建与探源
教材整体初识 构建与探源
×
√
×
×
教材整体初识 构建与探源
×
×
×
类型一 正弦函数、余弦函数的周期
类型一 正弦函数、余弦函数的周期
类型一 正弦函数、余弦函数的周期
类型二 正弦函数、余弦函数的奇偶性
类型二 正弦函数、余弦函数的奇偶性
类型二 正弦函数、余弦函数的奇偶性
类型二 正弦函数、余弦函数的奇偶性
类型二 正弦函数、余弦函数的奇偶性
类型二 正弦函数、余弦函数的奇偶性
[题后感悟]
判断函数的奇偶性应把握好两个方面:一看函数的定义域是否关于原点对称;二看f(x)与f(-x)的关系.对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
类型三 三角函数的奇偶性与周期性的应用
A
类型三 三角函数的奇偶性与周期性的应用
类型三 三角函数的奇偶性与周期性的应用
类型三 三角函数的奇偶性与周期性的应用
类型三 三角函数的奇偶性与周期性的应用
[题后感悟]
利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x对应的函数值的关系,从而解决求值问题.
当堂自评
D
当堂自评
2.已知a∈R,函数f(x)=sin x-|a|,x∈R为奇函数,则a等于 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
【解析】 因为f(x)=sin x-|a|,x∈R为奇函数,所以f(0)=sin 0-|a|=0,所以a=0.
A
当堂自评
B(共27张PPT)
5.2 三角函数的概念
第五章 三角函数
5.2.1 三角函数的概念
课程目标
1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)值在各象限的符号,会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦和正切.3.掌握公式一并会应用.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
纵坐标y
y
横坐标x
x
教材整体初识 构建与探源
相等
sin α
cos α
tan α
教材整体初识 构建与探源
×
×
×
教材整体初识 构建与探源
×
×
√
√
√
×
类型一 利用三角函数的定义求三角函数值
B
类型一 利用三角函数的定义求三角函数值
类型一 利用三角函数的定义求三角函数值
C
类型一 利用三角函数的定义求三角函数值
类型一 利用三角函数的定义求三角函数值
类型一 利用三角函数的定义求三角函数值
B
类型一 利用三角函数的定义求三角函数值
A
类型一 利用三角函数的定义求三角函数值
类型二 判断三角函数值的符号
类型二 判断三角函数值的符号
C
ABD
类型二 判断三角函数值的符号
类型二 判断三角函数值的符号
[题后感悟]
三角函数值的符号取决于角的终边所在的位置.三角函数值在各象限的符号可以用“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(即第一象限角的三角函数值全是正值,第二象限角的正弦函数值是正值,第三象限角的正切函数值是正值,第四象限角的余弦函数值是正值)来判断.
类型三 公式一的应用
D
类型三 公式一的应用
类型三 公式一的应用
类型三 公式一的应用
[题后感悟]
利用公式一进行化简求值的步骤
(1)定形:将已知的任意角写成2kπ+α的形式,其中α∈[0,2π),k∈Z.
(2)转化:根据诱导公式一,转化为求角α的某个三角函数值.
(3)求值:若角为特殊角,可直接求出该角的三角函数值.
当堂自评
D
当堂自评
C
当堂自评
A
当堂自评
当堂自评(共23张PPT)
5.5 三角恒等变换
第五章 三角函数
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课程目标
1.能由两角和的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
2sin αcos α
2cos2 α－1
1 － 2sin2 α
教材整体初识 构建与探源
×
√
×
×
类型一 给角求值
类型一 给角求值
类型一 给角求值
A
类型一 给角求值
C
类型一 给角求值
[题后感悟]
对于给角求值问题,一般有两类
(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化,一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题中出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
类型二 给值求值(角)
类型二 给值求值(角)
类型二 给值求值(角)
D
D
类型二 给值求值(角)
类型二 给值求值(角)
[题后感悟]
解决给值求值(角)问题的方法
(1)解决给值求值问题,要注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:
①有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;
②寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
(2)注意几种公式的灵活应用,如:
类型二 给值求值(角)
类型三 利用二倍角公式解决化简与证明问题
类型三 利用二倍角公式解决化简与证明问题
类型三 利用二倍角公式解决化简与证明问题
[题后感悟]
1.证明问题的原则及一般步骤
(1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.
(2)先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.
2.化简三角函数式的常用方法
①切化弦;②异名化同名;③异角化同角;④高次降低次.
当堂自评
D
当堂自评
D
当堂自评
当堂自评
D
当堂自评
D(共38张PPT)
第五章 章末复习课
第五章 三角函数
………………………思维导图 体系构建………………………
×
×
√
×
×
√
×
√
×
√
B
C
B
AD
B
A
D
ACD
核心题型三 三角函数的图象和性质
1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、图象的对称性等,在研究性质时,将ωx+φ看成一个整体,利用整体代换思想解题是常见的技巧.
2.函数y=Asin (ωx+φ)的图象
(1)“五点法”作图.(2)图象伸缩、平移变换.
B
BD
知识辨析
(1)不相等的角终边一定不相同.(
】
(2)小于90°的角是锐角.(
(3)若a为第一象限角，则sina+cosa>1.(
(4若sin(km-ak∈Z),则sina子
(同公式ane+0n可以变形为ana+an+-an ian
),且对任意角α，B都成立.
(6)co(+cos )cos 3=1-2sin
(⑦)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.
(8)y=sinx是偶函数.(
(⑨)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长
度一致.(
(10)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值
与最低点的值确定的.
■
核心题型
素养提升
核心题型一三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式
1.求角a的三角函数值的两种方法：(1)利用单位圆求解.(2)利用定义求解。
当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参
数进行分类讨论.
2.两个基本关系式sin2a+cos2a=1及na=tana.
cosa
诱导公式：可概括为k±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式
【解析】（四因为角α以轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点(，
5.所以s-
2)因为B∈(3r,4),an-<0,所以是第四象限角，
所以sin<0,而an,故
化简得cos&-sinB,
而cos2叶sin2-=1,代入得6in26sin26-1,
解得sin0-正值舍去)
跟踪训练
【解析】)
sinacosa+1
sinacosa+sin2a+cos2a tana+tan2a+1 -2+4+1
3
cos-a+sinacosa
cos-a++sinacosa
1++tana
1一2
②)因为V3sin(T+0)=cos(2π一9)，则-V3sin0-cos0,可得tan
V3
0∈（-
）,所以-匹或-5故选AD.(共29张PPT)
5.4 三角函数的图象与性质
第五章 三角函数
5.4.3 正切函数的性质与图象
课程目标
1.了解正切函数图象的画法,理解并掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象和性质解决有关问题.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
图象
定义域
_________________________________
值域 _________
周期 π
奇偶性 ____________
单调性 在每一个区间_______________________上都单调递增
对称中心
_________________
R
奇函数
教材整体初识 构建与探源
判断正误(请在括号中打“√”或“×”)
正切函数的周期性、奇偶性
(1)函数y=tan 2x的周期为π. ( )
(2)函数y=tan x的图象的对称中心是(kπ,0)(k∈Z).( )
(3)正切函数的图象既是轴对称图形,也是中心对称图形.( )
正切函数的定义域、值域
(4)正切函数的定义域和值域都是R. ( )
×
×
×
×
教材整体初识 构建与探源
(5)正切函数在定义域内无最大值和最小值.( )
正切函数的单调性
(6)函数y=tan x在其定义域上是增函数.( )
√
×
类型一 正切函数的定义域与值域
A
类型一 正切函数的定义域与值域
类型一 正切函数的定义域与值域
B
类型一 正切函数的定义域与值域
类型一 正切函数的定义域与值域
类型二 正切函数的周期性、奇偶性
A
A
类型二 正切函数的周期性、奇偶性
类型二 正切函数的周期性、奇偶性
D
类型二 正切函数的周期性、奇偶性
类型二 正切函数的周期性、奇偶性
2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域,看其定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则该函数为非奇非偶函数;若关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.
类型三 正切函数的单调性及其应用
类型三 正切函数的单调性及其应用
类型三 正切函数的单调性及其应用
类型三 正切函数的单调性及其应用
类型四 正切函数的图象及运用
A. B.
C. D.
A
C
类型四 正切函数的图象及运用
类型四 正切函数的图象及运用
类型四 正切函数的图象及运用
B
类型四 正切函数的图象及运用
类型四 正切函数的图象及运用
当堂自评
C
当堂自评
C
当堂自评
C
当堂自评(共32张PPT)
5.1 任意角和弧度制
第五章 三角函数
5.1.1 任意角
课程目标
1.了解任意角的概念,能正确区分正角、负角与零角,了解象限角的概念.2.理解并掌握终边相同的角的概念,能写出终边相同的角组成的集合.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
逆时针
顺时针
没有
第几象限角
象限
{β∣β=a+k · 360°，k ∈ Z}
教材整体初识 构建与探源
判断正误(请在括号中打“√”或“×”)
任意角
(1)始边与终边重合的角是零角.( )
(2)如果两个角的旋转量相等,那么这两个角是相等角. ( )
(3)任意角α的终边按逆时针方向旋转,越旋转α越大. ( )
象限角
(4)钝角是第二象限角. ( )
×
×
√
√
教材整体初识 构建与探源
(5)第二象限角是钝角. ( )
(6)第二象限角大于第一象限角.( )
终边相同的角
(7)终边落在同一条射线上的角有无数个.( )
(8)若角α与角β的终边相同,则α+β=360°. ( )
(9)已知角α与角β的顶点都在原点,始边都与x轴非负半轴重合,若α=β+180°,则角α与角β的终边互为反向延长线. ( )
×
×
√
×
√
类型一 任意角的概念
例1给出下列结论:
①三角形的内角必是第一、二象限角.
②始边相同而终边不同的角一定不相等.
③小于90° 的角是第一象限角.
④钝角比第三象限角小.
⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中正确的结论为________.(填序号)
②
类型一 任意角的概念
【解析】 ① 90°的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故①不正确;
②始边相同而终边不同的角一定不相等,故②正确;
③0°角小于90°角,但它不是第一象限角,故③不正确;
④-100°角是第三象限角,而钝角大于-100°,故④不正确;
⑤ 0°角小于 180°角,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故⑤不正确.
类型一 任意角的概念
活学活用
(1) 经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是( )
A.60°,720° B.-60°,-720°
C.-30°,-360° D.-60°,720°
(2)图1,2中从OA旋转到OB,OB1,OB2时形成的角α,β,γ分别是
_______________________.
B
390°,-150°,60°
类型一 任意角的概念
类型二 终边相同的角的表示
类型二 终边相同的角的表示
当k=-2 时,θ=-675°,满足-1 080°<θ<-360°,
即所求角θ为-1 035°和-675°.
类型二 终边相同的角的表示
类型二 终边相同的角的表示
当k=2时,β=795°.
综上所述,集合中满足不等式360°≤β<1 080°的元素β有435°,795°.
类型二 终边相同的角的表示
[题后感悟]
求与已知角α终边相同的角时,要先将这样的角表示成k·360°+β(k∈Z)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的值,最后求出满足条件的角.
类型二 终边相同的角的表示
{α|α=60°+n·180°,n∈Z}
类型二 终边相同的角的表示
类型二 终边相同的角的表示
类型二 终边相同的角的表示
[题后感悟]
求解终边在某条直线上的角的集合的基本原则
(1)若所求角β的终边在某条射线上,则集合的形式为{β|β=k·360°+α,k∈Z}.
(2)若所求角β的终边在某条直线上,则集合的形式为{β|β=k·180°+α,k∈Z}.
类型三 区域角的表示
例4如图所示.
(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合.
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解:(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},
终边落在OB位置上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.
(2)由题干图可知,阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于-30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合,故可表示为{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.
类型三 区域角的表示
活学活用
如图1,2,写出顶点在原点、始边为x轴的非负半轴、终边落在阴影部分内(包括边界)的角的集合.
解:(1)对于图1的阴影部分,先取-60°~75°这一范围,再结合其规律性可得终边落在阴影部分内(包括边界)的角的集合为
类型三 区域角的表示
{α|-60°+k·360°≤α≤75°+k·360°, k∈Z}.
(2)对于图2的阴影部分,先取60°~90°这一范围,再结合其规律性可得终边落在阴影部分内(包括边界)的角的集合为{α|60°+k·180°≤α≤90°+k·180°,k∈Z}.
类型三 区域角的表示
[题后感悟]
表示区域角的三个步骤
第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步:按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简集合{x|α
第三步:起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区域角集合.
第三或第四象限或y轴的负半轴上
第二或第四象限
[题后感悟]
1.给定一个角,判断它是第几象限角的思路
判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β+k·360°(其中k∈Z,β在0°~360°范围内)的形式,观察角β的终边所在的位置即可.
2.分角、倍角终边所在象限的判断思路
(1)求解的思维模式应是由欲求想需求,由已知想可知,抓住内在联系,确定解题方法.
(2)由角α的终边所在的象限确定角2α的终边所在的位置时,应注意2α可能
不再是象限角,对此特殊情况应特别指出.如α=135°,而2α=270°就不再是象限角.
当堂自评
1.与2 023°角终边相同的角是( )
A.-113° B.-73°
C.223° D.143°
2.与-60°角终边相同的角的集合是 ( )
A.{α|α=k·360°+60°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+300°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°-120°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°-300°,k∈Z}
C
B
当堂自评
3.“-90°<α<90°”是“角α的终边落在第一象限或落在第四象限”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 当α=0°时满足-90°<α<90°,但是角α的终边落在x轴的正半轴上,则充分性不成立;
当α=420°时,角α的终边落在第一象限,但不满足“-90°<α<90°”,则必要性不成立.综上,“-90°<α<90°”是“角α的终边落在第一象限或落在第四象限”的既不充分也不必要条件.
D
当堂自评
60°
-300°
当堂自评
5.[2025·烟台一中检测] 如图,阴影表示角α终边所在的位置,分别写出角α的集合.
解:题图1终边落在x轴非负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°,k∈Z},与60°角终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+60°,k∈Z},与130°角终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+130°,k∈Z},与220°角终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+220°,k∈Z},所以终边落在阴影部分的角的集合(共26张PPT)
5.5 三角恒等变换
第五章 三角函数
第2课时 简单的三角恒等变换(二)
5.5.2 简单的三角恒等变换
课程目标
掌握辅助角公式,能利用三角恒等变换对三角函数式进行化简、求值,并能进行一些简单的应用.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
教材整体初识 构建与探源
×
×
√
√
√
教材整体初识 构建与探源
类型一 辅助角公式的应用
类型一 辅助角公式的应用
类型二 利用辅助角公式研究函数性质
类型二 利用辅助角公式研究函数性质
类型二 利用辅助角公式研究函数性质
类型二 利用辅助角公式研究函数性质
类型二 利用辅助角公式研究函数性质
类型二 利用辅助角公式研究函数性质
类型三 三角恒等变换在实际问题中的应用
类型三 三角恒等变换在实际问题中的应用
类型三 三角恒等变换在实际问题中的应用
类型三 三角恒等变换在实际问题中的应用
类型三 三角恒等变换在实际问题中的应用
类型三 三角恒等变换在实际问题中的应用
类型三 三角恒等变换在实际问题中的应用
[题后感悟]
实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上,故常建立三角函数模型解决实际的优化问题.
当堂自评
B
当堂自评
B
当堂自评
B
当堂自评
当堂自评
D
当堂自评(共28张PPT)
5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
第五章 三角函数
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
第五章 三角函数
5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
课程目标
1. 理解y=Asin(ωx+φ)中φ,ω,A对图象的影响.2.会利用图象的变换解决简单的问题.3. 会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
变换类型 参数 数量变换 图形变换
横向平移 φ(φ>0) x→x+φ 向______平移φ个单位长度
x→x-φ 向______平移φ个单位长度
横向伸缩 ω(ω>0) x→ωx(ω>1)
x→ωx(0<ω<1)
纵向伸缩 A(A>0) f(x)→Af(x)
(A>1) 纵坐标_______到原来的______倍(横坐标不变)
f(x)→Af(x)
(0 左
右
缩短
伸长
伸长
A
缩短
A
教材整体初识 构建与探源
×
√
×
教材整体初识 构建与探源
×
×
类型一 φ对y=sin(x+φ)图象的影响
类型一 φ对y=sin(x+φ)图象的影响
类型一 φ对y=sin(x+φ)图象的影响
类型一 φ对y=sin(x+φ)图象的影响
类型二 ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)图象的影响
B
类型二 ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)图象的影响
横坐标
纵坐标
类型二 ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)图象的影响
B
类型二 ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)图象的影响
类型三 图象的综合变换
类型三 图象的综合变换
类型三 图象的综合变换
AB
类型三 图象的综合变换
[题后感悟]
先平移后伸缩和先伸缩后平移中,平移的量是不同的,在应用时一定要区分清楚,以免混乱而导致错误.弄清平移对象是减少错误的关键.
类型四 “五点法”作函数y=Asin (ωx+φ)的图象
X 0 π 2π
x
y 0 2 0 -2 0
类型四 “五点法”作函数y=Asin (ωx+φ)的图象
描点、连线,画图如下.
类型四 “五点法”作函数y=Asin (ωx+φ)的图象
π 2π
x 0
y 1 2 0 -2 0 1
类型四 “五点法”作函数y=Asin (ωx+φ)的图象
描点、连线,画图如下.
类型四 “五点法”作函数y=Asin (ωx+φ)的图象
[题后感悟]
1.用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤
第一步,列表:
第二步,在坐标系中描出各点.第三步,用光滑曲线连接这些点,得到图象.
ωx+φ 0 π 2π
x
f(x) 0 A 0 -A 0
类型四 “五点法”作函数y=Asin (ωx+φ)的图象
2.在画指定区间上的函数图象时,先由x的第一个取值确定ωx+φ整体取的第一个值,然后再确定ωx+φ整体后面的取值.
当堂自评
D
当堂自评
A
当堂自评
A
当堂自评
A
当堂自评
ωx+φ 0 π 2π
x
y 0 2 0 -2 0
2
3 (共30张PPT)
5.2 三角函数的概念
第五章 三角函数
5.2.2 同角三角函数的基本关系
课程目标
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
sin2α+cos2α=1
tan α
教材整体初识 构建与探源
教材整体初识 构建与探源
√
×
×
×
×
教材整体初识 构建与探源
×
×
类型一 同角三角函数的基本关系式的简单应用
类型一 同角三角函数的基本关系式的简单应用
类型一 同角三角函数的基本关系式的简单应用
类型一 同角三角函数的基本关系式的简单应用
类型一 同角三角函数的基本关系式的简单应用
类型一 同角三角函数的基本关系式的简单应用
[题后感悟]
1.已知角α的某一个三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.
2.若角α的终边所在的象限已经确定,求另两个三角函数值时,只有一组结果;若角α的终边所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.
类型二 同角三角函数的基本关系式的变用
类型二 同角三角函数的基本关系式的变用
类型二 同角三角函数的基本关系式的变用
A
D
类型二 同角三角函数的基本关系式的变用
类型二 同角三角函数的基本关系式的变用
[题后感悟]
1.sin θ+cos θ,sin θcos θ,sin θ-cos θ三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”.
2.求sin θ+cos θ或sin θ-cos θ的值,要注意判断它们的符号.
类型二 同角三角函数的基本关系式的变用
A
类型二 同角三角函数的基本关系式的变用
D
类型二 同角三角函数的基本关系式的变用
[题后感悟]
1.关于sin α,cos α的齐次式,可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值.
2.假如代数式中不含分母,可以视分母为1,灵活地进行“1”的代换,由1=sin2α+cos2α代换后,再同除以cos2α,构造出关于tan α的代数式.
类型三 三角函数式的化简或证明
类型三 三角函数式的化简或证明
类型三 三角函数式的化简或证明
类型三 三角函数式的化简或证明
类型三 三角函数式的化简或证明
[题后感悟]
1.利用同角三角函数的基本关系,减少函数名称,达到化简的目的.
2.对于含有根号的,常把根号下的式子化成完全平方式,去根号,达到化简的目的.
3.对于化简含高次的三角函数式,往往利用因式分解,或构造sin2θ+cos2θ=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
当堂自评
C
当堂自评
C
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D
当堂自评
C
当堂自评(共26张PPT)
5.4 三角函数的图象与性质
第五章 三角函数
第2课时 单调性与最值
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
课程目标
1.会求y=sin x,y=cos x的最大(小)值,会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y=sin x,y=cos x的单调性,能够利用单调性比较大小.3.会求函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的单调区间.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
项目 正弦函数 余弦函数
图象
值域 _________ __________
单调性 在__________________________上单调递增,
在______________________上单调递减 在____________________上单调递增,
在_____________________上单调递减
最值 当x=____________________时,ymax=1;
当x=____________________时,ymin=-1 当x=_______________时,ymax=1;
当x=__________________时,ymin=-1
[-1,1]
[-1,1]
(k∈Z)
[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)
[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)
2kπ(k∈Z)
(2k+1)π(k∈Z)
教材整体初识 构建与探源
×
×
√
×
教材整体初识 构建与探源
×
×
类型一 求正弦函数、余弦函数的单调区间
类型一 求正弦函数、余弦函数的单调区间
类型一 求正弦函数、余弦函数的单调区间
C
类型一 求正弦函数、余弦函数的单调区间
类型一 求正弦函数、余弦函数的单调区间
类型一 求正弦函数、余弦函数的单调区间
类型二 利用单调性比较大小
类型二 利用单调性比较大小
类型二 利用单调性比较大小
类型二 利用单调性比较大小
类型二 利用单调性比较大小
[题后感悟]
比较三角函数值大小的方法
(1)比较两个同名三角函数值的大小,先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角,再利用函数的单调性比较.
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小,一般应先化为同名的三角函数,后面步骤同上.
类型三 正弦函数、余弦函数的最值(值域)
类型三 正弦函数、余弦函数的最值(值域)
(2)令t=cos x,则-1≤t≤1,所以y=t2-4t+5=(t-2)2+1,所以当t=-1时,y取得最大值10;当t=1时,y取得最小值2.
所以y=cos2x-4cos x+5的值域为[2,10].
类型三 正弦函数、余弦函数的最值(值域)
类型三 正弦函数、余弦函数的最值(值域)
类型三 正弦函数、余弦函数的最值(值域)
[题后感悟]
三角函数值域(最值)问题的求解方法
(1)形如y=asin x(或y=acos x)型,可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意对a正负的讨论.
(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得值域(最值).
(3)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c(a≠0)求最值,t的范围需要根据定义域来确定.
当堂自评
D
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B
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3.下列关系式中正确的是( )
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°【解析】 因为sin 168°=sin 12°,cos 10°=sin 80°,所以只需比较 sin 11°,sin 12°,sin 80°的大小.因为y=sin x在0°A
当堂自评
当堂自评(共21张PPT)
5.5 三角恒等变换
第五章 三角函数
第3课时 两角和与差的正切公式
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课程目标
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
教材整体初识 构建与探源
√
×
×
√
类型一 给角求值
类型一 给角求值
-1
类型一 给角求值
类型一 给角求值
类型二 给值求值(角)
A
类型二 给值求值(角)
类型二 给值求值(角)
类型二 给值求值(角)
[题后感悟]
1.关于求值问题,利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式求解.
2.关于求角问题,先确定该角的某个三角函数值,再根据角的取值范围确定该角的大小.
类型三 两角和与差的正切公式的综合应用
B
类型三 两角和与差的正切公式的综合应用
类型三 两角和与差的正切公式的综合应用
CD
类型三 两角和与差的正切公式的综合应用
类型三 两角和与差的正切公式的综合应用
[题后感悟]
当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时,要把它们看成两个整体,一是这两个整体与两角和与差的正切公式有关,通过公式能相互转换;二是这两个整体还与根与系数的关系相似,在应用时要注意隐含的条件,以缩小角的范围.
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B
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C
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A
当堂自评
(共22张PPT)
5.3 诱导公式
第五章 三角函数
第1课时 诱导公式(一)
课程目标
1.能借助圆的对称性推导公式二、三、四.2.灵活运用诱导公式二、三、四,并能利用诱导公式进行化简与求值.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
项目 终边关系 图示 公式
公式二 角π+α与角α的终边关于原点对称
sin (π+α)= _________
cos(π+α)=__________
tan(π+α)=tan α
公式三 角-α与角α的终边关于x轴对称
sin (-α)=___________
cos (-α)=cos α
tan (-α)=__________
公式四 角π-α与角α的终边关于y轴对称
sin(π-α)=sin α
cos(π-α)=__________
tan(π-α)=__________
-sin α
-cos α
-sin α
-tan α
-cos α
-tan α
教材整体初识 构建与探源
判断正误(请在括号中打“√”或“×”)
(1)公式一、二、三、四函数的名称都不变.( )
(2)公式中的符号是由角 α 的终边所在的象限决定的. ( )
(3)公式中的角α一定是锐角. ( )
(4)公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值.( )
(5)α-π的终边与α的终边关于y轴对称,因此sin (α-π)=sin α. ( )
√
×
×
√
×
类型一 给角求值
类型一 给角求值
类型一 给角求值
(2)原式=tan 10°+tan(180°-10°)+sin(5×360°+66°)-sin[(-2)×360°+114°]=tan 10°-tan 10°+sin 66°-sin(180°-66°)=sin 66°-sin 66°=0.
类型一 给角求值
类型二 给值(式)求值
B
类型二 给值(式)求值
类型二 给值(式)求值
类型二 给值(式)求值
类型二 给值(式)求值
[题后感悟]
解决条件求值问题的策略
(1)寻找差异:解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)转化:可以将已知式进行变形,向所求式转化,或将所求式进行变形,向已知式转化.
类型三 化简求值
类型三 化简求值
类型三 化简求值
A
类型三 化简求值
当堂自评
B
当堂自评
2.[2025·莱芜一中高一] 在△ABC中,cos(A+B)= ( )
A.cos C B.-cos C
C.sin C D.-sin C
【解析】 在△ABC中,A+B+C=π,所以A+B=π-C,
所以cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C.
B
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B
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-1
当堂自评(共25张PPT)
5.5 三角恒等变换
第五章 三角函数
第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课程目标
1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式.2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等.3.熟悉并灵活运用两角和与差的正弦、余弦公式,以及公式的正用、逆用和角的变换的常用方法.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
名称 公式 简记
两角和的余弦公式 cos(α+β)=__________________________ C(α+β)
两角和的正弦公式 sin(α+β)=_________________________ S(α+β)
两角差的正弦公式 sin(α-β)=______________________ S(α-β)
cos αcos β-sin αsin β
sin αcos β+cos αsin β
sin αcos β-cos αsin β
教材整体初识 构建与探源
判断正误(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. ( )
(2)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立. ( )
(3)对于任意α,β∈R,sin(α+β)=sin α+sin β都不成立. ( )
(4)sin(α+β-15°)=sin(α-15°)cos β+cos(α-15°)sin β. ( )
√
√
×
√
类型一 给角求值
C
类型一 给角求值
类型一 给角求值
C
B
类型一 给角求值
类型一 给角求值
[题后感悟]
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值.
类型二 给值求值
类型二 给值求值
类型二 给值求值
类型二 给值求值
类型二 给值求值
[题后感悟]
给值求值的解题策略
(1)在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法:
①当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差;
②当条件中只有一个已知角时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
(2)此类问题中,角的范围不容忽视,解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.
类型三 给值求角
类型三 给值求角
类型三 给值求角
类型三 给值求角
类型三 给值求角
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B
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B
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A
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-1 (共24张PPT)
5.3 诱导公式
第五章 三角函数
第2课时 诱导公式(二)
课程目标
1.了解公式五和公式六的推导方法,能够准确记住公式五和公式六.2.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
项目 终边关系 图示 公式
公式五
公式六
cos α
-sin α
教材整体初识 构建与探源
教材整体初识 构建与探源
×
×
×
×
√
类型一 利用诱导公式化简求值
C
B
类型一 利用诱导公式化简求值
类型一 利用诱导公式化简求值
C
-1
类型一 利用诱导公式化简求值
类型一 利用诱导公式化简求值
[题后感悟]
利用诱导公式化简求值的策略
(1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解,转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.
(2)对式子进行化简或求值时,要注意要求的角与已知角之间的关系,并结合诱导公式进行转化,特别要注意角的范围.
类型二 利用诱导公式证明恒等式
类型二 利用诱导公式证明恒等式
类型二 利用诱导公式证明恒等式
[题后感悟]
三角恒等式的证明策略
对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
类型三 诱导公式的综合应用
类型三 诱导公式的综合应用
类型三 诱导公式的综合应用
类型三 诱导公式的综合应用
类型三 诱导公式的综合应用
类型三 诱导公式的综合应用
类型三 诱导公式的综合应用
[题后感悟]
在诱导公式的综合应用中要“三看”.
一看角:
①化大为小;
②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称:一般是弦切互化.
三看式子结构:通过分析式子选择合适的方法,如分式中可对分子分母同乘一个式子变形,然后利用完全平方、平方差、立方和、立方差公式.
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B
A
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D
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AC
当堂自评(共36张PPT)
第五章 三角函数
5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
课程目标
1.会通过函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式.2.结合正弦函数的性质,掌握函数y=Asin(ωx+φ)的性质.3.构建三角函数模型,解决实际问题.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
性质 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)
定义域 ________
值域 _________
周期 ______
对称中心 _____________
对称轴
奇偶性 当φ=____________时是奇函数,
当φ=_______________时是偶函数
单调性
R
[-A,A]
kπ(k∈Z)
教材整体初识 构建与探源
√
×
×
√
√
教材整体初识 构建与探源
×
类型一 已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
B
类型一 已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
类型一 已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
类型一 已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
A
类型一 已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
类型一 已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
类型一 已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
类型二 函数y=Asin(ωx+φ)的综合问题
类型二 函数y=Asin(ωx+φ)的综合问题
类型二 函数y=Asin(ωx+φ)的综合问题
类型二 函数y=Asin(ωx+φ)的综合问题
类型二 函数y=Asin(ωx+φ)的综合问题
类型二 函数y=Asin(ωx+φ)的综合问题
类型二 函数y=Asin(ωx+φ)的综合问题
类型二 函数y=Asin(ωx+φ)的综合问题
类型二 函数y=Asin(ωx+φ)的综合问题
类型三 y=Asin(ωx+φ)在匀速圆周运动中的应用
类型三 y=Asin(ωx+φ)在匀速圆周运动中的应用
类型三 y=Asin(ωx+φ)在匀速圆周运动中的应用
类型三 y=Asin(ωx+φ)在匀速圆周运动中的应用
BD
类型三 y=Asin(ωx+φ)在匀速圆周运动中的应用
类型三 y=Asin(ωx+φ)在匀速圆周运动中的应用
类型三 y=Asin(ωx+φ)在匀速圆周运动中的应用
类型三 y=Asin(ωx+φ)在匀速圆周运动中的应用
[题后感悟]
解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行
(1)认真审题,理清问题中的已知条件与所求结论.
(2)建立三角函数模型,将实际问题数学化.
(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题,求得数学模型的解.
(4)根据实际问题的意义,得出实际问题的解.
(5)将所得结论返回,转译成实际问题的答案.
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B
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A
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A
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D
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2
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5.5 三角恒等变换
第五章 三角函数
第1课时 两角差的余弦公式
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课程目标
1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
cos αcos β+sin αsin β
教材整体初识 构建与探源
×
×
√
√
类型一 给角求值
类型一 给角求值
类型一 给角求值
类型一 给角求值
类型一 给角求值
[题后感悟]
运用两角差的余弦公式求值的关注点
(1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征,切忌死记.
(2)在逆用两角差的余弦公式解题时,要善于进行角的变形,使之符合公式特征.
(3)在逆用公式解题时,还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值.
类型二 给值(或式)求值
类型二 给值(或式)求值
类型二 给值(或式)求值
类型二 给值(或式)求值
类型三 给值(或式)求角
类型三 给值(或式)求角
类型三 给值(或式)求角
类型三 给值(或式)求角
[题后感悟]
解答已知三角函数值求角这类题目,关键在于合理运用公式并结合角的范围,对所求的解进行取舍,其关键环节有两个:一是求出所求角的某种三角函数值,二是确定角的范围,然后结合三角函数图象求出角的值.
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B
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D
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A
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5.5 三角恒等变换
第五章 三角函数
第1课时 简单的三角恒等变换(一)
5.5.2 简单的三角恒等变换
课程目标
1.能由二倍角公式推导半角公式.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法,能够证明三角恒等式.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
1－2sin2 α
2cos2 α －1
教材整体初识 构建与探源
×
×
×
×
教材整体初识 构建与探源
类型一 利用半角公式求值
类型一 利用半角公式求值
D
类型一 利用半角公式求值
D
类型一 利用半角公式求值
类型一 利用半角公式求值
类型二 和差化积、积化和差的应用
类型二 和差化积、积化和差的应用
C
类型二 和差化积、积化和差的应用
类型二 和差化积、积化和差的应用
[题后感悟]
积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式转化为θ,φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作关于x,y的方程,则原问题转化为解方程(组)求x(y),它们都体现了化归思想.
类型三 化简与证明
类型三 化简与证明
类型三 化简与证明
类型三 化简与证明
[题后感悟]
三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法:证明的形式一般是化繁为简.
(2)左右归一法:证明左、右两边都等于同一个式子.
(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同.
类型三 化简与证明
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D
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A
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C
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2 (共21张PPT)
5.1 任意角和弧度制
第五章 三角函数
5.1.2 弧度制
课程目标
1.了解弧度制下,角的集合与实数集合之间的一一对应关系.2.理解角度制与弧度制的概念,掌握角的不同度量制度,能对弧度和角度进行正确换算.3.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
教材整体初识 构建与探源
课时构建
度
弧度
半径长
rad
2π
360°
π
180°
αR
lR
αR2
教材整体初识 构建与探源
判断正误(请在括号中打“√”或“×”)
弧度制的概念
(1)1 rad的角和1°的角大小相等. ( )
(2)每个弧度制的角,都有唯一的角度制的角与之对应. ( )
(3)1弧度的角就是长度为1的弧所对的圆心角. ( )
(4)一个角的弧度数是一个实数.( )
角度制与弧度制互化
×
√
×
√
教材整体初识 构建与探源
√
√
×
√
×
类型一 弧度制的概念
ABC
类型一 弧度制的概念
活学活用
下列说法中正确的是 ( )
A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D.用弧度表示的角都是正角
A
类型一 弧度制的概念
[题后感悟]
1.圆心角α所对的弧长与半径的比值是唯一确定的.
2.任意角的弧度数与实数是一一对应的关系.
类型二 角度制与弧度制的互化
-75°
类型二 角度制与弧度制的互化
类型二 角度制与弧度制的互化
类型三 用弧度制表示角的集合
类型三 用弧度制表示角的集合
类型三 用弧度制表示角的集合
C
类型三 用弧度制表示角的集合
类型三 用弧度制表示角的集合
[题后感悟]
1.用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍.
2.注意角度制与弧度制不能混用.
类型四 弧度制下的扇形的弧长和面积公式
类型四 弧度制下的扇形的弧长和面积公式
类型四 弧度制下的扇形的弧长和面积公式
[题后感悟]
1.扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量:面积S,弧长l,圆心角α,半径r,已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得),已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得).
2.在研究有关扇形的相关量的最值时,往往转化为二次函数的最值问题.
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C
A
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D
B
