【2026中考人教数学一轮复习（讲本）】30 第四章 微专题 通过“作平行线”构造全等、相似三角形 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
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第四章　三角形
微专题　通过“作平行线”构造全等、相似三角形
分层精讲本
2026湖北数学
一阶　方法训练
类型一　已知平行线构造“8字”型全等、相似
[省卷：2025.23(3)；2024.23(3)]
例1　如图，在 ABCD中，E是BC边的中点，F是CD上一点，∠EAF
＝∠EFA，求证：∠BAE＝∠EFC.
证明：如解图，延长FE，AB交于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EBH＝∠ECF，∠EHB＝∠EFC，
解图
∵E是边BC的中点，
∴BE＝CE，
∴△BEH≌△CEF(AAS)，
∴EH＝EF，
∵∠EAF＝∠EFA，
∴AE＝EF，
∴AE＝EH，
∴∠H＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠EFC.
解图
例2　如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，点G，H分别在边
AB，DE上，且AG＝DH＝2，连接CH，DG交于点Q，连接BE交DG
于点P，求 的值.
解：如解图，过点H作HM⊥CD，交CD的延长线
于点M，延长BE，CH交于点N.
由题意可得∠CDE＝120°，∴∠HDM＝60°，
∵DH＝2，
∴HE＝DE－DH＝1，DM＝DH· cos 60°＝1，
MH＝DH· sin 60°＝ ，
解图
由题意可得BN∥CD，易得BE＝2CD＝6，
∴△EHN∽△DHC，∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴EN＝ ，
由题意可得AB∥DE，∴△BGP∽△EDP，
∴ ＝ ＝ ，∴BP＝ ，EP＝ ，
∴PN＝EP＋EN＝6，
又∵BN∥CD，∴△PQN∽△DQC，
∴ ＝ ＝ ＝2.
解图
方法总结
情形1　已知平行线和非中点，构造“8字”型相似
条件：已知四边形ABCD，AD∥BC，E是CD边上一点，且DE≠CE.
作法：
结论：△ADE∽△FCE.
情形2　已知平行线和中点，构造“8字”型全等
方法链接：构造“8字”型全等见本书P72通过“倍长”构造全等三角
形
类型二　已知线段比例关系构造“A字”“8字”型相似
[省卷：2025.23(3)；2024.15]
例3　如图，在△ABC中，AC＝BC，CD平分∠ACB交AB于点D，E
是AC上一点，AE＝ AC，连接BE，交CD于点F，若AC＝12，CF＝
9，求DF的长.
解：如解图，过点D作DG∥AC交BE于点G，
∵AC＝BC，CD平分∠ACB，
∴AD＝BD，
∴D是AB的中点，
∵DG∥AC，
解图
∴G是BE的中点，
∴DG是△BAE的中位线，
∵AC＝12，AE＝ AC，∴AE＝4，
∴CE＝AC－AE＝12－4＝8，DG＝ AE＝2，
∵DG∥AC，∴△DFG∽△CFE，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∵CF＝9，∴DF＝ .
解图
例4　 如图，在△ABC中，点D为AB的中点，点E是AC上一点，且AE＝4EC，连接DE并延长，交BC的延长线于点F，若BC＝6，求CF的长.
一题多解法
解法一：如解图①，过点C作CG∥AB交DF于点G，
∴∠ADE＝∠CGE，
∵∠AED＝∠CEG，
∴△ADE∽△CGE，
∴ ＝ ＝4，
解图①
∵点D为AB的中点，∴AD＝BD，
∴ ＝ ，
∵CG∥BD，
∴∠BDF＝∠CGF，
∵∠DFB＝∠GFC，
∴△BDF∽△CGF，
∴ ＝ ＝4，∴ ＝ ，
∵BC＝6，∴CF＝2.
解图①
解法二：如解图②，过点D作DG∥BC交AC于点G，
∵D为AB的中点，∴G为AC的中点，
∴AG＝CG，∴DG为△ABC的中位线，
∵BC＝6，∴DG＝ BC＝3，
∵AE＝4CE，
∴设CE＝a，则AE＝4a，AC＝5a，
例4　 如图，在△ABC中，点D为AB的中点，点E是AC上一点，且AE＝4EC，连接DE并延长，交BC的延长线于点F，若BC＝6，求CF的长.
一题多解法
解图②
∴AG＝CG＝ a，则GE＝AE－AG＝ a，
∵DG∥BC，
∴∠ECF＝∠EGD，∠EFC＝∠EDG，
∴△FCE∽△DGE，
∴ ＝ ＝ ，
∵DG＝3，
∴CF＝2.
解图②
方法总结
情形3　已知共线的线段比值关系，作平行线构造相似
条件：在△ABC中，点D是边AB上一点，且已知AD∶BD的值.
作法1：“A字”型相似
结论：△ABC∽△ADE.
结论：△BDC∽△ADE.
作法2：“8字”型相似
二阶　综合应用
1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BC上的点，
连接DE并延长交AC的延长线于点F，若CE＝4，BD＝DE，AC＝
3CF，求BE的长.
解：如解图，过点D作DG⊥BC于点G，
∵BD＝DE，∴BG＝EG，
∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
∴∠FCE＝90°，DG∥AC，∴ ＝ ，
解图
∵∠DEG＝∠CEF，∠DGE＝∠FCE＝90°，
∴△DEG∽△FEC，∴ ＝ ，
设GE＝x，FC＝a，则BG＝EG＝x，
∴ ＝ ，解得DG＝ ，
∵AC＝3CF＝3a，BC＝BG＋GE＋EC＝2x＋4，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得x＝0(舍去)或x＝4，
∴GE＝BG＝4，∴BE＝8.
解图
2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，P是边AC上一点，PD⊥AB，连接BP与CD相交于点E，且DE＝2CE，求 的值.
一题多解法
解法一：如解图①，过点B作BF∥AC，交CD的延长线于点F，
∴∠DAC＝∠DBF，∠DCA＝∠DFB，
∵点D为AB的中点，∴AD＝BD，
∴△ACD≌△BFD，
∴CD＝FD，AC＝BF，
解图①
∵DE＝2CE，∴FD＝CD＝3CE，∴EF＝5CE，
易得△PEC∽△BEF，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
设PC＝k，则AC＝5k，PA＝4k，
∵PD⊥AB，D是AB的中点，∴PA＝PB＝4k，
∴BC＝ ＝ k，
∵AC＝5k，
∴AB＝ ＝2 k，∴ ＝ ＝ .
解图①
解法二：如解图②，过点D作DM∥BP，证
△CPE∽△CMD，△ADM∽△ABP，求得 的值，再
结合垂直平分线的性质求得 的值，最后结合勾股定理
用同一个参数表示BC，AB，即可求解.
解图②
2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，P是边AC上一点，PD⊥AB，连接BP与CD相交于点E，且DE＝2CE，求 的值.
一题多解法
3. 　　　　　　　如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是AB边上一点，且AE＝1，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，连接AF并延长交BC于点G，求CG的长.
一题多解法
解法一：如解图①，过点F作FH⊥AB于点H，
∴∠FHE＝90°.
∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝2.
∵在矩形ABCD中，BC＝AD＝4，∠ABC＝90°，
∴CE＝ ＝2 .
∵BF⊥CE，∴∠BFE＝90°，
解图①
∴ cos ∠BEC＝ ＝ ＝ ＝ ， sin ∠BEC＝ ＝ ＝ ，
∴EF＝ ，EH＝ ，HF＝ ，∴AH＝AE＋EH＝ .
∵∠AHF＝∠ABG＝90°，
∴FH∥BG，∴△AHF∽△ABG，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得BG＝ ，∴CG＝BC－BG＝ .
解图①
解法二：如解图②，过点G作GM∥AB交CE于点M，
∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝2，
∵在矩形ABCD中，BC＝AD＝4，
∴CE＝ ＝2 ，
∵S△BCE＝ BE·BC＝ CE·BF，
∴BF＝ ＝ ，
3. 　　　　　　　如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是AB边上一点，且AE＝1，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，连接AF并延长交BC于点G，求CG的长.
一题多解法
解图②
同解法一可得EF＝ ，∴CF＝CE－EF＝ ，
∵GM∥BE，∴△CGM∽△CBE，
∴ ＝ ，即 ＝ ＝2，
设GC＝2x，则GM＝x，CM＝ x，
∵GM∥AB，∴△FMG∽△FEA，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得x＝ ，∴CG＝ .
解图②
解法三：解题思路：如解图③，延长CE交DA的延长线于点N，易证△AEN∽
△FEB，再利用△NAF∽
△CGF即可求解.
解图③
3. 　　　　　　　如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是AB边上一点，且AE＝1，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，连接AF并延长交BC于点G，求CG的长.
一题多解法
解法四：解题思路：如解图④，延长BF交AD于点P，利用△BEF∽△BPA及△AFP∽△GFB即可求出BG，进而求出CG的长.
3. 　　　　　　　如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是AB边上一点，且AE＝1，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，连接AF并延长交BC于点G，求CG的长.
一题多解法
解图④
Thanks!
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