【2026中考人教数学一轮复习（讲本）】32 第四章 微专题 通过“图形旋转”构造全等、相似三角形 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
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第四章　三角形
微专题　通过“图形旋转”构造全等、相似三角形
分层精讲本
2026湖北数学
一阶　方法训练
类型一　通过“图形旋转”构造全等
例1　如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是△ABC内部一
点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE，BD，
CE，试判断BD，CE的数量关系和位置关系，并证明.
BD＝CE，BD⊥CE
证明：由旋转的性质可得∠DAE＝90°，AD＝AE，
∵△ABC等腰直角三角形，
∴AB＝AC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE；
如解图，延长BD分别交AC于点P，CE于点H，
∵∠APB＝∠CPH，∠ABD＝∠ACH，
∴∠BHC＝∠BAC＝90°，∴BD⊥CE.
解图
题后反思
若延长BD交CE于点F，连接AF，则∠AFD和∠AFE有怎样的数量关系呢？并证明.
解：∠AFD＝∠AFE，
证明如下：如解图，过点A作AG⊥BF于点G，作
AH⊥CE交CE的延长线于点H，
由旋转的性质可得，AE＝AD，∠DAE＝90°，
∴∠DAC＋∠CAE＝90°，
解图
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB＝AC，∠BAD＋∠DAC＝90°，∴∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中， ，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE，
∵S△ABD＝ BD·AG，S△ACE＝ CE·AH，∴AG＝AH，
又∵AG⊥BF，AH⊥CE，∴AF为∠DFE的平分线，
∴∠AFD＝∠AFE.
解图
例2　 如图，△ABC是等边三角形，D是平面内一点，连接AD，CD，BD，∠CAB＝∠CDB，求证：BD＝AD＋CD.
一题多解法
解法一：如解图①，在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，设AC，BD交于点O，
∵∠CAB＝∠CDB，∠COD＝∠BOA，
∴∠ACD＝∠ABD，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠CAB＝60°，
解图
∴△ADC≌△AEB，
∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，
∴∠DAC＋∠CAE＝∠EAB＋∠CAE＝∠DAE＝
∠CAB＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD，
∴BD＝DE＋BE＝AD＋CD.
解图
解法二：如解图②，延长DC至点D'，使得DD'＝DB，
连接BD'，证△ABD≌△CBD'.
解图
例2　 如图，△ABC是等边三角形，D是平面内一点，连接AD，CD，BD，∠CAB＝∠CDB，求证：BD＝AD＋CD.
一题多解法
例3　如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，D是AC边的中点，过点D作DE⊥DF，分别交AB，BC于点E，F，若AE＝8，FC＝6，求△BEF的周长.
解：如解图，连接BD，
∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D为AC边的
中点，
∴BD⊥AC，BD＝CD＝AD，∠ABD＝∠C＝45°，
又∵DE⊥DF，
∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF＝90°，
∴∠FDC＝∠EDB，
解图
在△EDB和△FDC中， ，
∴△EDB≌△FDC(ASA)，
∴BE＝CF＝6，
∴AB＝BC＝14，
∴BF＝8，
在Rt△EBF中，EF＝ ＝10，
∴C△BEF＝BF＋BE＋EF＝24.
解图
例4　 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，连接AE，AF，EF，若∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF.
一题多解法
解法一：如解图①，延长CD至点G，使得DG＝BE，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF
＝∠ADG＝90°，
解图①
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG.
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAE＋∠FAD＝45°，
∴∠DAG＋∠FAD＝45°，
即∠GAF＝45°，∴∠EAF＝∠GAF，
解图①
在△AFE和△AFG中，
∴△AFE≌△AFG(SAS)，
∴EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF.
解图①
解法二：如解图②，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，
使AB与AD边重合，得到△ADE'，
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAE＋∠DAF＝45°，
∵∠BAE＝∠DAE'，
∴∠FAE'＝45°，
∴∠FAE'＝∠FAE，
例4　 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，连接AE，AF，EF，若∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF.
一题多解法
解图②
∵∠ADE'＝∠ADF＝90°，
∴∠ADE'＋∠ADF＝180°，
∴E'，D，F三点共线，
又∵AF＝AF，AE＝AE'，
∴△EAF≌△E'AF，
∴EF＝E'F，
∵E'F＝DF＋DE'，DE'＝BE，
∴EF＝BE＋DF.
解图②
方法总结
情形1　看到双等腰或等腰及一点，想到旋转三角形(手拉手全等)
1. 双等腰
条件：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝
∠DAE.
结论：△ABD≌△ACE.
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2. 等腰及一点
条件：△ABC为等腰三角形，点D为△ABC内一点.
结论：△ABD≌△ACE.
情形2　看到对角互补且邻边相等，想到旋转三角形(对角互补全等)
条件：在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，且AD＝CD.
结论：△ABD≌△CED.
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情形3　看到正方形含半角，想到旋转三角形(半角模型)
结论：①△AEF≌△AEG；②△AGF为等腰直角三角形；③EF＝BE
＋DF.
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类型二　通过“图形旋转”构造相似
(省卷：2025.23)
例5　如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝
∠ADE，连接BD，CE. 若S△ADB∶S△AEC＝16∶9，△ADB的周长为
2，求△AEC的周长.
解：∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ADB∽△AEC，
∵S△ADB∶S△AEC＝16∶9，
∴C△ADB∶C△AEC＝4∶3.
∵C△ADB＝2，
∴C△AEC＝ .
例6　两个等腰直角三角板按如图所示放置，点E在AC上，G，H分别
为边AB，BC上的点.若GE＝2EH，求 的值.
解：如解图，过点E分别作EM⊥BG于点M，EN⊥BC于点N，∴∠EMG＝∠ENH＝90°，
又∵∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴∠EGB＋∠EHB＝180°，
又∵∠EHN＋∠EHB＝180°，
∴∠EGB＝∠EHN，∴△EMG∽△ENH，
∴ ＝ ，
解图
∵CE＝2EH，∴ ＝ ＝2，
∵△ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，
∴∠C＝∠A＝45°，
∵EN⊥BC，∴∠CNE＝90°，
∴∠CEN＝∠C＝45°，∴NE＝NC.
∵EM⊥AB，∴EM∥BC，EN∥AB，
∴△AME∽△ENC，
∴ ＝ ＝ ＝2.
解图
方法总结
情形1　看到共顶点且顶角相等的两个相似三角形，想到连接对应点(手拉
手相似)
条件：△ABC∽△ADE.
结论：△ABD∽△ACE.
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情形2　看到对角互补的四边形，想到作两边垂线或作补角并旋转对角线
(对角互补相似)
条件：在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°.
结论：△ABD∽△CED.
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二阶　综合应用
1. (2025荆门模拟)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，P是
△ABC内一点，∠PBA＝∠PAC＝∠PCB，若BP＝1，则PA＋PC的值
为(　D　)
A. 5 B. 4
D
【解析】如解图，过点B作BD⊥BP，交AP延长线于D，
连接CD，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝
∠BCA＝45°，设∠PBA＝∠PAC＝∠PCB＝α，则
∠BAP＝∠BAC－∠PAC＝45°－α，∠ACP＝∠BCA－
∠PCB＝45°－α，∴∠BPD＝∠BAP＋∠PBA＝45°，
∠CPD＝∠PAC＋∠ACP＝45°，∴△BDP为等腰直角三
角形，∴BP＝BD＝1，则PD＝ ＝ ，
∵∠PBA＋∠PBC＝∠PBC＋∠DBC＝90°，∴∠PBA＝
∠DBC，∴△ABP≌△CBD(SAS)，则PA＝DC，∠BAP
＝∠BCD＝45°－α，∴∠DCP＝∠BCD＋∠BCP＝
45°，∴△CDP为等腰直角三角形，∴PD＝CD＝PA＝
，PC＝ ＝2，∴PA＋PC＝2＋ .
解图
2. 如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝ ，D为△ABC内部一点，且
CD⊥BD，在BD的延长线上取一点E，使得∠CAE＝∠BAD. 若
∠ADE＝∠ABC，且∠DBC＝30°，则AD的长为 .
　
【解析】如解图，连接CE，设CD＝x，∵CD⊥BD，
∠DBC＝30°，∴BC＝2x，BD＝ x.
∵∠CAE＝∠BAD，∴∠DAE＝∠BAC.
∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ .
∵∠CAE＝∠BAD，∴△ACE∽△ABD，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴CE＝ x.在Rt△CDE中，DE＝
＝ x，∵ ＝ ，∴ ＝ ，∴AD＝ .
解图
3. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，连接
AE，AF，EF，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，
∠EAF＝60°，若BE＝3，DF＝5，求EF的长.
解：如解图，把△ABE绕点A旋转，使AB和AD重合，
得到△ADM，∴AE＝AM，BE＝DM，∠BAE＝
∠DAM，∠ABE＝∠ADM＝90°，
∵∠ADF＝90°，
∴∠ADM＋∠ADF＝180°，
∴M，D，F三点共线，
解图
∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，
∴∠BAE＋∠DAF＝60°，
∴∠DAM＋∠DAF＝∠MAF＝60°＝∠EAF.
在△EAF和△MAF中，
∴△EAF≌△MAF(SAS)，∴EF＝MF，
∵BE＝3，DF＝5，
∴EF＝MF＝DF＋DM＝DF＋BE＝8.
解图
Thanks!
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