【2026中考人教数学一轮复习（讲本）】31 第四章 微专题 通过“作垂直或等角”构造全等、相似三角形 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
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第四章　三角形
微专题　通过“作垂直或等角”构造全等、
相似三角形
分层精讲本
2026湖北数学
一阶　方法训练
类型一　通过“作垂线”构造全等、相似
(省卷：2024.9，2024.21，2024.23，2024.24)
例1　如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为边BC
上一点，连接AD. 将线段AD绕点D顺时针方向旋转90°得到线段ED，
连接BE. 判断线段BE与CD的数量关系，并证明.
解：BE＝ CD. 证明如下：如解图，过点E作
EM⊥CB交CB的延长线于点M，
由旋转的性质可得AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADC＋∠EDM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DME，∠ADC＋∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EDM，
∴△ACD≌△DME(AAS)，
∴CD＝ME，AC＝DM，
解图
∵AC＝BC，
∴BM＝DM－BD＝AC－BD＝BC－BD＝CD，
∴BM＝EM，
∵EM⊥CB，
∴BE＝ EM＝ CD.
解图
题后反思
如图，当点D在线段BC的延长线上时，判断线段BE与CD的数量关系，
并证明？
解：BE＝ CD，理由如下：
如解图，过点E作EM⊥BC于点M，
由旋转的性质可得AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADC＋∠EDM＝90°，
解图
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DME，∠ADC＋∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EDM，∴△ACD≌△DME(AAS)，
∴CD＝ME，AC＝DM，
∵AC＝BC，∴DM＝BC，
∴DM－CM＝BC－CM，
∴CD＝BM，∴EM＝BM，
∵EM⊥CB，∴BE＝ EM＝ CD.
解图
例2　如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝8，E是边BC上一
点，且AE⊥DE，连接AC，若AC＝AB，求CE的长.
解：如解图，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于点G，可得四边形AFGD是矩形，
∴AF＝DG，FG＝AD＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝5，BC＝AD＝8，
∵AC＝AB，
∴CF＝BF＝4，
解图
设CE＝x，则EF＝4－x，EG＝4＋x，
∵AE⊥DE，即∠AED＝90°，
∴∠AEF＋∠DEG＝90°，
又∵∠AEF＋∠EAF＝90°，
∴∠EAF＝∠DEG，
∵∠AFE＝∠EGD＝90°，
∴△AEF∽△EDG，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得x＝ (负值已舍去)，
∴CE的长为 .
解图
方法总结
情形1　遇直角，作垂线构造全等、相似
1. 同侧型一线三垂直
条件：在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AB，AC上的点，且
∠EDF＝90°.
结论：△MED∽△NDF.
当DE＝DF时，可得△MED≌△NDF.
2. 异侧型一线三垂直
条件：在△AOB中，∠AOB＝90°，射线OP交AB于点P.
结论：△ACO∽△ODB.
当AO＝BO时，可得△ACO≌△ODB.
类型二　通过“作等角”构造全等、相似
例3　如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，连接AD，在AD上
取两点E，F，连接CE，BF，若∠CED＝∠BFD＝60°，求证：
△ACE≌△BAF.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAF＋∠EAC＝60°，
∵∠CED＝∠BFD＝60°，
∴∠AEC＝∠AFB＝180°－60°＝120°，
∴∠BAF＋∠FBA＝180°－∠AFB＝60°，
∴∠EAC＝∠FBA，
在△ACE和△BAF中，
∴△ACE≌△BAF(AAS).
例4　如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠B＝2∠C，点D，E分
别在边BC，AC上，且∠ADE＝∠B，AD＝DE，求BD的长.
解：如解图，在CD上取一点F，连接EF，使得∠EFD＝∠B，
∵∠B＝2∠C，∴∠EFD＝2∠C，
又∵∠EFD＝∠C＋∠FEC，
∴∠C＝∠FEC，∴EF＝CF，
∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝
∠B＋∠DAB，∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE，
解图
又∵AD＝DE，
∴△ABD≌△DFE，
∴BD＝EF＝FC，AB＝DF，
∵AB＝3，BC＝5，
∴BC＝BD＋DF＋FC＝BD＋AB＋BD，
∴5＝BD＋3＋BD，
∴BD＝1.
解图
例5　如图，在 ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点.
若∠DEF＝∠B，BE＝ AB，DE＝10，求EF的长.
解：如解图，过点D作DM＝DC交BC的延长线于点M，
∴∠DCM＝∠M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DM＝CD＝AB，AB∥CD，
∴∠B＝∠DCM＝∠M，
解图
∵∠FEC＝∠DEF＋∠DEC＝∠B＋∠BFE，∠B＝∠DEF，
∴∠DEC＝∠BFE，
∴△BFE∽△MED，
∴ ＝ ，
∵BE＝ AB，DM＝AB，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴EF＝ DE＝ ×10＝6.
解图
方法总结
情形2　遇等角，想到构造全等、相似
1. 同侧型一线三等角
条件：
在△ABC中，∠B＝∠ADE.
结论：△ABD∽△DFE.
当AD＝DE时，可得△ABD≌△DFE.
2. 异侧型一线三等角
条件：
在△ABC中，∠BAC＝∠BDF.
结论：△ABD∽△CAE.
当AB＝AC时，可得△ABD≌△CAE.
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二阶　综合应用
1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB，垂足为
D，E是边BC上一点，且CE＝AC，连接DE，若△CDE的面积为2，
求CD的长.
解：如解图，过点E作EF⊥CD于点F，则∠EFC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠EFC＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝90°，
解图
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠ECF＝90°，
∴∠A＝∠ECF，
又∵AC＝CE，
∴△ACD≌△CEF，
∴CD＝EF，
∵△CDE的面积为2，
∴ CD·EF＝2，即CD2＝4，CD＝2.
解图
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，E为线段AD上一
点，且∠BED＝∠BAC，过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F. 求
证：AE＝CF.
证明：如解图，延长AF至点J，使得AJ＝
BE，连接CJ，
∵∠BED＝∠ABE＋∠BAE，∠BAC＝
∠BAE＋∠CAJ，∠BED＝∠BAC，
∴∠ABE＝∠CAJ，
解图
在△ABE和△CAJ中， ，
∴△ABE≌△CAJ(SAS)，
∴AE＝CJ，∠AEB＝∠CJA，
∵BE∥CF，∴∠BED＝∠CFA，
∵∠AEB＋∠BED＝∠CFA＋∠CFJ，
∴∠AEB＝∠CFJ，∴∠CFJ＝∠CJA，
∴CJ＝CF，∴AE＝CF.
解图
3. 　　　　　　　　　　　　 学习“一线三等角相似三角形”时，老师给出了一道题：如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC边于点F，连接DF，且∠EFD＝60°，求AE的长.
甲同学：∠DEF＝90°，可通过作两条垂线构造相似三角形.
新考法
解题策略开放
乙同学：∠B＝60°，∠EFD＝60°，有两个相等的角，再作一个等角就可以构造相似三角形.
老师说：两位同学的想法都很好，请你任选一位同学的方法解题.
解：选择甲同学：如解图①，过点F作FM⊥AB于点M，过点D作
DN⊥BA，交BA的延长线于点N，
∴∠EMF＝∠DNE＝90°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠MEF＋∠DEN＝∠NDE＋∠DEN＝90°，
∴∠MEF＝∠NDE，
∴△EMF∽△DNE，
∴ ＝ ＝ ，
解图①
∵四边形ABCD为平行四边形，∠B＝60°，
∴AD∥BC，AD＝BC＝4，
∴∠NAD＝∠B＝60°，
∴AN＝ AD＝2，DN＝ AD＝2 ，
∵∠DFE＝60°，∠DEF＝90°，
∴∠EDF＝30°.
∴ ＝tan∠EDF＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，∴EM＝ DN＝2，
解图①
设AE＝x，则BM＝AB－AE－EM＝1－x，NE＝AN＋AE＝2＋x，
在Rt△BMF中，MF＝BM·tan 60°＝ BM＝ － x，
∴ ＝ ，解得x＝ ，
∴AE＝ .
解图①
选择乙同学：如解图②，延长BC至点G，连接DG，使∠G＝60°，
∵∠B＝∠EFD＝60°，
∴∠BFE＋∠BEF＝∠BFE＋∠DFC＝120°，
∴∠BEF＝∠DFC
∵∠B＝∠G＝60°，
∴△BEF∽△GFD，
∴ ＝ ＝ ，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
解图②
∴∠EDF＝180°－∠DEF－∠EFD＝30°，
∴DF＝2EF，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD＝AB＝3，
∴∠DCG＝∠B＝∠G＝60°，
∴△DCG是等边三角形，
∴CG＝DG＝CD＝3，
∴BG＝BC＋CG＝7，
解图②
∴GF＝BG－BF＝7－BF，
∴ ＝ ＝ ，
解得BF＝ ，BE＝ ，
∴AE＝AB－BE＝ .(任选一种即可)
解图②
Thanks!
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