【2026中考人教数学一轮复习（讲本）】36 第五章 第三节 菱 形 课件（共31张PPT）

2026中考人教数学一轮复习 新考向情景题 讲解课件
2026中考人教数学一轮复习 考点突破 分层讲练
精讲本 导图梳理 考点精讲 针对训练
第五章　四边形
第三节　菱　形
分层精讲本
2026湖北数学
节前复习导图
周长
性质
面积
菱形
判定
边
对角线
对称性
C＝4a
S＝ ????????mn
?
考点精讲
一.性质
1. 边四条边都相等对边平行
2. 对角线对角线互相垂直且 ?每条对角线平分一组对角
3. 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有 ?条对称轴
二.判定
平分
2
1. 有一组 ?相等的平行四边形是菱形
2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3. 四条边都相等的四边形是菱形
邻边
三.面积：S=?　 (m，n分别表示两条对角线的长)
四.周长：C= (a为边长)
????????mn
?
4a
核心考点突破
例1　　　　　　　　 如图①，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝4.
图①
(1)∠ABD＝ °，∠CAD＝ °；
(2)AC的长为 ，BD的长为 ?；
30　
60　
4　
4???? 　
?
一题多设问
(3)菱形ABCD的周长为 ，面积为 ?；
(4)E是AB边上一点，连接OE.
①若E是AB的中点，则OE＝ ?；
②若OE⊥AB，则OE＝ ?；
16　
8???? 　
?
2　
???? 　
?
(5)如图②，E是AB的中点，点F在AC上，连接EF，BF，则BF＋EF
的最小值为 ?.
图②
2???? 　
?
【解析】如解图，连接DE交AC于点F，过点E作EH⊥AD，交DA的延长线于点H，∵点B与点D关于AC对称，∴BF＝DF，∴BF＋EF＝DF＋EF，当E，F，D三点共线时，BF＋EF的值最小，最小值为DE的长，∵E是AB的中点，∴AE＝2，
∵∠ABC＝60°，AD∥BC，∴∠EAH＝∠ABC＝60°，
易得AH＝1，EH＝???? ，
∴DH＝AH＋AD＝5，
∴DE＝????????????＋???????????? ＝2???? ，
即BF＋EF的最小值为2???? .
?
解图
例2　　　　　　　　 如图，四边形ABCD为矩形，E，F分别是AD，BC边上的点，O是EF与BD的交点，若EF⊥BD，BE＝DF.
(1)求证：四边形BEDF为菱形；
一题多设问
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，&????????＝????????&????????＝???????? ，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)，∴AE＝CF，
∵AD＝BC，∴DE＝BF，
∵BE＝DF，∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形；
?
四边形ABCD为矩形，E，F分别是AD，BC边上的点，O是EF与BD
的交点，若EF⊥BD，BE＝DF.
(2)若∠ADB＝30°，EF＝2，求AD的长；
(2)解：∵四边形BEDF是菱形，∴DE＝DF＝BF，
∵BD⊥EF，∠ADB＝30°，
∴∠EDF＝2∠ADB＝60°，∴△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF＝EF＝2，∴BF＝2，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠C＝90°，
∴∠CDF＝30°，∴在Rt△CDF中，CF＝???????? DF＝1，
∴AD＝BC＝BF＋CF＝2＋1＝3；
?
四边形ABCD为矩形，E，F分别是AD，BC边上的点，O是EF与BD
的交点，若EF⊥BD，BE＝DF.
(3)解：∵四边形BEDF是菱形，
∴BF＝DF，
∵AD＝BC＝6，
设CF＝x，则DF＝BF＝BC－CF＝6－x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，∠C＝90°，
(3)若AD＝6，AB＝4，求 cos ∠CFD的值.
在Rt△CDF中，由勾股定理，得CD2＋CF2＝DF2，
即42＋x2＝(6－x)2，
解得x＝???????? ，
∴CF＝???????? ，DF＝6－???????? ＝???????????? ，
∴在Rt△CDF中， cos ∠CFD＝???????????????? ＝???????????????????? ＝???????????? .
?
湖北真题、模拟题精选及新考法
命题点
菱形的性质与判定
1. (2025荆州模拟)如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝
8，BD＝6，则S△AOD＝(　D　)
A. 24
B. 12
C. 8
D. 6
D
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，AC＝8，BD
＝6，∴AC⊥BD，∴S菱形ABCD＝???????? AC·BD＝???????? ×8×6＝24，∴S△AOD＝
???????? S菱形ABCD＝???????? ×24＝6.
?
2. (2025孝感模拟)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，
则∠BAE＝(　A　)
A. 70°
B. 40°
C. 75°
D. 30°
【解析】在菱形ABCD中，∵∠ABC＝80°，∴∠ABD＝40°，
∵BA＝BE，∴∠BAE＝????????????°?????????°???? ＝70°.
?
A
3. (2025襄阳模拟)如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，∠ABC＝
140°，根据图中尺规作图痕迹，判断∠OED＝(　A　)
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
A
【解析】由作图痕迹得DE⊥BC，则∠DEB＝90°，
∵四边形ABCD为菱形，∴∠DBC＝???????? ∠ABC＝???????? ×140°＝70°，OB＝OD，∵OE为Rt△DBE的斜边上的中线，∴OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE＝70°，∴∠OED＝∠DEB－∠OEB＝90°－70°＝20°.
?
4. (2025黄冈模拟)菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C
的坐标是(8???? ，0)，∠AOB＝60°，则点B的坐标为?　(4???? ，－4)　.
?
(4???? ，－4)　
?
【解析】如解图，连接AB，交OC于点D，
∵点C的坐标是(8???? ，0)，∴OC＝8???? ，
∵四边形OACB是菱形，∠AOB＝60°，∴AB⊥OC，OD＝???????? OC＝4???? ，∠BOD＝???????? ∠AOB＝30°，BD＝OD·tan 30°＝4，
∴点B的坐标为(4???? ，－4).
?
解图
5. (2025随州模拟)如图，菱形纸片ABCD的边长为???? ＋1，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B'处，CB'⊥AD，垂足为F. 若∠B＝60°，则BE的长
是 ?.
?
2　
【解析】如解图，过点E作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°，由折叠的性质得∠BCE＝∠B'CE，∵B'C⊥AD，AD∥BC，∴B'C⊥BC，∴∠ECB＝45°，∴EH＝CH，
∵∠B＝60°，∴EH＝???? BH，∴BC＝BH＋CH＝
(1＋???? )BH＝???? ＋1，∴BH＝1，∴EH＝???? ，BE＝2.
?
解图
6. (2024模拟演练)如图，AE∥BF，BD平分∠ABF，且交AE于点D，
过点D作DC∥AB交BF于点C. 求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AE∥BF，DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABF，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形.
7. (2025襄阳模拟)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD
上，且∠AEC＝∠AFC. 求证：AE＝AF.
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
∵∠AEC＝∠AFC，∠AEB＋∠AEC＝∠AFD＋∠AFC＝180°，
∴∠AEB＝∠AFD，
在△ABE和△ADF中，&∠????????????＝∠????????????&∠????＝∠????， &????????＝????????
∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AE＝AF.
?
8. (2025孝感模拟)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E.
(1)求证：AC＝DE；
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵DE∥AC，
∴四边形ACED为平行四边形，
∴AC＝DE；
在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点
D作AC的平行线交BC的延长线于点E.
(2)求△BDE的面积.
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠BOC＝90°，
∵AB＝5，AC＝6，∴AO＝3，
∴OB＝????????????????????????? ＝4，∴BD＝2OB＝8，
∵DE＝AC＝6，∴S△BDE＝???????? ×6×8＝24.
?
9. (2025十堰模拟)如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC
于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，连接
AE，CE，AF，CF.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(1)证明：∵BA＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD，
∵DE＝DF，AD＝CD，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；
点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，
CE，AF，CF.
(2) 若BA⊥AF，AD＝4，BC＝4???? ，求BD和AE的长.
?
一题多解法
(2)解法一：∵AD⊥BD，AD＝4，BA＝BC＝4???? ，
∴BD＝????????????????????????? ＝????????????????? ＝8，
∵BA⊥AF，BD⊥AC，
∴∠ABD＋∠AFD＝∠ABD＋∠BAD＝90°，
∠ADB＝∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝∠BAD，
?
∴△ABD∽△FAD，
∴???????????????? ＝???????????????? ，即???????????? ＝???????? ，
∴DF＝2，∴DE＝DF＝2，
∴AE＝????????????＋???????????? ＝????????＋???????? ＝2???? ，
∴BD和AE的长分别为8和2???? .
?
解法二：∵AD⊥BD，AD＝4，BA＝BC＝4???? ，
∴BD＝????????????????????????? ＝????????????????? ＝8，
设DE＝x，则DF＝x，
∴AF2＝AD2＋DF2＝16＋x2，
∵BF＝BD＋DF＝8＋x，
?
点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，
CE，AF，CF.
(2) 若BA⊥AF，AD＝4，BC＝4???? ，求BD和AE的长.
?
一题多解法
∵BA⊥AF，
∴AB2＋AF2＝BF2，
即(4???? )2＋16＋x2＝(8＋x)2，
∴x＝2，∴DE＝DF＝2，
∴AE＝????????????＋???????????? ＝????????＋???????? ＝2???? ，
∴BD和AE的长分别为8和2???? .
?
新考法
10. (2025达州)归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言.例如，我们看到图①是平行四边形.就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形.通
过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙.
(1)尝试归纳：请你根据图②，写出3条直角三角形的性质；
① ?；
② ?；
③ ?.
a2＋b2＝c2　
∠A＋∠B＝90°　
sin A＝???????? ， cos A＝???????? ，tan A＝???????? 　
?
(2)实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图③，
∠ABC＝90°，点D是AC的中点，BE∥AC，AE∥BD，试帮他判断
四边形ADBE的形状，并证明你的结论.
解：四边形ADBE是菱形，
证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，
∴BD＝AD＝???????? AC，
∴四边形ADBE是菱形.
?
Thanks!
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